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Theorem pwcfsdom 8743
Description: A corollary of Konig's Theorem konigth 8729. Theorem 11.28 of [TakeutiZaring] p. 108. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
pwcfsdom.1  |-  H  =  ( y  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) )  |->  (har
`  ( f `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
pwcfsdom  |-  ( aleph `  A )  ~<  (
( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )
Distinct variable group:    A, f, y
Allowed substitution hints:    H( y, f)

Proof of Theorem pwcfsdom
Dummy variables  w  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onzsl 6456 . . . 4  |-  ( A  e.  On  <->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x  \/  ( A  e.  _V  /\  Lim  A
) ) )
21biimpi 194 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x  \/  ( A  e.  _V  /\  Lim  A ) ) )
3 cfom 8429 . . . . . . 7  |-  ( cf ` 
om )  =  om
4 aleph0 8232 . . . . . . . 8  |-  ( aleph `  (/) )  =  om
54fveq2i 5691 . . . . . . 7  |-  ( cf `  ( aleph `  (/) ) )  =  ( cf `  om )
63, 5, 43eqtr4i 2471 . . . . . 6  |-  ( cf `  ( aleph `  (/) ) )  =  ( aleph `  (/) )
7 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( aleph `  A )  =  (
aleph `  (/) ) )
87fveq2d 5692 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( cf `  ( aleph `  A )
)  =  ( cf `  ( aleph `  (/) ) ) )
96, 8, 73eqtr4a 2499 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( cf `  ( aleph `  A )
)  =  ( aleph `  A ) )
10 fvex 5698 . . . . . . . . 9  |-  ( aleph `  A )  e.  _V
1110canth2 7460 . . . . . . . 8  |-  ( aleph `  A )  ~<  ~P ( aleph `  A )
1210pw2en 7414 . . . . . . . 8  |-  ~P ( aleph `  A )  ~~  ( 2o  ^m  ( aleph `  A ) )
13 sdomentr 7441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( aleph `  A )  ~<  ~P ( aleph `  A
)  /\  ~P ( aleph `  A )  ~~  ( 2o  ^m  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( aleph `  A )  ~<  ( 2o  ^m  ( aleph `  A
) ) )
1411, 12, 13mp2an 667 . . . . . . 7  |-  ( aleph `  A )  ~<  ( 2o  ^m  ( aleph `  A
) )
15 alephon 8235 . . . . . . . . 9  |-  ( aleph `  A )  e.  On
16 alephgeom 8248 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  A ) )
17 omelon 7848 . . . . . . . . . . . 12  |-  om  e.  On
18 2onn 7075 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  e.  om
19 onelss 4757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( om  e.  On  ->  ( 2o  e.  om  ->  2o  C_ 
om ) )
2017, 18, 19mp2 9 . . . . . . . . . . 11  |-  2o  C_  om
21 sstr 3361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2o  C_  om  /\  om  C_  ( aleph `  A )
)  ->  2o  C_  ( aleph `  A ) )
2220, 21mpan 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  2o  C_  ( aleph `  A ) )
2316, 22sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  2o  C_  ( aleph `  A )
)
24 ssdomg 7351 . . . . . . . . 9  |-  ( (
aleph `  A )  e.  On  ->  ( 2o  C_  ( aleph `  A )  ->  2o  ~<_  ( aleph `  A
) ) )
2515, 23, 24mpsyl 63 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  2o  ~<_  ( aleph `  A )
)
26 mapdom1 7472 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  ~<_  ( aleph `  A )  ->  ( 2o  ^m  ( aleph `  A ) )  ~<_  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( aleph `  A ) ) )
2725, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( 2o  ^m  ( aleph `  A
) )  ~<_  ( (
aleph `  A )  ^m  ( aleph `  A )
) )
28 sdomdomtr 7440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( aleph `  A )  ~<  ( 2o  ^m  ( aleph `  A ) )  /\  ( 2o  ^m  ( aleph `  A )
)  ~<_  ( ( aleph `  A )  ^m  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( aleph `  A )  ~<  (
( aleph `  A )  ^m  ( aleph `  A )
) )
2914, 27, 28sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( ( aleph `  A
)  ^m  ( aleph `  A ) ) )
30 oveq2 6098 . . . . . . 7  |-  ( ( cf `  ( aleph `  A ) )  =  ( aleph `  A )  ->  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) )  =  ( ( aleph `  A )  ^m  ( aleph `  A )
) )
3130breq2d 4301 . . . . . 6  |-  ( ( cf `  ( aleph `  A ) )  =  ( aleph `  A )  ->  ( ( aleph `  A
)  ~<  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) )  <->  ( aleph `  A )  ~<  (
( aleph `  A )  ^m  ( aleph `  A )
) ) )
3229, 31syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  (
( cf `  ( aleph `  A ) )  =  ( aleph `  A
)  ->  ( aleph `  A )  ~<  (
( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ) ) )
