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Theorem ptunhmeo 20599
Description: Define a homeomorphism from a binary product of indexed product topologies to an indexed product topology on the union of the index sets. This is the topological analogue of  ( A ^ B )  x.  ( A ^ C )  =  A ^ ( B  +  C ). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptunhmeo.x  |-  X  = 
U. K
ptunhmeo.y  |-  Y  = 
U. L
ptunhmeo.j  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
ptunhmeo.k  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )
ptunhmeo.l  |-  L  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
ptunhmeo.g  |-  G  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x  u.  y
) )
ptunhmeo.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
ptunhmeo.f  |-  ( ph  ->  F : C --> Top )
ptunhmeo.u  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  u.  B ) )
ptunhmeo.i  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
ptunhmeo  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( K  tX  L )
Homeo J ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    ph, x, y    x, C, y    x, F, y    x, J, y   
x, K, y    x, L, y    x, X, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    G( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem ptunhmeo
Dummy variables  f 
k  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptunhmeo.g . . . . 5  |-  G  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x  u.  y
) )
2 vex 3061 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
3 vex 3061 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
42, 3op1std 6793 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  z
)  =  x )
52, 3op2ndd 6794 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  y )
64, 5uneq12d 3597 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z ) )  =  ( x  u.  y ) )
76mpt2mpt 6374 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z
) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x  u.  y
) )
81, 7eqtr4i 2434 . . . 4  |-  G  =  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) )
9 xp1st 6813 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( 1st `  z )  e.  X )
109adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  z )  e.  X )
11 ixpeq2 7520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  n
)  =  U. ( F `  n )  -> 
X_ n  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  n
)  =  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )
)
12 fvres 5862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 n )  =  ( F `  n
) )
1312unieqd 4200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  A  ->  U. (
( F  |`  A ) `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )
1411, 13mprg 2766 . . . . . . . . . . . 12  |-  X_ n  e.  A  U. (
( F  |`  A ) `
 n )  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
15 ptunhmeo.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
16 ssun1 3605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
17 ptunhmeo.u . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  u.  B ) )
1816, 17syl5sseqr 3490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
1915, 18ssexd 4540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
20 ptunhmeo.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : C --> Top )
2120, 18fssresd 5734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A --> Top )
22 ptunhmeo.k . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )
2322ptuni 20385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( F  |`  A ) : A --> Top )  -> 
X_ n  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  n
)  =  U. K
)
2419, 21, 23syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  n
)  =  U. K
)
2514, 24syl5eqr 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  =  U. K
)
26 ptunhmeo.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  = 
U. K
2725, 26syl6eqr 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  =  X )
2827adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )  =  X )
2910, 28eleqtrrd 2493 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  z )  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
) )
30 xp2nd 6814 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( 2nd `  z )  e.  Y )
3130adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  z )  e.  Y )
3217eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  =  C )
33 ptunhmeo.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
34 uneqdifeq 3859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  C  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  (
( A  u.  B
)  =  C  <->  ( C  \  A )  =  B ) )
3518, 33, 34syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  u.  B )  =  C  <-> 
( C  \  A
)  =  B ) )
3632, 35mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  \  A
)  =  B )
3736ixpeq1d 7518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  ( C  \  A ) U. ( F `  n )  =  X_ n  e.  B  U. ( F `  n ) )
38 ixpeq2 7520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. n  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  n
)  =  U. ( F `  n )  -> 
X_ n  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  n
)  =  X_ n  e.  B  U. ( F `  n )
)
39 fvres 5862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 n )  =  ( F `  n
) )
4039unieqd 4200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  B  ->  U. (
( F  |`  B ) `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )
4138, 40mprg 2766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X_ n  e.  B  U. (
( F  |`  B ) `
 n )  = 
X_ n  e.  B  U. ( F `  n
)
42 ssun2 3606 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
4342, 17syl5sseqr 3490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  C_  C )
4415, 43ssexd 4540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
4520, 43fssresd 5734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> Top )
46 ptunhmeo.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  L  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
4746ptuni 20385 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  -> 
X_ n  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  n
)  =  U. L
)
4844, 45, 47syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  n
)  =  U. L
)
4941, 48syl5eqr 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  B  U. ( F `  n
)  =  U. L
)
50 ptunhmeo.y . . . . . . . . . . . 12  |-  Y  = 
