Theorem ptrest 31850

Description: Expressing a restriction of a product topology as a product topology. (Contributed by Brendan Leahy, 24-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptrest.0	|- ( ph -> A e. V )
ptrest.1	|- ( ph -> F : A --> Top )
ptrest.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> S e. W )

Assertion

Ref	Expression
ptrest	|- ( ph -> ( ( Xt_ ` F ) ↾t X_ k e. A S ) = ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, k   A, k   k, F   k, V

Allowed substitution hints:   S( k)   W( k)

Proof of Theorem ptrest

Dummy variables u v w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		firest 15316	. . . 4 |- ( fi ` ( ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) ↾t X_ k e. A S ) ) = ( ( fi ` ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) ) ↾t X_ k e. A S )
2		snex 4658	. . . . . . . 8 |- { U. ( Xt_ ` F ) } e. _V
3		ptrest.0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. V )
4		fvex 5887	. . . . . . . . . . 11 |- ( F ` u ) e. _V
5	4	rgenw 2786	. . . . . . . . . 10 |- A. u e. A ( F ` u ) e. _V
6		eqid 2422	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) = ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) )
7	6	mpt2exxg 6877	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ A. u e. A ( F ` u ) e. _V ) -> ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) e. _V )
8	3, 5, 7	sylancl 666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) e. _V )
9		rnexg 6735	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) e. _V -> ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) e. _V )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) e. _V )
11		unexg 6602	. . . . . . . 8 |- ( ( { U. ( Xt_ ` F ) } e. _V /\ ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) e. _V ) -> ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) e. _V )
12	2, 10, 11	sylancr 667	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) e. _V )
13		ptrest.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> S e. W )
14	13	ralrimiva 2839	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A S e. W )
15		ixpexg 7550	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. A S e. W -> X_ k e. A S e. _V )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> X_ k e. A S e. _V )
17		restval 15310	. . . . . . 7 |- ( ( ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) e. _V /\ X_ k e. A S e. _V ) -> ( ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) ↾t X_ k e. A S ) = ran ( x e. ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) )
18	12, 16, 17	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) ↾t X_ k e. A S ) = ran ( x e. ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) )
19		mptun 5723	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) = ( ( x e. { U. ( Xt_ ` F ) } |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) u. ( x e. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) )
20	19	rneqi 5076	. . . . . . . 8 |- ran ( x e. ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) = ran ( ( x e. { U. ( Xt_ ` F ) } |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) u. ( x e. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) )
21		rnun 5259	. . . . . . . 8 |- ran ( ( x e. { U. ( Xt_ ` F ) } |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) u. ( x e. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) ) = ( ran ( x e. { U. ( Xt_ ` F ) } |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) u. ran ( x e. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) )
22	20, 21	eqtri 2451	. . . . . . 7 |- ran ( x e. ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) = ( ran ( x e. { U. ( Xt_ ` F ) } |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) u. ran ( x e. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) )
23		elsni 4021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { U. ( Xt_ ` F ) } -> x = U. ( Xt_ ` F ) )
24	23	ineq1d 3663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { U. ( Xt_ ` F ) } -> ( x i^i X_ k e. A S ) = ( U. ( Xt_ ` F ) i^i X_ k e. A S ) )
25	24	mpteq2ia 4503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { U. ( Xt_ ` F ) } |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) = ( x e. { U. ( Xt_ ` F ) } |-> ( U. ( Xt_ ` F ) i^i X_ k e. A S ) )
26		fvex 5887	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Xt_ ` F ) e. _V
