Theorem ptuni2 20261

Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptbas.1	|- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }

Assertion

Ref	Expression
ptuni2	|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. B )

Distinct variable groups:   B, k   x, g, y, k, z, A   g, F, k, x, y, z   g, V, k, x, y, z

Allowed substitution hints:   B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptuni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptbas.1	. . . 4 |- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
2	1	ptbasid 20260	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) e. B )
3		elssuni 4219	. . 3 |- ( X_ k e. A U. ( F ` k ) e. B -> X_ k e. A U. ( F ` k ) C_ U. B )
4	2, 3	syl 17	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) C_ U. B )
5		simpr2 1004	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) )
6		elssuni 4219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g ` y ) e. ( F ` y ) -> ( g ` y ) C_ U. ( F ` y ) )
7	6	ralimi 2796	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) -> A. y e. A ( g ` y ) C_ U. ( F ` y ) )
8		ss2ixp 7440	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A ( g ` y ) C_ U. ( F ` y ) -> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ y e. A U. ( F ` y ) )
9	5, 7, 8	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ y e. A U. ( F ` y ) )
10		fveq2 5805	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = k -> ( F ` y ) = ( F ` k ) )
11	10	unieqd 4200	. . . . . . . . . 10 |- ( y = k -> U. ( F ` y ) = U. ( F ` k ) )
12	11	cbvixpv 7445	. . . . . . . . 9 |- X_ y e. A U. ( F ` y ) = X_ k e. A U. ( F ` k )
13	9, 12	syl6sseq 3487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
14		selpw 3961	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> x C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
15		sseq1 3462	. . . . . . . . 9 |- ( x = X_ y e. A ( g ` y ) -> ( x C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
16	14, 15	syl5bb 257	. . . . . . . 8 |- ( x = X_ y e. A ( g ` y ) -> ( x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> X_ y e. A ( g ` y ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
17	13, 16	syl5ibrcom 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> ( x = X_ y e. A ( g ` y ) -> x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
18	17	expimpd 601	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) -> x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
19	18	exlimdv 1745	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) -> x e. ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) ) )
20	19	abssdv 3512	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } C_ ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) )
21	1, 20	syl5eqss 3485	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> B C_ ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) )
22		sspwuni 4359	. . 3 |- ( B C_ ~P X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> U. B C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
23	21, 22	sylib 196	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> U. B C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
24	4, 23	eqssd 3458	1 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   E.wex 1633   e. wcel 1842   {cab 2387   A.wral 2753   E.wrex 2754   \ cdif 3410   C_ wss 3413   ~Pcpw 3954   U.cuni 4190   Fn wfn 5520   -->wf 5521   ` cfv 5525   X_cixp 7427   Fincfn 7474   Topctop 19578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-om 6639  df-ixp 7428  df-en 7475  df-fin 7478  df-top 19583

This theorem is referenced by:  ptbasin2  20263  ptbasfi  20266  ptuni  20279