MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwcdandom Structured version   Unicode version

Theorem pwcdandom 9043
Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its cardinal sum with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwcdandom  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  ( A  +c  A
) )

Proof of Theorem pwcdandom
StepHypRef Expression
1 pwxpndom2 9041 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A ) ) )
2 df1o2 7140 . . . . . . 7  |-  1o  =  { (/) }
32xpeq2i 5006 . . . . . 6  |-  ( A  X.  1o )  =  ( A  X.  { (/)
} )
4 reldom 7520 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~<_
54brrelex2i 5027 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  _V )
6 0ex 4563 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
7 xpsneng 7600 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  (/) 
e.  _V )  ->  ( A  X.  { (/) } ) 
~~  A )
85, 6, 7sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  X.  { (/) } )  ~~  A )
93, 8syl5eqbr 4466 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  X.  1o )  ~~  A
)
109ensymd 7564 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  ~~  ( A  X.  1o ) )
11 omex 8058 . . . . . . 7  |-  om  e.  _V
12 ordom 6690 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
13 1onn 7286 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  om
14 ordelss 4880 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  1o  e.  om )  ->  1o  C_ 
om )
1512, 13, 14mp2an 672 . . . . . . 7  |-  1o  C_  om
16 ssdomg 7559 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  _V  ->  ( 1o  C_  om  ->  1o  ~<_  om ) )
1711, 15, 16mp2 9 . . . . . 6  |-  1o  ~<_  om
18 domtr 7566 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  ~<_  om  /\  om  ~<_  A )  ->  1o  ~<_  A )
1917, 18mpan 670 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  1o  ~<_  A )
20 xpdom2g 7611 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  1o 
~<_  A )  ->  ( A  X.  1o )  ~<_  ( A  X.  A ) )
215, 19, 20syl2anc 661 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  X.  1o )  ~<_  ( A  X.  A ) )
22 endomtr 7571 . . . 4  |-  ( ( A  ~~  ( A  X.  1o )  /\  ( A  X.  1o )  ~<_  ( A  X.  A ) )  ->  A  ~<_  ( A  X.  A ) )
2310, 21, 22syl2anc 661 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  ~<_  ( A  X.  A ) )
24 cdadom2 8565 . . 3  |-  ( A  ~<_  ( A  X.  A
)  ->  ( A  +c  A )  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A ) ) )
25 domtr 7566 . . . 4  |-  ( ( ~P A  ~<_  ( A  +c  A )  /\  ( A  +c  A
)  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A
) ) )  ->  ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A
) ) )
2625expcom 435 . . 3  |-  ( ( A  +c  A )  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A ) )  ->  ( ~P A  ~<_  ( A  +c  A
)  ->  ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A ) ) ) )
2723, 24, 263syl 20 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( ~P A  ~<_  ( A  +c  A )  ->  ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A
) ) ) )
281, 27mtod 177 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  ( A  +c  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1802   _Vcvv 3093    C_ wss 3458   (/)c0 3767   ~Pcpw 3993   {csn 4010   class class class wbr 4433   Ord word 4863    X. cxp 4983  (class class class)co 6277   omcom 6681   1oc1o 7121    ~~ cen 7511    ~<_ cdom 7512    +c ccda 8545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-seqom 7111  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-omul 7133  df-oexp 7134  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-oi 7933  df-har 7982  df-cnf 8077  df-card 8318  df-cda 8546
This theorem is referenced by:  gchcdaidm  9044
  Copyright terms: Public domain W3C validator