Theorem ptunhmeo 20900

Description: Define a homeomorphism from a binary product of indexed product topologies to an indexed product topology on the union of the index sets. This is the topological analogue of ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) = A ^ ( B + C ). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptunhmeo.x	|- X = U. K
ptunhmeo.y	|- Y = U. L
ptunhmeo.j	|- J = ( Xt_ ` F )
ptunhmeo.k	|- K = ( Xt_ ` ( F |` A ) )
ptunhmeo.l	|- L = ( Xt_ ` ( F |` B ) )
ptunhmeo.g	|- G = ( x e. X , y e. Y |-> ( x u. y ) )
ptunhmeo.c	|- ( ph -> C e. V )
ptunhmeo.f	|- ( ph -> F : C --> Top )
ptunhmeo.u	|- ( ph -> C = ( A u. B ) )
ptunhmeo.i	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
ptunhmeo	|- ( ph -> G e. ( ( K tX L ) Homeo J ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   ph, x, y   x, C, y   x, F, y   x, J, y   x, K, y   x, L, y   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   G( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem ptunhmeo

Dummy variables f k n z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptunhmeo.g	. . . . 5 |- G = ( x e. X , y e. Y |-> ( x u. y ) )
2		vex 3034	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3		vex 3034	. . . . . . . 8 |- y e. _V
4	2, 3	op1std 6822	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( 1st ` z ) = x )
5	2, 3	op2ndd 6823	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( 2nd ` z ) = y )
6	4, 5	uneq12d 3580	. . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) = ( x u. y ) )
7	6	mpt2mpt 6407	. . . . 5 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> ( x u. y ) )
8	1, 7	eqtr4i 2496	. . . 4 |- G = ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) )
9		xp1st 6842	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( X X. Y ) -> ( 1st ` z ) e. X )
10	9	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 1st ` z ) e. X )
11		ixpeq2 7554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. n e. A U. ( ( F |` A ) ` n ) = U. ( F ` n ) -> X_ n e. A U. ( ( F |` A ) ` n ) = X_ n e. A U. ( F ` n ) )
12		fvres 5893	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. A -> ( ( F |` A ) ` n ) = ( F ` n ) )
13	12	unieqd 4200	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. A -> U. ( ( F |` A ) ` n ) = U. ( F ` n ) )
14	11, 13	mprg 2770	. . . . . . . . . . . 12 |- X_ n e. A U. ( ( F |` A ) ` n ) = X_ n e. A U. ( F ` n )
15		ptunhmeo.c	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C e. V )
16		ssun1 3588	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A C_ ( A u. B )
17		ptunhmeo.u	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C = ( A u. B ) )
18	16, 17	syl5sseqr 3467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A C_ C )
19	15, 18	ssexd 4543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. _V )
20		ptunhmeo.f	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : C --> Top )
21	20, 18	fssresd 5762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F |` A ) : A --> Top )
22		ptunhmeo.k	. . . . . . . . . . . . . 14 |- K = ( Xt_ ` ( F |` A ) )
23	22	ptuni 20686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. _V /\ ( F |` A ) : A --> Top ) -> X_ n e. A U. ( ( F |` A ) ` n ) = U. K )
24	19, 21, 23	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X_ n e. A U. ( ( F |` A ) ` n ) = U. K )
25	14, 24	syl5eqr 2519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X_ n e. A U. ( F ` n ) = U. K )
26		ptunhmeo.x	. . . . . . . . . . 11 |- X = U. K
27	25, 26	syl6eqr 2523	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X_ n e. A U. ( F ` n ) = X )
28	27	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> X_ n e. A U. ( F ` n ) = X )
29	10, 28	eleqtrrd 2552	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 1st ` z ) e. X_ n e. A U. ( F ` n ) )
30		xp2nd 6843	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( X X. Y ) -> ( 2nd ` z ) e. Y )
31	30	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` z ) e. Y )
32	17	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A u. B ) = C )
33		ptunhmeo.i	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
34		uneqdifeq 3847	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ C /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( A u. B ) = C <-> ( C \ A ) = B ) )
35	18, 33, 34	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A u. B ) = C <-> ( C \ A ) = B ) )
36	32, 35	mpbid 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C \ A ) = B )
37	36	ixpeq1d 7552	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X_ n e. ( C \ A ) U. ( F ` n ) = X_ n e. B U. ( F ` n ) )