339, 32syl5 32 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  =  (/)  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) ) )
34 alephreg 8742 . . . . . . 7  |-  ( cf `  ( aleph `  suc  x ) )  =  ( aleph ` 
suc  x )
35 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  suc  x  -> 
( aleph `  A )  =  ( aleph `  suc  x ) )
3635fveq2d 5692 . . . . . . 7  |-  ( A  =  suc  x  -> 
( cf `  ( aleph `  A ) )  =  ( cf `  ( aleph `  suc  x ) ) )
3734, 36, 353eqtr4a 2499 . . . . . 6  |-  ( A  =  suc  x  -> 
( cf `  ( aleph `  A ) )  =  ( aleph `  A
) )
3837rexlimivw 2835 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  On  A  =  suc  x  ->  ( cf `  ( aleph `  A
) )  =  (
aleph `  A ) )
3938, 32syl5 32 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. x  e.  On  A  =  suc  x  -> 
( aleph `  A )  ~<  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) ) )
40 cfsmo 8436 . . . . . 6  |-  ( (
aleph `  A )  e.  On  ->  E. f
( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A
) ) z  C_  ( f `  w
) ) )
41 limelon 4778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  A  e.  On )
42 ffn 5556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  f  Fn  ( cf `  ( aleph `  A )
) )
43 fnrnfv 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  Fn  ( cf `  ( aleph `  A ) )  ->  ran  f  =  { y  |  E. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) y  =  ( f `  x ) } )
4443unieqd 4098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  Fn  ( cf `  ( aleph `  A ) )  ->  U. ran  f  = 
U. { y  |  E. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) y  =  ( f `  x ) } )
4542, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  U. ran  f  = 
U. { y  |  E. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) y  =  ( f `  x ) } )
46 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
4746dfiun2 4201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x
)  =  U. {
y  |  E. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) y  =  ( f `
 x ) }
4845, 47syl6eqr 2491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  U. ran  f  = 
U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x ) )
4948ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  U. ran  f  = 
U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x ) )
50 fnfvelrn 5837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f  Fn  ( cf `  ( aleph `  A )
)  /\  w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( f `  w )  e.  ran  f )
5142, 50sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( f `  w )  e.  ran  f )
52 sseq2 3375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( f `  w )  ->  (
z  C_  y  <->  z  C_  ( f `  w
) ) )
5352rspcev 3070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( f `  w
)  e.  ran  f  /\  z  C_  ( f `
 w ) )  ->  E. y  e.  ran  f  z  C_  y )
5451, 53sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  w  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) )  /\  z  C_  ( f `  w
) )  ->  E. y  e.  ran  f  z  C_  y )
5554ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( z  C_  ( f `  w
)  ->  E. y  e.  ran  f  z  C_  y ) )
5655rexlimdva 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  ( E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w )  ->  E. y  e.  ran  f  z  C_  y ) )
5756ralimdv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  ( A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A
) ) z  C_  ( f `  w
)  ->  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. y  e.  ran  f  z  C_  y ) )
5857imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A
) ) z  C_  ( f `  w
) )  ->  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. y  e.  ran  f  z  C_  y )
5958adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  A. z  e.  (
aleph `  A ) E. y  e.  ran  f 
z  C_  y )
60 alephislim 8249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  On  <->  Lim  ( aleph `  A ) )
6160biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  On  ->  Lim  ( aleph `  A )
)
62 frn 5562 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  ran  f  C_  ( aleph `  A ) )
6362adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A
) ) z  C_  ( f `  w
) )  ->  ran  f  C_  ( aleph `  A
) )
64 coflim 8426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Lim  ( aleph `  A
)  /\  ran  f  C_  ( aleph `  A )
)  ->  ( U. ran  f  =  ( aleph `  A )  <->  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. y  e.  ran  f  z  C_  y ) )
