MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptuncnv Structured version   Unicode version

Theorem ptuncnv 20806
Description: Exhibit the converse function of the map  G which joins two product topologies on disjoint index sets. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptunhmeo.x  |-  X  = 
U. K
ptunhmeo.y  |-  Y  = 
U. L
ptunhmeo.j  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
ptunhmeo.k  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )
ptunhmeo.l  |-  L  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
ptunhmeo.g  |-  G  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x  u.  y
) )
ptunhmeo.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
ptunhmeo.f  |-  ( ph  ->  F : C --> Top )
ptunhmeo.u  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  u.  B ) )
ptunhmeo.i  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
ptuncnv  |-  ( ph  ->  `' G  =  (
z  e.  U. J  |-> 
<. ( z  |`  A ) ,  ( z  |`  B ) >. )
)
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    z, G    ph, x, y, z    x, C, y, z    x, F, y, z    x, J, y, z    x, K, y, z    x, L, y, z    z, V    x, X, y, z    x, Y, y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem ptuncnv
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptunhmeo.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x  u.  y
) )
2 vex 3084 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
3 vex 3084 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
42, 3op1std 6813 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  w
)  =  x )
52, 3op2ndd 6814 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  w
)  =  y )
64, 5uneq12d 3621 . . . . 5  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  =  ( x  u.  y ) )
76mpt2mpt 6398 . . . 4  |-  ( w  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w
) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x  u.  y
) )
81, 7eqtr4i 2454 . . 3  |-  G  =  ( w  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) ) )
9 xp1st 6833 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( 1st `  w )  e.  X )
109adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  w )  e.  X )
11 ixpeq2 7540 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  k
)  =  U. ( F `  k )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  k
)  =  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
12 fvres 5891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
1312unieqd 4226 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  A  ->  U. (
( F  |`  A ) `
 k )  = 
U. ( F `  k ) )
1411, 13mprg 2788 . . . . . . . . 9  |-  X_ k  e.  A  U. (
( F  |`  A ) `
 k )  = 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)
15 ptunhmeo.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
16 ssun1 3629 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
17 ptunhmeo.u . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  u.  B ) )
1816, 17syl5sseqr 3513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
1915, 18ssexd 4567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
20 ptunhmeo.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : C --> Top )
2120, 18fssresd 5763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A --> Top )
22 ptunhmeo.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )
2322ptuni 20593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( F  |`  A ) : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  k
)  =  U. K
)
2419, 21, 23syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  k
)  =  U. K
)
2514, 24syl5eqr 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. K
)
26 ptunhmeo.x . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. K
2725, 26syl6eqr 2481 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  X )
2827adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  X )
2910, 28eleqtrrd 2513 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  w )  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) )
30 xp2nd 6834 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( 2nd `  w )  e.  Y )
3130adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  w )  e.  Y )
3217eqcomd 2430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  =  C )
33 ptunhmeo.i . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
34 uneqdifeq 3884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  C  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  (
( A  u.  B
)  =  C  <->  ( C  \  A )  =  B ) )
3518, 33, 34syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  u.  B )  =  C  <-> 
( C  \  A
)  =  B ) )
3632, 35mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  \  A
)  =  B )
3736ixpeq1d 7538 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  ( C  \  A ) U. ( F `  k )  =  X_ k  e.  B  U. ( F `  k ) )
38 ixpeq2 7540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. ( F `  k )  -> 
X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  X_ k  e.  B  U. ( F `  k )
)
39 fvres 5891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
4039unieqd 4226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  B  ->  U. (
( F  |`  B ) `
 k )  = 
U. ( F `  k ) )
4138, 40mprg 2788 . . . . . . . . . 10  |-  X_ k  e.  B  U. (
( F  |`  B ) `
 k )  = 
X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)
42 ssun2 3630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
4342, 17syl5sseqr 3513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  C_  C )
4415, 43ssexd 4567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
4520, 43fssresd 5763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> Top )
46 ptunhmeo.l . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
4746ptuni 20593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  -> 
X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. L
)
4844, 45, 47syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. L
)
4941, 48syl5eqr 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)  =  U. L
)
50 ptunhmeo.y . . . . . . . . 9  |-  Y  = 
U. L
5149, 50syl6eqr 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)  =  Y )
5237, 51eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  ( C  \  A ) U. ( F `  k )  =  Y )
5352adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ k  e.  ( C  \  A
) U. ( F `
 k )  =  Y )
5431, 53eleqtrrd 2513 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  w )  e.  X_ k  e.  ( C  \  A ) U. ( F `  k ) )
5518adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  A  C_  C )
56 undifixp 7562 . . . . 5  |-  ( ( ( 1st `  w
)  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  /\  ( 2nd `  w
)  e.  X_ k  e.  ( C  \  A
) U. ( F `
 k )  /\  A  C_  C )  -> 
( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k
) )
5729, 54, 55, 56syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k
) )
58 ptunhmeo.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
5958ptuni 20593 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  V  /\  F : C --> Top )  -> 
X_ k  e.  C  U. ( F `  k
)  =  U. J
)
6015, 20, 59syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  C  U. ( F `  k
)  =  U. J
)
6160adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ k  e.  C  U. ( F `  k )  =  U. J )
6257, 61eleqtrd 2512 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  e. 
