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Theorem ptuni 20389
Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptuni.1  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
Assertion
Ref Expression
ptuni  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ x  e.  A  U. ( F `  x
)  =  U. J
)
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, V
Allowed substitution hint:    J( x)

Proof of Theorem ptuni
Dummy variables  g 
k  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . 4  |-  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  =  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
21ptbas 20374 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  e.  TopBases )
3 unitg 19762 . . 3  |-  ( { k  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  e.  TopBases  ->  U. ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )  =  U. { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } )
42, 3syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  U. ( topGen `  {
k  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } )  = 
U. { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )
5 ptuni.1 . . . 4  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
6 ffn 5716 . . . . 5  |-  ( F : A --> Top  ->  F  Fn  A )
71ptval 20365 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
86, 7sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
95, 8syl5eq 2457 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  =  ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
109unieqd 4203 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  U. J  =  U. ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
111ptuni2 20371 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ x  e.  A  U. ( F `  x
)  =  U. {
k  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } )
124, 10, 113eqtr4rd 2456 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ x  e.  A  U. ( F `  x
)  =  U. J
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407   E.wex 1635    e. wcel 1844   {cab 2389   A.wral 2756   E.wrex 2757    \ cdif 3413   U.cuni 4193    Fn wfn 5566   -->wf 5567   ` cfv 5571   X_cixp 7509   Fincfn 7556   topGenctg 15054   Xt_cpt 15055   Topctop 19688   TopBasesctb 19692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-ixp 7510  df-en 7557  df-fin 7560  df-fi 7907  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-top 19693  df-bases 19695
This theorem is referenced by:  ptunimpt  20390  ptval2  20396  ptpjcn  20406  ptcld  20408  ptcn  20422  pthaus  20433  ptrescn  20434  ptuncnv  20602  ptunhmeo  20603  ptcmpfi  20608  ptcmplem1  20846  ptcmpg  20851  ptpcon  29543  ptrest  31433
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