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Theorem pw2f1olem 7171
Description: Lemma for pw2f1o 7172. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pw2f1o.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
pw2f1o.2  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
pw2f1o.3  |-  ( ph  ->  C  e.  W )
pw2f1o.4  |-  ( ph  ->  B  =/=  C )
Assertion
Ref Expression
pw2f1olem  |-  ( ph  ->  ( ( S  e. 
~P A  /\  G  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  S ,  C ,  B ) ) )  <-> 
( G  e.  ( { B ,  C }  ^m  A )  /\  S  =  ( `' G " { C }
) ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, B    z, C    z, S
Allowed substitution hints:    ph( z)    G( z)    V( z)    W( z)

Proof of Theorem pw2f1olem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pw2f1o.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  W )
2 prid2g 3871 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  W  ->  C  e.  { B ,  C } )
31, 2syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  { B ,  C } )
4 pw2f1o.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
5 prid1g 3870 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  W  ->  B  e.  { B ,  C } )
64, 5syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  { B ,  C } )
7 ifcl 3735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  { B ,  C }  /\  B  e.  { B ,  C } )  ->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )  e.  { B ,  C } )
83, 6, 7syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )  e.  { B ,  C }
)
98adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )  e.  { B ,  C } )
10 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )
)  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )
)
119, 10fmptd 5852 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) : A --> { B ,  C } )
1211adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )
) : A --> { B ,  C } )
13 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) )
1413feq1d 5539 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  ( G : A --> { B ,  C }  <->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) : A --> { B ,  C } ) )
1512, 14mpbird 224 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  G : A
--> { B ,  C } )
16 iftrue 3705 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  S  ->  if ( x  e.  S ,  C ,  B )  =  C )
17 pw2f1o.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  =/=  C )
1817ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  B  =/=  C )
19 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  S  ->  if ( x  e.  S ,  C ,  B )  =  B )
2019neeq1d 2580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  S  -> 
( if ( x  e.  S ,  C ,  B )  =/=  C  <->  B  =/=  C ) )
2118, 20syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  x  e.  S  ->  if ( x  e.  S ,  C ,  B )  =/=  C
) )
2221necon4bd 2629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( x  e.  S ,  C ,  B )  =  C  ->  x  e.  S ) )
2316, 22impbid2 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  e.  S  <->  if (
x  e.  S ,  C ,  B )  =  C ) )
24 simplrr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) )
2524fveq1d 5689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  =  ( ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )
) `  x )
)
26 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  A )
27 ifcl 3735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  { B ,  C }  /\  B  e.  { B ,  C } )  ->  if ( x  e.  S ,  C ,  B )  e.  { B ,  C } )
283, 6, 27syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  S ,  C ,  B )  e.  { B ,  C }
)
2928adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  if (
x  e.  S ,  C ,  B )  e.  { B ,  C } )
30 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  S  <->  x  e.  S ) )
3130ifbid 3717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )  =  if ( x  e.  S ,  C ,  B ) )
3231, 10fvmptg 5763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  if ( x  e.  S ,  C ,  B )  e.  { B ,  C } )  ->  (
( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) `  x )  =  if ( x  e.  S ,  C ,  B ) )
3326, 29, 32syl2anr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) `  x )  =  if ( x  e.  S ,  C ,  B ) )
3425, 33eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  =  if ( x  e.  S ,  C ,  B ) )
3534eqeq1d 2412 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  x
)  =  C  <->  if (
x  e.  S ,  C ,  B )  =  C ) )
3623, 35bitr4d 248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  e.  S  <->  ( G `  x )  =  C ) )
3736pm5.32da 623 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  S )  <->  ( x  e.  A  /\  ( G `  x )  =  C ) ) )
38 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  S  C_  A
)
3938sseld 3307 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  ( x  e.  S  ->  x  e.  A ) )
4039pm4.71rd 617 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  S ) ) )
41 ffn 5550 . . . . . . . 8  |-  ( G : A --> { B ,  C }  ->  G  Fn  A )
4215, 41syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  G  Fn  A )
43 fniniseg 5810 . . . . . . 7  |-  ( G  Fn  A  ->  (
x  e.  ( `' G " { C } )  <->  ( x  e.  A  /\  ( G `  x )  =  C ) ) )
4442, 43syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( `' G " { C } )  <->  ( x  e.  A  /\  ( G `  x )  =  C ) ) )
4537, 40, 443bitr4d 277 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  ( x  e.  S  <->  x  e.  ( `' G " { C } ) ) )
4645eqrdv 2402 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  S  =  ( `' G " { C } ) )
4715, 46jca 519 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )
48 simprr 734 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  ->  S  =  ( `' G " { C } ) )
49 cnvimass 5183 . . . . . 6  |-  ( `' G " { C } )  C_  dom  G
50 fdm 5554 . . . . . . 7  |-  ( G : A --> { B ,  C }  ->  dom  G  =  A )
5150ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  ->  dom  G  =  A )
5249, 51syl5sseq 3356 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  ->  ( `' G " { C }
