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Theorem pwcfsdom 8949
Description: A corollary of Konig's Theorem konigth 8935. Theorem 11.28 of [TakeutiZaring] p. 108. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
pwcfsdom.1  |-  H  =  ( y  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) )  |->  (har
`  ( f `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
pwcfsdom  |-  ( aleph `  A )  ~<  (
( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )
Distinct variable group:    A, f, y
Allowed substitution hints:    H( y, f)

Proof of Theorem pwcfsdom
Dummy variables  w  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onzsl 6654 . . . 4  |-  ( A  e.  On  <->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x  \/  ( A  e.  _V  /\  Lim  A
) ) )
21biimpi 194 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x  \/  ( A  e.  _V  /\  Lim  A ) ) )
3 cfom 8635 . . . . . . 7  |-  ( cf ` 
om )  =  om
4 aleph0 8438 . . . . . . . 8  |-  ( aleph `  (/) )  =  om
54fveq2i 5851 . . . . . . 7  |-  ( cf `  ( aleph `  (/) ) )  =  ( cf `  om )
63, 5, 43eqtr4i 2493 . . . . . 6  |-  ( cf `  ( aleph `  (/) ) )  =  ( aleph `  (/) )
7 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( aleph `  A )  =  (
aleph `  (/) ) )
87fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( cf `  ( aleph `  A )
)  =  ( cf `  ( aleph `  (/) ) ) )
96, 8, 73eqtr4a 2521 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( cf `  ( aleph `  A )
)  =  ( aleph `  A ) )
10 fvex 5858 . . . . . . . . 9  |-  ( aleph `  A )  e.  _V
1110canth2 7663 . . . . . . . 8  |-  ( aleph `  A )  ~<  ~P ( aleph `  A )
1210pw2en 7617 . . . . . . . 8  |-  ~P ( aleph `  A )  ~~  ( 2o  ^m  ( aleph `  A ) )
13 sdomentr 7644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( aleph `  A )  ~<  ~P ( aleph `  A
)  /\  ~P ( aleph `  A )  ~~  ( 2o  ^m  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( aleph `  A )  ~<  ( 2o  ^m  ( aleph `  A
) ) )
1411, 12, 13mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( aleph `  A )  ~<  ( 2o  ^m  ( aleph `  A
) )
15 alephon 8441 . . . . . . . . 9  |-  ( aleph `  A )  e.  On
16 alephgeom 8454 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  A ) )
17 omelon 8054 . . . . . . . . . . . 12  |-  om  e.  On
18 2onn 7281 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  e.  om
19 onelss 4909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( om  e.  On  ->  ( 2o  e.  om  ->  2o  C_ 
om ) )
2017, 18, 19mp2 9 . . . . . . . . . . 11  |-  2o  C_  om
21 sstr 3497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2o  C_  om  /\  om  C_  ( aleph `  A )
)  ->  2o  C_  ( aleph `  A ) )
2220, 21mpan 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  2o  C_  ( aleph `  A ) )
2316, 22sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  2o  C_  ( aleph `  A )
)
24 ssdomg 7554 . . . . . . . . 9  |-  ( (
aleph `  A )  e.  On  ->  ( 2o  C_  ( aleph `  A )  ->  2o  ~<_  ( aleph `  A
) ) )
2515, 23, 24mpsyl 63 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  2o  ~<_  ( aleph `  A )
)
26 mapdom1 7675 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  ~<_  ( aleph `  A )  ->  ( 2o  ^m  ( aleph `  A ) )  ~<_  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( aleph `  A ) ) )
2725, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( 2o  ^m  ( aleph `  A
) )  ~<_  ( (
aleph `  A )  ^m  ( aleph `  A )
) )
28 sdomdomtr 7643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( aleph `  A )  ~<  ( 2o  ^m  ( aleph `  A ) )  /\  ( 2o  ^m  ( aleph `  A )
)  ~<_  ( ( aleph `  A )  ^m  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( aleph `  A )  ~<  (
( aleph `  A )  ^m  ( aleph `  A )
) )
2914, 27, 28sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( ( aleph `  A
)  ^m  ( aleph `  A ) ) )
30 oveq2 6278 . . . . . . 7  |-  ( ( cf `  ( aleph `  A ) )  =  ( aleph `  A )  ->  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) )  =  ( ( aleph `  A )  ^m  ( aleph `  A )
) )
3130breq2d 4451 . . . . . 6  |-  ( ( cf `  ( aleph `  A ) )  =  ( aleph `  A )  ->  ( ( aleph `  A
)  ~<  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) )  <->  ( aleph `  A )  ~<  (
( aleph `  A )  ^m  ( aleph `  A )
) ) )
3229, 31syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  (
( cf `  ( aleph `  A ) )  =  ( aleph `  A
)  ->  ( aleph `  A )  ~<  (
( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ) ) )
339, 32syl5 32 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  =  (/)  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) ) )
