Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptunhmeo Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ptunhmeo 20900
 Description: Define a homeomorphism from a binary product of indexed product topologies to an indexed product topology on the union of the index sets. This is the topological analogue of . (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptunhmeo.x
ptunhmeo.y
ptunhmeo.j
ptunhmeo.k
ptunhmeo.l
ptunhmeo.g
ptunhmeo.c
ptunhmeo.f
ptunhmeo.u
ptunhmeo.i
Assertion
Ref Expression
ptunhmeo
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem ptunhmeo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptunhmeo.g . . . . 5
2 vex 3034 . . . . . . . 8
3 vex 3034 . . . . . . . 8
42, 3op1std 6822 . . . . . . 7
52, 3op2ndd 6823 . . . . . . 7
64, 5uneq12d 3580 . . . . . 6
76mpt2mpt 6407 . . . . 5
81, 7eqtr4i 2496 . . . 4
9 xp1st 6842 . . . . . . . . . 10
109adantl 473 . . . . . . . . 9
11 ixpeq2 7554 . . . . . . . . . . . . 13
12 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . 14
1312unieqd 4200 . . . . . . . . . . . . 13
1411, 13mprg 2770 . . . . . . . . . . . 12
15 ptunhmeo.c . . . . . . . . . . . . . 14
16 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . . . . 15
17 ptunhmeo.u . . . . . . . . . . . . . . 15
1816, 17syl5sseqr 3467 . . . . . . . . . . . . . 14
1915, 18ssexd 4543 . . . . . . . . . . . . 13
20 ptunhmeo.f . . . . . . . . . . . . . 14
2120, 18fssresd 5762 . . . . . . . . . . . . 13
22 ptunhmeo.k . . . . . . . . . . . . . 14
2322ptuni 20686 . . . . . . . . . . . . 13
2419, 21, 23syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
2514, 24syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . 11
26 ptunhmeo.x . . . . . . . . . . 11
2725, 26syl6eqr 2523 . . . . . . . . . 10
2827adantr 472 . . . . . . . . 9
2910, 28eleqtrrd 2552 . . . . . . . 8
30 xp2nd 6843 . . . . . . . . . 10
3130adantl 473 . . . . . . . . 9
3217eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . 13
33 ptunhmeo.i . . . . . . . . . . . . . 14
34 uneqdifeq 3847 . . . . . . . . . . . . . 14
3518, 33, 34syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
3632, 35mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12
3736ixpeq1d 7552 . . . . . . . . . . 11
38 ixpeq2 7554 . . . . . . . . . . . . . 14
39 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039unieqd 4200 . . . . . . . . . . . . . 14
4138, 40mprg 2770 . . . . . . . . . . . . 13
42 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4342, 17syl5sseqr 3467 . . . . . . . . . . . . . . 15
4415, 43ssexd 4543 . . . . . . . . . . . . . 14
4520, 43fssresd 5762 . . . . . . . . . . . . . 14
46 ptunhmeo.l . . . . . . . . . . . . . . 15
4746ptuni 20686 . . . . . . . . . . . . . 14
4844, 45, 47syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
4941, 48syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . . 12
50 ptunhmeo.y . . . . . . . . . . . 12
5149, 50syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . 11
5237, 51eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10
5352adantr 472 . . . . . . . . 9
5431, 53eleqtrrd 2552 . . . . . . . 8
5518adantr 472 . . . . . . . 8
56 undifixp 7576 . . . . . . . 8
5729, 54, 55, 56syl3anc 1292 . . . . . . 7
58 ixpfn 7546 . . . . . . 7
5957, 58syl 17 . . . . . 6
60 dffn5 5924 . . . . . 6
6159, 60sylib 201 . . . . 5
6261mpteq2dva 4482 . . . 4
638, 62syl5eq 2517 . . 3
64 ptunhmeo.j . . . 4
65 pttop 20674 . . . . . . . 8
6619, 21, 65syl2anc 673 . . . . . . 7
6722, 66syl5eqel 2553 . . . . . 6
6826toptopon 20025 . . . . . 6 TopOn
6967, 68sylib 201 . . . . 5 TopOn
70 pttop 20674 . . . . . . . 8
7144, 45, 70syl2anc 673 . . . . . . 7
7246, 71syl5eqel 2553 . . . . . 6
7350toptopon 20025 . . . . . 6 TopOn
7472, 73sylib 201 . . . . 5 TopOn
75 txtopon 20683 . . . . 5 TopOn TopOn TopOn