27	26	uniex 6597	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ( Xt_ ` F ) e. _V
28	27	inex1 4561	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U. ( Xt_ ` F ) i^i X_ k e. A S ) e. _V
29		fmptsn 6095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U. ( Xt_ ` F ) e. _V /\ ( U. ( Xt_ ` F ) i^i X_ k e. A S ) e. _V ) -> { <. U. ( Xt_ ` F ) , ( U. ( Xt_ ` F ) i^i X_ k e. A S ) >. } = ( x e. { U. ( Xt_ ` F ) } |-> ( U. ( Xt_ ` F ) i^i X_ k e. A S ) ) )
30	27, 28, 29	mp2an 676	. . . . . . . . . . . 12 |- { <. U. ( Xt_ ` F ) , ( U. ( Xt_ ` F ) i^i X_ k e. A S ) >. } = ( x e. { U. ( Xt_ ` F ) } |-> ( U. ( Xt_ ` F ) i^i X_ k e. A S ) )
31	25, 30	eqtr4i 2454	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { U. ( Xt_ ` F ) } |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) = { <. U. ( Xt_ ` F ) , ( U. ( Xt_ ` F ) i^i X_ k e. A S ) >. }
32	31	rneqi 5076	. . . . . . . . . 10 |- ran ( x e. { U. ( Xt_ ` F ) } |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) = ran { <. U. ( Xt_ ` F ) , ( U. ( Xt_ ` F ) i^i X_ k e. A S ) >. }
33	27	rnsnop 5332	. . . . . . . . . 10 |- ran { <. U. ( Xt_ ` F ) , ( U. ( Xt_ ` F ) i^i X_ k e. A S ) >. } = { ( U. ( Xt_ ` F ) i^i X_ k e. A S ) }
34	32, 33	eqtri 2451	. . . . . . . . 9 |- ran ( x e. { U. ( Xt_ ` F ) } |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) = { ( U. ( Xt_ ` F ) i^i X_ k e. A S ) }
35		ptrest.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : A --> Top )
36	35	ffvelrnda 6033	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( F ` k ) e. Top )
37		inss1 3682	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. ( F ` k ) i^i S ) C_ U. ( F ` k )
38		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. ( F ` k ) = U. ( F ` k )
39	38	restuni 20162	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` k ) e. Top /\ ( U. ( F ` k ) i^i S ) C_ U. ( F ` k ) ) -> ( U. ( F ` k ) i^i S ) = U. ( ( F ` k ) ↾t ( U. ( F ` k ) i^i S ) ) )
40	36, 37, 39	sylancl 666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( U. ( F ` k ) i^i S ) = U. ( ( F ` k ) ↾t ( U. ( F ` k ) i^i S ) ) )
41		fvex 5887	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ` k ) e. _V
42	38	restin 20166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` k ) e. _V /\ S e. W ) -> ( ( F ` k ) ↾t S ) = ( ( F ` k ) ↾t ( S i^i U. ( F ` k ) ) ) )
43	41, 13, 42	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( F ` k ) ↾t S ) = ( ( F ` k ) ↾t ( S i^i U. ( F ` k ) ) ) )
44		incom 3655	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S i^i U. ( F ` k ) ) = ( U. ( F ` k ) i^i S )
45	44	oveq2i 6312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` k ) ↾t ( S i^i U. ( F ` k ) ) ) = ( ( F ` k ) ↾t ( U. ( F ` k ) i^i S ) )
46	43, 45	syl6eq 2479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( F ` k ) ↾t S ) = ( ( F ` k ) ↾t ( U. ( F ` k ) i^i S ) ) )
47	46	unieqd 4226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> U. ( ( F ` k ) ↾t S ) = U. ( ( F ` k ) ↾t ( U. ( F ` k ) i^i S ) ) )
48	40, 47	eqtr4d 2466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( U. ( F ` k ) i^i S ) = U. ( ( F ` k ) ↾t S ) )
49	48	ixpeq2dva 7541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X_ k e. A ( U. ( F ` k ) i^i S ) = X_ k e. A U. ( ( F ` k ) ↾t S ) )
50		ixpin 7551	. . . . . . . . . . . 12 |- X_ k e. A ( U. ( F ` k ) i^i S ) = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i X_ k e. A S )
51		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y U. ( ( F ` k ) ↾t S )
52		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( F ` y )
53		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ↾t
54		nfcsb1v 3411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k [_ y / k ]_ S
55	52, 53, 54	nfov 6327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k ( ( F ` y ) ↾t [_ y / k ]_ S )
56	55	nfuni 4222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k U. ( ( F ` y ) ↾t [_ y / k ]_ S )
57		fveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = y -> ( F ` k ) = ( F ` y ) )
58		csbeq1a 3404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = y -> S = [_ y / k ]_ S )
59	57, 58	oveq12d 6319	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = y -> ( ( F ` k ) ↾t S ) = ( ( F ` y ) ↾t [_ y / k ]_ S ) )
