MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pttopon Structured version   Unicode version

Theorem pttopon 20263
Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptunimpt.j  |-  J  =  ( Xt_ `  (
x  e.  A  |->  K ) )
Assertion
Ref Expression
pttopon  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X_ x  e.  A  B ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    J( x)    K( x)    V( x)

Proof of Theorem pttopon
StepHypRef Expression
1 topontop 19594 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  B
)  ->  K  e.  Top )
21ralimi 2847 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )  ->  A. x  e.  A  K  e.  Top )
3 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  K )  =  ( x  e.  A  |->  K )
43fmpt 6028 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  K  e.  Top  <->  ( x  e.  A  |->  K ) : A --> Top )
52, 4sylib 196 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )  ->  ( x  e.  A  |->  K ) : A --> Top )
6 ptunimpt.j . . . 4  |-  J  =  ( Xt_ `  (
x  e.  A  |->  K ) )
7 pttop 20249 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  A  |->  K ) : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  ( x  e.  A  |->  K ) )  e. 
Top )
86, 7syl5eqel 2546 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  A  |->  K ) : A --> Top )  ->  J  e. 
Top )
95, 8sylan2 472 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )
)  ->  J  e.  Top )
10 toponuni 19595 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  B
)  ->  B  =  U. K )
1110ralimi 2847 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )  ->  A. x  e.  A  B  =  U. K )
12 ixpeq2 7476 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  =  U. K  ->  X_ x  e.  A  B  =  X_ x  e.  A  U. K )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )  -> 
X_ x  e.  A  B  =  X_ x  e.  A  U. K )
1413adantl 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )
)  ->  X_ x  e.  A  B  =  X_ x  e.  A  U. K )
156ptunimpt 20262 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  Top )  ->  X_ x  e.  A  U. K  = 
U. J )
162, 15sylan2 472 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )
)  ->  X_ x  e.  A  U. K  = 
U. J )
1714, 16eqtrd 2495 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )
)  ->  X_ x  e.  A  B  =  U. J )
18 istopon 19593 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X_ x  e.  A  B )  <->  ( J  e.  Top  /\  X_ x  e.  A  B  =  U. J ) )
199, 17, 18sylanbrc 662 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X_ x  e.  A  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   U.cuni 4235    |-> cmpt 4497   -->wf 5566   ` cfv 5570   X_cixp 7462   Xt_cpt 14928   Topctop 19561  TopOnctopon 19562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-ixp 7463  df-en 7510  df-fin 7513  df-fi 7863  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569
This theorem is referenced by:  pttoponconst  20264  ptclsg  20282  dfac14lem  20284  ptcnp  20289  prdstps  20296
  Copyright terms: Public domain W3C validator