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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ptuncnv | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Exhibit the converse
function of the map ![]() |
Ref | Expression |
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ptunhmeo.x |
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ptunhmeo.y |
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ptunhmeo.j |
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ptunhmeo.k |
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ptunhmeo.l |
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ptunhmeo.g |
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ptunhmeo.c |
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ptunhmeo.f |
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ptunhmeo.u |
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ptunhmeo.i |
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Ref | Expression |
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ptuncnv |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ptunhmeo.g |
. . . 4
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2 | vex 3034 |
. . . . . . 7
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3 | vex 3034 |
. . . . . . 7
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4 | 2, 3 | op1std 6822 |
. . . . . 6
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5 | 2, 3 | op2ndd 6823 |
. . . . . 6
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6 | 4, 5 | uneq12d 3580 |
. . . . 5
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7 | 6 | mpt2mpt 6407 |
. . . 4
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8 | 1, 7 | eqtr4i 2496 |
. . 3
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9 | xp1st 6842 |
. . . . . . 7
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10 | 9 | adantl 473 |
. . . . . 6
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11 | ixpeq2 7554 |
. . . . . . . . . 10
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12 | fvres 5893 |
. . . . . . . . . . 11
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13 | 12 | unieqd 4200 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 11, 13 | mprg 2770 |
. . . . . . . . 9
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15 | ptunhmeo.c |
. . . . . . . . . . 11
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16 | ssun1 3588 |
. . . . . . . . . . . 12
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17 | ptunhmeo.u |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | 16, 17 | syl5sseqr 3467 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | 15, 18 | ssexd 4543 |
. . . . . . . . . 10
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20 | ptunhmeo.f |
. . . . . . . . . . 11
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21 | 20, 18 | fssresd 5762 |
. . . . . . . . . 10
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22 | ptunhmeo.k |
. . . . . . . . . . 11
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23 | 22 | ptuni 20686 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 19, 21, 23 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . 9
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25 | 14, 24 | syl5eqr 2519 |
. . . . . . . 8
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26 | ptunhmeo.x |
. . . . . . . 8
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27 | 25, 26 | syl6eqr 2523 |
. . . . . . 7
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28 | 27 | adantr 472 |
. . . . . 6
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29 | 10, 28 | eleqtrrd 2552 |
. . . . 5
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30 | xp2nd 6843 |
. . . . . . 7
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31 | 30 | adantl 473 |
. . . . . 6
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32 | 17 | eqcomd 2477 |
. . . . . . . . . 10
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33 | ptunhmeo.i |
. . . . . . . . . . 11
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34 | uneqdifeq 3847 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | 18, 33, 34 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . . 10
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36 | 32, 35 | mpbid 215 |
. . . . . . . . 9
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37 | 36 | ixpeq1d 7552 |
. . . . . . . 8
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38 | ixpeq2 7554 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | fvres 5893 |
. . . . . . . . . . . 12
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40 | 39 | unieqd 4200 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | 38, 40 | mprg 2770 |
. . . . . . . . . 10
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42 | ssun2 3589 |
. . . . . . . . . . . . 13
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43 | 42, 17 | syl5sseqr 3467 |
. . . . . . . . . . . 12
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44 | 15, 43 | ssexd 4543 |
. . . . . . . . . . 11
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45 | 20, 43 | fssresd 5762 |
. . . . . . . . . . 11
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46 | ptunhmeo.l |
. . . . . . . . . . . 12
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47 | 46 | ptuni 20686 |
. . . . . . . . . . 11
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48 | 44, 45, 47 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . . 10
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49 | 41, 48 | syl5eqr 2519 |
. . . . . . . . 9
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50 | ptunhmeo.y |
. . . . . . . . 9
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51 | 49, 50 | syl6eqr 2523 |
. . . . . . . 8
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52 | 37, 51 | eqtrd 2505 |
. . . . . . 7
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53 | 52 | adantr 472 |
. . . . . 6
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54 | 31, 53 | eleqtrrd 2552 |
. . . . 5
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55 | 18 | adantr 472 |
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56 | undifixp 7576 |
. . . . 5
