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Theorem pw2f1ocnv 30599
Description: Define a bijection between characteristic functions and subsets. EDITORIAL: extracted from pw2en 7624, which can be easily reproved in terms of this. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pw2f1o2.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
Assertion
Ref Expression
pw2f1ocnv  |-  ( A  e.  V  ->  ( F : ( 2o  ^m  A ) -1-1-onto-> ~P A  /\  `' F  =  ( y  e.  ~P A  |->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, V, y
Allowed substitution hints:    F( x, y, z)    V( z)

Proof of Theorem pw2f1ocnv
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pw2f1o2.f . 2  |-  F  =  ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
2 vex 3116 . . . 4  |-  x  e. 
_V
32cnvex 6731 . . 3  |-  `' x  e.  _V
4 imaexg 6721 . . 3  |-  ( `' x  e.  _V  ->  ( `' x " { 1o } )  e.  _V )
53, 4mp1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( `' x " { 1o } )  e. 
_V )
6 mptexg 6129 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  e.  _V )
76adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ~P A
)  ->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  e.  _V )
8 2on 7138 . . . . . 6  |-  2o  e.  On
9 elmapg 7433 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  e.  On  /\  A  e.  V )  ->  ( x  e.  ( 2o  ^m  A )  <-> 
x : A --> 2o ) )
108, 9mpan 670 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( 2o 
^m  A )  <->  x : A
--> 2o ) )
1110anbi1d 704 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  <->  ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) ) ) )
12 1on 7137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  On
1312elexi 3123 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  _V
1413sucid 4957 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  suc  1o
15 df-2o 7131 . . . . . . . . . . 11  |-  2o  =  suc  1o
1614, 15eleqtrri 2554 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  2o
17 0ex 4577 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
1817prid1 4135 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  { (/)
,  { (/) } }
19 df2o2 7144 . . . . . . . . . . 11  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
2018, 19eleqtrri 2554 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  2o
2116, 20keepel 4007 . . . . . . . . 9  |-  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) )  e.  2o
2221rgenw 2825 . . . . . . . 8  |-  A. z  e.  A  if (
z  e.  y ,  1o ,  (/) )  e.  2o
23 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
2423fmpt 6041 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  A  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) )  e.  2o  <->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) : A --> 2o )
2522, 24mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) : A --> 2o
26 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )
2726feq1d 5716 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( x : A --> 2o  <->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) : A --> 2o ) )
2825, 27mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  x : A
--> 2o )
2926fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( x `  w )  =  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
) )
30 elequ1 1770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  y  <->  w  e.  y ) )
3130ifbid 3961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  w  ->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  if (
w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
3213, 17keepel 4007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  e. 
_V
3331, 23, 32fvmpt 5949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  A  ->  (
( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
)  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
3429, 33sylan9eq 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  x  =  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
3534eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  x  =  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( ( x `  w )  =  1o  <->  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o )
)
36 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  y  ->  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o )
37 noel 3789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (/)  e.  (/)
38 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  w  e.  y  ->  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
3938eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  w  e.  y  -> 
( if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o  <->  (/)  =  1o ) )
40 0lt1o 7154 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e.  1o
41 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (/)  =  1o  ->  ( (/)  e.  (/)  <->  (/)  e.  1o ) )
4240, 41mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  =  1o  ->  (/)  e.  (/) )
4339, 42syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  w  e.  y  -> 
( if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o 
->  (/)  e.  (/) ) )
4437, 43mtoi 178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  w  e.  y  ->  -.  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o )
4544con4i 130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o  ->  w  e.  y )
4636, 45impbii 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  y  <->  if (
w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o )
4735, 46syl6rbbr 264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  x  =  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  y  <-> 
( x `  w
)  =  1o ) )
48 fvex 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `
 w )  e. 
