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Theorem ptrest 31850
Description: Expressing a restriction of a product topology as a product topology. (Contributed by Brendan Leahy, 24-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ptrest.0  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptrest.1  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
ptrest.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  e.  W )
Assertion
Ref Expression
ptrest  |-  ( ph  ->  ( ( Xt_ `  F
)t  X_ k  e.  A  S )  =  (
Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, k    A, k    k, F    k, V
Allowed substitution hints:    S( k)    W( k)

Proof of Theorem ptrest
Dummy variables  u  v  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 firest 15316 . . . 4  |-  ( fi
`  ( ( { U. ( Xt_ `  F
) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) )t  X_ k  e.  A  S ) )  =  ( ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) ) )t  X_ k  e.  A  S )
2 snex 4658 . . . . . . . 8  |-  { U. ( Xt_ `  F ) }  e.  _V
3 ptrest.0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
4 fvex 5887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 u )  e. 
_V
54rgenw 2786 . . . . . . . . . 10  |-  A. u  e.  A  ( F `  u )  e.  _V
6 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) )  =  ( u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) )
76mpt2exxg 6877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. u  e.  A  ( F `  u )  e.  _V )  -> 
( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) )  e.  _V )
83, 5, 7sylancl 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) )  e.  _V )
9 rnexg 6735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) )  e. 
_V  ->  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u
)  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `  u ) ) " v ) )  e.  _V )
108, 9syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u
)  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `  u ) ) " v ) )  e.  _V )
11 unexg 6602 . . . . . . . 8  |-  ( ( { U. ( Xt_ `  F ) }  e.  _V  /\  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) )  e.  _V )  ->  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) )  e.  _V )
122, 10, 11sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) ) )  e. 
_V )
13 ptrest.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  e.  W )
1413ralrimiva 2839 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  S  e.  W )
15 ixpexg 7550 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  S  e.  W  ->  X_ k  e.  A  S  e.  _V )
1614, 15syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  S  e.  _V )
17 restval 15310 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) ) )  e. 
_V  /\  X_ k  e.  A  S  e.  _V )  ->  ( ( { U. ( Xt_ `  F
) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) )t  X_ k  e.  A  S )  =  ran  ( x  e.  ( { U. ( Xt_ `  F
) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) ) )
1812, 16, 17syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) )t  X_ k  e.  A  S
)  =  ran  (
x  e.  ( { U. ( Xt_ `  F
) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) ) )
19 mptun 5723 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) ) 
|->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)  =  ( ( x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) }  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) )  u.  ( x  e.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) 
|->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
) )
2019rneqi 5076 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  ( { U. ( Xt_ `  F
) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) )  =  ran  ( ( x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) } 
|->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)  u.  ( x  e.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) ) )
21 rnun 5259 . . . . . . . 8  |-  ran  (
( x  e.  { U. ( Xt_ `  F
) }  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) )  u.  ( x  e.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) 
|->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
) )  =  ( ran  ( x  e. 
{ U. ( Xt_ `  F ) }  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)  u.  ran  (
x  e.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
) )
2220, 21eqtri 2451 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  ( { U. ( Xt_ `  F
) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) )  =  ( ran  ( x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) } 
|->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)  u.  ran  (
x  e.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
) )
23 elsni 4021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) }  ->  x  =  U. ( Xt_ `  F ) )
2423ineq1d 3663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) }  ->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )  =  ( U. ( Xt_ `  F
)  i^i  X_ k  e.  A  S ) )
2524mpteq2ia 4503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) } 
|->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)  =  ( x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) } 
|->  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S )
)
26 fvex 5887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Xt_ `  F )  e.  _V
2726uniex 6597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( Xt_ `  F )  e. 
_V
2827inex1 4561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S )  e.  _V
29 fmptsn 6095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. ( Xt_ `  F
)  e.  _V  /\  ( U. ( Xt_ `  F
)  i^i  X_ k  e.  A  S )  e. 