34 alephreg 8948 . . . . . . 7  |-  ( cf `  ( aleph `  suc  x ) )  =  ( aleph ` 
suc  x )
35 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  suc  x  -> 
( aleph `  A )  =  ( aleph `  suc  x ) )
3635fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( A  =  suc  x  -> 
( cf `  ( aleph `  A ) )  =  ( cf `  ( aleph `  suc  x ) ) )
3734, 36, 353eqtr4a 2521 . . . . . 6  |-  ( A  =  suc  x  -> 
( cf `  ( aleph `  A ) )  =  ( aleph `  A
) )
3837rexlimivw 2943 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  On  A  =  suc  x  ->  ( cf `  ( aleph `  A
) )  =  (
aleph `  A ) )
3938, 32syl5 32 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. x  e.  On  A  =  suc  x  -> 
( aleph `  A )  ~<  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) ) )
40 cfsmo 8642 . . . . . 6  |-  ( (
aleph `  A )  e.  On  ->  E. f
( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A
) ) z  C_  ( f `  w
) ) )
41 limelon 4930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  A  e.  On )
42 ffn 5713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  f  Fn  ( cf `  ( aleph `  A )
) )
43 fnrnfv 5894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  Fn  ( cf `  ( aleph `  A ) )  ->  ran  f  =  { y  |  E. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) y  =  ( f `  x ) } )
4443unieqd 4245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  Fn  ( cf `  ( aleph `  A ) )  ->  U. ran  f  = 
U. { y  |  E. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) y  =  ( f `  x ) } )
4542, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  U. ran  f  = 
U. { y  |  E. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) y  =  ( f `  x ) } )
46 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
4746dfiun2 4349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x
)  =  U. {
y  |  E. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) y  =  ( f `
 x ) }
4845, 47syl6eqr 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  U. ran  f  = 
U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x ) )
4948ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  U. ran  f  = 
U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x ) )
50 fnfvelrn 6004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f  Fn  ( cf `  ( aleph `  A )
)  /\  w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( f `  w )  e.  ran  f )
5142, 50sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( f `  w )  e.  ran  f )
52 sseq2 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( f `  w )  ->  (
z  C_  y  <->  z  C_  ( f `  w
) ) )
5352rspcev 3207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( f `  w
)  e.  ran  f  /\  z  C_  ( f `
 w ) )  ->  E. y  e.  ran  f  z  C_  y )
5451, 53sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  w  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) )  /\  z  C_  ( f `  w
) )  ->  E. y  e.  ran  f  z  C_  y )
5554ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( z  C_  ( f `  w
)  ->  E. y  e.  ran  f  z  C_  y ) )
5655rexlimdva 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  ( E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w )  ->  E. y  e.  ran  f  z  C_  y ) )
5756ralimdv 2864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  ( A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A
) ) z  C_  ( f `  w
)  ->  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. y  e.  ran  f  z  C_  y ) )
5857imp 427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A
) ) z  C_  ( f `  w
) )  ->  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. y  e.  ran  f  z  C_  y )
5958adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  A. z  e.  (
aleph `  A ) E. y  e.  ran  f 
z  C_  y )
60 alephislim 8455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  On  <->  Lim  ( aleph `  A ) )
6160biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  On  ->  Lim  ( aleph `  A )
)
62 frn 5719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  ran  f  C_  ( aleph `  A ) )
6362adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A
) ) z  C_  ( f `  w
) )  ->  ran  f  C_  ( aleph `  A
) )
64 coflim 8632 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Lim  ( aleph `  A
)  /\  ran  f  C_  ( aleph `  A )
)  ->  ( U. ran  f  =  ( aleph `  A )  <->  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. y  e.  ran  f  z  C_  y ) )
6561, 63, 64syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  ( U. ran  f  =  ( aleph `  A )  <->  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. y  e.  ran  f  z  C_  y ) )
