Theorem ptuncnv 20602

Description: Exhibit the converse function of the map G which joins two product topologies on disjoint index sets. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptunhmeo.x	|- X = U. K
ptunhmeo.y	|- Y = U. L
ptunhmeo.j	|- J = ( Xt_ ` F )
ptunhmeo.k	|- K = ( Xt_ ` ( F |` A ) )
ptunhmeo.l	|- L = ( Xt_ ` ( F |` B ) )
ptunhmeo.g	|- G = ( x e. X , y e. Y |-> ( x u. y ) )
ptunhmeo.c	|- ( ph -> C e. V )
ptunhmeo.f	|- ( ph -> F : C --> Top )
ptunhmeo.u	|- ( ph -> C = ( A u. B ) )
ptunhmeo.i	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
ptuncnv	|- ( ph -> `' G = ( z e. U. J |-> <. ( z |` A ) , ( z |` B ) >. ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   z, G   ph, x, y, z   x, C, y, z   x, F, y, z   x, J, y, z   x, K, y, z   x, L, y, z   z, V   x, X, y, z   x, Y, y, z

Allowed substitution hints:   G( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem ptuncnv

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptunhmeo.g	. . . 4 |- G = ( x e. X , y e. Y |-> ( x u. y ) )
2		vex 3064	. . . . . . 7 |- x e. _V
3		vex 3064	. . . . . . 7 |- y e. _V
4	2, 3	op1std 6796	. . . . . 6 |- ( w = <. x , y >. -> ( 1st ` w ) = x )
5	2, 3	op2ndd 6797	. . . . . 6 |- ( w = <. x , y >. -> ( 2nd ` w ) = y )
6	4, 5	uneq12d 3600	. . . . 5 |- ( w = <. x , y >. -> ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) = ( x u. y ) )
7	6	mpt2mpt 6377	. . . 4 |- ( w e. ( X X. Y ) |-> ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> ( x u. y ) )
8	1, 7	eqtr4i 2436	. . 3 |- G = ( w e. ( X X. Y ) |-> ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) )
9		xp1st 6816	. . . . . . 7 |- ( w e. ( X X. Y ) -> ( 1st ` w ) e. X )
10	9	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> ( 1st ` w ) e. X )
11		ixpeq2 7523	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. A U. ( ( F |` A ) ` k ) = U. ( F ` k ) -> X_ k e. A U. ( ( F |` A ) ` k ) = X_ k e. A U. ( F ` k ) )
12		fvres 5865	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. A -> ( ( F |` A ) ` k ) = ( F ` k ) )
13	12	unieqd 4203	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. A -> U. ( ( F |` A ) ` k ) = U. ( F ` k ) )
14	11, 13	mprg 2769	. . . . . . . . 9 |- X_ k e. A U. ( ( F |` A ) ` k ) = X_ k e. A U. ( F ` k )
15		ptunhmeo.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. V )
16		ssun1 3608	. . . . . . . . . . . 12 |- A C_ ( A u. B )
17		ptunhmeo.u	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C = ( A u. B ) )
18	16, 17	syl5sseqr 3493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ C )
19	15, 18	ssexd 4543	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. _V )
20		ptunhmeo.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : C --> Top )
21	20, 18	fssresd 5737	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F |` A ) : A --> Top )
22		ptunhmeo.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( Xt_ ` ( F |` A ) )
23	22	ptuni 20389	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ ( F |` A ) : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( ( F |` A ) ` k ) = U. K )
24	19, 21, 23	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X_ k e. A U. ( ( F |` A ) ` k ) = U. K )
25	14, 24	syl5eqr 2459	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. K )
26		ptunhmeo.x	. . . . . . . 8 |- X = U. K
27	25, 26	syl6eqr 2463	. . . . . . 7 |- ( ph -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = X )
28	27	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = X )
29	10, 28	eleqtrrd 2495	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> ( 1st ` w ) e. X_ k e. A U. ( F ` k ) )
30		xp2nd 6817	. . . . . . 7 |- ( w e. ( X X. Y ) -> ( 2nd ` w ) e. Y )
31	30	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` w ) e. Y )
32	17	eqcomd 2412	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A u. B ) = C )
33		ptunhmeo.i	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
34		uneqdifeq 3862	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ C /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( A u. B ) = C <-> ( C \ A ) = B ) )
