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Theorem ptunhmeo 19281
Description: Define a homeomorphism from a binary product of indexed product topologies to an indexed product topology on the union of the index sets. This is the topological analogue of  ( A ^ B )  x.  ( A ^ C )  =  A ^ ( B  +  C ). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptunhmeo.x  |-  X  = 
U. K
ptunhmeo.y  |-  Y  = 
U. L
ptunhmeo.j  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
ptunhmeo.k  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )
ptunhmeo.l  |-  L  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
ptunhmeo.g  |-  G  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x  u.  y
) )
ptunhmeo.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
ptunhmeo.f  |-  ( ph  ->  F : C --> Top )
ptunhmeo.u  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  u.  B ) )
ptunhmeo.i  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
ptunhmeo  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( K  tX  L )
Homeo J ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    ph, x, y    x, C, y    x, F, y    x, J, y   
x, K, y    x, L, y    x, X, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    G( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem ptunhmeo
Dummy variables  f 
k  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptunhmeo.g . . . . 5  |-  G  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x  u.  y
) )
2 vex 2973 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
3 vex 2973 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
42, 3op1std 6586 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  z
)  =  x )
52, 3op2ndd 6587 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  y )
64, 5uneq12d 3508 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z ) )  =  ( x  u.  y ) )
76mpt2mpt 6181 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z
) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x  u.  y
) )
81, 7eqtr4i 2464 . . . 4  |-  G  =  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) )
9 xp1st 6605 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( 1st `  z )  e.  X )
109adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  z )  e.  X )
11 ixpeq2 7273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  n
)  =  U. ( F `  n )  -> 
X_ n  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  n
)  =  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )
)
12 fvres 5701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 n )  =  ( F `  n
) )
1312unieqd 4098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  A  ->  U. (
( F  |`  A ) `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )
1411, 13mprg 2783 . . . . . . . . . . . 12  |-  X_ n  e.  A  U. (
( F  |`  A ) `
 n )  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
15 ptunhmeo.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
16 ssun1 3516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
17 ptunhmeo.u . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  u.  B ) )
1816, 17syl5sseqr 3402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
1915, 18ssexd 4436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
20 ptunhmeo.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : C --> Top )
21 fssres 5575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : C --> Top  /\  A  C_  C )  -> 
( F  |`  A ) : A --> Top )
2220, 18, 21syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A --> Top )
23 ptunhmeo.k . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )
2423ptuni 19067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( F  |`  A ) : A --> Top )  -> 
X_ n  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  n
)  =  U. K
)
2519, 22, 24syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  n
)  =  U. K
)
2614, 25syl5eqr 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  =  U. K
)
27 ptunhmeo.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  = 
U. K
2826, 27syl6eqr 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  =  X )
2928adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )  =  X )
3010, 29eleqtrrd 2518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  z )  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
) )
31 xp2nd 6606 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( 2nd `  z )  e.  Y )
3231adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  z )  e.  Y )
3317eqcomd 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  =  C )
34 ptunhmeo.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
35 uneqdifeq 3764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  C  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  (
( A  u.  B
)  =  C  <->  ( C  \  A )  =  B ) )
3618, 34, 35syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  u.  B )  =  C  <-> 
( C  \  A
)  =  B ) )
3733, 36mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  \  A
)  =  B )
3837ixpeq1d 7271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  ( C  \  A ) U. ( F `  n )  =  X_ n  e.  B  U. ( F `  n ) )
39 ixpeq2 7273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. n  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  n
)  =  U. ( F `  n )  -> 
X_ n  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  n
)  =  X_ n  e.  B  U. ( F `  n )
)
40 fvres 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 n )  =  ( F `  n
) )
4140unieqd 4098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  B  ->  U. (
( F  |`  B ) `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )
4239, 41mprg 2783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X_ n  e.  B  U. (
( F  |`  B ) `
 n )  = 
X_ n  e.  B  U. ( F `  n
)
43 ssun2 3517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
4443, 17syl5sseqr 3402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  C_  C )
4515, 44ssexd 4436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
46 fssres 5575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : C --> Top  /\  B  C_  C )  -> 
( F  |`  B ) : B --> Top )
4720, 44, 46syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> Top )
48 ptunhmeo.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  L  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
4948ptuni 19067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  -> 
X_ n  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  n