_V )  ->  { <. U. ( Xt_ `  F
) ,  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S ) >. }  =  ( x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) }  |->  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S ) ) )
3027, 28, 29mp2an 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. U. ( Xt_ `  F
) ,  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S ) >. }  =  ( x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) }  |->  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S ) )
3125, 30eqtr4i 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) } 
|->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)  =  { <. U. ( Xt_ `  F
) ,  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S ) >. }
3231rneqi 5076 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) }  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) )  =  ran  { <. U. ( Xt_ `  F ) ,  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S ) >. }
3327rnsnop 5332 . . . . . . . . . 10  |-  ran  { <. U. ( Xt_ `  F
) ,  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S ) >. }  =  { ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S ) }
3432, 33eqtri 2451 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) }  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) )  =  { ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S ) }
35 ptrest.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
3635ffvelrnda 6033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  Top )
37 inss1 3682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. ( F `  k )  i^i  S )  C_  U. ( F `  k
)
38 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
3938restuni 20162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  Top  /\  ( U. ( F `  k )  i^i  S
)  C_  U. ( F `  k )
)  ->  ( U. ( F `  k )  i^i  S )  = 
U. ( ( F `
 k )t  ( U. ( F `  k )  i^i  S ) ) )
4036, 37, 39sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( U. ( F `  k
)  i^i  S )  =  U. ( ( F `
 k )t  ( U. ( F `  k )  i^i  S ) ) )
41 fvex 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
4238restin 20166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  _V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( F `  k )t  S )  =  ( ( F `  k
)t  ( S  i^i  U. ( F `  k ) ) ) )
4341, 13, 42sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( F `  k
)t 
S )  =  ( ( F `  k
)t  ( S  i^i  U. ( F `  k ) ) ) )
44 incom 3655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  i^i  U. ( F `
 k ) )  =  ( U. ( F `  k )  i^i  S )
4544oveq2i 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  k )t  ( S  i^i  U. ( F `  k )
) )  =  ( ( F `  k
)t  ( U. ( F `
 k )  i^i 
S ) )
4643, 45syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( F `  k
)t 
S )  =  ( ( F `  k
)t  ( U. ( F `
 k )  i^i 
S ) ) )
4746unieqd 4226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  U. (
( F `  k
)t 
S )  =  U. ( ( F `  k )t  ( U. ( F `  k )  i^i  S ) ) )
4840, 47eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( U. ( F `  k
)  i^i  S )  =  U. ( ( F `
 k )t  S ) )
4948ixpeq2dva 7541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  ( U. ( F `  k )  i^i  S
)  =  X_ k  e.  A  U. (
( F `  k
)t 
S ) )
50 ixpin 7551 . . . . . . . . . . . 12  |-  X_ k  e.  A  ( U. ( F `  k )  i^i  S )  =  ( X_ k  e.  A  U. ( F `
 k )  i^i  X_ k  e.  A  S )
51 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y U. ( ( F `  k )t  S )
52 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( F `  y
)
53 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ kt
54 nfcsb1v 3411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k [_ y  /  k ]_ S
5552, 53, 54nfov 6327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
( ( F `  y )t  [_ y  /  k ]_ S )
5655nfuni 4222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k U. ( ( F `  y )t  [_ y  /  k ]_ S )
57 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  y  ->  ( F `  k )  =  ( F `  y ) )
58 csbeq1a 3404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  y  ->  S  =  [_ y  /  k ]_ S )
5957, 58oveq12d 6319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  y  ->  (
( F `  k
)t 
S )  =  ( ( F `  y
)t  [_ y  /  k ]_ S ) )
6059unieqd 4226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  y  ->  U. (
( F `  k
)t 
S )  =  U. ( ( F `  y )t  [_ y  /  k ]_ S ) )
6151, 56, 60cbvixp 7543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X_ k  e.  A  U. (
( F `  k
)t 
S )  =  X_ y  e.  A  U. ( ( F `  y )t  [_ y  /  k ]_ S )
62 ixpeq2 7540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  A  U. ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) `  y )  =  U. ( ( F `  y )t  [_ y  /  k ]_ S
)  ->  X_ y  e.  A  U. ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) `  y )  =  X_ y  e.  A  U. ( ( F `  y )t  [_ y  /  k ]_ S ) )
63 ovex 6329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  y )t  [_ y  /  k ]_ S
)  e.  _V
64 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k
y
65 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) )
6664, 55, 59, 65fvmptf 5978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( ( F `  y )t  [_ y  /  k ]_ S )  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  y
