Theorem ptuncnv 20043

Description: Exhibit the converse function of the map G which joins two product topologies on disjoint index sets. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptunhmeo.x	|- X = U. K
ptunhmeo.y	|- Y = U. L
ptunhmeo.j	|- J = ( Xt_ ` F )
ptunhmeo.k	|- K = ( Xt_ ` ( F |` A ) )
ptunhmeo.l	|- L = ( Xt_ ` ( F |` B ) )
ptunhmeo.g	|- G = ( x e. X , y e. Y |-> ( x u. y ) )
ptunhmeo.c	|- ( ph -> C e. V )
ptunhmeo.f	|- ( ph -> F : C --> Top )
ptunhmeo.u	|- ( ph -> C = ( A u. B ) )
ptunhmeo.i	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
ptuncnv	|- ( ph -> `' G = ( z e. U. J |-> <. ( z |` A ) , ( z |` B ) >. ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   z, G   ph, x, y, z   x, C, y, z   x, F, y, z   x, J, y, z   x, K, y, z   x, L, y, z   z, V   x, X, y, z   x, Y, y, z

Allowed substitution hints:   G( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem ptuncnv

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptunhmeo.g	. . . 4 |- G = ( x e. X , y e. Y |-> ( x u. y ) )
2		vex 3116	. . . . . . 7 |- x e. _V
3		vex 3116	. . . . . . 7 |- y e. _V
4	2, 3	op1std 6791	. . . . . 6 |- ( w = <. x , y >. -> ( 1st ` w ) = x )
5	2, 3	op2ndd 6792	. . . . . 6 |- ( w = <. x , y >. -> ( 2nd ` w ) = y )
6	4, 5	uneq12d 3659	. . . . 5 |- ( w = <. x , y >. -> ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) = ( x u. y ) )
7	6	mpt2mpt 6376	. . . 4 |- ( w e. ( X X. Y ) |-> ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> ( x u. y ) )
8	1, 7	eqtr4i 2499	. . 3 |- G = ( w e. ( X X. Y ) |-> ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) )
9		xp1st 6811	. . . . . . 7 |- ( w e. ( X X. Y ) -> ( 1st ` w ) e. X )
10	9	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> ( 1st ` w ) e. X )
11		ixpeq2 7480	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. A U. ( ( F |` A ) ` k ) = U. ( F ` k ) -> X_ k e. A U. ( ( F |` A ) ` k ) = X_ k e. A U. ( F ` k ) )
12		fvres 5878	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. A -> ( ( F |` A ) ` k ) = ( F ` k ) )
13	12	unieqd 4255	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. A -> U. ( ( F |` A ) ` k ) = U. ( F ` k ) )
14	11, 13	mprg 2827	. . . . . . . . 9 |- X_ k e. A U. ( ( F |` A ) ` k ) = X_ k e. A U. ( F ` k )
15		ptunhmeo.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. V )
16		ssun1 3667	. . . . . . . . . . . 12 |- A C_ ( A u. B )
17		ptunhmeo.u	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C = ( A u. B ) )
18	16, 17	syl5sseqr 3553	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ C )
19	15, 18	ssexd 4594	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. _V )
20		ptunhmeo.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : C --> Top )
21		fssres 5749	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : C --> Top /\ A C_ C ) -> ( F |` A ) : A --> Top )
22	20, 18, 21	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F |` A ) : A --> Top )
23		ptunhmeo.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( Xt_ ` ( F |` A ) )
24	23	ptuni 19830	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ ( F |` A ) : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( ( F |` A ) ` k ) = U. K )
25	19, 22, 24	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X_ k e. A U. ( ( F |` A ) ` k ) = U. K )
26	14, 25	syl5eqr 2522	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. K )
27		ptunhmeo.x	. . . . . . . 8 |- X = U. K
28	26, 27	syl6eqr 2526	. . . . . . 7 |- ( ph -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = X )
29	28	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = X )
30	10, 29	eleqtrrd 2558	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> ( 1st ` w ) e. X_ k e. A U. ( F ` k ) )
31		xp2nd 6812	. . . . . . 7 |- ( w e. ( X X. Y ) -> ( 2nd ` w ) e. Y )
32	31	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` w ) e. Y )
33	17	eqcomd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A u. B ) = C )
34		ptunhmeo.i	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
