Theorem ptunhmeo 20037

Description: Define a homeomorphism from a binary product of indexed product topologies to an indexed product topology on the union of the index sets. This is the topological analogue of ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) = A ^ ( B + C ). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptunhmeo.x	|- X = U. K
ptunhmeo.y	|- Y = U. L
ptunhmeo.j	|- J = ( Xt_ ` F )
ptunhmeo.k	|- K = ( Xt_ ` ( F |` A ) )
ptunhmeo.l	|- L = ( Xt_ ` ( F |` B ) )
ptunhmeo.g	|- G = ( x e. X , y e. Y |-> ( x u. y ) )
ptunhmeo.c	|- ( ph -> C e. V )
ptunhmeo.f	|- ( ph -> F : C --> Top )
ptunhmeo.u	|- ( ph -> C = ( A u. B ) )
ptunhmeo.i	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
ptunhmeo	|- ( ph -> G e. ( ( K tX L ) Homeo J ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   ph, x, y   x, C, y   x, F, y   x, J, y   x, K, y   x, L, y   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   G( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem ptunhmeo

Dummy variables f k n z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptunhmeo.g	. . . . 5 |- G = ( x e. X , y e. Y |-> ( x u. y ) )
2		vex 3109	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3		vex 3109	. . . . . . . 8 |- y e. _V
4	2, 3	op1std 6784	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( 1st ` z ) = x )
5	2, 3	op2ndd 6785	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( 2nd ` z ) = y )
6	4, 5	uneq12d 3652	. . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) = ( x u. y ) )
7	6	mpt2mpt 6369	. . . . 5 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> ( x u. y ) )
8	1, 7	eqtr4i 2492	. . . 4 |- G = ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) )
9		xp1st 6804	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( X X. Y ) -> ( 1st ` z ) e. X )
10	9	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 1st ` z ) e. X )
11		ixpeq2 7473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. n e. A U. ( ( F |` A ) ` n ) = U. ( F ` n ) -> X_ n e. A U. ( ( F |` A ) ` n ) = X_ n e. A U. ( F ` n ) )
12		fvres 5871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. A -> ( ( F |` A ) ` n ) = ( F ` n ) )
13	12	unieqd 4248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. A -> U. ( ( F |` A ) ` n ) = U. ( F ` n ) )
14	11, 13	mprg 2820	. . . . . . . . . . . 12 |- X_ n e. A U. ( ( F |` A ) ` n ) = X_ n e. A U. ( F ` n )
15		ptunhmeo.c	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C e. V )
16		ssun1 3660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A C_ ( A u. B )
17		ptunhmeo.u	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C = ( A u. B ) )
18	16, 17	syl5sseqr 3546	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A C_ C )
19	15, 18	ssexd 4587	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. _V )
20		ptunhmeo.f	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : C --> Top )
21		fssres 5742	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : C --> Top /\ A C_ C ) -> ( F |` A ) : A --> Top )
22	20, 18, 21	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F |` A ) : A --> Top )
23		ptunhmeo.k	. . . . . . . . . . . . . 14 |- K = ( Xt_ ` ( F |` A ) )
24	23	ptuni 19823	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. _V /\ ( F |` A ) : A --> Top ) -> X_ n e. A U. ( ( F |` A ) ` n ) = U. K )
25	19, 22, 24	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X_ n e. A U. ( ( F |` A ) ` n ) = U. K )
26	14, 25	syl5eqr 2515	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X_ n e. A U. ( F ` n ) = U. K )
27		ptunhmeo.x	. . . . . . . . . . 11 |- X = U. K
28	26, 27	syl6eqr 2519	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X_ n e. A U. ( F ` n ) = X )
29	28	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> X_ n e. A U. ( F ` n ) = X )
30	10, 29	eleqtrrd 2551	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 1st ` z ) e. X_ n e. A U. ( F ` n ) )
31		xp2nd 6805	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( X X. Y ) -> ( 2nd ` z ) e. Y )
32	31	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` z ) e. Y )
33	17	eqcomd 2468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A u. B ) = C )
34		ptunhmeo.i	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
35		uneqdifeq 3908	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ C /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( A u. B ) = C <-> ( C \ A ) = B ) )
36	18, 34, 35	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A u. B ) = C <-> ( C \ A ) = B ) )
37	33, 36	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C \ A ) = B )
