Theorem ptuni2 20591

Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptbas.1	|- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }

Assertion

Ref	Expression
ptuni2	|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. B )

Distinct variable groups:   B, k   x, g, y, k, z, A   g, F, k, x, y, z   g, V, k, x, y, z

Allowed substitution hints:   B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptuni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptbas.1	. . . 4 |- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
2	1	ptbasid 20590	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) e. B )
3		elssuni 4227	. . 3 |- ( X_ k e. A U. ( F ` k ) e. B -> X_ k e. A U. ( F ` k ) C_ U. B )
4	2, 3	syl 17	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) C_ U. B )
5		simpr2 1015	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) )
6		elssuni 4227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g ` y ) e. ( F ` y ) -> ( g ` y ) C_ U. ( F ` y ) )
7	6	ralimi 2781	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) -> A. y e. A ( g ` y ) C_ U. ( F ` y ) )
8		ss2ixp 7535	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A ( g ` y ) C_ U. ( F ` y ) -> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ y e. A U. ( F ` y ) )
9	5, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ y e. A U. ( F ` y ) )
10		fveq2 5865	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = k -> ( F ` y ) = ( F ` k ) )
11	10	unieqd 4208	. . . . . . . . . 10 |- ( y = k -> U. ( F ` y ) = U. ( F ` k ) )
12	11	cbvixpv 7540	. . . . . . . . 9 |- X_ y e. A U. ( F ` y ) = X_ k e. A U. ( F ` k )
13	9, 12	syl6sseq 3478	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
14		selpw 3958	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> x C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
15		sseq1 3453	. . . . . . . . 9 |- ( x = X_ y e. A ( g ` y ) -> ( x C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
16	14, 15	syl5bb 261	. . . . . . . 8 |- ( x = X_ y e. A ( g ` y ) -> ( x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
17	13, 16	syl5ibrcom 226	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> ( x = X_ y e. A ( g ` y ) -> x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
18	17	expimpd 608	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) -> x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
19	18	exlimdv 1779	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) -> x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
20	19	abssdv 3503	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } C_ ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) )
21	1, 20	syl5eqss 3476	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> B C_ ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) )
22		sspwuni 4367	. . 3 |- ( B C_ ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> U. B C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
23	21, 22	sylib 200	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> U. B C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
24	4, 23	eqssd 3449	1 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   {cab 2437   A.wral 2737   E.wrex 2738   \ cdif 3401   C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582   X_cixp 7522   Fincfn 7569   Topctop 19917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-ixp 7523  df-en 7570  df-fin 7573  df-top 19921

This theorem is referenced by:  ptbasin2  20593  ptbasfi  20596  ptuni  20609