35		uneqdifeq 3915	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ C /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( A u. B ) = C <-> ( C \ A ) = B ) )
36	18, 34, 35	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A u. B ) = C <-> ( C \ A ) = B ) )
37	33, 36	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C \ A ) = B )
38	37	ixpeq1d 7478	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X_ k e. ( C \ A ) U. ( F ` k ) = X_ k e. B U. ( F ` k ) )
39		ixpeq2 7480	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. B U. ( ( F |` B ) ` k ) = U. ( F ` k ) -> X_ k e. B U. ( ( F |` B ) ` k ) = X_ k e. B U. ( F ` k ) )
40		fvres 5878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. B -> ( ( F |` B ) ` k ) = ( F ` k ) )
41	40	unieqd 4255	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. B -> U. ( ( F |` B ) ` k ) = U. ( F ` k ) )
42	39, 41	mprg 2827	. . . . . . . . . 10 |- X_ k e. B U. ( ( F |` B ) ` k ) = X_ k e. B U. ( F ` k )
43		ssun2 3668	. . . . . . . . . . . . 13 |- B C_ ( A u. B )
44	43, 17	syl5sseqr 3553	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B C_ C )
45	15, 44	ssexd 4594	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. _V )
46		fssres 5749	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : C --> Top /\ B C_ C ) -> ( F |` B ) : B --> Top )
47	20, 44, 46	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F |` B ) : B --> Top )
48		ptunhmeo.l	. . . . . . . . . . . 12 |- L = ( Xt_ ` ( F |` B ) )
49	48	ptuni 19830	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. _V /\ ( F |` B ) : B --> Top ) -> X_ k e. B U. ( ( F |` B ) ` k ) = U. L )
50	45, 47, 49	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X_ k e. B U. ( ( F |` B ) ` k ) = U. L )
51	42, 50	syl5eqr 2522	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X_ k e. B U. ( F ` k ) = U. L )
52		ptunhmeo.y	. . . . . . . . 9 |- Y = U. L
53	51, 52	syl6eqr 2526	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X_ k e. B U. ( F ` k ) = Y )
54	38, 53	eqtrd 2508	. . . . . . 7 |- ( ph -> X_ k e. ( C \ A ) U. ( F ` k ) = Y )
55	54	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> X_ k e. ( C \ A ) U. ( F ` k ) = Y )
56	32, 55	eleqtrrd 2558	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` w ) e. X_ k e. ( C \ A ) U. ( F ` k ) )
57	18	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> A C_ C )
58		undifixp 7502	. . . . 5 |- ( ( ( 1st ` w ) e. X_ k e. A U. ( F ` k ) /\ ( 2nd ` w ) e. X_ k e. ( C \ A ) U. ( F ` k ) /\ A C_ C ) -> ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) e. X_ k e. C U. ( F ` k ) )
59	30, 56, 57, 58	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) e. X_ k e. C U. ( F ` k ) )
60		ptunhmeo.j	. . . . . . 7 |- J = ( Xt_ ` F )
61	60	ptuni 19830	. . . . . 6 |- ( ( C e. V /\ F : C --> Top ) -> X_ k e. C U. ( F ` k ) = U. J )
62	15, 20, 61	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> X_ k e. C U. ( F ` k ) = U. J )
63	62	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> X_ k e. C U. ( F ` k ) = U. J )
64	59, 63	eleqtrd 2557	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) e. U. J )
65	18	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. U. J ) -> A C_ C )
66	62	eleq2d 2537	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( z e. X_ k e. C U. ( F ` k ) <-> z e. U. J ) )
67	66	biimpar 485	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. U. J ) -> z e. X_ k e. C U. ( F ` k ) )
68		resixp 7501	. . . . . 6 |- ( ( A C_ C /\ z e. X_ k e. C U. ( F ` k ) ) -> ( z |` A ) e. X_ k e. A U. ( F ` k ) )
69	65, 67, 68	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. U. J ) -> ( z |` A ) e. X_ k e. A U. ( F ` k ) )
70	28	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. U. J ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = X )
71	69, 70	eleqtrd 2557	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. U. J ) -> ( z |` A ) e. X )
72	44	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. U. J ) -> B C_ C )