6659, 65mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  U. ran  f  =  ( aleph `  A )
)
6749, 66eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x )  =  ( aleph `  A
) )
68 ffvelrn 6005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  (
aleph `  A ) )
6915oneli 4974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f `  x )  e.  ( aleph `  A
)  ->  ( f `  x )  e.  On )
70 harcard 8350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( card `  (har `  ( f `  x ) ) )  =  (har `  (
f `  x )
)
71 iscard 8347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
card `  (har `  (
f `  x )
) )  =  (har
`  ( f `  x ) )  <->  ( (har `  ( f `  x
) )  e.  On  /\ 
A. y  e.  (har
`  ( f `  x ) ) y 
~<  (har `  ( f `  x ) ) ) )
7271simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
card `  (har `  (
f `  x )
) )  =  (har
`  ( f `  x ) )  ->  A. y  e.  (har `  ( f `  x
) ) y  ~< 
(har `  ( f `  x ) ) )
7370, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  A. y  e.  (har `  ( f `  x ) ) y 
~<  (har `  ( f `  x ) )
74 domrefg 7543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f `  x )  e.  _V  ->  (
f `  x )  ~<_  ( f `  x
) )
7546, 74ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f `
 x )  ~<_  ( f `  x )
76 elharval 7981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f `  x )  e.  (har `  (
f `  x )
)  <->  ( ( f `
 x )  e.  On  /\  ( f `
 x )  ~<_  ( f `  x ) ) )
7776biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  On  /\  ( f `  x
)  ~<_  ( f `  x ) )  -> 
( f `  x
)  e.  (har `  ( f `  x
) ) )
7875, 77mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f `  x )  e.  On  ->  (
f `  x )  e.  (har `  ( f `  x ) ) )
79 breq1 4442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  (
y  ~<  (har `  (
f `  x )
)  <->  ( f `  x )  ~<  (har `  ( f `  x
) ) ) )
8079rspccv 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. y  e.  (har `  (
f `  x )
) y  ~<  (har `  ( f `  x
) )  ->  (
( f `  x
)  e.  (har `  ( f `  x
) )  ->  (
f `  x )  ~<  (har `  ( f `  x ) ) ) )
8173, 78, 80mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f `  x )  e.  On  ->  (
f `  x )  ~<  (har `  ( f `  x ) ) )
8268, 69, 813syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( f `  x )  ~<  (har `  ( f `  x
) ) )
83 harcl 7979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (har `  ( f `  x
) )  e.  On
84 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  x  ->  (
f `  y )  =  ( f `  x ) )
8584fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  (har `  ( f `  y
) )  =  (har
`  ( f `  x ) ) )
86 pwcfsdom.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  H  =  ( y  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) )  |->  (har
`  ( f `  y ) ) )
8785, 86fvmptg 5929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
)  /\  (har `  (
f `  x )
)  e.  On )  ->  ( H `  x )  =  (har
`  ( f `  x ) ) )
8883, 87mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) )  ->  ( H `  x )  =  (har
`  ( f `  x ) ) )
8988breq2d 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) )  ->  ( ( f `
 x )  ~< 
( H `  x
)  <->  ( f `  x )  ~<  (har `  ( f `  x
) ) ) )
9089adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( ( f `
 x )  ~< 
( H `  x
)  <->  ( f `  x )  ~<  (har `  ( f `  x
) ) ) )
9182, 90mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( f `  x )  ~<  ( H `  x )
)
9291ralrimiva 2868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  A. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x ) 
~<  ( H `  x
) )
93 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( cf `  ( aleph `  A )
)  e.  _V
94 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x
)  =  U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x
)
95 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x
)  =  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x
)
9693, 94, 95konigth 8935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) ( f `  x )  ~<  ( H `  x )  ->  U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x ) 
~<  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x ) )
9792, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x ) 
~<  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x ) )
9897ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  U_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( f `  x ) 
~<  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x ) )
9967, 98eqbrtrrd 4461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  ( aleph `  A