38	37	ixpeq1d 7471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X_ n e. ( C \ A ) U. ( F ` n ) = X_ n e. B U. ( F ` n ) )
39		ixpeq2 7473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. n e. B U. ( ( F |` B ) ` n ) = U. ( F ` n ) -> X_ n e. B U. ( ( F |` B ) ` n ) = X_ n e. B U. ( F ` n ) )
40		fvres 5871	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. B -> ( ( F |` B ) ` n ) = ( F ` n ) )
41	40	unieqd 4248	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. B -> U. ( ( F |` B ) ` n ) = U. ( F ` n ) )
42	39, 41	mprg 2820	. . . . . . . . . . . . 13 |- X_ n e. B U. ( ( F |` B ) ` n ) = X_ n e. B U. ( F ` n )
43		ssun2 3661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B C_ ( A u. B )
44	43, 17	syl5sseqr 3546	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B C_ C )
45	15, 44	ssexd 4587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. _V )
46		fssres 5742	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : C --> Top /\ B C_ C ) -> ( F |` B ) : B --> Top )
47	20, 44, 46	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F |` B ) : B --> Top )
48		ptunhmeo.l	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- L = ( Xt_ ` ( F |` B ) )
49	48	ptuni 19823	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. _V /\ ( F |` B ) : B --> Top ) -> X_ n e. B U. ( ( F |` B ) ` n ) = U. L )
50	45, 47, 49	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X_ n e. B U. ( ( F |` B ) ` n ) = U. L )
51	42, 50	syl5eqr 2515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X_ n e. B U. ( F ` n ) = U. L )
52		ptunhmeo.y	. . . . . . . . . . . 12 |- Y = U. L
53	51, 52	syl6eqr 2519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X_ n e. B U. ( F ` n ) = Y )
54	38, 53	eqtrd 2501	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X_ n e. ( C \ A ) U. ( F ` n ) = Y )
55	54	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> X_ n e. ( C \ A ) U. ( F ` n ) = Y )
56	32, 55	eleqtrrd 2551	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` z ) e. X_ n e. ( C \ A ) U. ( F ` n ) )
57	18	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> A C_ C )
58		undifixp 7495	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1st ` z ) e. X_ n e. A U. ( F ` n ) /\ ( 2nd ` z ) e. X_ n e. ( C \ A ) U. ( F ` n ) /\ A C_ C ) -> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) e. X_ n e. C U. ( F ` n ) )
59	30, 56, 57, 58	syl3anc 1223	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) e. X_ n e. C U. ( F ` n ) )
60		ixpfn 7465	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) e. X_ n e. C U. ( F ` n ) -> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) Fn C )
61	59, 60	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) Fn C )
62		dffn5 5904	. . . . . 6 |- ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) Fn C <-> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) = ( k e. C |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) )
63	61, 62	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) = ( k e. C |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) )
64	63	mpteq2dva 4526	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ) = ( z e. ( X X. Y ) |-> ( k e. C |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) ) )
65	8, 64	syl5eq 2513	. . 3 |- ( ph -> G = ( z e. ( X X. Y ) |-> ( k e. C |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) ) )
66		ptunhmeo.j	. . . 4 |- J = ( Xt_ ` F )
67		pttop 19811	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ ( F |` A ) : A --> Top ) -> ( Xt_ ` ( F |` A ) ) e. Top )
68	19, 22, 67	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( F |` A ) ) e. Top )
69	23, 68	syl5eqel 2552	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. Top )
70	27	toptopon 19194	. . . . . 6 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` X ) )
71	69, 70	sylib 196	. . . . 5 |- ( ph -> K e. (TopOn ` X ) )
72		pttop 19811	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. _V /\ ( F |` B ) : B --> Top ) -> ( Xt_ ` ( F |` B ) ) e. Top )
73	45, 47, 72	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( F |` B ) ) e. Top )
74	48, 73	syl5eqel 2552	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. Top )
75	52	toptopon 19194	. . . . . 6 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` Y ) )
76	74, 75	sylib 196	. . . . 5 |- ( ph -> L e. (TopOn ` Y ) )
77		txtopon 19820	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` X ) /\ L e. (TopOn ` Y ) ) -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
78	71, 76, 77	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
