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Theorem ptuni2 19154
Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
ptuni2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. B
)
Distinct variable groups:    B, k    x, g, y, k, z, A    g, F, k, x, y, z    g, V, k, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptuni2
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . . 4  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
21ptbasid 19153 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  e.  B )
3 elssuni 4126 . . 3  |-  ( X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  e.  B  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  C_ 
U. B )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  C_  U. B )
5 simpr2 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )  ->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y ) )
6 elssuni 4126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g `  y )  e.  ( F `  y )  ->  (
g `  y )  C_ 
U. ( F `  y ) )
76ralimi 2796 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  ->  A. y  e.  A  ( g `  y )  C_  U. ( F `  y )
)
8 ss2ixp 7281 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  C_ 
U. ( F `  y )  ->  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  X_ y  e.  A  U. ( F `  y )
)
95, 7, 83syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )  ->  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  X_ y  e.  A  U. ( F `
 y ) )
10 fveq2 5696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  k  ->  ( F `  y )  =  ( F `  k ) )
1110unieqd 4106 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  k  ->  U. ( F `  y )  =  U. ( F `  k ) )
1211cbvixpv 7286 . . . . . . . . 9  |-  X_ y  e.  A  U. ( F `  y )  =  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)
139, 12syl6sseq 3407 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )  ->  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )
14 selpw 3872 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  <->  x 
C_  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) )
15 sseq1 3382 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( x  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) ) )
1614, 15syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( x  e.  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) ) )
1713, 16syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )  ->  ( x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  x  e.  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) ) )
1817expimpd 603 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  ->  x  e.  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) ) )
1918exlimdv 1690 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  ->  x  e.  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
) )
2019abssdv 3431 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  C_  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) )
211, 20syl5eqss 3405 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  B  C_  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
22 sspwuni 4261 . . 3  |-  ( B 
C_  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  U. B  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
2321, 22sylib 196 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  U. B  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
244, 23eqssd 3378 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2720   E.wrex 2721    \ cdif 3330    C_ wss 3333   ~Pcpw 3865   U.cuni 4096    Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423   X_cixp 7268   Fincfn 7315   Topctop 18503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-om 6482  df-ixp 7269  df-en 7316  df-fin 7319  df-top 18508
This theorem is referenced by:  ptbasin2  19156  ptbasfi  19159  ptuni  19172
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