MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwcdaidm Structured version   Unicode version

Theorem pwcdaidm 8607
Description: If the natural numbers inject into  A, then  ~P A is idempotent under cardinal sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwcdaidm  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( ~P A  +c  ~P A ) 
~~  ~P A )

Proof of Theorem pwcdaidm
StepHypRef Expression
1 reldom 7560 . . . 4  |-  Rel  ~<_
21brrelex2i 4865 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  _V )
3 pwcda1 8606 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( ~P A  +c  ~P A
)  ~~  ~P ( A  +c  1o ) )
42, 3syl 17 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( ~P A  +c  ~P A ) 
~~  ~P ( A  +c  1o ) )
5 infcda1 8605 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  +c  1o )  ~~  A
)
6 pwen 7728 . . 3  |-  ( ( A  +c  1o ) 
~~  A  ->  ~P ( A  +c  1o )  ~~  ~P A )
75, 6syl 17 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  ~P ( A  +c  1o )  ~~  ~P A )
8 entr 7605 . 2  |-  ( ( ( ~P A  +c  ~P A )  ~~  ~P ( A  +c  1o )  /\  ~P ( A  +c  1o )  ~~  ~P A )  ->  ( ~P A  +c  ~P A
)  ~~  ~P A
)
94, 7, 8syl2anc 659 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( ~P A  +c  ~P A ) 
~~  ~P A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1842   _Vcvv 3059   ~Pcpw 3955   class class class wbr 4395  (class class class)co 6278   omcom 6683   1oc1o 7160    ~~ cen 7551    ~<_ cdom 7552    +c ccda 8579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-1o 7167  df-2o 7168  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-cda 8580
This theorem is referenced by:  gchaclem  9086
  Copyright terms: Public domain W3C validator