Theorem ptuni2 19154

Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptbas.1	|- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }

Assertion

Ref	Expression
ptuni2	|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. B )

Distinct variable groups:   B, k   x, g, y, k, z, A   g, F, k, x, y, z   g, V, k, x, y, z

Allowed substitution hints:   B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptuni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptbas.1	. . . 4 |- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
2	1	ptbasid 19153	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) e. B )
3		elssuni 4126	. . 3 |- ( X_ k e. A U. ( F ` k ) e. B -> X_ k e. A U. ( F ` k ) C_ U. B )
4	2, 3	syl 16	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) C_ U. B )
5		simpr2 995	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) )
6		elssuni 4126	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g ` y ) e. ( F ` y ) -> ( g ` y ) C_ U. ( F ` y ) )
7	6	ralimi 2796	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) -> A. y e. A ( g ` y ) C_ U. ( F ` y ) )
8		ss2ixp 7281	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A ( g ` y ) C_ U. ( F ` y ) -> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ y e. A U. ( F ` y ) )
9	5, 7, 8	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ y e. A U. ( F ` y ) )
10		fveq2 5696	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = k -> ( F ` y ) = ( F ` k ) )
11	10	unieqd 4106	. . . . . . . . . 10 |- ( y = k -> U. ( F ` y ) = U. ( F ` k ) )
12	11	cbvixpv 7286	. . . . . . . . 9 |- X_ y e. A U. ( F ` y ) = X_ k e. A U. ( F ` k )
13	9, 12	syl6sseq 3407	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
14		selpw 3872	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> x C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
15		sseq1 3382	. . . . . . . . 9 |- ( x = X_ y e. A ( g ` y ) -> ( x C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
16	14, 15	syl5bb 257	. . . . . . . 8 |- ( x = X_ y e. A ( g ` y ) -> ( x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
17	13, 16	syl5ibrcom 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> ( x = X_ y e. A ( g ` y ) -> x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
18	17	expimpd 603	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) -> x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
19	18	exlimdv 1690	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) -> x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
20	19	abssdv 3431	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } C_ ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) )
21	1, 20	syl5eqss 3405	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> B C_ ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) )
22		sspwuni 4261	. . 3 |- ( B C_ ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> U. B C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
23	21, 22	sylib 196	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> U. B C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
24	4, 23	eqssd 3378	1 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2720   E.wrex 2721   \ cdif 3330   C_ wss 3333   ~Pcpw 3865   U.cuni 4096   Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423   X_cixp 7268   Fincfn 7315   Topctop 18503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-om 6482  df-ixp 7269  df-en 7316  df-fin 7319  df-top 18508

This theorem is referenced by:  ptbasin2  19156  ptbasfi  19159  ptuni  19172