U. L
5149, 50syl6eqr 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  B  U. ( F `  n
)  =  Y )
5237, 51eqtrd 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  ( C  \  A ) U. ( F `  n )  =  Y )
5352adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ n  e.  ( C  \  A
) U. ( F `
 n )  =  Y )
5431, 53eleqtrrd 2493 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  z )  e.  X_ n  e.  ( C  \  A ) U. ( F `  n ) )
5518adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  A  C_  C )
56 undifixp 7542 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st `  z
)  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )  /\  ( 2nd `  z
)  e.  X_ n  e.  ( C  \  A
) U. ( F `
 n )  /\  A  C_  C )  -> 
( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) )  e.  X_ n  e.  C  U. ( F `  n
) )
5729, 54, 55, 56syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) )  e.  X_ n  e.  C  U. ( F `  n
) )
58 ixpfn 7512 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) )  e.  X_ n  e.  C  U. ( F `  n
)  ->  ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z
) )  Fn  C
)
5957, 58syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) )  Fn  C )
60 dffn5 5893 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) )  Fn  C  <->  ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z
) ) `  k
) ) )
6159, 60sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z ) ) `
 k ) ) )
6261mpteq2dva 4480 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( X  X.  Y
)  |->  ( k  e.  C  |->  ( ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z
) ) `  k
) ) ) )
638, 62syl5eq 2455 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( k  e.  C  |->  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k ) ) ) )
64 ptunhmeo.j . . . 4  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
65 pttop 20373 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( F  |`  A ) : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e.  Top )
6619, 21, 65syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e.  Top )
6722, 66syl5eqel 2494 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
6826toptopon 19724 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  X ) )
6967, 68sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
70 pttop 20373 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )  e.  Top )
7144, 45, 70syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )  e.  Top )
7246, 71syl5eqel 2494 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
7350toptopon 19724 . . . . . 6  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
7472, 73sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
75 txtopon 20382 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
7669, 74, 75syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
7717eleq2d 2472 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  C  <->  k  e.  ( A  u.  B ) ) )
7877biimpa 482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
79 elun 3583 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )
8078, 79sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  (
k  e.  A  \/  k  e.  B )
)
81 ixpfn 7512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1st `  z )  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  ->  ( 1st `  z )  Fn  A
)
8229, 81syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  z )  Fn  A )
8382adantlr 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  z )  Fn  A )
8451adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ n  e.  B  U. ( F `  n )  =  Y )
8531, 84eleqtrrd 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  z )  e.  X_ n  e.  B  U. ( F `  n
) )
86 ixpfn 7512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2nd `  z )  e.  X_ n  e.  B  U. ( F `  n
)  ->  ( 2nd `  z )  Fn  B
)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  z )  Fn  B )
8887adantlr 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  z )  Fn  B )
8933ad2antrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
90 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  k  e.  A )
91 fvun1 5919 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  z
)  Fn  A  /\  ( 2nd `  z )  Fn  B  /\  (
( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  k  e.  A ) )  -> 
( ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z ) ) `
 k )  =  ( ( 1st `  z
) `  k )
)
9283, 88, 89, 90, 91syl112anc 1234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k )  =  ( ( 1st `  z
) `  k )
)
9392mpteq2dva 4480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k ) )  =  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( ( 1st `  z
) `  k )
) )
9476adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )
954mpt2mpt 6374 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( 1st `  z ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  x )
9669adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  K  e.  (TopOn `  X )
)
9774adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  L  e.  (TopOn `  Y )
)
9896, 97cnmpt1st 20459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  x )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  K ) )
9995, 98syl5eqel 2494 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( 1st `  z ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  K ) )
10019adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  A  e.  _V )
10121adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F  |`  A ) : A --> Top )
102 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
10326, 22ptpjcn 20402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( F  |`  A ) : A --> Top  /\  k  e.  A )  ->  ( f  e.  X  |->  ( f `  k
) )  e.  ( K  Cn  ( ( F  |`  A ) `  k ) ) )
104100, 101, 102, 103syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
f  e.  X  |->  ( f `  k ) )  e.  ( K  Cn  ( ( F  |`  A ) `  k
) ) )
105 fvres 5862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
106105adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( F  |`  A ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
107106oveq2d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( K  Cn  ( ( F  |`  A ) `  k
) )  =  ( K  Cn  ( F `
 k ) ) )
108104, 107eleqtrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
f  e.  X  |->  ( f `  k ) )  e.  ( K  Cn  ( F `  k ) ) )
109 fveq1 5847 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( 1st `  z