38		ixpeq2 7554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. n e. B U. ( ( F |` B ) ` n ) = U. ( F ` n ) -> X_ n e. B U. ( ( F |` B ) ` n ) = X_ n e. B U. ( F ` n ) )
39		fvres 5893	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. B -> ( ( F |` B ) ` n ) = ( F ` n ) )
40	39	unieqd 4200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. B -> U. ( ( F |` B ) ` n ) = U. ( F ` n ) )
41	38, 40	mprg 2770	. . . . . . . . . . . . 13 |- X_ n e. B U. ( ( F |` B ) ` n ) = X_ n e. B U. ( F ` n )
42		ssun2 3589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B C_ ( A u. B )
43	42, 17	syl5sseqr 3467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B C_ C )
44	15, 43	ssexd 4543	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. _V )
45	20, 43	fssresd 5762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F |` B ) : B --> Top )
46		ptunhmeo.l	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- L = ( Xt_ ` ( F |` B ) )
47	46	ptuni 20686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. _V /\ ( F |` B ) : B --> Top ) -> X_ n e. B U. ( ( F |` B ) ` n ) = U. L )
48	44, 45, 47	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X_ n e. B U. ( ( F |` B ) ` n ) = U. L )
49	41, 48	syl5eqr 2519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X_ n e. B U. ( F ` n ) = U. L )
50		ptunhmeo.y	. . . . . . . . . . . 12 |- Y = U. L
51	49, 50	syl6eqr 2523	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X_ n e. B U. ( F ` n ) = Y )
52	37, 51	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X_ n e. ( C \ A ) U. ( F ` n ) = Y )
53	52	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> X_ n e. ( C \ A ) U. ( F ` n ) = Y )
54	31, 53	eleqtrrd 2552	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` z ) e. X_ n e. ( C \ A ) U. ( F ` n ) )
55	18	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> A C_ C )
56		undifixp 7576	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1st ` z ) e. X_ n e. A U. ( F ` n ) /\ ( 2nd ` z ) e. X_ n e. ( C \ A ) U. ( F ` n ) /\ A C_ C ) -> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) e. X_ n e. C U. ( F ` n ) )
57	29, 54, 55, 56	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) e. X_ n e. C U. ( F ` n ) )
58		ixpfn 7546	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) e. X_ n e. C U. ( F ` n ) -> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) Fn C )
59	57, 58	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) Fn C )
60		dffn5 5924	. . . . . 6 |- ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) Fn C <-> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) = ( k e. C |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) )
61	59, 60	sylib 201	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) = ( k e. C |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) )
62	61	mpteq2dva 4482	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ) = ( z e. ( X X. Y ) |-> ( k e. C |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) ) )
63	8, 62	syl5eq 2517	. . 3 |- ( ph -> G = ( z e. ( X X. Y ) |-> ( k e. C |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) ) )
64		ptunhmeo.j	. . . 4 |- J = ( Xt_ ` F )
65		pttop 20674	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ ( F |` A ) : A --> Top ) -> ( Xt_ ` ( F |` A ) ) e. Top )
66	19, 21, 65	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( F |` A ) ) e. Top )
67	22, 66	syl5eqel 2553	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. Top )
68	26	toptopon 20025	. . . . . 6 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` X ) )
69	67, 68	sylib 201	. . . . 5 |- ( ph -> K e. (TopOn ` X ) )
70		pttop 20674	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. _V /\ ( F |` B ) : B --> Top ) -> ( Xt_ ` ( F |` B ) ) e. Top )
71	44, 45, 70	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( F |` B ) ) e. Top )
72	46, 71	syl5eqel 2553	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. Top )
73	50	toptopon 20025	. . . . . 6 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` Y ) )
74	72, 73	sylib 201	. . . . 5 |- ( ph -> L e. (TopOn ` Y ) )
75		txtopon 20683	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` X ) /\ L e. (TopOn ` Y ) ) -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
76	69, 74, 75	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ph -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
77	17	eleq2d 2534	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. C <-> k e. ( A u. B ) ) )
