Theorem ptuni2 20668

Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptbas.1	|- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }

Assertion

Ref	Expression
ptuni2	|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. B )

Distinct variable groups:   B, k   x, g, y, k, z, A   g, F, k, x, y, z   g, V, k, x, y, z

Allowed substitution hints:   B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptuni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptbas.1	. . . 4 |- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
2	1	ptbasid 20667	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) e. B )
3		elssuni 4219	. . 3 |- ( X_ k e. A U. ( F ` k ) e. B -> X_ k e. A U. ( F ` k ) C_ U. B )
4	2, 3	syl 17	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) C_ U. B )
5		simpr2 1037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) )
6		elssuni 4219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g ` y ) e. ( F ` y ) -> ( g ` y ) C_ U. ( F ` y ) )
7	6	ralimi 2796	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) -> A. y e. A ( g ` y ) C_ U. ( F ` y ) )
8		ss2ixp 7553	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A ( g ` y ) C_ U. ( F ` y ) -> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ y e. A U. ( F ` y ) )
9	5, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ y e. A U. ( F ` y ) )
10		fveq2 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = k -> ( F ` y ) = ( F ` k ) )
11	10	unieqd 4200	. . . . . . . . . 10 |- ( y = k -> U. ( F ` y ) = U. ( F ` k ) )
12	11	cbvixpv 7558	. . . . . . . . 9 |- X_ y e. A U. ( F ` y ) = X_ k e. A U. ( F ` k )
13	9, 12	syl6sseq 3464	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
14		selpw 3949	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> x C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
15		sseq1 3439	. . . . . . . . 9 |- ( x = X_ y e. A ( g ` y ) -> ( x C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
16	14, 15	syl5bb 265	. . . . . . . 8 |- ( x = X_ y e. A ( g ` y ) -> ( x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
17	13, 16	syl5ibrcom 230	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> ( x = X_ y e. A ( g ` y ) -> x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
18	17	expimpd 614	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) -> x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
19	18	exlimdv 1787	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) -> x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
20	19	abssdv 3489	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } C_ ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) )
21	1, 20	syl5eqss 3462	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> B C_ ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) )
22		sspwuni 4360	. . 3 |- ( B C_ ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> U. B C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
23	21, 22	sylib 201	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> U. B C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
24	4, 23	eqssd 3435	1 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   E.wrex 2757   \ cdif 3387   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589   X_cixp 7540   Fincfn 7587   Topctop 19994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-ixp 7541  df-en 7588  df-fin 7591  df-top 19998

This theorem is referenced by:  ptbasin2  20670  ptbasfi  20673  ptuni  20686