35	18, 33, 34	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A u. B ) = C <-> ( C \ A ) = B ) )
36	32, 35	mpbid 212	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C \ A ) = B )
37	36	ixpeq1d 7521	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X_ k e. ( C \ A ) U. ( F ` k ) = X_ k e. B U. ( F ` k ) )
38		ixpeq2 7523	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. B U. ( ( F |` B ) ` k ) = U. ( F ` k ) -> X_ k e. B U. ( ( F |` B ) ` k ) = X_ k e. B U. ( F ` k ) )
39		fvres 5865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. B -> ( ( F |` B ) ` k ) = ( F ` k ) )
40	39	unieqd 4203	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. B -> U. ( ( F |` B ) ` k ) = U. ( F ` k ) )
41	38, 40	mprg 2769	. . . . . . . . . 10 |- X_ k e. B U. ( ( F |` B ) ` k ) = X_ k e. B U. ( F ` k )
42		ssun2 3609	. . . . . . . . . . . . 13 |- B C_ ( A u. B )
43	42, 17	syl5sseqr 3493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B C_ C )
44	15, 43	ssexd 4543	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. _V )
45	20, 43	fssresd 5737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F |` B ) : B --> Top )
46		ptunhmeo.l	. . . . . . . . . . . 12 |- L = ( Xt_ ` ( F |` B ) )
47	46	ptuni 20389	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. _V /\ ( F |` B ) : B --> Top ) -> X_ k e. B U. ( ( F |` B ) ` k ) = U. L )
48	44, 45, 47	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X_ k e. B U. ( ( F |` B ) ` k ) = U. L )
49	41, 48	syl5eqr 2459	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X_ k e. B U. ( F ` k ) = U. L )
50		ptunhmeo.y	. . . . . . . . 9 |- Y = U. L
51	49, 50	syl6eqr 2463	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X_ k e. B U. ( F ` k ) = Y )
52	37, 51	eqtrd 2445	. . . . . . 7 |- ( ph -> X_ k e. ( C \ A ) U. ( F ` k ) = Y )
53	52	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> X_ k e. ( C \ A ) U. ( F ` k ) = Y )
54	31, 53	eleqtrrd 2495	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` w ) e. X_ k e. ( C \ A ) U. ( F ` k ) )
55	18	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> A C_ C )
56		undifixp 7545	. . . . 5 |- ( ( ( 1st ` w ) e. X_ k e. A U. ( F ` k ) /\ ( 2nd ` w ) e. X_ k e. ( C \ A ) U. ( F ` k ) /\ A C_ C ) -> ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) e. X_ k e. C U. ( F ` k ) )
57	29, 54, 55, 56	syl3anc 1232	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) e. X_ k e. C U. ( F ` k ) )
58		ptunhmeo.j	. . . . . . 7 |- J = ( Xt_ ` F )
59	58	ptuni 20389	. . . . . 6 |- ( ( C e. V /\ F : C --> Top ) -> X_ k e. C U. ( F ` k ) = U. J )
60	15, 20, 59	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> X_ k e. C U. ( F ` k ) = U. J )
61	60	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> X_ k e. C U. ( F ` k ) = U. J )
62	57, 61	eleqtrd 2494	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) e. U. J )
63	18	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. U. J ) -> A C_ C )
64	60	eleq2d 2474	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( z e. X_ k e. C U. ( F ` k ) <-> z e. U. J ) )
65	64	biimpar 485	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. U. J ) -> z e. X_ k e. C U. ( F ` k ) )
66		resixp 7544	. . . . . 6 |- ( ( A C_ C /\ z e. X_ k e. C U. ( F ` k ) ) -> ( z |` A ) e. X_ k e. A U. ( F ` k ) )
67	63, 65, 66	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. U. J ) -> ( z |` A ) e. X_ k e. A U. ( F ` k ) )
68	27	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. U. J ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = X )
69	67, 68	eleqtrd 2494	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. U. J ) -> ( z |` A ) e. X )
70	43	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. U. J ) -> B C_ C )
71		resixp 7544	. . . . . 6 |- ( ( B C_ C /\ z e. X_ k e. C U. ( F ` k ) ) -> ( z |` B ) e. X_ k e. B U. ( F ` k ) )
72	70, 65, 71	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. U. J ) -> ( z |` B ) e. X_ k e. B U. ( F ` k ) )