60	59	unieqd 4226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = y -> U. ( ( F ` k ) ↾t S ) = U. ( ( F ` y ) ↾t [_ y / k ]_ S ) )
61	51, 56, 60	cbvixp 7543	. . . . . . . . . . . . 13 |- X_ k e. A U. ( ( F ` k ) ↾t S ) = X_ y e. A U. ( ( F ` y ) ↾t [_ y / k ]_ S )
62		ixpeq2 7540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y e. A U. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` y ) = U. ( ( F ` y ) ↾t [_ y / k ]_ S ) -> X_ y e. A U. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` y ) = X_ y e. A U. ( ( F ` y ) ↾t [_ y / k ]_ S ) )
63		ovex 6329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` y ) ↾t [_ y / k ]_ S ) e. _V
64		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k y
65		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) = ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) )
66	64, 55, 59, 65	fvmptf 5978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. A /\ ( ( F ` y ) ↾t [_ y / k ]_ S ) e. _V ) -> ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` y ) = ( ( F ` y ) ↾t [_ y / k ]_ S ) )
67	63, 66	mpan2 675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. A -> ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` y ) = ( ( F ` y ) ↾t [_ y / k ]_ S ) )
68	67	unieqd 4226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. A -> U. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` y ) = U. ( ( F ` y ) ↾t [_ y / k ]_ S ) )
69	62, 68	mprg 2788	. . . . . . . . . . . . 13 |- X_ y e. A U. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` y ) = X_ y e. A U. ( ( F ` y ) ↾t [_ y / k ]_ S )
70	61, 69	eqtr4i 2454	. . . . . . . . . . . 12 |- X_ k e. A U. ( ( F ` k ) ↾t S ) = X_ y e. A U. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` y )
71	49, 50, 70	3eqtr3g 2486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i X_ k e. A S ) = X_ y e. A U. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` y ) )
72		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Xt_ ` F ) = ( Xt_ ` F )
73	72	ptuni 20593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. ( Xt_ ` F ) )
74	3, 35, 73	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. ( Xt_ ` F ) )
75	74	ineq1d 3663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i X_ k e. A S ) = ( U. ( Xt_ ` F ) i^i X_ k e. A S ) )
76		resttop 20160	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` k ) e. Top /\ S e. W ) -> ( ( F ` k ) ↾t S ) e. Top )
77	36, 13, 76	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( F ` k ) ↾t S ) e. Top )
78	77, 65	fmptd 6057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) : A --> Top )
79		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) = ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) )
80	79	ptuni 20593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) : A --> Top ) -> X_ y e. A U. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` y ) = U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) )
81	3, 78, 80	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X_ y e. A U. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` y ) = U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) )
82	71, 75, 81	3eqtr3d 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U. ( Xt_ ` F ) i^i X_ k e. A S ) = U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) )
83	82	sneqd 4008	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { ( U. ( Xt_ ` F ) i^i X_ k e. A S ) } = { U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) } )
84	34, 83	syl5eq 2475	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran ( x e. { U. ( Xt_ ` F ) } |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) = { U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) } )
85		vex 3084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- w e. _V
86	85	elixp 7533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w e. X_ k e. A S <-> ( w Fn A /\ A. k e. A ( w ` k ) e. S ) )
87	86	simprbi 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w e. X_ k e. A S -> A. k e. A ( w ` k ) e. S )
88		nfcsb1v 3411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ k [_ u / k ]_ S
89	88	nfel2 2602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ k ( w ` u ) e. [_ u / k ]_ S
90		fveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = u -> ( w ` k ) = ( w ` u ) )
91		csbeq1a 3404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = u -> S = [_ u / k ]_ S )