6561, 63, 64syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  ( U. ran  f  =  ( aleph `  A )  <->  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. y  e.  ran  f  z  C_  y ) )
6659, 65mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  U. ran  f  =  ( aleph `  A )
)
6749, 66eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x )  =  ( aleph `  A
) )
68 ffvelrn 5838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  (
aleph `  A ) )
6915oneli 4822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f `  x )  e.  ( aleph `  A
)  ->  ( f `  x )  e.  On )
70 harcard 8144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( card `  (har `  ( f `  x ) ) )  =  (har `  (
f `  x )
)
71 iscard 8141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
card `  (har `  (
f `  x )
) )  =  (har
`  ( f `  x ) )  <->  ( (har `  ( f `  x
) )  e.  On  /\ 
A. y  e.  (har
`  ( f `  x ) ) y 
~<  (har `  ( f `  x ) ) ) )
7271simprbi 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
card `  (har `  (
f `  x )
) )  =  (har
`  ( f `  x ) )  ->  A. y  e.  (har `  ( f `  x
) ) y  ~< 
(har `  ( f `  x ) ) )
7370, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  A. y  e.  (har `  ( f `  x ) ) y 
~<  (har `  ( f `  x ) )
74 domrefg 7340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f `  x )  e.  _V  ->  (
f `  x )  ~<_  ( f `  x
) )
7546, 74ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f `
 x )  ~<_  ( f `  x )
76 elharval 7774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f `  x )  e.  (har `  (
f `  x )
)  <->  ( ( f `
 x )  e.  On  /\  ( f `
 x )  ~<_  ( f `  x ) ) )
7776biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  On  /\  ( f `  x
)  ~<_  ( f `  x ) )  -> 
( f `  x
)  e.  (har `  ( f `  x
) ) )
7875, 77mpan2 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f `  x )  e.  On  ->  (
f `  x )  e.  (har `  ( f `  x ) ) )
79 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  (
y  ~<  (har `  (
f `  x )
)  <->  ( f `  x )  ~<  (har `  ( f `  x
) ) ) )
8079rspccv 3067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. y  e.  (har `  (
f `  x )
) y  ~<  (har `  ( f `  x
) )  ->  (
( f `  x
)  e.  (har `  ( f `  x
) )  ->  (
f `  x )  ~<  (har `  ( f `  x ) ) ) )
8173, 78, 80mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f `  x )  e.  On  ->  (
f `  x )  ~<  (har `  ( f `  x ) ) )
8268, 69, 813syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( f `  x )  ~<  (har `  ( f `  x
) ) )
83 harcl 7772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (har `  ( f `  x
) )  e.  On
84 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  x  ->  (
f `  y )  =  ( f `  x ) )
8584fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  (har `  ( f `  y
) )  =  (har
`  ( f `  x ) ) )
86 pwcfsdom.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  H  =  ( y  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) )  |->  (har
`  ( f `  y ) ) )
8785, 86fvmptg 5769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
)  /\  (har `  (
f `  x )
)  e.  On )  ->  ( H `  x )  =  (har
`  ( f `  x ) ) )
8883, 87mpan2 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) )  ->  ( H `  x )  =  (har
`  ( f `  x ) ) )
8988breq2d 4301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) )  ->  ( ( f `
 x )  ~< 
( H `  x
)  <->  ( f `  x )  ~<  (har `  ( f `  x
) ) ) )
9089adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( ( f `
 x )  ~< 
( H `  x
)  <->  ( f `  x )  ~<  (har `  ( f `  x
) ) ) )
9182, 90mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( f `  x )  ~<  ( H `  x )
)
9291ralrimiva 2797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  A. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x ) 
~<  ( H `  x
) )
93 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( cf `  ( aleph `  A )
)  e.  _V
94 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x
)  =  U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x
)
95 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x
)  =  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x
)
9693, 94, 95konigth 8729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) ( f `  x )  ~<  ( H `  x )  ->  U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x ) 
~<  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x ) )
9792, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x ) 
~<  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x ) )
9897ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x ) 
