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Theorem ptval 19143
Description: The value of the product topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptval.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
ptval  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  B ) )
Distinct variable groups:    x, g,
y, z, A    g, F, x, y, z    g, V, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptval
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-pt 14383 . . 3  |-  Xt_  =  ( f  e.  _V  |->  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) } ) )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  Xt_  =  ( f  e.  _V  |->  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f
( g `  y
)  e.  ( f `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z ) ( g `  y )  =  U. ( f `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) } ) ) )
3 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  f  =  F )
43dmeqd 5042 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  dom  f  =  dom  F )
5 fndm 5510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
65ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  dom  F  =  A )
74, 6eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  dom  f  =  A )
87fneq2d 5502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
g  Fn  dom  f  <->  g  Fn  A ) )
93fveq1d 5693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
109eleq2d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
( g `  y
)  e.  ( f `
 y )  <->  ( g `  y )  e.  ( F `  y ) ) )
117, 10raleqbidv 2931 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  <->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y ) ) )
127difeq1d 3473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( dom  f  \  z
)  =  ( A 
\  z ) )
139unieqd 4101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  U. (
f `  y )  =  U. ( F `  y ) )
1413eqeq2d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
( g `  y
)  =  U. (
f `  y )  <->  ( g `  y )  =  U. ( F `
 y ) ) )
1512, 14raleqbidv 2931 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
)  <->  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )
1615rexbidv 2736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z ) ( g `  y
)  =  U. (
f `  y )  <->  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )
178, 11, 163anbi123d 1289 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e. 
dom  f ( g `
 y )  e.  ( f `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \ 
z ) ( g `
 y )  = 
U. ( f `  y ) )  <->  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )
187ixpeq1d 7275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  X_ y  e.  dom  f ( g `
 y )  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )
1918eqeq2d 2454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `
 y )  <->  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
2017, 19anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
( ( g  Fn 
dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \ 
z ) ( g `
 y )  = 
U. ( f `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e. 
dom  f ( g `
 y ) )  <-> 
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) ) )
2120exbidv 1680 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f
( g `  y
)  e.  ( f `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z ) ( g `  y )  =  U. ( f `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) )  <->  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) ) )
2221abbidv 2557 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) }  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )
23 ptval.1 . . . 4  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
2422, 23syl6eqr 2493 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) }  =  B )
2524fveq2d 5695 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( topGen `
 { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) } )  =  ( topGen `  B ) )
26 fnex 5944 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  V )  ->  F  e.  _V )
2726ancoms 453 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  F  e.  _V )
28 fvex 5701 . . 3  |-  ( topGen `  B )  e.  _V
2928a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( topGen `  B )  e.  _V )
302, 25, 27, 29fvmptd 5779 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    \ cdif 3325   U.cuni 4091    e. cmpt 4350   dom cdm 4840    Fn wfn 5413   ` cfv 5418   X_cixp 7263   Fincfn 7310   topGenctg 14376   Xt_cpt 14377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ixp 7264  df-pt 14383
This theorem is referenced by:  pttop  19155  ptopn  19156  ptuni  19167  ptval2  19174  ptpjcn  19184  ptpjopn  19185  ptclsg  19188  ptcnp  19195  prdstopn  19201  xkoptsub  19227  ptcmplem1  19624  tmdgsum2  19667  prdsxmslem2  20104
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