)  ~<  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x ) )
10041, 99sylan 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  ( aleph `  A
)  ~<  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x ) )
101 ovex 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  e.  _V
10268ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  ( x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) )  -> 
( f `  x
)  e.  ( aleph `  A ) ) )
103 alephlim 8439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  ( aleph `  A )  = 
U_ y  e.  A  ( aleph `  y )
)
104103eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  (
( f `  x
)  e.  ( aleph `  A )  <->  ( f `  x )  e.  U_ y  e.  A  ( aleph `  y ) ) )
105 eliun 4320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f `  x )  e.  U_ y  e.  A  ( aleph `  y
)  <->  E. y  e.  A  ( f `  x
)  e.  ( aleph `  y ) )
106 alephcard 8442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( card `  ( aleph `  y )
)  =  ( aleph `  y )
107106eleq2i 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f `  x )  e.  ( card `  ( aleph `  y ) )  <-> 
( f `  x
)  e.  ( aleph `  y ) )
108 cardsdomelir 8345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f `  x )  e.  ( card `  ( aleph `  y ) )  ->  ( f `  x )  ~<  ( aleph `  y ) )
109107, 108sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f `  x )  e.  ( aleph `  y
)  ->  ( f `  x )  ~<  ( aleph `  y ) )
110 elharval 7981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
aleph `  y )  e.  (har `  ( f `  x ) )  <->  ( ( aleph `  y )  e.  On  /\  ( aleph `  y )  ~<_  ( f `
 x ) ) )
111110simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
aleph `  y )  e.  (har `  ( f `  x ) )  -> 
( aleph `  y )  ~<_  ( f `  x
) )
112 domnsym 7636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
aleph `  y )  ~<_  ( f `  x )  ->  -.  ( f `  x )  ~<  ( aleph `  y ) )
113111, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
aleph `  y )  e.  (har `  ( f `  x ) )  ->  -.  ( f `  x
)  ~<  ( aleph `  y
) )
114113con2i 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f `  x ) 
~<  ( aleph `  y )  ->  -.  ( aleph `  y
)  e.  (har `  ( f `  x
) ) )
115 alephon 8441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( aleph `  y )  e.  On
116 ontri1 4901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( (har `  ( f `  x ) )  e.  On  /\  ( aleph `  y )  e.  On )  ->  ( (har `  ( f `  x
) )  C_  ( aleph `  y )  <->  -.  ( aleph `  y )  e.  (har `  ( f `  x ) ) ) )
11783, 115, 116mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (har
`  ( f `  x ) )  C_  ( aleph `  y )  <->  -.  ( aleph `  y )  e.  (har `  ( f `  x ) ) )
118114, 117sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f `  x ) 
~<  ( aleph `  y )  ->  (har `  ( f `  x ) )  C_  ( aleph `  y )
)
119109, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f `  x )  e.  ( aleph `  y
)  ->  (har `  (
f `  x )
)  C_  ( aleph `  y ) )
120 alephord2i 8449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  On  ->  (
y  e.  A  -> 
( aleph `  y )  e.  ( aleph `  A )
) )
121120imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  A )  ->  ( aleph `  y )  e.  ( aleph `  A )
)
122 ontr2 4914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( (har `  ( f `  x ) )  e.  On  /\  ( aleph `  A )  e.  On )  ->  ( ( (har
`  ( f `  x ) )  C_  ( aleph `  y )  /\  ( aleph `  y )  e.  ( aleph `  A )
)  ->  (har `  (
f `  x )
)  e.  ( aleph `  A ) ) )
12383, 15, 122mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( (har `  ( f `  x ) )  C_  ( aleph `  y )  /\  ( aleph `  y )  e.  ( aleph `  A )
)  ->  (har `  (
f `  x )
)  e.  ( aleph `  A ) )
124119, 121, 123syl2anr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  ( f `  x )  e.  (
aleph `  y ) )  ->  (har `  (
f `  x )
)  e.  ( aleph `  A ) )
125124exp31 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  On  ->  (
y  e.  A  -> 
( ( f `  x )  e.  (
aleph `  y )  -> 
(har `  ( f `  x ) )  e.  ( aleph `  A )
) ) )
126125rexlimdv 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. y  e.  A  ( f `  x
)  e.  ( aleph `  y )  ->  (har `  ( f `  x
) )  e.  (
aleph `  A ) ) )
127105, 126syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  On  ->  (
( f `  x
)  e.  U_ y  e.  A  ( aleph `  y )  ->  (har `  ( f `  x
) )  e.  (
aleph `  A ) ) )
12841, 127syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  (
( f `  x
)  e.  U_ y  e.  A  ( aleph `  y )  ->  (har `  ( f `  x
) )  e.  (
aleph `  A ) ) )