)  ->  ( f `  k )  =  ( ( 1st `  z
) `  k )
)
11094, 99, 96, 108, 109cnmpt11 20454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( 1st `  z
) `  k )
)  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  ( F `  k ) ) )
11193, 110eqeltrd 2490 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  ( F `  k )
) )
11282adantlr 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  z )  Fn  A )
11387adantlr 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  z )  Fn  B )
11433ad2antrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
115 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  k  e.  B )
116 fvun2 5920 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  z
)  Fn  A  /\  ( 2nd `  z )  Fn  B  /\  (
( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  k  e.  B ) )  -> 
( ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z ) ) `
 k )  =  ( ( 2nd `  z
) `  k )
)
117112, 113, 114, 115, 116syl112anc 1234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k )  =  ( ( 2nd `  z
) `  k )
)
118117mpteq2dva 4480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k ) )  =  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( ( 2nd `  z
) `  k )
) )
11976adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )
1205mpt2mpt 6374 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( 2nd `  z ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  y )
12169adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  K  e.  (TopOn `  X )
)
12274adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  L  e.  (TopOn `  Y )
)
123121, 122cnmpt2nd 20460 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  y )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  L ) )
124120, 123syl5eqel 2494 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( 2nd `  z ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  L ) )
12544adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  B  e.  _V )
12645adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( F  |`  B ) : B --> Top )
127 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  B )
12850, 46ptpjcn 20402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top  /\  k  e.  B )  ->  ( f  e.  Y  |->  ( f `  k
) )  e.  ( L  Cn  ( ( F  |`  B ) `  k ) ) )
129125, 126, 127, 128syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
f  e.  Y  |->  ( f `  k ) )  e.  ( L  Cn  ( ( F  |`  B ) `  k
) ) )
130 fvres 5862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
131130adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
( F  |`  B ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
132131oveq2d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( L  Cn  ( ( F  |`  B ) `  k
) )  =  ( L  Cn  ( F `
 k ) ) )
133129, 132eleqtrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
f  e.  Y  |->  ( f `  k ) )  e.  ( L  Cn  ( F `  k ) ) )
134 fveq1 5847 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( 2nd `  z
)  ->  ( f `  k )  =  ( ( 2nd `  z
) `  k )
)
135119, 124, 122, 133, 134cnmpt11 20454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( 2nd `  z
) `  k )
)  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  ( F `  k ) ) )
136118, 135eqeltrd 2490 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  ( F `  k )
) )
137111, 136jaodan 786 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )  -> 
( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z ) ) `
 k ) )  e.  ( ( K 
tX  L )  Cn  ( F `  k
) ) )
13880, 137syldan 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  ( F `  k )
) )
13964, 76, 15, 20, 138ptcn 20418 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( k  e.  C  |->  ( ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z ) ) `
 k ) ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J ) )
14063, 139eqeltrd 2490 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J ) )
14126, 50, 64, 22, 46, 1, 15, 20, 17, 33ptuncnv 20598 . . 3  |-  ( ph  ->  `' G  =  (
z  e.  U. J  |-> 
<. ( z  |`  A ) ,  ( z  |`  B ) >. )
)
142 pttop 20373 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  V  /\  F : C --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
14315, 20, 142syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
14464, 143syl5eqel 2494 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
145 eqid 2402 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
146145toptopon 19724 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
147144, 146sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
148145, 64, 22ptrescn 20430 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  V  /\  F : C --> Top  /\  A  C_  C )  -> 
( z  e.  U. J  |->  ( z  |`  A ) )  e.  ( J  Cn  K
) )
14915, 20, 18, 148syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. J  |->  ( z  |`  A ) )  e.  ( J  Cn  K
) )
150145, 64, 46ptrescn 20430 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  V  /\  F : C --> Top  /\  B  C_  C )  -> 
( z  e.  U. J  |->  ( z  |`  B ) )  e.  ( J  Cn  L
) )
15115, 20, 43, 150syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. J  |->  ( z  |`  B ) )  e.  ( J  Cn  L
) )
152147, 149, 151cnmpt1t 20456 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. J  |->  <. ( z  |`  A ) ,  ( z  |`  B ) >. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  L ) ) )
153141, 152eqeltrd 2490 . 2  |-  ( ph  ->  `' G  e.  ( J  Cn  ( K  tX  L ) ) )
154 ishmeo 20550 . 2  |-  ( G  e.  ( ( K 
tX  L ) Homeo J )  <->  ( G  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J
)  /\  `' G  e.  ( J  Cn  ( K  tX  L ) ) ) )
155140, 153, 154sylanbrc 662 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( K  tX  L )
Homeo J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    \ cdif 3410    u. cun 3411    i^i cin 3412    C_ wss 3413   (/)c0 3737   <.cop 3977   U.cuni 4190    |-> cmpt 4452    X. cxp 4820   `'ccnv 4821    |` cres 4824    Fn wfn 5563   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   1stc1st 6781   2ndc2nd 6782   X_cixp 7506   Xt_cpt 15051   Topctop 19684  TopOnctopon 19685    Cn ccn 20016    tX ctx 20351   Homeochmeo 20544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-fin 7557  df-fi 7904  df-topgen 15056  df-pt 15057  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-tx 20353  df-hmeo 20546
This theorem is referenced by:  xpstopnlem1  20600  ptcmpfi  20604
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