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Theorem pw2f1ocnv 35963
Description: Define a bijection between characteristic functions and subsets. EDITORIAL: extracted from pw2en 7697, which can be easily reproved in terms of this. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pw2f1o2.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
Assertion
Ref Expression
pw2f1ocnv  |-  ( A  e.  V  ->  ( F : ( 2o  ^m  A ) -1-1-onto-> ~P A  /\  `' F  =  ( y  e.  ~P A  |->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, V, y
Allowed substitution hints:    F( x, y, z)    V( z)

Proof of Theorem pw2f1ocnv
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pw2f1o2.f . 2  |-  F  =  ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
2 vex 3034 . . . 4  |-  x  e. 
_V
32cnvex 6759 . . 3  |-  `' x  e.  _V
4 imaexg 6749 . . 3  |-  ( `' x  e.  _V  ->  ( `' x " { 1o } )  e.  _V )
53, 4mp1i 13 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( `' x " { 1o } )  e. 
_V )
6 mptexg 6151 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  e.  _V )
76adantr 472 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ~P A
)  ->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  e.  _V )
8 2on 7208 . . . . . 6  |-  2o  e.  On
9 elmapg 7503 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  e.  On  /\  A  e.  V )  ->  ( x  e.  ( 2o  ^m  A )  <-> 
x : A --> 2o ) )
108, 9mpan 684 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( 2o 
^m  A )  <->  x : A
--> 2o ) )
1110anbi1d 719 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  <->  ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) ) ) )
12 1on 7207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  On
1312elexi 3041 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  _V
1413sucid 5509 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  suc  1o
15 df-2o 7201 . . . . . . . . . . 11  |-  2o  =  suc  1o
1614, 15eleqtrri 2548 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  2o
17 0ex 4528 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
1817prid1 4071 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  { (/)
,  { (/) } }
19 df2o2 7214 . . . . . . . . . . 11  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
2018, 19eleqtrri 2548 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  2o
2116, 20keepel 3939 . . . . . . . . 9  |-  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) )  e.  2o
2221rgenw 2768 . . . . . . . 8  |-  A. z  e.  A  if (
z  e.  y ,  1o ,  (/) )  e.  2o
23 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
2423fmpt 6058 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  A  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) )  e.  2o  <->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) : A --> 2o )
2522, 24mpbi 213 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) : A --> 2o
26 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )
2726feq1d 5724 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( x : A --> 2o  <->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) : A --> 2o ) )
2825, 27mpbiri 241 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  x : A
--> 2o )
2926fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( x `  w )  =  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
) )
30 elequ1 1911 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  y  <->  w  e.  y ) )
3130ifbid 3894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  w  ->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  if (
w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
3213, 17keepel 3939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  e. 
_V
3331, 23, 32fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  A  ->  (
( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
)  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
3429, 33sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  x  =  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
3534eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  x  =  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( ( x `  w )  =  1o  <->  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o )
)
36 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  y  ->  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o )
37 noel 3726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (/)  e.  (/)
38 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  w  e.  y  ->  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
3938eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  w  e.  y  -> 
( if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o  <->  (/)  =  1o ) )
40 0lt1o 7224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e.  1o
41 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (/)  =  1o  ->  ( (/)  e.  (/)  <->  (/)  e.  1o ) )
4240, 41mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  =  1o  ->  (/)  e.  (/) )
4339, 42syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  w  e.  y  -> 
( if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o 
->  (/)  e.  (/) ) )
4437, 43mtoi 183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  w  e.  y  ->  -.  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o )
4544con4i 135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o  ->  w  e.  y )
4636, 45impbii 192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  y  <->  if (
w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o )
4735, 46syl6rbbr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  x  =  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  y  <-> 
( x `  w
)  =  1o ) )
48 fvex 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `
 w )  e. 