129104, 128sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  (
( f `  x
)  e.  ( aleph `  A )  ->  (har `  ( f `  x
) )  e.  (
aleph `  A ) ) )
130102, 129sylan9r 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  /\  f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )
)  ->  ( x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) )  ->  (har `  (
f `  x )
)  e.  ( aleph `  A ) ) )
131130imp 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
_V  /\  Lim  A )  /\  f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A ) )  /\  x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  (har `  (
f `  x )
)  e.  ( aleph `  A ) )
13285cbvmptv 4530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) 
|->  (har `  ( f `  y ) ) )  =  ( x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) 
|->  (har `  ( f `  x ) ) )
13386, 132eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  H  =  ( x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) )  |->  (har
`  ( f `  x ) ) )
134131, 133fmptd 6031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  /\  f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )
)  ->  H :
( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )
)
135 ffvelrn 6005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( H `  x )  e.  (
aleph `  A ) )
136 onelss 4909 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
aleph `  A )  e.  On  ->  ( ( H `  x )  e.  ( aleph `  A )  ->  ( H `  x
)  C_  ( aleph `  A ) ) )
13715, 135, 136mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( H `  x )  C_  ( aleph `  A ) )
138137ralrimiva 2868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( H : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  ->  A. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x ) 
C_  ( aleph `  A
) )
139 ss2ixp 7475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) ( H `  x )  C_  ( aleph `  A )  ->  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) ( H `  x )  C_  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( aleph `  A )
)
14093, 10ixpconst 7472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( aleph `  A )  =  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) )
141139, 140syl6sseq 3535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) ( H `  x )  C_  ( aleph `  A )  ->  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) ( H `  x )  C_  (
( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ) )
142134, 138, 1413syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  /\  f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )
)  ->  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x
)  C_  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ) )
143 ssdomg 7554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  e.  _V  ->  (
X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x ) 
C_  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) )  ->  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A )
) ( H `  x )  ~<_  ( (
aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ) ) )
144101, 142, 143mpsyl 63 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  /\  f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )
)  ->  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x
)  ~<_  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) ) )
145144adantrr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x )  ~<_  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) )
146 sdomdomtr 7643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( aleph `  A )  ~< 
X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x )  /\  X_ x  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) ( H `  x )  ~<_  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) )  -> 
( aleph `  A )  ~<  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) )
147100, 145, 146syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  /\  ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> (
aleph `  A )  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) ) )  ->  ( aleph `  A
)  ~<  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) ) )
148147expcom 433 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A
) ) z  C_  ( f `  w
) )  ->  (
( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  -> 
( aleph `  A )  ~<  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) ) )
1491483adant2 1013 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( cf `  ( aleph `  A )
) --> ( aleph `  A
)  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) )  -> 
( ( A  e. 
