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Theorem ptuni 19830
Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptuni.1  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
Assertion
Ref Expression
ptuni  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ x  e.  A  U. ( F `  x
)  =  U. J
)
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, V
Allowed substitution hint:    J( x)

Proof of Theorem ptuni
Dummy variables  g 
k  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4  |-  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  =  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
21ptbas 19815 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  e.  TopBases )
3 unitg 19235 . . 3  |-  ( { k  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  e.  TopBases  ->  U. ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )  =  U. { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  U. ( topGen `  {
k  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } )  = 
U. { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )
5 ptuni.1 . . . 4  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
6 ffn 5729 . . . . 5  |-  ( F : A --> Top  ->  F  Fn  A )
71ptval 19806 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
86, 7sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
95, 8syl5eq 2520 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  =  ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
109unieqd 4255 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  U. J  =  U. ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
111ptuni2 19812 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ x  e.  A  U. ( F `  x
)  =  U. {
k  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } )
124, 10, 113eqtr4rd 2519 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ x  e.  A  U. ( F `  x
)  =  U. J
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815    \ cdif 3473   U.cuni 4245    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586   X_cixp 7466   Fincfn 7513   topGenctg 14689   Xt_cpt 14690   Topctop 19161   TopBasesctb 19165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-ixp 7467  df-en 7514  df-fin 7517  df-fi 7867  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-top 19166  df-bases 19168
This theorem is referenced by:  ptunimpt  19831  ptval2  19837  ptpjcn  19847  ptcld  19849  ptcn  19863  pthaus  19874  ptrescn  19875  ptuncnv  20043  ptunhmeo  20044  ptcmpfi  20049  ptcmplem1  20287  ptcmpg  20292  ptpcon  28318  ptrest  29625
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