MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptuncnv Structured version   Unicode version

Theorem ptuncnv 19339
Description: Exhibit the converse function of the map  G which joins two product topologies on disjoint index sets. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptunhmeo.x  |-  X  = 
U. K
ptunhmeo.y  |-  Y  = 
U. L
ptunhmeo.j  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
ptunhmeo.k  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )
ptunhmeo.l  |-  L  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
ptunhmeo.g  |-  G  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x  u.  y
) )
ptunhmeo.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
ptunhmeo.f  |-  ( ph  ->  F : C --> Top )
ptunhmeo.u  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  u.  B ) )
ptunhmeo.i  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
ptuncnv  |-  ( ph  ->  `' G  =  (
z  e.  U. J  |-> 
<. ( z  |`  A ) ,  ( z  |`  B ) >. )
)
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    z, G    ph, x, y, z    x, C, y, z    x, F, y, z    x, J, y, z    x, K, y, z    x, L, y, z    z, V    x, X, y, z    x, Y, y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem ptuncnv
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptunhmeo.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x  u.  y
) )
2 vex 2973 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
3 vex 2973 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
42, 3op1std 6586 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  w
)  =  x )
52, 3op2ndd 6587 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  w
)  =  y )
64, 5uneq12d 3508 . . . . 5  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  =  ( x  u.  y ) )
76mpt2mpt 6181 . . . 4  |-  ( w  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w
) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x  u.  y
) )
81, 7eqtr4i 2464 . . 3  |-  G  =  ( w  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) ) )
9 xp1st 6605 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( 1st `  w )  e.  X )
109adantl 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  w )  e.  X )
11 ixpeq2 7273 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  k
)  =  U. ( F `  k )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  k
)  =  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
12 fvres 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
1312unieqd 4098 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  A  ->  U. (
( F  |`  A ) `
 k )  = 
U. ( F `  k ) )
1411, 13mprg 2783 . . . . . . . . 9  |-  X_ k  e.  A  U. (
( F  |`  A ) `
 k )  = 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)
15 ptunhmeo.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
16 ssun1 3516 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
17 ptunhmeo.u . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  u.  B ) )
1816, 17syl5sseqr 3402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
1915, 18ssexd 4436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
20 ptunhmeo.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : C --> Top )
21 fssres 5575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : C --> Top  /\  A  C_  C )  -> 
( F  |`  A ) : A --> Top )
2220, 18, 21syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A --> Top )
23 ptunhmeo.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )
2423ptuni 19126 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( F  |`  A ) : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  k
)  =  U. K
)
2519, 22, 24syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  k
)  =  U. K
)
2614, 25syl5eqr 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. K
)
27 ptunhmeo.x . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. K
2826, 27syl6eqr 2491 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  X )
2928adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  X )
3010, 29eleqtrrd 2518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  w )  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) )
31 xp2nd 6606 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( 2nd `  w )  e.  Y )
3231adantl 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  w )  e.  Y )
3317eqcomd 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  =  C )
34 ptunhmeo.i . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
35 uneqdifeq 3764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  C  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  (
( A  u.  B
)  =  C  <->  ( C  \  A )  =  B ) )
3618, 34, 35syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  u.  B )  =  C  <-> 
( C  \  A
)  =  B ) )
3733, 36mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  \  A
)  =  B )
3837ixpeq1d 7271 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  ( C  \  A ) U. ( F `  k )  =  X_ k  e.  B  U. ( F `  k ) )
39 ixpeq2 7273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. ( F `  k )  -> 
X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  X_ k  e.  B  U. ( F `  k )
)
40 fvres 5701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
4140unieqd 4098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  B  ->  U. (
( F  |`  B ) `
 k )  = 
U. ( F `  k ) )
4239, 41mprg 2783 . . . . . . . . . 10  |-  X_ k  e.  B  U. (
( F  |`  B ) `
 k )  = 
X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)
43 ssun2 3517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
4443, 17syl5sseqr 3402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  C_  C )
