MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptunimpt Structured version   Unicode version

Theorem ptunimpt 19190
Description: Base set of a product topology given by substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptunimpt.j  |-  J  =  ( Xt_ `  (
x  e.  A  |->  K ) )
Assertion
Ref Expression
ptunimpt  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  Top )  ->  X_ x  e.  A  U. K  = 
U. J )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    J( x)    K( x)    V( x)

Proof of Theorem ptunimpt
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  K )  =  ( x  e.  A  |->  K )
21fvmpt2 5802 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( x  e.  A  |->  K ) `  x )  =  K )
32eqcomd 2448 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  K  e.  Top )  ->  K  =  ( ( x  e.  A  |->  K ) `  x ) )
43unieqd 4122 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  K  e.  Top )  ->  U. K  =  U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `  x ) )
54ralimiaa 2811 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  K  e.  Top  ->  A. x  e.  A  U. K  = 
U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `
 x ) )
65adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  Top )  ->  A. x  e.  A  U. K  = 
U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `
 x ) )
7 ixpeq2 7298 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  U. K  =  U. (
( x  e.  A  |->  K ) `  x
)  ->  X_ x  e.  A  U. K  = 
X_ x  e.  A  U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `  x ) )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  Top )  ->  X_ x  e.  A  U. K  = 
X_ x  e.  A  U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `  x ) )
9 nffvmpt1 5720 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  K ) `  y )
109nfuni 4118 . . . 4  |-  F/_ x U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `  y )
11 nfcv 2589 . . . 4  |-  F/_ y U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `  x )
12 fveq2 5712 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  A  |->  K ) `  y
)  =  ( ( x  e.  A  |->  K ) `  x ) )
1312unieqd 4122 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  U. (
( x  e.  A  |->  K ) `  y
)  =  U. (
( x  e.  A  |->  K ) `  x
) )
1410, 11, 13cbvixp 7301 . . 3  |-  X_ y  e.  A  U. (
( x  e.  A  |->  K ) `  y
)  =  X_ x  e.  A  U. (
( x  e.  A  |->  K ) `  x
)
158, 14syl6eqr 2493 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  Top )  ->  X_ x  e.  A  U. K  = 
X_ y  e.  A  U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `  y ) )
161fmpt 5885 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  K  e.  Top  <->  ( x  e.  A  |->  K ) : A --> Top )
17 ptunimpt.j . . . 4  |-  J  =  ( Xt_ `  (
x  e.  A  |->  K ) )
1817ptuni 19189 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  A  |->  K ) : A --> Top )  ->  X_ y  e.  A  U. (
( x  e.  A  |->  K ) `  y
)  =  U. J
)
1916, 18sylan2b 475 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  Top )  ->  X_ y  e.  A  U. (
( x  e.  A  |->  K ) `  y
)  =  U. J
)
2015, 19eqtrd 2475 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  Top )  ->  X_ x  e.  A  U. K  = 
U. J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   U.cuni 4112    e. cmpt 4371   -->wf 5435   ` cfv 5439   X_cixp 7284   Xt_cpt 14398   Topctop 18520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-ixp 7285  df-en 7332  df-fin 7335  df-fi 7682  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-top 18525  df-bases 18527
This theorem is referenced by:  pttopon  19191  kelac1  29442
  Copyright terms: Public domain W3C validator