78	77	biimpa 492	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> k e. ( A u. B ) )
79		elun 3565	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
80	78, 79	sylib 201	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( k e. A \/ k e. B ) )
81		ixpfn 7546	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1st ` z ) e. X_ n e. A U. ( F ` n ) -> ( 1st ` z ) Fn A )
82	29, 81	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 1st ` z ) Fn A )
83	82	adantlr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 1st ` z ) Fn A )
84	51	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> X_ n e. B U. ( F ` n ) = Y )
85	31, 84	eleqtrrd 2552	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` z ) e. X_ n e. B U. ( F ` n ) )
86		ixpfn 7546	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2nd ` z ) e. X_ n e. B U. ( F ` n ) -> ( 2nd ` z ) Fn B )
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` z ) Fn B )
88	87	adantlr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` z ) Fn B )
89	33	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
90		simplr 770	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> k e. A )
91		fvun1 5951	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1st ` z ) Fn A /\ ( 2nd ` z ) Fn B /\ ( ( A i^i B ) = (/) /\ k e. A ) ) -> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) = ( ( 1st ` z ) ` k ) )
92	83, 88, 89, 90, 91	syl112anc 1296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) = ( ( 1st ` z ) ` k ) )
93	92	mpteq2dva 4482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) = ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( 1st ` z ) ` k ) ) )
94	76	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
95	4	mpt2mpt 6407	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> ( 1st ` z ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> x )
96	69	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> K e. (TopOn ` X ) )
97	74	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> L e. (TopOn ` Y ) )
98	96, 97	cnmpt1st 20760	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X , y e. Y |-> x ) e. ( ( K tX L ) Cn K ) )
99	95, 98	syl5eqel 2553	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( 1st ` z ) ) e. ( ( K tX L ) Cn K ) )
100	19	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> A e. _V )
101	21	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( F |` A ) : A --> Top )
102		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. A )
103	26, 22	ptpjcn 20703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ ( F |` A ) : A --> Top /\ k e. A ) -> ( f e. X |-> ( f ` k ) ) e. ( K Cn ( ( F |` A ) ` k ) ) )
104	100, 101, 102, 103	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( f e. X |-> ( f ` k ) ) e. ( K Cn ( ( F |` A ) ` k ) ) )
105		fvres 5893	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. A -> ( ( F |` A ) ` k ) = ( F ` k ) )
106	105	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( F |` A ) ` k ) = ( F ` k ) )
107	106	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( K Cn ( ( F |` A ) ` k ) ) = ( K Cn ( F ` k ) ) )
108	104, 107	eleqtrd 2551	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( f e. X |-> ( f ` k ) ) e. ( K Cn ( F ` k ) ) )
109		fveq1 5878	. . . . . . . 8 |- ( f = ( 1st ` z ) -> ( f ` k ) = ( ( 1st ` z ) ` k ) )
110	94, 99, 96, 108, 109	cnmpt11 20755	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( 1st ` z ) ` k ) ) e. ( ( K tX L ) Cn ( F ` k ) ) )
111	93, 110	eqeltrd 2549	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) e. ( ( K tX L ) Cn ( F ` k ) ) )
112	82	adantlr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 1st ` z ) Fn A )
113	87	adantlr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` z ) Fn B )
114	33	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
115		simplr 770	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> k e. B )
116		fvun2 5952	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1st ` z ) Fn A /\ ( 2nd ` z ) Fn B /\ ( ( A i^i B ) = (/) /\ k e. B ) ) -> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) = ( ( 2nd ` z ) ` k ) )
117	112, 113, 114, 115, 116	syl112anc 1296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) = ( ( 2nd ` z ) ` k ) )
118	117	mpteq2dva 4482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) = ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( 2nd ` z ) ` k ) ) )
119	76	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
120	5	mpt2mpt 6407	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> ( 2nd ` z ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> y )
