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Theorem ptuncnv 20602
Description: Exhibit the converse function of the map  G which joins two product topologies on disjoint index sets. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptunhmeo.x  |-  X  = 
U. K
ptunhmeo.y  |-  Y  = 
U. L
ptunhmeo.j  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
ptunhmeo.k  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )
ptunhmeo.l  |-  L  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
ptunhmeo.g  |-  G  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x  u.  y
) )
ptunhmeo.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
ptunhmeo.f  |-  ( ph  ->  F : C --> Top )
ptunhmeo.u  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  u.  B ) )
ptunhmeo.i  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
ptuncnv  |-  ( ph  ->  `' G  =  (
z  e.  U. J  |-> 
<. ( z  |`  A ) ,  ( z  |`  B ) >. )
)
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    z, G    ph, x, y, z    x, C, y, z    x, F, y, z    x, J, y, z    x, K, y, z    x, L, y, z    z, V    x, X, y, z    x, Y, y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem ptuncnv
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptunhmeo.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x  u.  y
) )
2 vex 3064 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
3 vex 3064 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
42, 3op1std 6796 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  w
)  =  x )
52, 3op2ndd 6797 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  w
)  =  y )
64, 5uneq12d 3600 . . . . 5  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  =  ( x  u.  y ) )
76mpt2mpt 6377 . . . 4  |-  ( w  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w
) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x  u.  y
) )
81, 7eqtr4i 2436 . . 3  |-  G  =  ( w  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) ) )
9 xp1st 6816 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( 1st `  w )  e.  X )
109adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  w )  e.  X )
11 ixpeq2 7523 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  k
)  =  U. ( F `  k )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  k
)  =  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
12 fvres 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
1312unieqd 4203 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  A  ->  U. (
( F  |`  A ) `
 k )  = 
U. ( F `  k ) )
1411, 13mprg 2769 . . . . . . . . 9  |-  X_ k  e.  A  U. (
( F  |`  A ) `
 k )  = 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)
15 ptunhmeo.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
16 ssun1 3608 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
17 ptunhmeo.u . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  u.  B ) )
1816, 17syl5sseqr 3493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
1915, 18ssexd 4543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
20 ptunhmeo.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : C --> Top )
2120, 18fssresd 5737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A --> Top )
22 ptunhmeo.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )
2322ptuni 20389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( F  |`  A ) : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  k
)  =  U. K
)
2419, 21, 23syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  k
)  =  U. K
)
2514, 24syl5eqr 2459 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. K
)
26 ptunhmeo.x . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. K
2725, 26syl6eqr 2463 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  X )
2827adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  X )
2910, 28eleqtrrd 2495 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  w )  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) )
30 xp2nd 6817 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( 2nd `  w )  e.  Y )
3130adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  w )  e.  Y )
3217eqcomd 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  =  C )
33 ptunhmeo.i . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
34 uneqdifeq 3862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  C  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  (
( A  u.  B
)  =  C  <->  ( C  \  A )  =  B ) )
3518, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  u.  B )  =  C  <-> 
( C  \  A
)  =  B ) )
3632, 35mpbid 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  \  A
)  =  B )
3736ixpeq1d 7521 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  ( C  \  A ) U. ( F `  k )  =  X_ k  e.  B  U. ( F `  k ) )
38 ixpeq2 7523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. ( F `  k )  -> 
X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  X_ k  e.  B  U. ( F `  k )
)
39 fvres 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
4039unieqd 4203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  B  ->  U. (
( F  |`  B ) `
 k )  = 
U. ( F `  k ) )
4138, 40mprg 2769 . . . . . . . . . 10  |-  X_ k  e.  B  U. (
( F  |`  B ) `
 k )  = 
X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)
42 ssun2 3609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
4342, 17syl5sseqr 3493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  C_  C )
4415, 43ssexd 4543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
4520, 43fssresd 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> Top )
46 ptunhmeo.l . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
4746ptuni 20389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  -> 
X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. L
)
4844, 45, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. L
)
4941, 48syl5eqr 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)  =  U. L
)
50 ptunhmeo.y . . . . . . . . 9  |-  Y  = 
U. L
5149, 50syl6eqr 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)  =  Y )
5237, 51eqtrd 2445 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  ( C  \  A ) U. ( F `  k )  =  Y )
5352adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ k  e.  ( C  \  A
) U. ( F `
 k )  =  Y )
5431, 53eleqtrrd 2495 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  w )  e.  X_ k  e.  ( C  \  A ) U. ( F `  k ) )
5518adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  A  C_  C )
56 undifixp 7545 . . . . 5  |-  ( ( ( 1st `  w
)  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  /\  ( 2nd `  w
)  e.  X_ k  e.  ( C  \  A
) U. ( F `
 k )  /\  A  C_  C )  -> 
( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k
) )
5729, 54, 55, 56syl3anc 1232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k
) )
58 ptunhmeo.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
5958ptuni 20389 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  V  /\  F : C --> Top )  -> 
X_ k  e.  C  U. ( F `  k
)  =  U. J
)
6015, 20, 59syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  C  U. ( F `  k
)  =  U. J
)
6160adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ k  e.  C  U. ( F `  k )  =  U. J )
6257, 61eleqtrd 2494 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  e. 