4515, 44ssexd 4436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
46 fssres 5575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : C --> Top  /\  B  C_  C )  -> 
( F  |`  B ) : B --> Top )
4720, 44, 46syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> Top )
48 ptunhmeo.l . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
4948ptuni 19126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  -> 
X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. L
)
5045, 47, 49syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. L
)
5142, 50syl5eqr 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)  =  U. L
)
52 ptunhmeo.y . . . . . . . . 9  |-  Y  = 
U. L
5351, 52syl6eqr 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)  =  Y )
5438, 53eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  ( C  \  A ) U. ( F `  k )  =  Y )
5554adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ k  e.  ( C  \  A
) U. ( F `
 k )  =  Y )
5632, 55eleqtrrd 2518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  w )  e.  X_ k  e.  ( C  \  A ) U. ( F `  k ) )
5718adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  A  C_  C )
58 undifixp 7295 . . . . 5  |-  ( ( ( 1st `  w
)  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  /\  ( 2nd `  w
)  e.  X_ k  e.  ( C  \  A
) U. ( F `
 k )  /\  A  C_  C )  -> 
( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k
) )
5930, 56, 57, 58syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k
) )
60 ptunhmeo.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
6160ptuni 19126 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  V  /\  F : C --> Top )  -> 
X_ k  e.  C  U. ( F `  k
)  =  U. J
)
6215, 20, 61syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  C  U. ( F `  k
)  =  U. J
)
6362adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ k  e.  C  U. ( F `  k )  =  U. J )
6459, 63eleqtrd 2517 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  e. 
U. J )
6518adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  A  C_  C )
6662eleq2d 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k )  <-> 
z  e.  U. J
) )
6766biimpar 482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k
) )
68 resixp 7294 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  C  /\  z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `
 k ) )  ->  ( z  |`  A )  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) )
6965, 67, 68syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  (
z  |`  A )  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) )
7028adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  X )
7169, 70eleqtrd 2517 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  (
z  |`  A )  e.  X )
7244adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  B  C_  C )
73 resixp 7294 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  C  /\  z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `
 k ) )  ->  ( z  |`  B )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k ) )
7472, 67, 73syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  (
z  |`  B )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k
) )
7553adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  X_ k  e.  B  U. ( F `  k )  =  Y )
7674, 75eleqtrd 2517 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  (
z  |`  B )  e.  Y )
77 opelxpi 4867 . . . 4  |-  ( ( ( z  |`  A )  e.  X  /\  (
z  |`  B )  e.  Y )  ->  <. (
z  |`  A ) ,  ( z  |`  B )
>.  e.  ( X  X.  Y ) )
7871, 76, 77syl2anc 656 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  <. (
z  |`  A ) ,  ( z  |`  B )
>.  e.  ( X  X.  Y ) )
79 eqop 6615 . . . . 5  |-  ( w  e.  ( X  X.  Y )  ->  (
w  =  <. (
z  |`  A ) ,  ( z  |`  B )
>. 
<->  ( ( 1st `  w
)  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B ) ) ) )
8079ad2antrl 722 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( w  =  <. ( z  |`  A ) ,  ( z  |`  B ) >.  <->  ( ( 1st `  w )  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w
)  =  ( z  |`  B ) ) ) )
8167adantrl 710 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k )
)
82 ixpfn 7265 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k
)  ->  z  Fn  C )
83 fnresdm 5517 . . . . . . . . 9  |-  ( z  Fn  C  ->  (
z  |`  C )  =  z )
8481, 82, 833syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( z  |`  C )  =  z )
8517reseq2d 5106 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z  |`  C )  =  ( z  |`  ( A  u.  B
) ) )
8685adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( z  |`  C )  =  ( z  |`  ( A  u.  B
) ) )
8784, 86eqtr3d 2475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
z  =  ( z  |`  ( A  u.  B
) ) )
88 resundi 5121 . . . . . . 7  |-  ( z  |`  ( A  u.  B
) )  =  ( ( z  |`  A )  u.  ( z  |`  B ) )
8987, 88syl6eq 2489 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
z  =  ( ( z  |`  A )  u.  ( z  |`  B ) ) )
90 uneq12 3502 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1st `  w
)  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B ) )  ->  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w
) )  =  ( ( z  |`  A )  u.  ( z  |`  B ) ) )
9190eqeq2d 2452 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1st `  w
)  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B ) )  ->  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  <-> 
z  =  ( ( z  |`  A )  u.  ( z  |`  B ) ) ) )
9289, 91syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w
)  =  ( z  |`  B ) )  -> 
z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w
) ) ) )