92	90, 91	eleq12d 2504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = u -> ( ( w ` k ) e. S <-> ( w ` u ) e. [_ u / k ]_ S ) )
93	89, 92	rspc 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u e. A -> ( A. k e. A ( w ` k ) e. S -> ( w ` u ) e. [_ u / k ]_ S ) )
94	87, 93	syl5 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u e. A -> ( w e. X_ k e. A S -> ( w ` u ) e. [_ u / k ]_ S ) )
95	94	pm4.71d 638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u e. A -> ( w e. X_ k e. A S <-> ( w e. X_ k e. A S /\ ( w ` u ) e. [_ u / k ]_ S ) ) )
96	95	anbi2d 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. A -> ( ( ( w e. U. ( Xt_ ` F ) /\ ( w ` u ) e. v ) /\ w e. X_ k e. A S ) <-> ( ( w e. U. ( Xt_ ` F ) /\ ( w ` u ) e. v ) /\ ( w e. X_ k e. A S /\ ( w ` u ) e. [_ u / k ]_ S ) ) ) )
97		an4 831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( w e. U. ( Xt_ ` F ) /\ ( w ` u ) e. v ) /\ ( w e. X_ k e. A S /\ ( w ` u ) e. [_ u / k ]_ S ) ) <-> ( ( w e. U. ( Xt_ ` F ) /\ w e. X_ k e. A S ) /\ ( ( w ` u ) e. v /\ ( w ` u ) e. [_ u / k ]_ S ) ) )
98		elin 3649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( w ` u ) e. ( v i^i [_ u / k ]_ S ) <-> ( ( w ` u ) e. v /\ ( w ` u ) e. [_ u / k ]_ S ) )
99	98	anbi2i 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( w e. U. ( Xt_ ` F ) /\ w e. X_ k e. A S ) /\ ( w ` u ) e. ( v i^i [_ u / k ]_ S ) ) <-> ( ( w e. U. ( Xt_ ` F ) /\ w e. X_ k e. A S ) /\ ( ( w ` u ) e. v /\ ( w ` u ) e. [_ u / k ]_ S ) ) )
100	97, 99	bitr4i 255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( w e. U. ( Xt_ ` F ) /\ ( w ` u ) e. v ) /\ ( w e. X_ k e. A S /\ ( w ` u ) e. [_ u / k ]_ S ) ) <-> ( ( w e. U. ( Xt_ ` F ) /\ w e. X_ k e. A S ) /\ ( w ` u ) e. ( v i^i [_ u / k ]_ S ) ) )
101	96, 100	syl6bb 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. A -> ( ( ( w e. U. ( Xt_ ` F ) /\ ( w ` u ) e. v ) /\ w e. X_ k e. A S ) <-> ( ( w e. U. ( Xt_ ` F ) /\ w e. X_ k e. A S ) /\ ( w ` u ) e. ( v i^i [_ u / k ]_ S ) ) ) )
102		elin 3649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. ( U. ( Xt_ ` F ) i^i X_ k e. A S ) <-> ( w e. U. ( Xt_ ` F ) /\ w e. X_ k e. A S ) )
103	82	eleq2d 2492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( w e. ( U. ( Xt_ ` F ) i^i X_ k e. A S ) <-> w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) ) )
104	102, 103	syl5bbr 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( w e. U. ( Xt_ ` F ) /\ w e. X_ k e. A S ) <-> w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) ) )
105	104	anbi1d 709	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( w e. U. ( Xt_ ` F ) /\ w e. X_ k e. A S ) /\ ( w ` u ) e. ( v i^i [_ u / k ]_ S ) ) <-> ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) /\ ( w ` u ) e. ( v i^i [_ u / k ]_ S ) ) ) )
106	101, 105	sylan9bbr 705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( ( ( w e. U. ( Xt_ ` F ) /\ ( w ` u ) e. v ) /\ w e. X_ k e. A S ) <-> ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) /\ ( w ` u ) e. ( v i^i [_ u / k ]_ S ) ) ) )
107	106	abbidv 2558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> { w | ( ( w e. U. ( Xt_ ` F ) /\ ( w ` u ) e. v ) /\ w e. X_ k e. A S ) } = { w | ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) /\ ( w ` u ) e. ( v i^i [_ u / k ]_ S ) ) } )
108		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) = ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) )
109	108	mptpreima 5343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) = { w e. U. ( Xt_ ` F ) | ( w ` u ) e. v }
110		df-rab 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { w e. U. ( Xt_ ` F ) | ( w ` u ) e. v } = { w | ( w e. U. ( Xt_ ` F ) /\ ( w ` u ) e. v ) }
111	109, 110	eqtr2i 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { w | ( w e. U. ( Xt_ ` F ) /\ ( w ` u ) e. v ) } = ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v )
112		abid2 2562	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { w | w e. X_ k e. A S } = X_ k e. A S
113	111, 112	ineq12i 3662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { w | ( w e. U. ( Xt_ ` F ) /\ ( w ` u ) e. v ) } i^i { w | w e. X_ k e. A S } ) = ( ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) i^i X_ k e. A S )