_V  /\  Lim  A )  ->  ( aleph `  A
)  ~<  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) ) ) )
150149exlimiv 1727 . . . . . 6  |-  ( E. f ( f : ( cf `  ( aleph `  A ) ) --> ( aleph `  A )  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  ( aleph `  A ) E. w  e.  ( cf `  ( aleph `  A ) ) z  C_  ( f `  w ) )  -> 
( ( A  e. 
_V  /\  Lim  A )  ->  ( aleph `  A
)  ~<  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) ) ) )
15115, 40, 150mp2b 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) )
152151a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  (
( A  e.  _V  /\ 
Lim  A )  -> 
( aleph `  A )  ~<  ( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) ) )
15333, 39, 1523jaod 1290 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  (
( A  =  (/)  \/ 
E. x  e.  On  A  =  suc  x  \/  ( A  e.  _V  /\ 
Lim  A ) )  ->  ( aleph `  A
)  ~<  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) ) ) )
1542, 153mpd 15 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) )
155 alephfnon 8437 . . . . 5  |-  aleph  Fn  On
156 fndm 5662 . . . . 5  |-  ( aleph  Fn  On  ->  dom  aleph  =  On )
157155, 156ax-mp 5 . . . 4  |-  dom  aleph  =  On
158157eleq2i 2532 . . 3  |-  ( A  e.  dom  aleph  <->  A  e.  On )
159 ndmfv 5872 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( aleph `  A )  =  (/) )
160 1n0 7137 . . . . . 6  |-  1o  =/=  (/)
161 1on 7129 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  On
162161elexi 3116 . . . . . . 7  |-  1o  e.  _V
1631620sdom 7641 . . . . . 6  |-  ( (/)  ~<  1o 
<->  1o  =/=  (/) )
164160, 163mpbir 209 . . . . 5  |-  (/)  ~<  1o
165 id 22 . . . . . 6  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( aleph `  A
)  =  (/) )
166 fveq2 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( cf `  ( aleph `  A ) )  =  ( cf `  (/) ) )
167 cf0 8622 . . . . . . . . 9  |-  ( cf `  (/) )  =  (/)
168166, 167syl6eq 2511 . . . . . . . 8  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( cf `  ( aleph `  A ) )  =  (/) )
169165, 168oveq12d 6288 . . . . . . 7  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) )  =  ( (/)  ^m  (/) ) )
170 0ex 4569 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
171 map0e 7449 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  ^m  (/) )  =  1o )
172170, 171ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( (/)  ^m  (/) )  =  1o
173169, 172syl6eq 2511 . . . . . 6  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) )  =  1o )
174165, 173breq12d 4452 . . . . 5  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( ( aleph `  A )  ~<  (
( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )  <->  (/)  ~<  1o )
)
175164, 174mpbiri 233 . . . 4  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( aleph `  A
)  ~<  ( ( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A
) ) ) )
176159, 175syl 16 . . 3  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) )
177158, 176sylnbir 305 . 2  |-  ( -.  A  e.  On  ->  (
aleph `  A )  ~< 
( ( aleph `  A
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  A )
) ) )
178154, 177pm2.61i 164 1  |-  ( aleph `  A )  ~<  (
( aleph `  A )  ^m  ( cf `  ( aleph `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    \/ w3o 970    /\ w3a 971    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   {cab 2439    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   U.cuni 4235   U_ciun 4315   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   Oncon0 4867   Lim wlim 4868   suc csuc 4869   dom cdm 4988   ran crn 4989    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   omcom 6673   Smo wsmo 7008   1oc1o 7115   2oc2o 7116    ^m cmap 7412   X_cixp 7462    ~~ cen 7506    ~<_ cdom 7507    ~< csdm 7508  harchar 7974   cardccrd 8307   alephcale 8308   cfccf 8309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-ac2 8834
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-smo 7009  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-oi 7927  df-har 7976  df-card 8311  df-aleph 8312  df-cf 8313  df-acn 8314  df-ac 8488
This theorem is referenced by:  cfpwsdom  8950  tskcard  9148  bj-pwcfsdom  35009
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