U. J )
6318adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  A  C_  C )
6460eleq2d 2474 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k )  <-> 
z  e.  U. J
) )
6564biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k
) )
66 resixp 7544 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  C  /\  z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `
 k ) )  ->  ( z  |`  A )  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) )
6763, 65, 66syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  (
z  |`  A )  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) )
6827adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  X )
6967, 68eleqtrd 2494 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  (
z  |`  A )  e.  X )
7043adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  B  C_  C )
71 resixp 7544 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  C  /\  z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `
 k ) )  ->  ( z  |`  B )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k ) )
7270, 65, 71syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  (
z  |`  B )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k
) )
7351adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  X_ k  e.  B  U. ( F `  k )  =  Y )
7472, 73eleqtrd 2494 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  (
z  |`  B )  e.  Y )
75 opelxpi 4857 . . . 4  |-  ( ( ( z  |`  A )  e.  X  /\  (
z  |`  B )  e.  Y )  ->  <. (
z  |`  A ) ,  ( z  |`  B )
>.  e.  ( X  X.  Y ) )
7669, 74, 75syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  <. (
z  |`  A ) ,  ( z  |`  B )
>.  e.  ( X  X.  Y ) )
77 eqop 6826 . . . . 5  |-  ( w  e.  ( X  X.  Y )  ->  (
w  =  <. (
z  |`  A ) ,  ( z  |`  B )
>. 
<->  ( ( 1st `  w
)  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B ) ) ) )
7877ad2antrl 728 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( w  =  <. ( z  |`  A ) ,  ( z  |`  B ) >.  <->  ( ( 1st `  w )  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w
)  =  ( z  |`  B ) ) ) )
7965adantrl 716 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k )
)
80 ixpfn 7515 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k
)  ->  z  Fn  C )
81 fnresdm 5673 . . . . . . . . 9  |-  ( z  Fn  C  ->  (
z  |`  C )  =  z )
8279, 80, 813syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( z  |`  C )  =  z )
8317reseq2d 5096 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z  |`  C )  =  ( z  |`  ( A  u.  B
) ) )
8483adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( z  |`  C )  =  ( z  |`  ( A  u.  B
) ) )
8582, 84eqtr3d 2447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
z  =  ( z  |`  ( A  u.  B
) ) )
86 resundi 5109 . . . . . . 7  |-  ( z  |`  ( A  u.  B
) )  =  ( ( z  |`  A )  u.  ( z  |`  B ) )
8785, 86syl6eq 2461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
z  =  ( ( z  |`  A )  u.  ( z  |`  B ) ) )
88 uneq12 3594 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1st `  w
)  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B ) )  ->  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w
) )  =  ( ( z  |`  A )  u.  ( z  |`  B ) ) )
8988eqeq2d 2418 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1st `  w
)  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B ) )  ->  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  <-> 
z  =  ( ( z  |`  A )  u.  ( z  |`  B ) ) ) )
9087, 89syl5ibrcom 224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w
)  =  ( z  |`  B ) )  -> 
z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w
) ) ) )
91 ixpfn 7515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1st `  w )  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  ( 1st `  w )  Fn  A
)
9229, 91syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  w )  Fn  A )
9392adantrr 717 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 1st `  w
)  Fn  A )
94 dffn2 5717 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  w )  Fn  A  <->  ( 1st `  w ) : A --> _V )
9593, 94sylib 198 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 1st `  w
) : A --> _V )
9651adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ k  e.  B  U. ( F `  k )  =  Y )
9731, 96eleqtrrd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  w )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k
) )
98 ixpfn 7515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2nd `  w )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)  ->  ( 2nd `  w )  Fn  B
)
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  w )  Fn  B )
10099adantrr 717 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 2nd `  w
)  Fn  B )
