MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwcdandom Structured version   Unicode version

Theorem pwcdandom 9055
Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its cardinal sum with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwcdandom  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  ( A  +c  A
) )

Proof of Theorem pwcdandom
StepHypRef Expression
1 pwxpndom2 9053 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A ) ) )
2 df1o2 7152 . . . . . . 7  |-  1o  =  { (/) }
32xpeq2i 5025 . . . . . 6  |-  ( A  X.  1o )  =  ( A  X.  { (/)
} )
4 reldom 7532 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~<_
54brrelex2i 5046 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  _V )
6 0ex 4582 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
7 xpsneng 7612 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  (/) 
e.  _V )  ->  ( A  X.  { (/) } ) 
~~  A )
85, 6, 7sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  X.  { (/) } )  ~~  A )
93, 8syl5eqbr 4485 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  X.  1o )  ~~  A
)
109ensymd 7576 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  ~~  ( A  X.  1o ) )
11 omex 8070 . . . . . . 7  |-  om  e.  _V
12 ordom 6703 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
13 1onn 7298 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  om
14 ordelss 4899 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  1o  e.  om )  ->  1o  C_ 
om )
1512, 13, 14mp2an 672 . . . . . . 7  |-  1o  C_  om
16 ssdomg 7571 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  _V  ->  ( 1o  C_  om  ->  1o  ~<_  om ) )
1711, 15, 16mp2 9 . . . . . 6  |-  1o  ~<_  om
18 domtr 7578 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  ~<_  om  /\  om  ~<_  A )  ->  1o  ~<_  A )
1917, 18mpan 670 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  1o  ~<_  A )
20 xpdom2g 7623 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  1o 
~<_  A )  ->  ( A  X.  1o )  ~<_  ( A  X.  A ) )
215, 19, 20syl2anc 661 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  X.  1o )  ~<_  ( A  X.  A ) )
22 endomtr 7583 . . . 4  |-  ( ( A  ~~  ( A  X.  1o )  /\  ( A  X.  1o )  ~<_  ( A  X.  A ) )  ->  A  ~<_  ( A  X.  A ) )
2310, 21, 22syl2anc 661 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  ~<_  ( A  X.  A ) )
24 cdadom2 8577 . . 3  |-  ( A  ~<_  ( A  X.  A
)  ->  ( A  +c  A )  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A ) ) )
25 domtr 7578 . . . 4  |-  ( ( ~P A  ~<_  ( A  +c  A )  /\  ( A  +c  A
)  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A
) ) )  ->  ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A
) ) )
2625expcom 435 . . 3  |-  ( ( A  +c  A )  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A ) )  ->  ( ~P A  ~<_  ( A  +c  A
)  ->  ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A ) ) ) )
2723, 24, 263syl 20 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( ~P A  ~<_  ( A  +c  A )  ->  ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A
) ) ) )
281, 27mtod 177 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  ( A  +c  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ~Pcpw 4015   {csn 4032   class class class wbr 4452   Ord word 4882    X. cxp 5002  (class class class)co 6294   omcom 6694   1oc1o 7133    ~~ cen 7523    ~<_ cdom 7524    +c ccda 8557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-seqom 7123  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-omul 7145  df-oexp 7146  df-er 7321  df-map 7432  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-oi 7945  df-har 7994  df-cnf 8089  df-card 8330  df-cda 8558
This theorem is referenced by:  gchcdaidm  9056
  Copyright terms: Public domain W3C validator