MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pttopon Structured version   Unicode version

Theorem pttopon 19302
Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptunimpt.j  |-  J  =  ( Xt_ `  (
x  e.  A  |->  K ) )
Assertion
Ref Expression
pttopon  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X_ x  e.  A  B ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    J( x)    K( x)    V( x)

Proof of Theorem pttopon
StepHypRef Expression
1 topontop 18664 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  B
)  ->  K  e.  Top )
21ralimi 2819 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )  ->  A. x  e.  A  K  e.  Top )
3 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  K )  =  ( x  e.  A  |->  K )
43fmpt 5974 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  K  e.  Top  <->  ( x  e.  A  |->  K ) : A --> Top )
52, 4sylib 196 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )  ->  ( x  e.  A  |->  K ) : A --> Top )
6 ptunimpt.j . . . 4  |-  J  =  ( Xt_ `  (
x  e.  A  |->  K ) )
7 pttop 19288 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  A  |->  K ) : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  ( x  e.  A  |->  K ) )  e. 
Top )
86, 7syl5eqel 2546 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  A  |->  K ) : A --> Top )  ->  J  e. 
Top )
95, 8sylan2 474 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )
)  ->  J  e.  Top )
10 toponuni 18665 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  B
)  ->  B  =  U. K )
1110ralimi 2819 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )  ->  A. x  e.  A  B  =  U. K )
12 ixpeq2 7388 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  =  U. K  ->  X_ x  e.  A  B  =  X_ x  e.  A  U. K )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )  -> 
X_ x  e.  A  B  =  X_ x  e.  A  U. K )
1413adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )
)  ->  X_ x  e.  A  B  =  X_ x  e.  A  U. K )
156ptunimpt 19301 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  Top )  ->  X_ x  e.  A  U. K  = 
U. J )
162, 15sylan2 474 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )
)  ->  X_ x  e.  A  U. K  = 
U. J )
1714, 16eqtrd 2495 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )
)  ->  X_ x  e.  A  B  =  U. J )
18 istopon 18663 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X_ x  e.  A  B )  <->  ( J  e.  Top  /\  X_ x  e.  A  B  =  U. J ) )
199, 17, 18sylanbrc 664 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X_ x  e.  A  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   U.cuni 4200    |-> cmpt 4459   -->wf 5523   ` cfv 5527   X_cixp 7374   Xt_cpt 14497   Topctop 18631  TopOnctopon 18632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-ixp 7375  df-en 7422  df-fin 7425  df-fi 7773  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639
This theorem is referenced by:  pttoponconst  19303  ptclsg  19321  dfac14lem  19323  ptcnp  19328  prdstps  19335
  Copyright terms: Public domain W3C validator