7669, 74, 75syl2anc 673 . . . 4 TopOn
7717eleq2d 2534 . . . . . . 7
7877biimpa 492 . . . . . 6
79 elun 3565 . . . . . 6
8078, 79sylib 201 . . . . 5
81 ixpfn 7546 . . . . . . . . . . 11
8229, 81syl 17 . . . . . . . . . 10
8382adantlr 729 . . . . . . . . 9
8451adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
8531, 84eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . 11
86 ixpfn 7546 . . . . . . . . . . 11
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . 10
8887adantlr 729 . . . . . . . . 9
8933ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
90 simplr 770 . . . . . . . . 9
91 fvun1 5951 . . . . . . . . 9
9283, 88, 89, 90, 91syl112anc 1296 . . . . . . . 8
9392mpteq2dva 4482 . . . . . . 7
9476adantr 472 . . . . . . . 8 TopOn
954mpt2mpt 6407 . . . . . . . . 9
9669adantr 472 . . . . . . . . . 10 TopOn
9774adantr 472 . . . . . . . . . 10 TopOn
9896, 97cnmpt1st 20760 . . . . . . . . 9
9995, 98syl5eqel 2553 . . . . . . . 8
10019adantr 472 . . . . . . . . . 10
10121adantr 472 . . . . . . . . . 10
102 simpr 468 . . . . . . . . . 10
10326, 22ptpjcn 20703 . . . . . . . . . 10
104100, 101, 102, 103syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
105 fvres 5893 . . . . . . . . . . 11
106105adantl 473 . . . . . . . . . 10
107106oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
108104, 107eleqtrd 2551 . . . . . . . 8
109 fveq1 5878 . . . . . . . 8
11094, 99, 96, 108, 109cnmpt11 20755 . . . . . . 7
11193, 110eqeltrd 2549 . . . . . 6
11282adantlr 729 . . . . . . . . 9
11387adantlr 729 . . . . . . . . 9
11433ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
115 simplr 770 . . . . . . . . 9
116 fvun2 5952 . . . . . . . . 9
117112, 113, 114, 115, 116syl112anc 1296 . . . . . . . 8
118117mpteq2dva 4482 . . . . . . 7
11976adantr 472 . . . . . . . 8 TopOn
1205mpt2mpt 6407 . . . . . . . . 9
12169adantr 472 . . . . . . . . . 10 TopOn
12274adantr 472 . . . . . . . . . 10 TopOn
123121, 122cnmpt2nd 20761 . . . . . . . . 9
124120, 123syl5eqel 2553 . . . . . . . 8
12544adantr 472 . . . . . . . . . 10
12645adantr 472 . . . . . . . . . 10
127 simpr 468 . . . . . . . . . 10
12850, 46ptpjcn 20703 . . . . . . . . . 10
129125, 126, 127, 128syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
130 fvres 5893 . . . . . . . . . . 11
131130adantl 473 . . . . . . . . . 10
132131oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
133129, 132eleqtrd 2551 . . . . . . . 8
134 fveq1 5878 . . . . . . . 8
135119, 124, 122, 133, 134cnmpt11 20755 . . . . . . 7
136118, 135eqeltrd 2549 . . . . . 6
137111, 136jaodan 802 . . . . 5
13880, 137syldan 478 . . . 4
13964, 76, 15, 20, 138ptcn 20719 . . 3
14063, 139eqeltrd 2549 . 2
14126, 50, 64, 22, 46, 1, 15, 20, 17, 33ptuncnv 20899 . . 3
142 pttop 20674 . . . . . . 7
14315, 20, 142syl2anc 673 . . . . . 6
14464, 143syl5eqel 2553 . . . . 5
145 eqid 2471 . . . . . 6
146145toptopon 20025 . . . . 5 TopOn
147144, 146sylib 201 . . . 4 TopOn
148145, 64, 22ptrescn 20731 . . . . 5
14915, 20, 18, 148syl3anc 1292 . . . 4
150145, 64, 46ptrescn 20731 . . . . 5
15115, 20, 43, 150syl3anc 1292 . . . 4
152147, 149, 151cnmpt1t 20757 . . 3
153141, 152eqeltrd 2549 . 2
154 ishmeo 20851 . 2
155140, 153, 154sylanbrc 677 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cop 3965  cuni 4190   cmpt 4454   cxp 4837  ccnv 4838   cres 4841   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  c1st 6810  c2nd 6811  cixp 7540  cpt 15415  ctop 19994  TopOnctopon 19995   ccn 20317   ctx 20652  chmeo 20845 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-fi 7943  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-tx 20654  df-hmeo 20847 This theorem is referenced by:  xpstopnlem1  20901  ptcmpfi  20905
 Copyright terms: Public domain W3C validator