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57 | 29, 54, 55, 56 | syl3anc 1292 |
. . . 4
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58 | ptunhmeo.j |
. . . . . . 7
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59 | 58 | ptuni 20686 |
. . . . . 6
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60 | 15, 20, 59 | syl2anc 673 |
. . . . 5
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61 | 60 | adantr 472 |
. . . 4
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62 | 57, 61 | eleqtrd 2551 |
. . 3
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63 | 18 | adantr 472 |
. . . . . 6
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64 | 60 | eleq2d 2534 |
. . . . . . 7
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65 | 64 | biimpar 493 |
. . . . . 6
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66 | resixp 7575 |
. . . . . 6
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67 | 63, 65, 66 | syl2anc 673 |
. . . . 5
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68 | 27 | adantr 472 |
. . . . 5
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69 | 67, 68 | eleqtrd 2551 |
. . . 4
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70 | 43 | adantr 472 |
. . . . . 6
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71 | resixp 7575 |
. . . . . 6
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72 | 70, 65, 71 | syl2anc 673 |
. . . . 5
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73 | 51 | adantr 472 |
. . . . 5
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74 | 72, 73 | eleqtrd 2551 |
. . . 4
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75 | opelxpi 4871 |
. . . 4
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76 | 69, 74, 75 | syl2anc 673 |
. . 3
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77 | eqop 6852 |
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78 | 77 | ad2antrl 742 |
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79 | 65 | adantrl 730 |
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80 | ixpfn 7546 |
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81 | fnresdm 5695 |
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82 | 79, 80, 81 | 3syl 18 |
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85 | 82, 84 | eqtr3d 2507 |
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86 | resundi 5124 |
. . . . . . 7
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88 | uneq12 3574 |
. . . . . . 7
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89 | 88 | eqeq2d 2481 |
. . . . . 6
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90 | 87, 89 | syl5ibrcom 230 |
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91 | ixpfn 7546 |
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92 | 29, 91 | syl 17 |
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93 | 92 | adantrr 731 |
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94 | dffn2 5741 |
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95 | 93, 94 | sylib 201 |
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96 | 51 | adantr 472 |
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97 | 31, 96 | eleqtrrd 2552 |
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98 | ixpfn 7546 |
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99 | 97, 98 | syl 17 |
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100 | 99 | adantrr 731 |
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101 | dffn2 5741 |
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102 | 100, 101 | sylib 201 |
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103 | res0 5115 |
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104 | res0 5115 |
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105 | 103, 104 | eqtr4i 2496 |
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106 | 33 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . 11
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107 | 106 | reseq2d 5111 |
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108 | 106 | reseq2d 5111 |
. . . . . . . . . 10
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109 | 105, 107, 108 | 3eqtr4a 2531 |
. . . . . . . . 9
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110 | fresaunres1 5768 |
. . . . . . . . 9
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111 | 95, 102, 109, 110 | syl3anc 1292 |
. . . . . . . 8
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112 | 111 | eqcomd 2477 |
. . . . . . 7
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113 | fresaunres2 5767 |
. . . . . . . . 9
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114 | 95, 102, 109, 113 | syl3anc 1292 |
. . . . . . . 8
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115 | 114 | eqcomd 2477 |
. . . . . . 7
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116 | 112, 115 | jca 541 |
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117 | reseq1 5105 |
. . . . . . . 8
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118 | 117 | eqeq2d 2481 |
. . . . . . 7
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119 | reseq1 5105 |
. . . . . . . 8
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120 | 119 | eqeq2d 2481 |
. . . . . . 7
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121 | 118, 120 | anbi12d 725 |
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122 | 116, 121 | syl5ibrcom 230 |
. . . . 5
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123 | 90, 122 | impbid 195 |
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124 | 78, 123 | bitrd 261 |
. . 3
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125 | 8, 62, 76, 124 | f1ocnv2d 6539 |
. 2
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126 | 125 | simprd 470 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-int 4227 df-iun 4271 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-om 6712 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-1o 7200 df-oadd 7204 df-er 7381 df-ixp 7541 df-en 7588 df-fin 7591 df-fi 7943 df-topgen 15420 df-pt 15421 df-top 19998 df-bases 19999 |
This theorem is referenced by: ptunhmeo 20900 |
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