)  =  U. L
)
5045, 47, 49syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  n
)  =  U. L
)
5142, 50syl5eqr 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  B  U. ( F `  n
)  =  U. L
)
52 ptunhmeo.y . . . . . . . . . . . 12  |-  Y  = 
U. L
5351, 52syl6eqr 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  B  U. ( F `  n
)  =  Y )
5438, 53eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  ( C  \  A ) U. ( F `  n )  =  Y )
5554adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ n  e.  ( C  \  A
) U. ( F `
 n )  =  Y )
5632, 55eleqtrrd 2518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  z )  e.  X_ n  e.  ( C  \  A ) U. ( F `  n ) )
5718adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  A  C_  C )
58 undifixp 7295 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st `  z
)  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )  /\  ( 2nd `  z
)  e.  X_ n  e.  ( C  \  A
) U. ( F `
 n )  /\  A  C_  C )  -> 
( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) )  e.  X_ n  e.  C  U. ( F `  n
) )
5930, 56, 57, 58syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) )  e.  X_ n  e.  C  U. ( F `  n
) )
60 ixpfn 7265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) )  e.  X_ n  e.  C  U. ( F `  n
)  ->  ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z
) )  Fn  C
)
6159, 60syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) )  Fn  C )
62 dffn5 5734 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) )  Fn  C  <->  ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z
) ) `  k
) ) )
6361, 62sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z ) ) `
 k ) ) )
6463mpteq2dva 4375 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( X  X.  Y
)  |->  ( k  e.  C  |->  ( ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z
) ) `  k
) ) ) )
658, 64syl5eq 2485 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( k  e.  C  |->  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k ) ) ) )
66 ptunhmeo.j . . . 4  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
67 pttop 19055 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( F  |`  A ) : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e.  Top )
6819, 22, 67syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e.  Top )
6923, 68syl5eqel 2525 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
7027toptopon 18438 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  X ) )
7169, 70sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
72 pttop 19055 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )  e.  Top )
7345, 47, 72syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )  e.  Top )
7448, 73syl5eqel 2525 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
7552toptopon 18438 . . . . . 6  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
7674, 75sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
77 txtopon 19064 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
7871, 76, 77syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
7917eleq2d 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  C  <->  k  e.  ( A  u.  B ) ) )
8079biimpa 481 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
81 elun 3494 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )
8280, 81sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  (
k  e.  A  \/  k  e.  B )
)
83 ixpfn 7265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1st `  z )  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  ->  ( 1st `  z )  Fn  A
)
8430, 83syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  z )  Fn  A )
8584adantlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  z )  Fn  A )
8653adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ n  e.  B  U. ( F `  n )  =  Y )
8732, 86eleqtrrd 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  z )  e.  X_ n  e.  B  U. ( F `  n
) )
88 ixpfn 7265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2nd `  z )  e.  X_ n  e.  B  U. ( F `  n
)  ->  ( 2nd `  z )  Fn  B
)
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  z )  Fn  B )
9089adantlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  z )  Fn  B )
9134ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
92 simplr 749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  k  e.  A )
93 fvun1 5759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  z
)  Fn  A  /\  ( 2nd `  z )  Fn  B  /\  (
( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  k  e.  A ) )  -> 
( ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z ) ) `
 k )  =  ( ( 1st `  z
) `  k )
)
9485, 90, 91, 92, 93syl112anc 1217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k )  =  ( ( 1st `  z
) `  k )
)
9594mpteq2dva 4375 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k ) )  =  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( ( 1st `  z
) `  k )
) )
9678adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )
974mpt2mpt 6181 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( 1st `  z ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  x )
9871adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  K  e.  (TopOn `  X )
)
9976adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  L  e.  (TopOn `  Y )
)
10098, 99cnmpt1st 19141 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  x )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  K ) )
10197, 100syl5eqel 2525 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( 1st `  z ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  K ) )
10219adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  A  e.  _V )
10322adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F  |`  A ) : A --> Top )
104 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
10527, 23ptpjcn 19084 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( F  |`  A ) : A --> Top  /\  k  e.  A )  ->  ( f  e.  X  |->  ( f `  k
) )  e.  ( K  Cn  ( ( F  |`  A ) `  k ) ) )
106102, 103, 104, 105syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
f  e.  X  |->  ( f `  k ) )  e.  ( K  Cn  ( ( F  |`  A ) `  k
) ) )
107 fvres 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
108107adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( F  |`  A ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
109108oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( K  Cn  ( ( F  |`  A ) `  k
) )  =  ( K  Cn  ( F `
 k ) ) )