114		inab 3741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { w | ( w e. U. ( Xt_ ` F ) /\ ( w ` u ) e. v ) } i^i { w | w e. X_ k e. A S } ) = { w | ( ( w e. U. ( Xt_ ` F ) /\ ( w ` u ) e. v ) /\ w e. X_ k e. A S ) }
115	113, 114	eqtr3i 2453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) i^i X_ k e. A S ) = { w | ( ( w e. U. ( Xt_ ` F ) /\ ( w ` u ) e. v ) /\ w e. X_ k e. A S ) }
116		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) = ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) )
117	116	mptpreima 5343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " ( v i^i [_ u / k ]_ S ) ) = { w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) | ( w ` u ) e. ( v i^i [_ u / k ]_ S ) }
118		df-rab 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) | ( w ` u ) e. ( v i^i [_ u / k ]_ S ) } = { w | ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) /\ ( w ` u ) e. ( v i^i [_ u / k ]_ S ) ) }
119	117, 118	eqtri 2451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " ( v i^i [_ u / k ]_ S ) ) = { w | ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) /\ ( w ` u ) e. ( v i^i [_ u / k ]_ S ) ) }
120	107, 115, 119	3eqtr4g 2488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) i^i X_ k e. A S ) = ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " ( v i^i [_ u / k ]_ S ) ) )
121	120	eqeq2d 2436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( x = ( ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) i^i X_ k e. A S ) <-> x = ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " ( v i^i [_ u / k ]_ S ) ) ) )
122	121	rexbidv 2939	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( E. v e. ( F ` u ) x = ( ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) i^i X_ k e. A S ) <-> E. v e. ( F ` u ) x = ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " ( v i^i [_ u / k ]_ S ) ) ) )
123		ineq1 3657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = y -> ( v i^i [_ u / k ]_ S ) = ( y i^i [_ u / k ]_ S ) )
124	123	imaeq2d 5183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = y -> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " ( v i^i [_ u / k ]_ S ) ) = ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " ( y i^i [_ u / k ]_ S ) ) )
125	124	eqeq2d 2436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = y -> ( x = ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " ( v i^i [_ u / k ]_ S ) ) <-> x = ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " ( y i^i [_ u / k ]_ S ) ) ) )
126	125	cbvrexv 3056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. v e. ( F ` u ) x = ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " ( v i^i [_ u / k ]_ S ) ) <-> E. y e. ( F ` u ) x = ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " ( y i^i [_ u / k ]_ S ) ) )
127	122, 126	syl6bb 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( E. v e. ( F ` u ) x = ( ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) i^i X_ k e. A S ) <-> E. y e. ( F ` u ) x = ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " ( y i^i [_ u / k ]_ S ) ) ) )
128		vex 3084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
129	128	inex1 4561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y i^i [_ u / k ]_ S ) e. _V
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. A ) /\ y e. ( F ` u ) ) -> ( y i^i [_ u / k ]_ S ) e. _V )
131		ovex 6329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` u ) ↾t [_ u / k ]_ S ) e. _V
132		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k u
133		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k ( F ` u )
134	133, 53, 88	nfov 6327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k ( ( F ` u ) ↾t [_ u / k ]_ S )
135		fveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = u -> ( F ` k ) = ( F ` u ) )
136	135, 91	oveq12d 6319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = u -> ( ( F ` k ) ↾t S ) = ( ( F ` u ) ↾t [_ u / k ]_ S ) )
137	132, 134, 136, 65	fvmptf 5978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. A /\ ( ( F ` u ) ↾t [_ u / k ]_ S ) e. _V ) -> ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` u ) = ( ( F ` u ) ↾t [_ u / k ]_ S ) )
138	131, 137	mpan2 675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. A -> ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` u ) = ( ( F ` u ) ↾t [_ u / k ]_ S ) )
139	138	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` u ) = ( ( F ` u ) ↾t [_ u / k ]_ S ) )
