Theorem ptuni2 19812

Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptbas.1	|- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }

Assertion

Ref	Expression
ptuni2	|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. B )

Distinct variable groups:   B, k   x, g, y, k, z, A   g, F, k, x, y, z   g, V, k, x, y, z

Allowed substitution hints:   B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptuni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptbas.1	. . . 4 |- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
2	1	ptbasid 19811	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) e. B )
3		elssuni 4275	. . 3 |- ( X_ k e. A U. ( F ` k ) e. B -> X_ k e. A U. ( F ` k ) C_ U. B )
4	2, 3	syl 16	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) C_ U. B )
5		simpr2 1003	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) )
6		elssuni 4275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g ` y ) e. ( F ` y ) -> ( g ` y ) C_ U. ( F ` y ) )
7	6	ralimi 2857	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) -> A. y e. A ( g ` y ) C_ U. ( F ` y ) )
8		ss2ixp 7479	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A ( g ` y ) C_ U. ( F ` y ) -> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ y e. A U. ( F ` y ) )
9	5, 7, 8	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ y e. A U. ( F ` y ) )
10		fveq2 5864	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = k -> ( F ` y ) = ( F ` k ) )
11	10	unieqd 4255	. . . . . . . . . 10 |- ( y = k -> U. ( F ` y ) = U. ( F ` k ) )
12	11	cbvixpv 7484	. . . . . . . . 9 |- X_ y e. A U. ( F ` y ) = X_ k e. A U. ( F ` k )
13	9, 12	syl6sseq 3550	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
14		selpw 4017	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> x C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
15		sseq1 3525	. . . . . . . . 9 |- ( x = X_ y e. A ( g ` y ) -> ( x C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
16	14, 15	syl5bb 257	. . . . . . . 8 |- ( x = X_ y e. A ( g ` y ) -> ( x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
17	13, 16	syl5ibrcom 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> ( x = X_ y e. A ( g ` y ) -> x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
18	17	expimpd 603	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) -> x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
19	18	exlimdv 1700	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) -> x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
20	19	abssdv 3574	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } C_ ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) )
21	1, 20	syl5eqss 3548	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> B C_ ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) )
22		sspwuni 4411	. . 3 |- ( B C_ ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> U. B C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
23	21, 22	sylib 196	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> U. B C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
24	4, 23	eqssd 3521	1 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   \ cdif 3473   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586   X_cixp 7466   Fincfn 7513   Topctop 19161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-ixp 7467  df-en 7514  df-fin 7517  df-top 19166

This theorem is referenced by:  ptbasin2  19814  ptbasfi  19817  ptuni  19830