121	69	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> K e. (TopOn ` X ) )
122	74	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> L e. (TopOn ` Y ) )
123	121, 122	cnmpt2nd 20761	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( x e. X , y e. Y |-> y ) e. ( ( K tX L ) Cn L ) )
124	120, 123	syl5eqel 2553	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( 2nd ` z ) ) e. ( ( K tX L ) Cn L ) )
125	44	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> B e. _V )
126	45	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( F |` B ) : B --> Top )
127		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. B )
128	50, 46	ptpjcn 20703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. _V /\ ( F |` B ) : B --> Top /\ k e. B ) -> ( f e. Y |-> ( f ` k ) ) e. ( L Cn ( ( F |` B ) ` k ) ) )
129	125, 126, 127, 128	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( f e. Y |-> ( f ` k ) ) e. ( L Cn ( ( F |` B ) ` k ) ) )
130		fvres 5893	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. B -> ( ( F |` B ) ` k ) = ( F ` k ) )
131	130	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( ( F |` B ) ` k ) = ( F ` k ) )
132	131	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( L Cn ( ( F |` B ) ` k ) ) = ( L Cn ( F ` k ) ) )
133	129, 132	eleqtrd 2551	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( f e. Y |-> ( f ` k ) ) e. ( L Cn ( F ` k ) ) )
134		fveq1 5878	. . . . . . . 8 |- ( f = ( 2nd ` z ) -> ( f ` k ) = ( ( 2nd ` z ) ` k ) )
135	119, 124, 122, 133, 134	cnmpt11 20755	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( 2nd ` z ) ` k ) ) e. ( ( K tX L ) Cn ( F ` k ) ) )
136	118, 135	eqeltrd 2549	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) e. ( ( K tX L ) Cn ( F ` k ) ) )
137	111, 136	jaodan 802	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. A \/ k e. B ) ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) e. ( ( K tX L ) Cn ( F ` k ) ) )
138	80, 137	syldan 478	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) e. ( ( K tX L ) Cn ( F ` k ) ) )
139	64, 76, 15, 20, 138	ptcn 20719	. . 3 |- ( ph -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( k e. C |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) ) e. ( ( K tX L ) Cn J ) )
140	63, 139	eqeltrd 2549	. 2 |- ( ph -> G e. ( ( K tX L ) Cn J ) )
141	26, 50, 64, 22, 46, 1, 15, 20, 17, 33	ptuncnv 20899	. . 3 |- ( ph -> `' G = ( z e. U. J |-> <. ( z |` A ) , ( z |` B ) >. ) )
142		pttop 20674	. . . . . . 7 |- ( ( C e. V /\ F : C --> Top ) -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
143	15, 20, 142	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
144	64, 143	syl5eqel 2553	. . . . 5 |- ( ph -> J e. Top )
145		eqid 2471	. . . . . 6 |- U. J = U. J
146	145	toptopon 20025	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
147	144, 146	sylib 201	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
148	145, 64, 22	ptrescn 20731	. . . . 5 |- ( ( C e. V /\ F : C --> Top /\ A C_ C ) -> ( z e. U. J |-> ( z |` A ) ) e. ( J Cn K ) )
149	15, 20, 18, 148	syl3anc 1292	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. U. J |-> ( z |` A ) ) e. ( J Cn K ) )
150	145, 64, 46	ptrescn 20731	. . . . 5 |- ( ( C e. V /\ F : C --> Top /\ B C_ C ) -> ( z e. U. J |-> ( z |` B ) ) e. ( J Cn L ) )
151	15, 20, 43, 150	syl3anc 1292	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. U. J |-> ( z |` B ) ) e. ( J Cn L ) )
152	147, 149, 151	cnmpt1t 20757	. . 3 |- ( ph -> ( z e. U. J |-> <. ( z |` A ) , ( z |` B ) >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )
153	141, 152	eqeltrd 2549	. 2 |- ( ph -> `' G e. ( J Cn ( K tX L ) ) )
154		ishmeo 20851	. 2 |- ( G e. ( ( K tX L ) Homeo J ) <-> ( G e. ( ( K tX L ) Cn J ) /\ `' G e. ( J Cn ( K tX L ) ) ) )
155	140, 153, 154	sylanbrc 677	1 |- ( ph -> G e. ( ( K tX L ) Homeo J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   <.cop 3965   U.cuni 4190   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   `'ccnv 4838   |` cres 4841   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   |-> cmpt2 6310   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811   X_cixp 7540   Xt_cpt 15415   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   Cn ccn 20317   tX ctx 20652   Homeochmeo 20845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-fi 7943  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-tx 20654  df-hmeo 20847

This theorem is referenced by:  xpstopnlem1  20901  ptcmpfi  20905