73		resixp 7501	. . . . . 6 |- ( ( B C_ C /\ z e. X_ k e. C U. ( F ` k ) ) -> ( z |` B ) e. X_ k e. B U. ( F ` k ) )
74	72, 67, 73	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. U. J ) -> ( z |` B ) e. X_ k e. B U. ( F ` k ) )
75	53	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. U. J ) -> X_ k e. B U. ( F ` k ) = Y )
76	74, 75	eleqtrd 2557	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. U. J ) -> ( z |` B ) e. Y )
77		opelxpi 5030	. . . 4 |- ( ( ( z |` A ) e. X /\ ( z |` B ) e. Y ) -> <. ( z |` A ) , ( z |` B ) >. e. ( X X. Y ) )
78	71, 76, 77	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. U. J ) -> <. ( z |` A ) , ( z |` B ) >. e. ( X X. Y ) )
79		eqop 6821	. . . . 5 |- ( w e. ( X X. Y ) -> ( w = <. ( z |` A ) , ( z |` B ) >. <-> ( ( 1st ` w ) = ( z |` A ) /\ ( 2nd ` w ) = ( z |` B ) ) ) )
80	79	ad2antrl 727	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( w = <. ( z |` A ) , ( z |` B ) >. <-> ( ( 1st ` w ) = ( z |` A ) /\ ( 2nd ` w ) = ( z |` B ) ) ) )
81	67	adantrl 715	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> z e. X_ k e. C U. ( F ` k ) )
82		ixpfn 7472	. . . . . . . . 9 |- ( z e. X_ k e. C U. ( F ` k ) -> z Fn C )
83		fnresdm 5688	. . . . . . . . 9 |- ( z Fn C -> ( z |` C ) = z )
84	81, 82, 83	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( z |` C ) = z )
85	17	reseq2d 5271	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z |` C ) = ( z |` ( A u. B ) ) )
86	85	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( z |` C ) = ( z |` ( A u. B ) ) )
87	84, 86	eqtr3d 2510	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> z = ( z |` ( A u. B ) ) )
88		resundi 5285	. . . . . . 7 |- ( z |` ( A u. B ) ) = ( ( z |` A ) u. ( z |` B ) )
89	87, 88	syl6eq 2524	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> z = ( ( z |` A ) u. ( z |` B ) ) )
90		uneq12 3653	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1st ` w ) = ( z |` A ) /\ ( 2nd ` w ) = ( z |` B ) ) -> ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) = ( ( z |` A ) u. ( z |` B ) ) )
91	90	eqeq2d 2481	. . . . . 6 |- ( ( ( 1st ` w ) = ( z |` A ) /\ ( 2nd ` w ) = ( z |` B ) ) -> ( z = ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) <-> z = ( ( z |` A ) u. ( z |` B ) ) ) )
92	89, 91	syl5ibrcom 222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( ( ( 1st ` w ) = ( z |` A ) /\ ( 2nd ` w ) = ( z |` B ) ) -> z = ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) ) )
93		ixpfn 7472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1st ` w ) e. X_ k e. A U. ( F ` k ) -> ( 1st ` w ) Fn A )
94	30, 93	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> ( 1st ` w ) Fn A )
95	94	adantrr 716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( 1st ` w ) Fn A )
96		dffn2 5730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1st ` w ) Fn A <-> ( 1st ` w ) : A --> _V )
97	95, 96	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( 1st ` w ) : A --> _V )
98	53	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> X_ k e. B U. ( F ` k ) = Y )
99	32, 98	eleqtrrd 2558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` w ) e. X_ k e. B U. ( F ` k ) )
100		ixpfn 7472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2nd ` w ) e. X_ k e. B U. ( F ` k ) -> ( 2nd ` w ) Fn B )
101	99, 100	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` w ) Fn B )
102	101	adantrr 716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( 2nd ` w ) Fn B )
103		dffn2 5730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2nd ` w ) Fn B <-> ( 2nd ` w ) : B --> _V )
104	102, 103	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( 2nd ` w ) : B --> _V )
105		res0 5276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1st ` w ) |` (/) ) = (/)
106		res0 5276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2nd ` w ) |` (/) ) = (/)
107	105, 106	eqtr4i 2499	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1st ` w ) |` (/) ) = ( ( 2nd ` w ) |` (/) )
108	34	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