140	139	eleq2d 2492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( v e. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` u ) <-> v e. ( ( F ` u ) ↾t [_ u / k ]_ S ) ) )
141		nfv 1751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k ( ph /\ u e. A )
142		nfcsb1v 3411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k [_ u / k ]_ W
143	88, 142	nfel 2597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k [_ u / k ]_ S e. [_ u / k ]_ W
144	141, 143	nfim 1976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k ( ( ph /\ u e. A ) -> [_ u / k ]_ S e. [_ u / k ]_ W )
145		eleq1 2494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = u -> ( k e. A <-> u e. A ) )
146	145	anbi2d 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = u -> ( ( ph /\ k e. A ) <-> ( ph /\ u e. A ) ) )
147		csbeq1a 3404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = u -> W = [_ u / k ]_ W )
148	91, 147	eleq12d 2504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = u -> ( S e. W <-> [_ u / k ]_ S e. [_ u / k ]_ W ) )
149	146, 148	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = u -> ( ( ( ph /\ k e. A ) -> S e. W ) <-> ( ( ph /\ u e. A ) -> [_ u / k ]_ S e. [_ u / k ]_ W ) ) )
150	144, 149, 13	chvar 2067	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> [_ u / k ]_ S e. [_ u / k ]_ W )
151		elrest 15311	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` u ) e. _V /\ [_ u / k ]_ S e. [_ u / k ]_ W ) -> ( v e. ( ( F ` u ) ↾t [_ u / k ]_ S ) <-> E. y e. ( F ` u ) v = ( y i^i [_ u / k ]_ S ) ) )
152	4, 150, 151	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( v e. ( ( F ` u ) ↾t [_ u / k ]_ S ) <-> E. y e. ( F ` u ) v = ( y i^i [_ u / k ]_ S ) ) )
153	140, 152	bitrd 256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( v e. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` u ) <-> E. y e. ( F ` u ) v = ( y i^i [_ u / k ]_ S ) ) )
154		imaeq2 5179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = ( y i^i [_ u / k ]_ S ) -> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " v ) = ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " ( y i^i [_ u / k ]_ S ) ) )
155	154	eqeq2d 2436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ( y i^i [_ u / k ]_ S ) -> ( x = ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " v ) <-> x = ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " ( y i^i [_ u / k ]_ S ) ) ) )
156	155	adantl 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. A ) /\ v = ( y i^i [_ u / k ]_ S ) ) -> ( x = ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " v ) <-> x = ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " ( y i^i [_ u / k ]_ S ) ) ) )
157	130, 153, 156	rexxfr2d 4634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( E. v e. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` u ) x = ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " v ) <-> E. y e. ( F ` u ) x = ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " ( y i^i [_ u / k ]_ S ) ) ) )
158	127, 157	bitr4d 259	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( E. v e. ( F ` u ) x = ( ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) i^i X_ k e. A S ) <-> E. v e. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` u ) x = ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) )
159	158	rexbidva 2936	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E. u e. A E. v e. ( F ` u ) x = ( ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) i^i X_ k e. A S ) <-> E. u e. A E. v e. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` u ) x = ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) )
160	159	abbidv 2558	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { x | E. u e. A E. v e. ( F ` u ) x = ( ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) i^i X_ k e. A S ) } = { x | E. u e. A E. v e. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` u ) x = ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " v ) } )
161		eqid 2422	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) = ( x e. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) |-> ( x i^i X_ k e. A S ) )
162	161	rnmpt 5095	. . . . . . . . . 10 |- ran ( x e. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) = { y | E. x e. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) y = ( x i^i X_ k e. A S ) }