_V
4948elsnc 3984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x `  w )  e.  { 1o }  <->  ( x `  w )  =  1o )
5047, 49syl6bbr 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  x  =  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  y  <-> 
( x `  w
)  e.  { 1o } ) )
5150pm5.32da 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( (
w  e.  A  /\  w  e.  y )  <->  ( w  e.  A  /\  ( x `  w
)  e.  { 1o } ) ) )
52 ssel 3412 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  A  ->  (
w  e.  y  ->  w  e.  A )
)
5352adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( w  e.  y  ->  w  e.  A ) )
5453pm4.71rd 647 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( w  e.  y  <->  ( w  e.  A  /\  w  e.  y ) ) )
55 ffn 5739 . . . . . . . . 9  |-  ( x : A --> 2o  ->  x  Fn  A )
56 elpreima 6017 . . . . . . . . 9  |-  ( x  Fn  A  ->  (
w  e.  ( `' x " { 1o } )  <->  ( w  e.  A  /\  (
x `  w )  e.  { 1o } ) ) )
5728, 55, 563syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( w  e.  ( `' x " { 1o } )  <->  ( w  e.  A  /\  (
x `  w )  e.  { 1o } ) ) )
5851, 54, 573bitr4d 293 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( w  e.  y  <->  w  e.  ( `' x " { 1o } ) ) )
5958eqrdv 2469 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  y  =  ( `' x " { 1o } ) )
6028, 59jca 541 . . . . 5  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) ) )
61 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  y  =  ( `' x " { 1o } ) )
62 cnvimass 5194 . . . . . . . 8  |-  ( `' x " { 1o } )  C_  dom  x
63 fdm 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( x : A --> 2o  ->  dom  x  =  A )
6463adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  dom  x  =  A )
6562, 64syl5sseq 3466 . . . . . . 7  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  ( `' x " { 1o } )  C_  A
)
6661, 65eqsstrd 3452 . . . . . 6  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  y  C_  A )
67 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  y  =  ( `' x " { 1o } ) )
6867eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  y  <-> 
w  e.  ( `' x " { 1o } ) ) )
6955adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  x  Fn  A )
70 fnbrfvb 5919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  Fn  A  /\  w  e.  A )  ->  ( ( x `  w )  =  1o  <->  w x 1o ) )
7169, 70sylan 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( ( x `  w )  =  1o  <->  w x 1o ) )
72 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  w  e. 
_V
7372eliniseg 5203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1o  e.  On  ->  (
w  e.  ( `' x " { 1o } )  <->  w x 1o ) )
7412, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( `' x " { 1o } )  <-> 
w x 1o )
7571, 74syl6bbr 271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( ( x `  w )  =  1o  <->  w  e.  ( `' x " { 1o } ) ) )
7668, 75bitr4d 264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  y  <-> 
( x `  w
)  =  1o ) )
7776biimpa 492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  w  e.  y )  ->  (
x `  w )  =  1o )
7836adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  w  e.  y )  ->  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o )
7977, 78eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  w  e.  y )  ->  (
x `  w )  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
80 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  e.  2o )
8180adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  e.  2o )
82 df2o3 7213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
8381, 82syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  e.  { (/) ,  1o } )
8448elpr 3977 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x `  w )  e.  { (/) ,  1o } 
<->  ( ( x `  w )  =  (/)  \/  ( x `  w
)  =  1o ) )
8583, 84sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( ( x `  w )  =  (/)  \/  ( x `  w
)  =  1o ) )
8685ord 384 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( -.  ( x `
 w )  =  (/)  ->  ( x `  w )  =  1o ) )
8786, 76sylibrd 242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( -.  ( x `
 w )  =  (/)  ->  w  e.  y ) )
8887con1d 129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( -.  w  e.  y  ->  ( x `  w )  =  (/) ) )
8988imp 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  -.  w  e.  y )  ->  ( x `  w
)  =  (/) )
9038adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  -.  w  e.  y )  ->  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
9189, 90eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  -.  w  e.  y )  ->  ( x `  w
)  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
9279, 91pm2.61dan 808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
9333adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w )  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
9492, 93eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  =  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
) )
9594ralrimiva 2809 . . . . . . 7  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  A. w  e.  A  ( x `  w )  =  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
) )
96 ffn 5739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) : A --> 2o  ->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  Fn  A )
9725, 96ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  Fn  A
98 eqfnfv 5991 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  Fn  A  /\  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  Fn  A
)  ->  ( x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  <->  A. w  e.  A  ( x `  w )  =  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
) ) )
9969, 97, 98sylancl 675 . . . . . . 7  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  (
x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  <->  A. w  e.  A  ( x `  w
)  =  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
) ) )
10095, 99mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )
10166, 100jca 541 . . . . 5  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  (
y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) )
10260, 101impbii 192 . . . 4  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  <->  ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) ) )
10311, 102syl6bbr 271 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  <->  ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) ) )
104 selpw 3949 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P A  <->  y  C_  A )
105104anbi1i 709 . . 3  |-  ( ( y  e.  ~P A  /\  x  =  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  <->  ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) )
106103, 105syl6bbr 271 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  <->  ( y  e.  ~P A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) ) )
1071, 5, 7, 106f1ocnvd 6537 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( F : ( 2o  ^m  A ) -1-1-onto-> ~P A  /\  `' F  =  ( y  e.  ~P A  |->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   ~Pcpw 3942   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   "cima 4842   Oncon0 5430   suc csuc 5432    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1oc1o 7193   2oc2o 7194    ^m cmap 7490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1o 7200  df-2o 7201  df-map 7492
This theorem is referenced by:  pw2f1o2  35964
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