101 dffn2 5717 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2nd `  w )  Fn  B  <->  ( 2nd `  w ) : B --> _V )
102100, 101sylib 198 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 2nd `  w
) : B --> _V )
103 res0 5100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1st `  w )  |`  (/) )  =  (/)
104 res0 5100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2nd `  w )  |`  (/) )  =  (/)
105103, 104eqtr4i 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  w )  |`  (/) )  =  ( ( 2nd `  w
)  |`  (/) )
10633adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( A  i^i  B
)  =  (/) )
107106reseq2d 5096 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( 1st `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 1st `  w
)  |`  (/) ) )
108106reseq2d 5096 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( 2nd `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  w
)  |`  (/) ) )
109105, 107, 1083eqtr4a 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( 1st `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) ) )
110 fresaunres1 5743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  w
) : A --> _V  /\  ( 2nd `  w ) : B --> _V  /\  ( ( 1st `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A )  =  ( 1st `  w ) )
11195, 102, 109, 110syl3anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A )  =  ( 1st `  w ) )
112111eqcomd 2412 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 1st `  w
)  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A ) )
113 fresaunres2 5742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  w
) : A --> _V  /\  ( 2nd `  w ) : B --> _V  /\  ( ( 1st `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B )  =  ( 2nd `  w ) )
11495, 102, 109, 113syl3anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B )  =  ( 2nd `  w ) )
115114eqcomd 2412 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 2nd `  w
)  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B ) )
116112, 115jca 532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( 1st `  w
)  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B ) ) )
117 reseq1 5090 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  ->  ( z  |`  A )  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A ) )
118117eqeq2d 2418 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  ->  ( ( 1st `  w )  =  ( z  |`  A )  <->  ( 1st `  w )  =  ( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w
) )  |`  A ) ) )
119 reseq1 5090 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  ->  ( z  |`  B )  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B ) )
120119eqeq2d 2418 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  ->  ( ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B )  <->  ( 2nd `  w )  =  ( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w
) )  |`  B ) ) )
121118, 120anbi12d 711 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  ->  ( ( ( 1st `  w )  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B ) )  <->  ( ( 1st `  w )  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B ) ) ) )
122116, 121syl5ibrcom 224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( z  =  ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  -> 
( ( 1st `  w
)  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B ) ) ) )
12390, 122impbid 192 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w
)  =  ( z  |`  B ) )  <->  z  =  ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) ) ) )
12478, 123bitrd 255 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( w  =  <. ( z  |`  A ) ,  ( z  |`  B ) >.  <->  z  =  ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) ) ) )
1258, 62, 76, 124f1ocnv2d 6509 . 2  |-  ( ph  ->  ( G : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> U. J  /\  `' G  =  ( z  e. 
U. J  |->  <. (
z  |`  A ) ,  ( z  |`  B )
>. ) ) )
126125simprd 463 1  |-  ( ph  ->  `' G  =  (
z  e.  U. J  |-> 
<. ( z  |`  A ) ,  ( z  |`  B ) >. )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   _Vcvv 3061    \ cdif 3413    u. cun 3414    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3740   <.cop 3980   U.cuni 4193    |-> cmpt 4455    X. cxp 4823   `'ccnv 4824    |` cres 4827    Fn wfn 5566   -->wf 5567   -1-1-onto->wf1o 5570   ` cfv 5571    |-> cmpt2 6282   1stc1st 6784   2ndc2nd 6785   X_cixp 7509   Xt_cpt 15055   Topctop 19688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-ixp 7510  df-en 7557  df-fin 7560  df-fi 7907  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-top 19693  df-bases 19695
This theorem is referenced by:  ptunhmeo  20603
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