73	51	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. U. J ) -> X_ k e. B U. ( F ` k ) = Y )
74	72, 73	eleqtrd 2494	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. U. J ) -> ( z |` B ) e. Y )
75		opelxpi 4857	. . . 4 |- ( ( ( z |` A ) e. X /\ ( z |` B ) e. Y ) -> <. ( z |` A ) , ( z |` B ) >. e. ( X X. Y ) )
76	69, 74, 75	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. U. J ) -> <. ( z |` A ) , ( z |` B ) >. e. ( X X. Y ) )
77		eqop 6826	. . . . 5 |- ( w e. ( X X. Y ) -> ( w = <. ( z |` A ) , ( z |` B ) >. <-> ( ( 1st ` w ) = ( z |` A ) /\ ( 2nd ` w ) = ( z |` B ) ) ) )
78	77	ad2antrl 728	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( w = <. ( z |` A ) , ( z |` B ) >. <-> ( ( 1st ` w ) = ( z |` A ) /\ ( 2nd ` w ) = ( z |` B ) ) ) )
79	65	adantrl 716	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> z e. X_ k e. C U. ( F ` k ) )
80		ixpfn 7515	. . . . . . . . 9 |- ( z e. X_ k e. C U. ( F ` k ) -> z Fn C )
81		fnresdm 5673	. . . . . . . . 9 |- ( z Fn C -> ( z |` C ) = z )
82	79, 80, 81	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( z |` C ) = z )
83	17	reseq2d 5096	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z |` C ) = ( z |` ( A u. B ) ) )
84	83	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( z |` C ) = ( z |` ( A u. B ) ) )
85	82, 84	eqtr3d 2447	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> z = ( z |` ( A u. B ) ) )
86		resundi 5109	. . . . . . 7 |- ( z |` ( A u. B ) ) = ( ( z |` A ) u. ( z |` B ) )
87	85, 86	syl6eq 2461	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> z = ( ( z |` A ) u. ( z |` B ) ) )
88		uneq12 3594	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1st ` w ) = ( z |` A ) /\ ( 2nd ` w ) = ( z |` B ) ) -> ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) = ( ( z |` A ) u. ( z |` B ) ) )
89	88	eqeq2d 2418	. . . . . 6 |- ( ( ( 1st ` w ) = ( z |` A ) /\ ( 2nd ` w ) = ( z |` B ) ) -> ( z = ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) <-> z = ( ( z |` A ) u. ( z |` B ) ) ) )
90	87, 89	syl5ibrcom 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( ( ( 1st ` w ) = ( z |` A ) /\ ( 2nd ` w ) = ( z |` B ) ) -> z = ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) ) )
91		ixpfn 7515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1st ` w ) e. X_ k e. A U. ( F ` k ) -> ( 1st ` w ) Fn A )
92	29, 91	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> ( 1st ` w ) Fn A )
93	92	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( 1st ` w ) Fn A )
94		dffn2 5717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1st ` w ) Fn A <-> ( 1st ` w ) : A --> _V )
95	93, 94	sylib 198	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( 1st ` w ) : A --> _V )
96	51	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> X_ k e. B U. ( F ` k ) = Y )
97	31, 96	eleqtrrd 2495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` w ) e. X_ k e. B U. ( F ` k ) )
98		ixpfn 7515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2nd ` w ) e. X_ k e. B U. ( F ` k ) -> ( 2nd ` w ) Fn B )
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` w ) Fn B )
100	99	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( 2nd ` w ) Fn B )
101		dffn2 5717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2nd ` w ) Fn B <-> ( 2nd ` w ) : B --> _V )
102	100, 101	sylib 198	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( 2nd ` w ) : B --> _V )
103		res0 5100	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1st ` w ) |` (/) ) = (/)
104		res0 5100	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2nd ` w ) |` (/) ) = (/)
105	103, 104	eqtr4i 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1st ` w ) |` (/) ) = ( ( 2nd ` w ) |` (/) )
106	33	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
107	106	reseq2d 5096	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( ( 1st ` w ) |` ( A i^i B ) ) = ( ( 1st ` w ) |` (/) ) )