110106, 109eleqtrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
f  e.  X  |->  ( f `  k ) )  e.  ( K  Cn  ( F `  k ) ) )
111 fveq1 5687 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( 1st `  z
)  ->  ( f `  k )  =  ( ( 1st `  z
) `  k )
)
11296, 101, 98, 110, 111cnmpt11 19136 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( 1st `  z
) `  k )
)  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  ( F `  k ) ) )
11395, 112eqeltrd 2515 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  ( F `  k )
) )
11484adantlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  z )  Fn  A )
11589adantlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  z )  Fn  B )
11634ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
117 simplr 749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  k  e.  B )
118 fvun2 5760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  z
)  Fn  A  /\  ( 2nd `  z )  Fn  B  /\  (
( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  k  e.  B ) )  -> 
( ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z ) ) `
 k )  =  ( ( 2nd `  z
) `  k )
)
119114, 115, 116, 117, 118syl112anc 1217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k )  =  ( ( 2nd `  z
) `  k )
)
120119mpteq2dva 4375 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k ) )  =  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( ( 2nd `  z
) `  k )
) )
12178adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )
1225mpt2mpt 6181 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( 2nd `  z ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  y )
12371adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  K  e.  (TopOn `  X )
)
12476adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  L  e.  (TopOn `  Y )
)
125123, 124cnmpt2nd 19142 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  y )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  L ) )
126122, 125syl5eqel 2525 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( 2nd `  z ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  L ) )
12745adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  B  e.  _V )
12847adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( F  |`  B ) : B --> Top )
129 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  B )
13052, 48ptpjcn 19084 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top  /\  k  e.  B )  ->  ( f  e.  Y  |->  ( f `  k
) )  e.  ( L  Cn  ( ( F  |`  B ) `  k ) ) )
131127, 128, 129, 130syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
f  e.  Y  |->  ( f `  k ) )  e.  ( L  Cn  ( ( F  |`  B ) `  k
) ) )
132 fvres 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
133132adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
( F  |`  B ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
134133oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( L  Cn  ( ( F  |`  B ) `  k
) )  =  ( L  Cn  ( F `
 k ) ) )
135131, 134eleqtrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
f  e.  Y  |->  ( f `  k ) )  e.  ( L  Cn  ( F `  k ) ) )
136 fveq1 5687 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( 2nd `  z
)  ->  ( f `  k )  =  ( ( 2nd `  z
) `  k )
)
137121, 126, 124, 135, 136cnmpt11 19136 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( 2nd `  z
) `  k )
)  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  ( F `  k ) ) )
138120, 137eqeltrd 2515 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  ( F `  k )
) )
139113, 138jaodan 778 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )  -> 
( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z ) ) `
 k ) )  e.  ( ( K 
tX  L )  Cn  ( F `  k
) ) )
14082, 139syldan 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  ( F `  k )
) )
14166, 78, 15, 20, 140ptcn 19100 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( k  e.  C  |->  ( ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z ) ) `
 k ) ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J ) )
14265, 141eqeltrd 2515 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J ) )
14327, 52, 66, 23, 48, 1, 15, 20, 17, 34ptuncnv 19280 . . 3  |-  ( ph  ->  `' G  =  (
z  e.  U. J  |-> 
<. ( z  |`  A ) ,  ( z  |`  B ) >. )
)
144 pttop 19055 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  V  /\  F : C --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
14515, 20, 144syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
14666, 145syl5eqel 2525 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
147 eqid 2441 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
148147toptopon 18438 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
149146, 148sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
150147, 66, 23ptrescn 19112 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  V  /\  F : C --> Top  /\  A  C_  C )  -> 
( z  e.  U. J  |->  ( z  |`  A ) )  e.  ( J  Cn  K
) )
15115, 20, 18, 150syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. J  |->  ( z  |`  A ) )  e.  ( J  Cn  K
) )
152147, 66, 48ptrescn 19112 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  V  /\  F : C --> Top  /\  B  C_  C )  -> 
( z  e.  U. J  |->  ( z  |`  B ) )  e.  ( J  Cn  L
) )
15315, 20, 44, 152syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. J  |->  ( z  |`  B ) )  e.  ( J  Cn  L
) )
154149, 151, 153cnmpt1t 19138 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. J  |->  <. ( z  |`  A ) ,  ( z  |`  B ) >. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  L ) ) )
155143, 154eqeltrd 2515 . 2  |-  ( ph  ->  `' G  e.  ( J  Cn  ( K  tX  L ) ) )
156 ishmeo 19232 . 2  |-  ( G  e.  ( ( K 
tX  L ) Homeo J )  <->  ( G  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J
)  /\  `' G  e.  ( J  Cn  ( K  tX  L ) ) ) )
157142, 155, 156sylanbrc 659 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( K  tX  L )
Homeo J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   <.cop 3880   U.cuni 4088    e. cmpt 4347    X. cxp 4834   `'ccnv 4835    |` cres 4838    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   1stc1st 6574   2ndc2nd 6575   X_cixp 7259   Xt_cpt 14373   Topctop 18398  TopOnctopon 18399    Cn ccn 18728    tX ctx 19033   Homeochmeo 19226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-fin 7310  df-fi 7657  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-tx 19035  df-hmeo 19228
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