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Theorem ptval2 19837
Description: The value of the product topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptval2.1  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
ptval2.2  |-  X  = 
U. J
ptval2.3  |-  G  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
Assertion
Ref Expression
ptval2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ran  G ) ) ) )
Distinct variable groups:    u, k, w, A    k, F, u, w    k, V, u, w    w, X
Allowed substitution hints:    G( w, u, k)    J( w, u, k)    X( u, k)

Proof of Theorem ptval2
Dummy variables  g  n  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 5729 . . 3  |-  ( F : A --> Top  ->  F  Fn  A )
2 ptval2.1 . . . 4  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
3 eqid 2467 . . . . 5  |-  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
43ptval 19806 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
52, 4syl5eq 2520 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  J  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
61, 5sylan2 474 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
7 eqid 2467 . . . . 5  |-  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )  =  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
83, 7ptbasfi 19817 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  ( fi `  ( {
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
) }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) ) )
92ptuni 19830 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  =  U. J
)
10 ptval2.2 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
119, 10syl6eqr 2526 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  =  X )
1211sneqd 4039 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { X_ n  e.  A  U. ( F `
 n ) }  =  { X }
)
13113ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k )
)  ->  X_ n  e.  A  U. ( F `
 n )  =  X )
1413mpteq1d 4528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k )
)  ->  ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  |->  ( w `  k ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) )
1514cnveqd 5176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k )
)  ->  `' (
w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )  |->  ( w `  k
) )  =  `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) )
1615imaeq1d 5334 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k )
)  ->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
) )
1716mpt2eq3dva 6343 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )
18 ptval2.3 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
1917, 18syl6eqr 2526 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )  =  G )
2019rneqd 5228 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
) )  =  ran  G )
2112, 20uneq12d 3659 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( { X_ n  e.  A  U. ( F `  n ) }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
) ) )  =  ( { X }  u.  ran  G ) )
2221fveq2d 5868 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( fi `  ( { X_ n  e.  A  U. ( F `  n
) }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) )  =  ( fi
`  ( { X }  u.  ran  G ) ) )
238, 22eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  ( fi `  ( { X }  u.  ran  G ) ) )
2423fveq2d 5868 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ran  G ) ) ) )
256, 24eqtrd 2508 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ran  G ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815    \ cdif 3473    u. cun 3474   {csn 4027   U.cuni 4245    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   ran crn 5000   "cima 5002    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586    |-> cmpt2 6284   X_cixp 7466   Fincfn 7513   ficfi 7866   topGenctg 14689   Xt_cpt 14690   Topctop 19161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-fin 7517  df-fi 7867  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-top 19166  df-bases 19168
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