~<  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x ) )
9967, 98eqbrtrrd 4311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  ( aleph `  A
)  ~<  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x ) )
10041, 99sylan 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  ( aleph `  A
)  ~<  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x ) )
101 ovex 6115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  e.  _V
10268ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  ( x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) )  -> 
( f `  x
)  e.  ( aleph `  A ) ) )
103 alephlim 8233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  ( aleph `  A )  = 
U_ y  e.  A  ( aleph `  y )
)
104103eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  (
( f `  x
)  e.  ( aleph `  A )  <->  ( f `  x )  e.  U_ y  e.  A  ( aleph `  y ) ) )
105 eliun 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f `  x )  e.  U_ y  e.  A  ( aleph `  y
)  <->  E. y  e.  A  ( f `  x
)  e.  ( aleph `  y ) )
106 alephcard 8236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( card `  ( aleph `  y )
)  =  ( aleph `  y )
107106eleq2i 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f `  x )  e.  ( card `  ( aleph `  y ) )  <-> 
( f `  x
)  e.  ( aleph `  y ) )
108 cardsdomelir 8139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f `  x )  e.  ( card `  ( aleph `  y ) )  ->  ( f `  x )  ~<  ( aleph `  y ) )
109107, 108sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f `  x )  e.  ( aleph `  y
)  ->  ( f `  x )  ~<  ( aleph `  y ) )
110 elharval 7774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
aleph `  y )  e.  (har `  ( f `  x ) )  <->  ( ( aleph `  y )  e.  On  /\  ( aleph `  y )  ~<_  ( f `
 x ) ) )
111110simprbi 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
aleph `  y )  e.  (har `  ( f `  x ) )  -> 
( aleph `  y )  ~<_  ( f `  x
) )
112 domnsym 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
aleph `  y )  ~<_  ( f `  x )  ->  -.  ( f `  x )  ~<  ( aleph `  y ) )
113111, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
aleph `  y )  e.  (har `  ( f `  x ) )  ->  -.  ( f `  x
)  ~<  ( aleph `  y
) )
114113con2i 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f `  x ) 
~<  ( aleph `  y )  ->  -.  ( aleph `  y
)  e.  (har `  ( f `  x
) ) )
115 alephon 8235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( aleph `  y )  e.  On
116 ontri1 4749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( (har `  ( f `  x ) )  e.  On  /\  ( aleph `  y )  e.  On )  ->  ( (har `  ( f `  x
) )  C_  ( aleph `  y )  <->  -.  ( aleph `  y )  e.  (har `  ( f `  x ) ) ) )
11783, 115, 116mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (har
`  ( f `  x ) )  C_  ( aleph `  y )  <->  -.  ( aleph `  y )  e.  (har `  ( f `  x ) ) )
118114, 117sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f `  x ) 
~<  ( aleph `  y )  ->  (har `  ( f `  x ) )  C_  ( aleph `  y )
)
119109, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f `  x )  e.  ( aleph `  y
)  ->  (har `  (
f `  x )
)  C_  ( aleph `  y ) )
120 alephord2i 8243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  On  ->  (
y  e.  A  -> 
( aleph `  y )  e.  ( aleph `  A )
) )
121120imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  A )  ->  ( aleph `  y )  e.  ( aleph `  A )
)
122 ontr2 4762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( (har `  ( f `  x ) )  e.  On  /\  ( aleph `  A )  e.  On )  ->  ( ( (har
`  ( f `  x ) )  C_  ( aleph `  y )  /\  ( aleph `  y )  e.  ( aleph `  A )
)  ->  (har `  (
f `  x )
)  e.  ( aleph `  A ) ) )
12383, 15, 122mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( (har `  ( f `  x ) )  C_  ( aleph `  y )  /\  ( aleph `  y )  e.  ( aleph `  A )
)  ->  (har `  (
f `  x )
)  e.  ( aleph `  A ) )
124119, 121, 123syl2anr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  ( f `  x )  e.  (
aleph `  y ) )  ->  (har `  (
f `  x )
)  e.  ( aleph `  A ) )
125124exp31 601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  On  ->  (
y  e.  A  -> 
( ( f `  x )  e.  (
aleph `  y )  -> 
(har `  ( f `  x ) )  e.  ( aleph `  A )
) ) )
126125rexlimdv 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. y  e.  A  ( f `  x
)  e.  ( aleph `  y )  ->  (har `  ( f `  x
) )  e.  (
aleph `  A ) ) )
127105, 126syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  On  ->  (
( f `  x
)  e.  U_ y  e.  A  ( aleph `  y )  ->  (har `  ( f `  x
) )  e.  (
aleph `  A ) ) )