108	106	reseq2d 5096	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( ( 2nd ` w ) |` ( A i^i B ) ) = ( ( 2nd ` w ) |` (/) ) )
109	105, 107, 108	3eqtr4a 2471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( ( 1st ` w ) |` ( A i^i B ) ) = ( ( 2nd ` w ) |` ( A i^i B ) ) )
110		fresaunres1 5743	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1st ` w ) : A --> _V /\ ( 2nd ` w ) : B --> _V /\ ( ( 1st ` w ) |` ( A i^i B ) ) = ( ( 2nd ` w ) |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` A ) = ( 1st ` w ) )
111	95, 102, 109, 110	syl3anc 1232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` A ) = ( 1st ` w ) )
112	111	eqcomd 2412	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( 1st ` w ) = ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` A ) )
113		fresaunres2 5742	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1st ` w ) : A --> _V /\ ( 2nd ` w ) : B --> _V /\ ( ( 1st ` w ) |` ( A i^i B ) ) = ( ( 2nd ` w ) |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` B ) = ( 2nd ` w ) )
114	95, 102, 109, 113	syl3anc 1232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` B ) = ( 2nd ` w ) )
115	114	eqcomd 2412	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( 2nd ` w ) = ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` B ) )
116	112, 115	jca 532	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( ( 1st ` w ) = ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` A ) /\ ( 2nd ` w ) = ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` B ) ) )
117		reseq1 5090	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) -> ( z |` A ) = ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` A ) )
118	117	eqeq2d 2418	. . . . . . 7 |- ( z = ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) -> ( ( 1st ` w ) = ( z |` A ) <-> ( 1st ` w ) = ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` A ) ) )
119		reseq1 5090	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) -> ( z |` B ) = ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` B ) )
120	119	eqeq2d 2418	. . . . . . 7 |- ( z = ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) -> ( ( 2nd ` w ) = ( z |` B ) <-> ( 2nd ` w ) = ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` B ) ) )
121	118, 120	anbi12d 711	. . . . . 6 |- ( z = ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) -> ( ( ( 1st ` w ) = ( z |` A ) /\ ( 2nd ` w ) = ( z |` B ) ) <-> ( ( 1st ` w ) = ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` A ) /\ ( 2nd ` w ) = ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` B ) ) ) )
122	116, 121	syl5ibrcom 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( z = ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) -> ( ( 1st ` w ) = ( z |` A ) /\ ( 2nd ` w ) = ( z |` B ) ) ) )
123	90, 122	impbid 192	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( ( ( 1st ` w ) = ( z |` A ) /\ ( 2nd ` w ) = ( z |` B ) ) <-> z = ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) ) )
124	78, 123	bitrd 255	. . 3 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( w = <. ( z |` A ) , ( z |` B ) >. <-> z = ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) ) )
125	8, 62, 76, 124	f1ocnv2d 6509	. 2 |- ( ph -> ( G : ( X X. Y ) -1-1-onto-> U. J /\ `' G = ( z e. U. J |-> <. ( z |` A ) , ( z |` B ) >. ) ) )
126	125	simprd 463	1 |- ( ph -> `' G = ( z e. U. J |-> <. ( z |` A ) , ( z |` B ) >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 186   /\ wa 369   = wceq 1407   e. wcel 1844   _Vcvv 3061   \ cdif 3413   u. cun 3414   i^i cin 3415   C_ wss 3416   (/)c0 3740   <.cop 3980   U.cuni 4193   |-> cmpt 4455   X. cxp 4823   `'ccnv 4824   |` cres 4827   Fn wfn 5566   -->wf 5567   -1-1-onto->wf1o 5570   ` cfv 5571   |-> cmpt2 6282   1stc1st 6784   2ndc2nd 6785   X_cixp 7509   Xt_cpt 15055   Topctop 19688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-ixp 7510  df-en 7557  df-fin 7560  df-fi 7907  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-top 19693  df-bases 19695

This theorem is referenced by:  ptunhmeo  20603