U. J )
6318adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  A  C_  C )
6460eleq2d 2492 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k )  <-> 
z  e.  U. J
) )
6564biimpar 487 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k
) )
66 resixp 7561 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  C  /\  z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `
 k ) )  ->  ( z  |`  A )  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) )
6763, 65, 66syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  (
z  |`  A )  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) )
6827adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  X )
6967, 68eleqtrd 2512 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  (
z  |`  A )  e.  X )
7043adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  B  C_  C )
71 resixp 7561 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  C  /\  z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `
 k ) )  ->  ( z  |`  B )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k ) )
7270, 65, 71syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  (
z  |`  B )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k
) )
7351adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  X_ k  e.  B  U. ( F `  k )  =  Y )
7472, 73eleqtrd 2512 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  (
z  |`  B )  e.  Y )
75 opelxpi 4881 . . . 4  |-  ( ( ( z  |`  A )  e.  X  /\  (
z  |`  B )  e.  Y )  ->  <. (
z  |`  A ) ,  ( z  |`  B )
>.  e.  ( X  X.  Y ) )
7669, 74, 75syl2anc 665 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  <. (
z  |`  A ) ,  ( z  |`  B )
>.  e.  ( X  X.  Y ) )
77 eqop 6843 . . . . 5  |-  ( w  e.  ( X  X.  Y )  ->  (
w  =  <. (
z  |`  A ) ,  ( z  |`  B )
>. 
<->  ( ( 1st `  w
)  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B ) ) ) )
7877ad2antrl 732 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( w  =  <. ( z  |`  A ) ,  ( z  |`  B ) >.  <->  ( ( 1st `  w )  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w
)  =  ( z  |`  B ) ) ) )
7965adantrl 720 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k )
)
80 ixpfn 7532 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k
)  ->  z  Fn  C )
81 fnresdm 5699 . . . . . . . . 9  |-  ( z  Fn  C  ->  (
z  |`  C )  =  z )
8279, 80, 813syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( z  |`  C )  =  z )
8317reseq2d 5120 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z  |`  C )  =  ( z  |`  ( A  u.  B
) ) )
8483adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( z  |`  C )  =  ( z  |`  ( A  u.  B
) ) )
8582, 84eqtr3d 2465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
z  =  ( z  |`  ( A  u.  B
) ) )
86 resundi 5133 . . . . . . 7  |-  ( z  |`  ( A  u.  B
) )  =  ( ( z  |`  A )  u.  ( z  |`  B ) )
8785, 86syl6eq 2479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
z  =  ( ( z  |`  A )  u.  ( z  |`  B ) ) )
88 uneq12 3615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1st `  w
)  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B ) )  ->  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w
) )  =  ( ( z  |`  A )  u.  ( z  |`  B ) ) )
8988eqeq2d 2436 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1st `  w
)  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B ) )  ->  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  <-> 
z  =  ( ( z  |`  A )  u.  ( z  |`  B ) ) ) )
9087, 89syl5ibrcom 225 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w
)  =  ( z  |`  B ) )  -> 
z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w
) ) ) )
91 ixpfn 7532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1st `  w )  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  ( 1st `  w )  Fn  A
)
9229, 91syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  w )  Fn  A )
9392adantrr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 1st `  w
)  Fn  A )
94 dffn2 5743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  w )  Fn  A  <->  ( 1st `  w ) : A --> _V )
9593, 94sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 1st `  w
) : A --> _V )
9651adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ k  e.  B  U. ( F `  k )  =  Y )
9731, 96eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  w )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k
) )
98 ixpfn 7532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2nd `  w )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)  ->  ( 2nd `  w )  Fn  B
)
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  w )  Fn  B )
10099adantrr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 2nd `  w