12841, 127syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  (
( f `  x
)  e.  U_ y  e.  A  ( aleph `  y )  ->  (har `  ( f `  x
) )  e.  (
aleph `  A ) ) )
129104, 128sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  (
( f `  x
)  e.  ( aleph `  A )  ->  (har `  ( f `  x
) )  e.  (
aleph `  A ) ) )
130102, 129sylan9r 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  /\  f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )
)  ->  ( x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) )  ->  (har `  (
f `  x )
)  e.  ( aleph `  A ) ) )
131130imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
_V  /\  Lim  A )  /\  f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A ) )  /\  x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  (har `  (
f `  x )
)  e.  ( aleph `  A ) )
13285cbvmptv 4380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) 
|->  (har `  ( f `  y ) ) )  =  ( x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) 
|->  (har `  ( f `  x ) ) )
13386, 132eqtri 2461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  H  =  ( x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) )  |->  (har
`  ( f `  x ) ) )
134131, 133fmptd 5864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  /\  f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )
)  ->  H :
( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )
)
135 ffvelrn 5838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( H `  x )  e.  (
aleph `  A ) )
136 onelss 4757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
aleph `  A )  e.  On  ->  ( ( H `  x )  e.  ( aleph `  A )  ->  ( H `  x
)  C_  ( aleph `  A ) ) )
13715, 135, 136mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( H `  x )  C_  ( aleph `  A ) )
138137ralrimiva 2797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( H : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  A. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x ) 
C_  ( aleph `  A
) )
139 ss2ixp 7272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) ( H `  x )  C_  ( aleph `  A )  ->  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) ( H `  x )  C_  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( aleph `  A )
)
14093, 10ixpconst 7269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( aleph `  A )  =  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) )
141139, 140syl6sseq 3399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) ( H `  x )  C_  ( aleph `  A )  ->  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) ( H `  x )  C_  (
( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ) )
142134, 138, 1413syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  /\  f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )
)  ->  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x
)  C_  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ) )
143 ssdomg 7351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  e.  _V  ->  (
X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x ) 
C_  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) )  ->  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) ( H `  x )  ~<_  ( (
aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ) ) )
144101, 142, 143mpsyl 63 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  /\  f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )
)  ->  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x
)  ~<_  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) ) )
145144adantrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x )  ~<_  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) )
146 sdomdomtr 7440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( aleph `  A )  ~< 
X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x )  /\  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x )  ~<_  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) )  -> 
( aleph `  A )  ~<  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) )
147100, 145, 146syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  ( aleph `  A
)  ~<  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) ) )
148147expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A
) ) z  C_  ( f `  w
) )  ->  (
( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  -> 
( aleph `  A )  ~<  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) ) )
1491483adant2 1002 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) )  -> 
( ( A  e. 