163		nfre1 2886	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x E. x e. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) y = ( x i^i X_ k e. A S )
164		nfv 1751	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y E. u e. A E. v e. ( F ` u ) x = ( ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) i^i X_ k e. A S )
165	27	mptex 6147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) e. _V
166	165	cnvex 6750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) e. _V
167		imaexg 6740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) e. _V -> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) e. _V )
168	166, 167	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) e. _V
169	168	rgen2w 2787	. . . . . . . . . . . . 13 |- A. u e. A A. v e. ( F ` u ) ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) e. _V
170		ineq1 3657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) -> ( x i^i X_ k e. A S ) = ( ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) i^i X_ k e. A S ) )
171	170	eqeq2d 2436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) -> ( y = ( x i^i X_ k e. A S ) <-> y = ( ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) i^i X_ k e. A S ) ) )
172	6, 171	rexrnmpt2 6422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. u e. A A. v e. ( F ` u ) ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) e. _V -> ( E. x e. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) y = ( x i^i X_ k e. A S ) <-> E. u e. A E. v e. ( F ` u ) y = ( ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) i^i X_ k e. A S ) ) )
173	169, 172	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x e. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) y = ( x i^i X_ k e. A S ) <-> E. u e. A E. v e. ( F ` u ) y = ( ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) i^i X_ k e. A S ) )
174		eqeq1 2426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( y = ( ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) i^i X_ k e. A S ) <-> x = ( ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) i^i X_ k e. A S ) ) )
175	174	2rexbidv 2946	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( E. u e. A E. v e. ( F ` u ) y = ( ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) i^i X_ k e. A S ) <-> E. u e. A E. v e. ( F ` u ) x = ( ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) i^i X_ k e. A S ) ) )
176	173, 175	syl5bb 260	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( E. x e. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) y = ( x i^i X_ k e. A S ) <-> E. u e. A E. v e. ( F ` u ) x = ( ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) i^i X_ k e. A S ) ) )
177	163, 164, 176	cbvab 2563	. . . . . . . . . 10 |- { y | E. x e. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) y = ( x i^i X_ k e. A S ) } = { x | E. u e. A E. v e. ( F ` u ) x = ( ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) i^i X_ k e. A S ) }
178	162, 177	eqtri 2451	. . . . . . . . 9 |- ran ( x e. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) = { x | E. u e. A E. v e. ( F ` u ) x = ( ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) i^i X_ k e. A S ) }
179		eqid 2422	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. A , v e. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) = ( u e. A , v e. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " v ) )
180	179	rnmpt2 6416	. . . . . . . . 9 |- ran ( u e. A , v e. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) = { x | E. u e. A E. v e. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` u ) x = ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " v ) }
181	160, 178, 180	3eqtr4g 2488	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran ( x e. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) = ran ( u e. A , v e. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) )
182	84, 181	uneq12d 3621	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ran ( x e. { U. ( Xt_ ` F ) } |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) u. ran ( x e. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) ) = ( { U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) } u. ran ( u e. A , v e. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) )