)  C_  A )
5348, 52eqsstrd 3342 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  ->  S  C_  A
)
5441ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  ->  G  Fn  A )
55 dffn5 5731 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  A  <->  G  =  ( y  e.  A  |->  ( G `  y
) ) )
5654, 55sylib 189 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  ->  G  =  ( y  e.  A  |->  ( G `  y
) ) )
57 simplrr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  S  =  ( `' G " { C } ) )
5857eleq2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  S  <->  y  e.  ( `' G " { C } ) ) )
59 fniniseg 5810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  Fn  A  ->  (
y  e.  ( `' G " { C } )  <->  ( y  e.  A  /\  ( G `  y )  =  C ) ) )
6054, 59syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  ->  ( y  e.  ( `' G " { C } )  <->  ( y  e.  A  /\  ( G `  y )  =  C ) ) )
6160baibd 876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  ( `' G " { C } )  <->  ( G `  y )  =  C ) )
6258, 61bitrd 245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  S  <->  ( G `  y )  =  C ) )
6362biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  y )  =  C )
64 iftrue 3705 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  S  ->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )  =  C )
6564adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  /\  y  e.  S )  ->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )  =  C )
6663, 65eqtr4d 2439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  y )  =  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) )
67 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  ->  G : A
--> { B ,  C } )
6867ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( G `  y )  e.  { B ,  C } )
69 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G `
 y )  e. 
_V
7069elpr 3792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  y )  e.  { B ,  C }  <->  ( ( G `
 y )  =  B  \/  ( G `
 y )  =  C ) )
7168, 70sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
( G `  y
)  =  B  \/  ( G `  y )  =  C ) )
7271ord 367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  ( G `  y
)  =  B  -> 
( G `  y
)  =  C ) )
7372, 62sylibrd 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  ( G `  y
)  =  B  -> 
y  e.  S ) )
7473con1d 118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  y  e.  S  ->  ( G `  y
)  =  B ) )
7574imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  /\  -.  y  e.  S )  ->  ( G `  y
)  =  B )
76 iffalse 3706 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  S  ->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )  =  B )
7776adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  /\  -.  y  e.  S )  ->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )  =  B )
7875, 77eqtr4d 2439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  /\  -.  y  e.  S )  ->  ( G `  y
)  =  if ( y  e.  S ,  C ,  B )
)
7966, 78pm2.61dan 767 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( G `  y )  =  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) )
8079mpteq2dva 4255 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  ->  ( y  e.  A  |->  ( G `
 y ) )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) )
8156, 80eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  ->  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) )
8253, 81jca 519 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  ->  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )
8347, 82impbida 806 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) )  <->  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) ) )
84 pw2f1o.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
85 elpw2g 4323 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( S  e.  ~P A  <->  S 
C_  A ) )
8684, 85syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ~P A 
<->  S  C_  A )
)
87 eleq1 2464 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  S  <->  y  e.  S ) )
8887ifbid 3717 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  if ( z  e.  S ,  C ,  B )  =  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) )
8988cbvmptv 4260 . . . . 5  |-  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  S ,  C ,  B )
)  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )
)
9089a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  S ,  C ,  B ) )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) )
9190eqeq2d 2415 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  S ,  C ,  B ) )  <->  G  =  (
y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )
9286, 91anbi12d 692 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  e. 
~P A  /\  G  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  S ,  C ,  B ) ) )  <-> 
( S  C_  A  /\  G  =  (
y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) ) )
93 prex 4366 . . . 4  |-  { B ,  C }  e.  _V
94 elmapg 6990 . . . 4  |-  ( ( { B ,  C }  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( G  e.  ( { B ,  C }  ^m  A )  <->  G : A
--> { B ,  C } ) )
9593, 84, 94sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( { B ,  C }  ^m  A )  <->  G : A
--> { B ,  C } ) )
9695anbi1d 686 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  e.  ( { B ,  C }  ^m  A )  /\  S  =  ( `' G " { C } ) )  <->  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) ) )
9783, 92, 963bitr4d 277 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  e. 
~P A  /\  G  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  S ,  C ,  B ) ) )  <-> 
( G  e.  ( { B ,  C }  ^m  A )  /\  S  =  ( `' G " { C }
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   ifcif 3699   ~Pcpw 3759   {csn 3774   {cpr 3775    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977
This theorem is referenced by:  pw2f1o  7172  sqff1o  20918
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-map 6979
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