93 ixpfn 7265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1st `  w )  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  ( 1st `  w )  Fn  A
)
9430, 93syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  w )  Fn  A )
9594adantrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 1st `  w
)  Fn  A )
96 dffn2 5557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  w )  Fn  A  <->  ( 1st `  w ) : A --> _V )
9795, 96sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 1st `  w
) : A --> _V )
9853adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ k  e.  B  U. ( F `  k )  =  Y )
9932, 98eleqtrrd 2518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  w )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k
) )
100 ixpfn 7265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2nd `  w )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)  ->  ( 2nd `  w )  Fn  B
)
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  w )  Fn  B )
102101adantrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 2nd `  w
)  Fn  B )
103 dffn2 5557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2nd `  w )  Fn  B  <->  ( 2nd `  w ) : B --> _V )
104102, 103sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 2nd `  w
) : B --> _V )
105 res0 5111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1st `  w )  |`  (/) )  =  (/)
106 res0 5111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2nd `  w )  |`  (/) )  =  (/)
107105, 106eqtr4i 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  w )  |`  (/) )  =  ( ( 2nd `  w
)  |`  (/) )
10834adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( A  i^i  B
)  =  (/) )
109108reseq2d 5106 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( 1st `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 1st `  w
)  |`  (/) ) )
110108reseq2d 5106 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( 2nd `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  w
)  |`  (/) ) )
111107, 109, 1103eqtr4a 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( 1st `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) ) )
112 fresaunres1 5581 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  w
) : A --> _V  /\  ( 2nd `  w ) : B --> _V  /\  ( ( 1st `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A )  =  ( 1st `  w ) )
11397, 104, 111, 112syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A )  =  ( 1st `  w ) )
114113eqcomd 2446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 1st `  w
)  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A ) )
115 fresaunres2 5580 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  w
) : A --> _V  /\  ( 2nd `  w ) : B --> _V  /\  ( ( 1st `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B )  =  ( 2nd `  w ) )
11697, 104, 111, 115syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B )  =  ( 2nd `  w ) )
117116eqcomd 2446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 2nd `  w
)  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B ) )
118114, 117jca 529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( 1st `  w
)  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B ) ) )
119 reseq1 5100 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  ->  ( z  |`  A )  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A ) )
120119eqeq2d 2452 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  ->  ( ( 1st `  w )  =  ( z  |`  A )  <->  ( 1st `  w )  =  ( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w
) )  |`  A ) ) )
121 reseq1 5100 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  ->  ( z  |`  B )  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B ) )
122121eqeq2d 2452 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  ->  ( ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B )  <->  ( 2nd `  w )  =  ( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w
) )  |`  B ) ) )
123120, 122anbi12d 705 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  ->  ( ( ( 1st `  w )  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B ) )  <->  ( ( 1st `  w )  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B ) ) ) )
124118, 123syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( z  =  ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  -> 
( ( 1st `  w
)  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B ) ) ) )
12592, 124impbid 191 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w
)  =  ( z  |`  B ) )  <->  z  =  ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) ) ) )
12680, 125bitrd 253 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( w  =  <. ( z  |`  A ) ,  ( z  |`  B ) >.  <->  z  =  ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) ) ) )
1278, 64, 78, 126f1ocnv2d 6310 . 2  |-  ( ph  ->  ( G : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> U. J  /\  `' G  =  ( z  e. 
U. J  |->  <. (
z  |`  A ) ,  ( z  |`  B )
>. ) ) )
128127simprd 460 1  |-  ( ph  ->  `' G  =  (
z  e.  U. J  |-> 
<. ( z  |`  A ) ,  ( z  |`  B ) >. )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   <.cop 3880   U.cuni 4088    e. cmpt 4347    X. cxp 4834   `'ccnv 4835    |` cres 4838    Fn wfn 5410   -->wf 5411   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415    e. cmpt2 6092   1stc1st 6574   2ndc2nd 6575   X_cixp 7259   Xt_cpt 14373   Topctop 18457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-ixp 7260  df-en 7307  df-fin 7310  df-fi 7657  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-top 18462  df-bases 18464
This theorem is referenced by:  ptunhmeo  19340
  Copyright terms: Public domain W3C validator