Theorem pwexOLD 3488

Description: Power set axiom expressed in class notation. Axiom 4 of [TakeutiZaring] p. 17.

Hypothesis

Ref	Expression
zfpowcl.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
pwexOLD	|- ~PA e. _V

Proof of Theorem pwexOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfpowcl.1	. 2 |- A e. _V
2		pweq 3036	. . 3 |- (z = A -> ~Pz = ~PA)
3	2	eleq1d 1963	. 2 |- (z = A -> (~Pz e. _V <-> ~PA e. _V))
4		zfpow 3482	. . . . . 6 |- E.xA.y(A.x(x e. y -> x e. z) -> y e. x)
5		dfss2 2610	. . . . . . . . 9 |- (y C_ z <-> A.x(x e. y -> x e. z))
6	5	imbi1i 203	. . . . . . . 8 |- ((y C_ z -> y e. x) <-> (A.x(x e. y -> x e. z) -> y e. x))
7	6	albii 1346	. . . . . . 7 |- (A.y(y C_ z -> y e. x) <-> A.y(A.x(x e. y -> x e. z) -> y e. x))
8	7	exbii 1398	. . . . . 6 |- (E.xA.y(y C_ z -> y e. x) <-> E.xA.y(A.x(x e. y -> x e. z) -> y e. x))
9	4, 8	mpbir 207	. . . . 5 |- E.xA.y(y C_ z -> y e. x)
10	9	bm1.3ii 3441	. . . 4 |- E.xA.y(y e. x <-> y C_ z)
11		df-pw 3035	. . . . . . 7 |- ~Pz = {y | y C_ z}
12	11	eqeq2i 1894	. . . . . 6 |- (x = ~Pz <-> x = {y | y C_ z})
13		abeq2 1999	. . . . . 6 |- (x = {y | y C_ z} <-> A.y(y e. x <-> y C_ z))
14	12, 13	bitri 190	. . . . 5 |- (x = ~Pz <-> A.y(y e. x <-> y C_ z))
15	14	exbii 1398	. . . 4 |- (E.x x = ~Pz <-> E.xA.y(y e. x <-> y C_ z))
16	10, 15	mpbir 207	. . 3 |- E.x x = ~Pz
17	16	issetri 2298	. 2 |- ~Pz e. _V
18	1, 3, 17	vtocl 2339	1 |- ~PA e. _V

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-10 1308  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-pow 3481

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-v 2294  df-in 2603  df-ss 2605  df-pw 3035

Copyright terms: Public domain