79	17	eleq2d 2530	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. C <-> k e. ( A u. B ) ) )
80	79	biimpa 484	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> k e. ( A u. B ) )
81		elun 3638	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
82	80, 81	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( k e. A \/ k e. B ) )
83		ixpfn 7465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1st ` z ) e. X_ n e. A U. ( F ` n ) -> ( 1st ` z ) Fn A )
84	30, 83	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 1st ` z ) Fn A )
85	84	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 1st ` z ) Fn A )
86	53	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> X_ n e. B U. ( F ` n ) = Y )
87	32, 86	eleqtrrd 2551	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` z ) e. X_ n e. B U. ( F ` n ) )
88		ixpfn 7465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2nd ` z ) e. X_ n e. B U. ( F ` n ) -> ( 2nd ` z ) Fn B )
89	87, 88	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` z ) Fn B )
90	89	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` z ) Fn B )
91	34	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
92		simplr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> k e. A )
93		fvun1 5929	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1st ` z ) Fn A /\ ( 2nd ` z ) Fn B /\ ( ( A i^i B ) = (/) /\ k e. A ) ) -> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) = ( ( 1st ` z ) ` k ) )
94	85, 90, 91, 92, 93	syl112anc 1227	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) = ( ( 1st ` z ) ` k ) )
95	94	mpteq2dva 4526	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) = ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( 1st ` z ) ` k ) ) )
96	78	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
97	4	mpt2mpt 6369	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> ( 1st ` z ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> x )
98	71	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> K e. (TopOn ` X ) )
99	76	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> L e. (TopOn ` Y ) )
100	98, 99	cnmpt1st 19897	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X , y e. Y |-> x ) e. ( ( K tX L ) Cn K ) )
101	97, 100	syl5eqel 2552	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( 1st ` z ) ) e. ( ( K tX L ) Cn K ) )
102	19	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> A e. _V )
103	22	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( F |` A ) : A --> Top )
104		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. A )
105	27, 23	ptpjcn 19840	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ ( F |` A ) : A --> Top /\ k e. A ) -> ( f e. X |-> ( f ` k ) ) e. ( K Cn ( ( F |` A ) ` k ) ) )
106	102, 103, 104, 105	syl3anc 1223	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( f e. X |-> ( f ` k ) ) e. ( K Cn ( ( F |` A ) ` k ) ) )
107		fvres 5871	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. A -> ( ( F |` A ) ` k ) = ( F ` k ) )
108	107	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( F |` A ) ` k ) = ( F ` k ) )
109	108	oveq2d 6291	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( K Cn ( ( F |` A ) ` k ) ) = ( K Cn ( F ` k ) ) )
110	106, 109	eleqtrd 2550	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( f e. X |-> ( f ` k ) ) e. ( K Cn ( F ` k ) ) )
111		fveq1 5856	. . . . . . . 8 |- ( f = ( 1st ` z ) -> ( f ` k ) = ( ( 1st ` z ) ` k ) )
112	96, 101, 98, 110, 111	cnmpt11 19892	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( 1st ` z ) ` k ) ) e. ( ( K tX L ) Cn ( F ` k ) ) )
113	95, 112	eqeltrd 2548	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) e. ( ( K tX L ) Cn ( F ` k ) ) )
114	84	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 1st ` z ) Fn A )
115	89	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` z ) Fn B )
116	34	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
117		simplr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> k e. B )
118		fvun2 5930	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1st ` z ) Fn A /\ ( 2nd ` z ) Fn B /\ ( ( A i^i B ) = (/) /\ k e. B ) ) -> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) = ( ( 2nd ` z ) ` k ) )
119	114, 115, 116, 117, 118	syl112anc 1227	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) = ( ( 2nd ` z ) ` k ) )
120	119	mpteq2dva 4526	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) = ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( 2nd ` z ) ` k ) ) )
121	78	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
122	5	mpt2mpt 6369	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> ( 2nd ` z ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> y )
