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Theorem ptval 19834
Description: The value of the product topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptval.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
ptval  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  B ) )
Distinct variable groups:    x, g,
y, z, A    g, F, x, y, z    g, V, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptval
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-pt 14700 . . 3  |-  Xt_  =  ( f  e.  _V  |->  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) } ) )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  Xt_  =  ( f  e.  _V  |->  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f
( g `  y
)  e.  ( f `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z ) ( g `  y )  =  U. ( f `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) } ) ) )
3 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  f  =  F )
43dmeqd 5205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  dom  f  =  dom  F )
5 fndm 5680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
65ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  dom  F  =  A )
74, 6eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  dom  f  =  A )
87fneq2d 5672 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
g  Fn  dom  f  <->  g  Fn  A ) )
93fveq1d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
109eleq2d 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
( g `  y
)  e.  ( f `
 y )  <->  ( g `  y )  e.  ( F `  y ) ) )
117, 10raleqbidv 3072 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  <->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y ) ) )
127difeq1d 3621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( dom  f  \  z
)  =  ( A 
\  z ) )
139unieqd 4255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  U. (
f `  y )  =  U. ( F `  y ) )
1413eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
( g `  y
)  =  U. (
f `  y )  <->  ( g `  y )  =  U. ( F `
 y ) ) )
1512, 14raleqbidv 3072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
)  <->  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )
1615rexbidv 2973 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z ) ( g `  y
)  =  U. (
f `  y )  <->  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )
178, 11, 163anbi123d 1299 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e. 
dom  f ( g `
 y )  e.  ( f `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \ 
z ) ( g `
 y )  = 
U. ( f `  y ) )  <->  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )
187ixpeq1d 7481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  X_ y  e.  dom  f ( g `
 y )  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )
1918eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `
 y )  <->  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
2017, 19anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
( ( g  Fn 
dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \ 
z ) ( g `
 y )  = 
U. ( f `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e. 
dom  f ( g `
 y ) )  <-> 
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) ) )
2120exbidv 1690 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f
( g `  y
)  e.  ( f `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z ) ( g `  y )  =  U. ( f `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) )  <->  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) ) )
2221abbidv 2603 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) }  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )
23 ptval.1 . . . 4  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
2422, 23syl6eqr 2526 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) }  =  B )
2524fveq2d 5870 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( topGen `
 { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) } )  =  ( topGen `  B ) )
26 fnex 6127 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  V )  ->  F  e.  _V )
2726ancoms 453 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  F  e.  _V )
28 fvex 5876 . . 3  |-  ( topGen `  B )  e.  _V
2928a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( topGen `  B )  e.  _V )
302, 25, 27, 29fvmptd 5955 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   U.cuni 4245    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999    Fn wfn 5583   ` cfv 5588   X_cixp 7469   Fincfn 7516   topGenctg 14693   Xt_cpt 14694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ixp 7470  df-pt 14700
This theorem is referenced by:  pttop  19846  ptopn  19847  ptuni  19858  ptval2  19865  ptpjcn  19875  ptpjopn  19876  ptclsg  19879  ptcnp  19886  prdstopn  19892  xkoptsub  19918  ptcmplem1  20315  tmdgsum2  20358  prdsxmslem2  20795
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