183	22, 182	syl5eq 2475	. . . . . 6 |- ( ph -> ran ( x e. ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) |-> ( x i^i X_ k e. A S ) ) = ( { U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) } u. ran ( u e. A , v e. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) )
184	18, 183	eqtrd 2463	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) ↾t X_ k e. A S ) = ( { U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) } u. ran ( u e. A , v e. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) )
185	184	fveq2d 5881	. . . 4 |- ( ph -> ( fi ` ( ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) ↾t X_ k e. A S ) ) = ( fi ` ( { U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) } u. ran ( u e. A , v e. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) ) )
186	1, 185	syl5eqr 2477	. . 3 |- ( ph -> ( ( fi ` ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) ) ↾t X_ k e. A S ) = ( fi ` ( { U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) } u. ran ( u e. A , v e. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) ) )
187	186	fveq2d 5881	. 2 |- ( ph -> ( topGen ` ( ( fi ` ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) ) ↾t X_ k e. A S ) ) = ( topGen ` ( fi ` ( { U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) } u. ran ( u e. A , v e. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) ) ) )
188		eqid 2422	. . . . . 6 |- U. ( Xt_ ` F ) = U. ( Xt_ ` F )
189	72, 188, 6	ptval2 20600	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` ( fi ` ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) ) ) )
190	3, 35, 189	syl2anc 665	. . . 4 |- ( ph -> ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` ( fi ` ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) ) ) )
191	190	oveq1d 6316	. . 3 |- ( ph -> ( ( Xt_ ` F ) ↾t X_ k e. A S ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) ) ) ↾t X_ k e. A S ) )
192		fvex 5887	. . . 4 |- ( fi ` ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) ) e. _V
193		tgrest 20159	. . . 4 |- ( ( ( fi ` ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) ) e. _V /\ X_ k e. A S e. _V ) -> ( topGen ` ( ( fi ` ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) ) ↾t X_ k e. A S ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) ) ) ↾t X_ k e. A S ) )
194	192, 16, 193	sylancr 667	. . 3 |- ( ph -> ( topGen ` ( ( fi ` ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) ) ↾t X_ k e. A S ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) ) ) ↾t X_ k e. A S ) )
195	191, 194	eqtr4d 2466	. 2 |- ( ph -> ( ( Xt_ ` F ) ↾t X_ k e. A S ) = ( topGen ` ( ( fi ` ( { U. ( Xt_ ` F ) } u. ran ( u e. A , v e. ( F ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) ) ↾t X_ k e. A S ) ) )
196		eqid 2422	. . . 4 |- U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) = U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) )
197	79, 196, 179	ptval2 20600	. . 3 |- ( ( A e. V /\ ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) : A --> Top ) -> ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) = ( topGen ` ( fi ` ( { U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) } u. ran ( u e. A , v e. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) ) ) )
198	3, 78, 197	syl2anc 665	. 2 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) = ( topGen ` ( fi ` ( { U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) } u. ran ( u e. A , v e. ( ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ` u ) |-> ( `' ( w e. U. ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) |-> ( w ` u ) ) " v ) ) ) ) ) )
199	187, 195, 198	3eqtr4d 2473	1 |- ( ph -> ( ( Xt_ ` F ) ↾t X_ k e. A S ) = ( Xt_ ` ( k e. A |-> ( ( F ` k ) ↾t S ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   {cab 2407   A.wral 2775   E.wrex 2776   {crab 2779   _Vcvv 3081   [_csb 3395   u. cun 3434   i^i cin 3435   C_ wss 3436   {csn 3996   <.cop 4002   U.cuni 4216   |-> cmpt 4479   `'ccnv 4848   ran crn 4850   "cima 4852   Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   |-> cmpt2 6303   X_cixp 7526   ficfi 7926   ↾_t crest 15304   topGenctg 15321   Xt_cpt 15322   Topctop 19901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-fin 7577  df-fi 7927  df-rest 15306  df-topgen 15327  df-pt 15328  df-top 19905  df-bases 19906  df-topon 19907

This theorem is referenced by:  poimirlem30  31881