_V  /\  Lim  A )  ->  ( aleph `  A
)  ~<  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) ) ) )
150149exlimiv 1693 . . . . . 6  |-  ( E. f ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) )  -> 
( ( A  e. 
_V  /\  Lim  A )  ->  ( aleph `  A
)  ~<  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) ) ) )
15115, 40, 150mp2b 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) )
152151a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  (
( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  -> 
( aleph `  A )  ~<  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) ) )
15333, 39, 1523jaod 1277 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  (
( A  =  (/)  \/ 
E. x  e.  On  A  =  suc  x  \/  ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A ) )  ->  ( aleph `  A
)  ~<  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) ) ) )
1542, 153mpd 15 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) )
155 alephfnon 8231 . . . . 5  |-  aleph  Fn  On
156 fndm 5507 . . . . 5  |-  ( aleph  Fn  On  ->  dom  aleph  =  On )
157155, 156ax-mp 5 . . . 4  |-  dom  aleph  =  On
158157eleq2i 2505 . . 3  |-  ( A  e.  dom  aleph  <->  A  e.  On )
159 ndmfv 5711 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( aleph `  A )  =  (/) )
160 1n0 6931 . . . . . 6  |-  1o  =/=  (/)
161 1on 6923 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  On
162161elexi 2980 . . . . . . 7  |-  1o  e.  _V
1631620sdom 7438 . . . . . 6  |-  ( (/)  ~<  1o 
<->  1o  =/=  (/) )
164160, 163mpbir 209 . . . . 5  |-  (/)  ~<  1o
165 id 22 . . . . . 6  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( aleph `  A
)  =  (/) )
166 fveq2 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( cf `  ( aleph `  A ) )  =  ( cf `  (/) ) )
167 cf0 8416 . . . . . . . . 9  |-  ( cf `  (/) )  =  (/)
168166, 167syl6eq 2489 . . . . . . . 8  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( cf `  ( aleph `  A ) )  =  (/) )
169165, 168oveq12d 6108 . . . . . . 7  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) )  =  ( (/)  ^m  (/) ) )
170 0ex 4419 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
171 map0e 7246 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  ^m  (/) )  =  1o )
172170, 171ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( (/)  ^m  (/) )  =  1o
173169, 172syl6eq 2489 . . . . . 6  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) )  =  1o )
174165, 173breq12d 4302 . . . . 5  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( ( aleph `  A )  ~<  (
( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  <->  (/)  ~<  1o )
)
175164, 174mpbiri 233 . . . 4  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( aleph `  A
)  ~<  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) ) )
176159, 175syl 16 . . 3  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) )
177158, 176sylnbir 307 . 2  |-  ( -.  A  e.  On  ->  (
aleph `  A )  ~< 
( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) )
178154, 177pm2.61i 164 1  |-  ( aleph `  A )  ~<  (
( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 959    /\ w3a 960    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761   {cab 2427    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   U.cuni 4088   U_ciun 4168   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   Oncon0 4715   Lim wlim 4716   suc csuc 4717   dom cdm 4836   ran crn 4837    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   omcom 6475   Smo wsmo 6802   1oc1o 6909   2oc2o 6910    ^m cmap 7210   X_cixp 7259    ~~ cen 7303    ~<_ cdom 7304    ~< csdm 7305  harchar 7767   cardccrd 8101   alephcale 8102   cfccf 8103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-ac2 8628
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-smo 6803  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-oi 7720  df-har 7769  df-card 8105  df-aleph 8106  df-cf 8107  df-acn 8108  df-ac 8282
This theorem is referenced by:  cfpwsdom  8744  tskcard  8944
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