123	71	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> K e. (TopOn ` X ) )
124	76	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> L e. (TopOn ` Y ) )
125	123, 124	cnmpt2nd 19898	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( x e. X , y e. Y |-> y ) e. ( ( K tX L ) Cn L ) )
126	122, 125	syl5eqel 2552	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( 2nd ` z ) ) e. ( ( K tX L ) Cn L ) )
127	45	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> B e. _V )
128	47	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( F |` B ) : B --> Top )
129		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. B )
130	52, 48	ptpjcn 19840	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. _V /\ ( F |` B ) : B --> Top /\ k e. B ) -> ( f e. Y |-> ( f ` k ) ) e. ( L Cn ( ( F |` B ) ` k ) ) )
131	127, 128, 129, 130	syl3anc 1223	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( f e. Y |-> ( f ` k ) ) e. ( L Cn ( ( F |` B ) ` k ) ) )
132		fvres 5871	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. B -> ( ( F |` B ) ` k ) = ( F ` k ) )
133	132	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( ( F |` B ) ` k ) = ( F ` k ) )
134	133	oveq2d 6291	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( L Cn ( ( F |` B ) ` k ) ) = ( L Cn ( F ` k ) ) )
135	131, 134	eleqtrd 2550	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( f e. Y |-> ( f ` k ) ) e. ( L Cn ( F ` k ) ) )
136		fveq1 5856	. . . . . . . 8 |- ( f = ( 2nd ` z ) -> ( f ` k ) = ( ( 2nd ` z ) ` k ) )
137	121, 126, 124, 135, 136	cnmpt11 19892	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( 2nd ` z ) ` k ) ) e. ( ( K tX L ) Cn ( F ` k ) ) )
138	120, 137	eqeltrd 2548	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) e. ( ( K tX L ) Cn ( F ` k ) ) )
139	113, 138	jaodan 783	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. A \/ k e. B ) ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) e. ( ( K tX L ) Cn ( F ` k ) ) )
140	82, 139	syldan 470	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) e. ( ( K tX L ) Cn ( F ` k ) ) )
141	66, 78, 15, 20, 140	ptcn 19856	. . 3 |- ( ph -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( k e. C |-> ( ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ` k ) ) ) e. ( ( K tX L ) Cn J ) )
142	65, 141	eqeltrd 2548	. 2 |- ( ph -> G e. ( ( K tX L ) Cn J ) )
143	27, 52, 66, 23, 48, 1, 15, 20, 17, 34	ptuncnv 20036	. . 3 |- ( ph -> `' G = ( z e. U. J |-> <. ( z |` A ) , ( z |` B ) >. ) )
144		pttop 19811	. . . . . . 7 |- ( ( C e. V /\ F : C --> Top ) -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
145	15, 20, 144	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
146	66, 145	syl5eqel 2552	. . . . 5 |- ( ph -> J e. Top )
147		eqid 2460	. . . . . 6 |- U. J = U. J
148	147	toptopon 19194	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
149	146, 148	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
150	147, 66, 23	ptrescn 19868	. . . . 5 |- ( ( C e. V /\ F : C --> Top /\ A C_ C ) -> ( z e. U. J |-> ( z |` A ) ) e. ( J Cn K ) )
151	15, 20, 18, 150	syl3anc 1223	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. U. J |-> ( z |` A ) ) e. ( J Cn K ) )
152	147, 66, 48	ptrescn 19868	. . . . 5 |- ( ( C e. V /\ F : C --> Top /\ B C_ C ) -> ( z e. U. J |-> ( z |` B ) ) e. ( J Cn L ) )
153	15, 20, 44, 152	syl3anc 1223	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. U. J |-> ( z |` B ) ) e. ( J Cn L ) )
154	149, 151, 153	cnmpt1t 19894	. . 3 |- ( ph -> ( z e. U. J |-> <. ( z |` A ) , ( z |` B ) >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )
155	143, 154	eqeltrd 2548	. 2 |- ( ph -> `' G e. ( J Cn ( K tX L ) ) )
156		ishmeo 19988	. 2 |- ( G e. ( ( K tX L ) Homeo J ) <-> ( G e. ( ( K tX L ) Cn J ) /\ `' G e. ( J Cn ( K tX L ) ) ) )
157	142, 155, 156	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> G e. ( ( K tX L ) Homeo J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   _Vcvv 3106   \ cdif 3466   u. cun 3467   i^i cin 3468   C_ wss 3469   (/)c0 3778   <.cop 4026   U.cuni 4238   |-> cmpt 4498   X. cxp 4990   `'ccnv 4991   |` cres 4994   Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   |-> cmpt2 6277   1stc1st 6772   2ndc2nd 6773   X_cixp 7459   Xt_cpt 14683   Topctop 19154  TopOnctopon 19155   Cn ccn 19484   tX ctx 19789   Homeochmeo 19982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-fin 7510  df-fi 7860  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-tx 19791  df-hmeo 19984

This theorem is referenced by:  xpstopnlem1  20038  ptcmpfi  20042