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Theorem ptuni2 17561
Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
ptuni2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. B
)
Distinct variable groups:    B, k    x, g, y, k, z, A    g, F, k, x, y, z    g, V, k, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptuni2
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . . 4  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
21ptbasid 17560 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  e.  B )
3 elssuni 4003 . . 3  |-  ( X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  e.  B  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  C_ 
U. B )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  C_  U. B )
5 simpr2 964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )  ->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y ) )
6 elssuni 4003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g `  y )  e.  ( F `  y )  ->  (
g `  y )  C_ 
U. ( F `  y ) )
76ralimi 2741 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  ->  A. y  e.  A  ( g `  y )  C_  U. ( F `  y )
)
8 ss2ixp 7034 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  C_ 
U. ( F `  y )  ->  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  X_ y  e.  A  U. ( F `  y )
)
95, 7, 83syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )  ->  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  X_ y  e.  A  U. ( F `
 y ) )
10 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  k  ->  ( F `  y )  =  ( F `  k ) )
1110unieqd 3986 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  k  ->  U. ( F `  y )  =  U. ( F `  k ) )
1211cbvixpv 7039 . . . . . . . . 9  |-  X_ y  e.  A  U. ( F `  y )  =  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)
139, 12syl6sseq 3354 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )  ->  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )
14 vex 2919 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
1514elpw 3765 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  <->  x 
C_  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) )
16 sseq1 3329 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( x  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) ) )
1715, 16syl5bb 249 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( x  e.  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) ) )
1813, 17syl5ibrcom 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )  ->  ( x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  x  e.  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) ) )
1918expimpd 587 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  ->  x  e.  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) ) )
2019exlimdv 1643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  ->  x  e.  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
) )
2120abssdv 3377 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  C_  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) )
221, 21syl5eqss 3352 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  B  C_  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
23 sspwuni 4136 . . 3  |-  ( B 
C_  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  U. B  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
2422, 23sylib 189 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  U. B  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
254, 24eqssd 3325 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   E.wrex 2667    \ cdif 3277    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413   X_cixp 7022   Fincfn 7068   Topctop 16913
This theorem is referenced by:  ptbasin2  17563  ptbasfi  17566  ptuni  17579
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ixp 7023  df-en 7069  df-fin 7072  df-top 16918
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