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Theorem ptval 19102
Description: The value of the product topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptval.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
ptval  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  B ) )
Distinct variable groups:    x, g,
y, z, A    g, F, x, y, z    g, V, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptval
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-pt 14379 . . 3  |-  Xt_  =  ( f  e.  _V  |->  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) } ) )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  Xt_  =  ( f  e.  _V  |->  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f
( g `  y
)  e.  ( f `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z ) ( g `  y )  =  U. ( f `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) } ) ) )
3 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  f  =  F )
43dmeqd 5038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  dom  f  =  dom  F )
5 fndm 5507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
65ad2antlr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  dom  F  =  A )
74, 6eqtrd 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  dom  f  =  A )
87fneq2d 5499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
g  Fn  dom  f  <->  g  Fn  A ) )
93fveq1d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
109eleq2d 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
( g `  y
)  e.  ( f `
 y )  <->  ( g `  y )  e.  ( F `  y ) ) )
117, 10raleqbidv 2929 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  <->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y ) ) )
127difeq1d 3470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( dom  f  \  z
)  =  ( A 
\  z ) )
139unieqd 4098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  U. (
f `  y )  =  U. ( F `  y ) )
1413eqeq2d 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
( g `  y
)  =  U. (
f `  y )  <->  ( g `  y )  =  U. ( F `
 y ) ) )
1512, 14raleqbidv 2929 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
)  <->  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )
1615rexbidv 2734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z ) ( g `  y
)  =  U. (
f `  y )  <->  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )
178, 11, 163anbi123d 1284 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e. 
dom  f ( g `
 y )  e.  ( f `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \ 
z ) ( g `
 y )  = 
U. ( f `  y ) )  <->  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )
187ixpeq1d 7271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  X_ y  e.  dom  f ( g `
 y )  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )
1918eqeq2d 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `
 y )  <->  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
2017, 19anbi12d 705 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
( ( g  Fn 
dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \ 
z ) ( g `
 y )  = 
U. ( f `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e. 
dom  f ( g `
 y ) )  <-> 
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) ) )
2120exbidv 1685 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f
( g `  y
)  e.  ( f `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z ) ( g `  y )  =  U. ( f `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) )  <->  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) ) )
2221abbidv 2555 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) }  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )
23 ptval.1 . . . 4  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
2422, 23syl6eqr 2491 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) }  =  B )
2524fveq2d 5692 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( topGen `
 { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) } )  =  ( topGen `  B ) )
26 fnex 5941 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  V )  ->  F  e.  _V )
2726ancoms 450 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  F  e.  _V )
28 fvex 5698 . . 3  |-  ( topGen `  B )  e.  _V
2928a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( topGen `  B )  e.  _V )
302, 25, 27, 29fvmptd 5776 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761   {cab 2427   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    \ cdif 3322   U.cuni 4088    e. cmpt 4347   dom cdm 4836    Fn wfn 5410   ` cfv 5415   X_cixp 7259   Fincfn 7306   topGenctg 14372   Xt_cpt 14373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ixp 7260  df-pt 14379
This theorem is referenced by:  pttop  19114  ptopn  19115  ptuni  19126  ptval2  19133  ptpjcn  19143  ptpjopn  19144  ptclsg  19147  ptcnp  19154  prdstopn  19160  xkoptsub  19186  ptcmplem1  19583  tmdgsum2  19626  prdsxmslem2  20063
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