Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptuncnv Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ptuncnv 20899
 Description: Exhibit the converse function of the map which joins two product topologies on disjoint index sets. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptunhmeo.x
ptunhmeo.y
ptunhmeo.j
ptunhmeo.k
ptunhmeo.l
ptunhmeo.g
ptunhmeo.c
ptunhmeo.f
ptunhmeo.u
ptunhmeo.i
Assertion
Ref Expression
ptuncnv
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem ptuncnv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptunhmeo.g . . . 4
2 vex 3034 . . . . . . 7
3 vex 3034 . . . . . . 7
42, 3op1std 6822 . . . . . 6
52, 3op2ndd 6823 . . . . . 6
64, 5uneq12d 3580 . . . . 5
76mpt2mpt 6407 . . . 4
81, 7eqtr4i 2496 . . 3
9 xp1st 6842 . . . . . . 7
109adantl 473 . . . . . 6
11 ixpeq2 7554 . . . . . . . . . 10
12 fvres 5893 . . . . . . . . . . 11
1312unieqd 4200 . . . . . . . . . 10
1411, 13mprg 2770 . . . . . . . . 9
15 ptunhmeo.c . . . . . . . . . . 11
16 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . 12
17 ptunhmeo.u . . . . . . . . . . . 12
1816, 17syl5sseqr 3467 . . . . . . . . . . 11
1915, 18ssexd 4543 . . . . . . . . . 10
20 ptunhmeo.f . . . . . . . . . . 11
2120, 18fssresd 5762 . . . . . . . . . 10
22 ptunhmeo.k . . . . . . . . . . 11
2322ptuni 20686 . . . . . . . . . 10
2419, 21, 23syl2anc 673 . . . . . . . . 9
2514, 24syl5eqr 2519 . . . . . . . 8
26 ptunhmeo.x . . . . . . . 8
2725, 26syl6eqr 2523 . . . . . . 7
2827adantr 472 . . . . . 6
2910, 28eleqtrrd 2552 . . . . 5
30 xp2nd 6843 . . . . . . 7
3130adantl 473 . . . . . 6
3217eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10
33 ptunhmeo.i . . . . . . . . . . 11
34 uneqdifeq 3847 . . . . . . . . . . 11
3518, 33, 34syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
3632, 35mpbid 215 . . . . . . . . 9
3736ixpeq1d 7552 . . . . . . . 8
38 ixpeq2 7554 . . . . . . . . . . 11
39 fvres 5893 . . . . . . . . . . . 12
4039unieqd 4200 . . . . . . . . . . 11
4138, 40mprg 2770 . . . . . . . . . 10
42 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . . 13
4342, 17syl5sseqr 3467 . . . . . . . . . . . 12
4415, 43ssexd 4543 . . . . . . . . . . 11
4520, 43fssresd 5762 . . . . . . . . . . 11
46 ptunhmeo.l . . . . . . . . . . . 12
4746ptuni 20686 . . . . . . . . . . 11
4844, 45, 47syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
4941, 48syl5eqr 2519 . . . . . . . . 9
50 ptunhmeo.y . . . . . . . . 9
5149, 50syl6eqr 2523 . . . . . . . 8
5237, 51eqtrd 2505 . . . . . . 7
5352adantr 472 . . . . . 6
5431, 53eleqtrrd 2552 . . . . 5
5518adantr 472 . . . . 5
56 undifixp 7576 . . . . 5
5729, 54, 55, 56syl3anc 1292 . . . 4
58 ptunhmeo.j . . . . . . 7
5958ptuni 20686 . . . . . 6
6015, 20, 59syl2anc 673 . . . . 5
6160adantr 472 . . . 4
6257, 61eleqtrd 2551 . . 3
6318adantr 472 . . . . . 6
6460eleq2d 2534 . . . . . . 7
6564biimpar 493 . . . . . 6
66 resixp 7575 . . . . . 6
6763, 65, 66syl2anc 673 . . . . 5
6827adantr 472 . . . . 5
6967, 68eleqtrd 2551 . . . 4
7043adantr 472 . . . . . 6
71 resixp 7575 . . . . . 6
7270, 65, 71syl2anc 673 . . . . 5
7351adantr 472 . . . . 5
7472, 73eleqtrd 2551 . . . 4
75 opelxpi 4871 . . . 4
7669, 74, 75syl2anc 673 . . 3
77 eqop 6852 . . . . 5
7877ad2antrl 742 . . . 4
7965adantrl 730 . . . . . . . . 9
80 ixpfn 7546 . . . . . . . . 9
81 fnresdm 5695 . . . . . . . . 9
8279, 80, 813syl 18 . . . . . . . 8
8317reseq2d 5111 . . . . . . . . 9
8483adantr 472 . . . . . . . 8
8582, 84eqtr3d 2507 . . . . . . 7
86 resundi 5124 . . . . . . 7
8785, 86syl6eq 2521 . . . . . 6
88 uneq12 3574 . . . . . . 7
8988eqeq2d 2481 . . . . . 6
9087, 89syl5ibrcom 230 . . . . 5
91 ixpfn 7546 . . . . . . . . . . . 12
9229, 91syl 17 . . . . . . . . . . 11
9392adantrr 731 . . . . . . . . . 10
94 dffn2 5741 . . . . . . . . . 10
9593, 94sylib 201 . . . . . . . . 9
9651adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
9731, 96eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . 12
98 ixpfn 7546 . . . . . . . . . . . 12
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . 11
10099adantrr 731 . . . . . . . . . 10
101 dffn2 5741 . . . . . . . . . 10
102100, 101sylib 201 . . . . . . . . 9
103 res0 5115 . . . . . . . . . . 11
104 res0 5115 . . . . . . . . . . 11
105103, 104eqtr4i 2496 . . . . . . . . . 10
10633adantr 472 . . . . . . . . . . 11
107106reseq2d 5111 . . . . . . . . . 10
108106reseq2d 5111 . . . . . . . . . 10
109105, 107, 1083eqtr4a 2531 . . . . . . . . 9
110 fresaunres1 5768 . . . . . . . . 9
11195, 102, 109, 110syl3anc 1292 . . . . . . . 8
112111eqcomd 2477 . . . . . . 7
113 fresaunres2 5767 . . . . . . . . 9
11495, 102, 109, 113syl3anc 1292 . . . . . . . 8
115114eqcomd 2477 . . . . . . 7
116112, 115jca 541 . . . . . 6
117 reseq1 5105 . . . . . . . 8
118117eqeq2d 2481 . . . . . . 7
119 reseq1 5105 . . . . . . . 8
120119eqeq2d 2481 . . . . . . 7
121118, 120anbi12d 725 . . . . . 6
122116, 121syl5ibrcom 230 . . . . 5
12390, 122impbid 195 . . . 4
12478, 123bitrd 261 . . 3
1258, 62, 76, 124f1ocnv2d 6539 . 2
126125simprd 470 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cop 3965  cuni 4190   cmpt 4454   cxp 4837  ccnv 4838   cres 4841   wfn 5584  wf 5585  wf1o 5588  cfv 5589   cmpt2 6310  c1st 6810  c2nd 6811  cixp 7540  cpt 15415  ctop 19994 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ixp 7541  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-top 19998  df-bases 19999 This theorem is referenced by:  ptunhmeo  20900
 Copyright terms: Public domain W3C validator