MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptunimpt Structured version   Unicode version

Theorem ptunimpt 19964
Description: Base set of a product topology given by substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptunimpt.j  |-  J  =  ( Xt_ `  (
x  e.  A  |->  K ) )
Assertion
Ref Expression
ptunimpt  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  Top )  ->  X_ x  e.  A  U. K  = 
U. J )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    J( x)    K( x)    V( x)

Proof of Theorem ptunimpt
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  K )  =  ( x  e.  A  |->  K )
21fvmpt2 5964 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( x  e.  A  |->  K ) `  x )  =  K )
32eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  K  e.  Top )  ->  K  =  ( ( x  e.  A  |->  K ) `  x ) )
43unieqd 4261 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  K  e.  Top )  ->  U. K  =  U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `  x ) )
54ralimiaa 2859 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  K  e.  Top  ->  A. x  e.  A  U. K  = 
U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `
 x ) )
65adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  Top )  ->  A. x  e.  A  U. K  = 
U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `
 x ) )
7 ixpeq2 7495 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  U. K  =  U. (
( x  e.  A  |->  K ) `  x
)  ->  X_ x  e.  A  U. K  = 
X_ x  e.  A  U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `  x ) )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  Top )  ->  X_ x  e.  A  U. K  = 
X_ x  e.  A  U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `  x ) )
9 nffvmpt1 5880 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  K ) `  y )
109nfuni 4257 . . . 4  |-  F/_ x U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `  y )
11 nfcv 2629 . . . 4  |-  F/_ y U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `  x )
12 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  A  |->  K ) `  y
)  =  ( ( x  e.  A  |->  K ) `  x ) )
1312unieqd 4261 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  U. (
( x  e.  A  |->  K ) `  y
)  =  U. (
( x  e.  A  |->  K ) `  x
) )
1410, 11, 13cbvixp 7498 . . 3  |-  X_ y  e.  A  U. (
( x  e.  A  |->  K ) `  y
)  =  X_ x  e.  A  U. (
( x  e.  A  |->  K ) `  x
)
158, 14syl6eqr 2526 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  Top )  ->  X_ x  e.  A  U. K  = 
X_ y  e.  A  U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `  y ) )
161fmpt 6053 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  K  e.  Top  <->  ( x  e.  A  |->  K ) : A --> Top )
17 ptunimpt.j . . . 4  |-  J  =  ( Xt_ `  (
x  e.  A  |->  K ) )
1817ptuni 19963 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  A  |->  K ) : A --> Top )  ->  X_ y  e.  A  U. (
( x  e.  A  |->  K ) `  y
)  =  U. J
)
1916, 18sylan2b 475 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  Top )  ->  X_ y  e.  A  U. (
( x  e.  A  |->  K ) `  y
)  =  U. J
)
2015, 19eqtrd 2508 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  Top )  ->  X_ x  e.  A  U. K  = 
U. J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   U.cuni 4251    |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594   X_cixp 7481   Xt_cpt 14711   Topctop 19263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-ixp 7482  df-en 7529  df-fin 7532  df-fi 7883  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-top 19268  df-bases 19270
This theorem is referenced by:  pttopon  19965  kelac1  30937
  Copyright terms: Public domain W3C validator