)  Fn  B )
101 dffn2 5743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2nd `  w )  Fn  B  <->  ( 2nd `  w ) : B --> _V )
102100, 101sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 2nd `  w
) : B --> _V )
103 res0 5124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1st `  w )  |`  (/) )  =  (/)
104 res0 5124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2nd `  w )  |`  (/) )  =  (/)
105103, 104eqtr4i 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  w )  |`  (/) )  =  ( ( 2nd `  w
)  |`  (/) )
10633adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( A  i^i  B
)  =  (/) )
107106reseq2d 5120 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( 1st `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 1st `  w
)  |`  (/) ) )
108106reseq2d 5120 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( 2nd `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  w
)  |`  (/) ) )
109105, 107, 1083eqtr4a 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( 1st `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) ) )
110 fresaunres1 5769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  w
) : A --> _V  /\  ( 2nd `  w ) : B --> _V  /\  ( ( 1st `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A )  =  ( 1st `  w ) )
11195, 102, 109, 110syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A )  =  ( 1st `  w ) )
112111eqcomd 2430 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 1st `  w
)  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A ) )
113 fresaunres2 5768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  w
) : A --> _V  /\  ( 2nd `  w ) : B --> _V  /\  ( ( 1st `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B )  =  ( 2nd `  w ) )
11495, 102, 109, 113syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B )  =  ( 2nd `  w ) )
115114eqcomd 2430 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 2nd `  w
)  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B ) )
116112, 115jca 534 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( 1st `  w
)  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B ) ) )
117 reseq1 5114 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  ->  ( z  |`  A )  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A ) )
118117eqeq2d 2436 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  ->  ( ( 1st `  w )  =  ( z  |`  A )  <->  ( 1st `  w )  =  ( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w
) )  |`  A ) ) )
119 reseq1 5114 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  ->  ( z  |`  B )  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B ) )
120119eqeq2d 2436 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  ->  ( ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B )  <->  ( 2nd `  w )  =  ( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w
) )  |`  B ) ) )
121118, 120anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  ->  ( ( ( 1st `  w )  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B ) )  <->  ( ( 1st `  w )  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B ) ) ) )
122116, 121syl5ibrcom 225 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( z  =  ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  -> 
( ( 1st `  w
)  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B ) ) ) )
12390, 122impbid 193 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w
)  =  ( z  |`  B ) )  <->  z  =  ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) ) ) )
12478, 123bitrd 256 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( w  =  <. ( z  |`  A ) ,  ( z  |`  B ) >.  <->  z  =  ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) ) ) )
1258, 62, 76, 124f1ocnv2d 6530 . 2  |-  ( ph  ->  ( G : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> U. J  /\  `' G  =  ( z  e. 
U. J  |->  <. (
z  |`  A ) ,  ( z  |`  B )
>. ) ) )
126125simprd 464 1  |-  ( ph  ->  `' G  =  (
z  e.  U. J  |-> 
<. ( z  |`  A ) ,  ( z  |`  B ) >. )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   _Vcvv 3081    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   <.cop 4002   U.cuni 4216    |-> cmpt 4479    X. cxp 4847   `'ccnv 4848    |` cres 4851    Fn wfn 5592   -->wf 5593   -1-1-onto->wf1o 5596   ` cfv 5597    |-> cmpt2 6303   1stc1st 6801   2ndc2nd 6802   X_cixp 7526   Xt_cpt 15322   Topctop 19901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-ixp 7527  df-en 7574  df-fin 7577  df-fi 7927  df-topgen 15327  df-pt 15328  df-top 19905  df-bases 19906
This theorem is referenced by:  ptunhmeo  20807
  Copyright terms: Public domain W3C validator