_V
4948elsnc 4051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x `  w )  e.  { 1o }  <->  ( x `  w )  =  1o )
5047, 49syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  x  =  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  y  <-> 
( x `  w
)  e.  { 1o } ) )
5150pm5.32da 641 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( (
w  e.  A  /\  w  e.  y )  <->  ( w  e.  A  /\  ( x `  w
)  e.  { 1o } ) ) )
52 ssel 3498 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  A  ->  (
w  e.  y  ->  w  e.  A )
)
5352adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( w  e.  y  ->  w  e.  A ) )
5453pm4.71rd 635 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( w  e.  y  <->  ( w  e.  A  /\  w  e.  y ) ) )
55 ffn 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( x : A --> 2o  ->  x  Fn  A )
56 elpreima 6000 . . . . . . . . 9  |-  ( x  Fn  A  ->  (
w  e.  ( `' x " { 1o } )  <->  ( w  e.  A  /\  (
x `  w )  e.  { 1o } ) ) )
5728, 55, 563syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( w  e.  ( `' x " { 1o } )  <->  ( w  e.  A  /\  (
x `  w )  e.  { 1o } ) ) )
5851, 54, 573bitr4d 285 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( w  e.  y  <->  w  e.  ( `' x " { 1o } ) ) )
5958eqrdv 2464 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  y  =  ( `' x " { 1o } ) )
6028, 59jca 532 . . . . 5  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) ) )
61 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  y  =  ( `' x " { 1o } ) )
62 cnvimass 5356 . . . . . . . 8  |-  ( `' x " { 1o } )  C_  dom  x
63 fdm 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( x : A --> 2o  ->  dom  x  =  A )
6463adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  dom  x  =  A )
6562, 64syl5sseq 3552 . . . . . . 7  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  ( `' x " { 1o } )  C_  A
)
6661, 65eqsstrd 3538 . . . . . 6  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  y  C_  A )
67 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  y  =  ( `' x " { 1o } ) )
6867eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  y  <-> 
w  e.  ( `' x " { 1o } ) ) )
6955adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  x  Fn  A )
70 fnbrfvb 5907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  Fn  A  /\  w  e.  A )  ->  ( ( x `  w )  =  1o  <->  w x 1o ) )
7169, 70sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( ( x `  w )  =  1o  <->  w x 1o ) )
72 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  w  e. 
_V
7372eliniseg 5365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1o  e.  On  ->  (
w  e.  ( `' x " { 1o } )  <->  w x 1o ) )
7412, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( `' x " { 1o } )  <-> 
w x 1o )
7571, 74syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( ( x `  w )  =  1o  <->  w  e.  ( `' x " { 1o } ) ) )
7668, 75bitr4d 256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  y  <-> 
( x `  w
)  =  1o ) )
7776biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  w  e.  y )  ->  (
x `  w )  =  1o )
7836adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  w  e.  y )  ->  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o )
7977, 78eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  w  e.  y )  ->  (
x `  w )  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
80 ffvelrn 6018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  e.  2o )
8180adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  e.  2o )
82 df2o3 7143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
8381, 82syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  e.  { (/) ,  1o } )
8448elpr 4045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x `  w )  e.  { (/) ,  1o } 
<->  ( ( x `  w )  =  (/)  \/  ( x `  w
)  =  1o ) )
8583, 84sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( ( x `  w )  =  (/)  \/  ( x `  w
)  =  1o ) )
8685ord 377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( -.  ( x `
 w )  =  (/)  ->  ( x `  w )  =  1o ) )
8786, 76sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( -.  ( x `
 w )  =  (/)  ->  w  e.  y ) )
8887con1d 124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( -.  w  e.  y  ->  ( x `  w )  =  (/) ) )
8988imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  -.  w  e.  y )  ->  ( x `  w
)  =  (/) )
9038adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  -.  w  e.  y )  ->  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
9189, 90eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  -.  w  e.  y )  ->  ( x `  w
)  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
9279, 91pm2.61dan 789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
9333adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w )  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
9492, 93eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  =  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
) )
9594ralrimiva 2878 . . . . . . 7  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  A. w  e.  A  ( x `  w )  =  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
) )
96 ffn 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) : A --> 2o  ->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  Fn  A )
9725, 96ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  Fn  A
98 eqfnfv 5974 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  Fn  A  /\  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  Fn  A
)  ->  ( x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  <->  A. w  e.  A  ( x `  w )  =  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
) ) )
9969, 97, 98sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  (
x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  <->  A. w  e.  A  ( x `  w
)  =  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
) ) )
10095, 99mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )
10166, 100jca 532 . . . . 5  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  (
y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) )
10260, 101impbii 188 . . . 4  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  <->  ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) ) )
10311, 102syl6bbr 263 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  <->  ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) ) )
104 selpw 4017 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P A  <->  y  C_  A )
105104anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( y  e.  ~P A  /\  x  =  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  <->  ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) )
106103, 105syl6bbr 263 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  <->  ( y  e.  ~P A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) ) )
1071, 5, 7, 106f1ocnvd 6507 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( F : ( 2o  ^m  A ) -1-1-onto-> ~P A  /\  `' F  =  ( y  e.  ~P A  |->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   ~Pcpw 4010   {csn 4027   {cpr 4029   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   Oncon0 4878   suc csuc 4880   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   "cima 5002    Fn wfn 5582   -->wf 5583   -1-1-onto->wf1o 5586   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   1oc1o 7123   2oc2o 7124    ^m cmap 7420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-1o 7130  df-2o 7131  df-map 7422
This theorem is referenced by:  pw2f1o2  30600
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