109	108	reseq2d 5271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( ( 1st ` w ) |` ( A i^i B ) ) = ( ( 1st ` w ) |` (/) ) )
110	108	reseq2d 5271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( ( 2nd ` w ) |` ( A i^i B ) ) = ( ( 2nd ` w ) |` (/) ) )
111	107, 109, 110	3eqtr4a 2534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( ( 1st ` w ) |` ( A i^i B ) ) = ( ( 2nd ` w ) |` ( A i^i B ) ) )
112		fresaunres1 5756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1st ` w ) : A --> _V /\ ( 2nd ` w ) : B --> _V /\ ( ( 1st ` w ) |` ( A i^i B ) ) = ( ( 2nd ` w ) |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` A ) = ( 1st ` w ) )
113	97, 104, 111, 112	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` A ) = ( 1st ` w ) )
114	113	eqcomd 2475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( 1st ` w ) = ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` A ) )
115		fresaunres2 5755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1st ` w ) : A --> _V /\ ( 2nd ` w ) : B --> _V /\ ( ( 1st ` w ) |` ( A i^i B ) ) = ( ( 2nd ` w ) |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` B ) = ( 2nd ` w ) )
116	97, 104, 111, 115	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` B ) = ( 2nd ` w ) )
117	116	eqcomd 2475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( 2nd ` w ) = ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` B ) )
118	114, 117	jca 532	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( ( 1st ` w ) = ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` A ) /\ ( 2nd ` w ) = ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` B ) ) )
119		reseq1 5265	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) -> ( z |` A ) = ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` A ) )
120	119	eqeq2d 2481	. . . . . . 7 |- ( z = ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) -> ( ( 1st ` w ) = ( z |` A ) <-> ( 1st ` w ) = ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` A ) ) )
121		reseq1 5265	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) -> ( z |` B ) = ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` B ) )
122	121	eqeq2d 2481	. . . . . . 7 |- ( z = ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) -> ( ( 2nd ` w ) = ( z |` B ) <-> ( 2nd ` w ) = ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` B ) ) )
123	120, 122	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( z = ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) -> ( ( ( 1st ` w ) = ( z |` A ) /\ ( 2nd ` w ) = ( z |` B ) ) <-> ( ( 1st ` w ) = ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` A ) /\ ( 2nd ` w ) = ( ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) |` B ) ) ) )
124	118, 123	syl5ibrcom 222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( z = ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) -> ( ( 1st ` w ) = ( z |` A ) /\ ( 2nd ` w ) = ( z |` B ) ) ) )
125	92, 124	impbid 191	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( ( ( 1st ` w ) = ( z |` A ) /\ ( 2nd ` w ) = ( z |` B ) ) <-> z = ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) ) )
126	80, 125	bitrd 253	. . 3 |- ( ( ph /\ ( w e. ( X X. Y ) /\ z e. U. J ) ) -> ( w = <. ( z |` A ) , ( z |` B ) >. <-> z = ( ( 1st ` w ) u. ( 2nd ` w ) ) ) )
127	8, 64, 78, 126	f1ocnv2d 6508	. 2 |- ( ph -> ( G : ( X X. Y ) -1-1-onto-> U. J /\ `' G = ( z e. U. J |-> <. ( z |` A ) , ( z |` B ) >. ) ) )
128	127	simprd 463	1 |- ( ph -> `' G = ( z e. U. J |-> <. ( z |` A ) , ( z |` B ) >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   <.cop 4033   U.cuni 4245   |-> cmpt 4505   X. cxp 4997   `'ccnv 4998   |` cres 5001   Fn wfn 5581   -->wf 5582   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586   |-> cmpt2 6284   1stc1st 6779   2ndc2nd 6780   X_cixp 7466   Xt_cpt 14690   Topctop 19161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-ixp 7467  df-en 7514  df-fin 7517  df-fi 7867  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-top 19166  df-bases 19168

This theorem is referenced by:  ptunhmeo  20044