)  =  ( ( F `  y )t  [_ y  /  k ]_ S
) )
6763, 66mpan2 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  A  ->  (
( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  y )  =  ( ( F `  y
)t  [_ y  /  k ]_ S ) )
6867unieqd 4226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  A  ->  U. (
( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  y )  =  U. ( ( F `  y )t  [_ y  /  k ]_ S ) )
6962, 68mprg 2788 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X_ y  e.  A  U. (
( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  y )  =  X_ y  e.  A  U. ( ( F `  y )t  [_ y  /  k ]_ S )
7061, 69eqtr4i 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  X_ k  e.  A  U. (
( F `  k
)t 
S )  =  X_ y  e.  A  U. ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) `  y )
7149, 50, 703eqtr3g 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X_ k  e.  A  U. ( F `
 k )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =  X_ y  e.  A  U. ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) `  y ) )
72 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Xt_ `  F )  =  (
Xt_ `  F )
7372ptuni 20593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
743, 35, 73syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
7574ineq1d 3663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X_ k  e.  A  U. ( F `
 k )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =  ( U. ( Xt_ `  F
)  i^i  X_ k  e.  A  S ) )
76 resttop 20160 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  Top  /\  S  e.  W )  ->  ( ( F `  k )t  S )  e.  Top )
7736, 13, 76syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( F `  k
)t 
S )  e.  Top )
7877, 65fmptd 6057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) : A --> Top )
79 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  =  ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) )
8079ptuni 20593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) : A --> Top )  ->  X_ y  e.  A  U. (
( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  y )  =  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) )
813, 78, 80syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
X_ y  e.  A  U. ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) `  y )  =  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) )
8271, 75, 813eqtr3d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =  U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) )
8382sneqd 4008 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S ) }  =  { U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) } )
8434, 83syl5eq 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e. 
{ U. ( Xt_ `  F ) }  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)  =  { U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) } )
85 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  w  e. 
_V
8685elixp 7533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  X_ k  e.  A  S 
<->  ( w  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( w `  k
)  e.  S ) )
8786simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  X_ k  e.  A  S  ->  A. k  e.  A  ( w `  k
)  e.  S )
88 nfcsb1v 3411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ k [_ u  /  k ]_ S
8988nfel2 2602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k ( w `  u
)  e.  [_ u  /  k ]_ S
90 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  u  ->  (
w `  k )  =  ( w `  u ) )
91 csbeq1a 3404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  u  ->  S  =  [_ u  /  k ]_ S )
9290, 91eleq12d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  u  ->  (
( w `  k
)  e.  S  <->  ( w `  u )  e.  [_ u  /  k ]_ S
) )
9389, 92rspc 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( w `  k
)  e.  S  -> 
( w `  u
)  e.  [_ u  /  k ]_ S
) )
9487, 93syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  A  ->  (
w  e.  X_ k  e.  A  S  ->  ( w `  u )  e.  [_ u  / 
k ]_ S ) )
9594pm4.71d 638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  A  ->  (
w  e.  X_ k  e.  A  S  <->  ( w  e.  X_ k  e.  A  S  /\  ( w `  u )  e.  [_ u  /  k ]_ S
) ) )
9695anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  A  ->  (
( ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  /\  ( w `  u )  e.  v )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S )  <->  ( (
w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  ( w `  u
)  e.  v )  /\  ( w  e.  X_ k  e.  A  S  /\  ( w `  u )  e.  [_ u  /  k ]_ S
) ) ) )
97 an4 831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  ( w `  u )  e.  v )  /\  ( w  e.  X_ k  e.  A  S  /\  ( w `  u )  e.  [_ u  /  k ]_ S
) )  <->  ( (
w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S )  /\  ( ( w `  u )  e.  v  /\  ( w `  u )  e.  [_ u  /  k ]_ S
) ) )
98 elin 3649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w `  u )  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S )  <->  ( (
w `  u )  e.  v  /\  (
w `  u )  e.  [_ u  /  k ]_ S ) )
9998anbi2i 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S
)  /\  ( w `  u )  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S
) )  <->  ( (
w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S )  /\  ( ( w `  u )  e.  v  /\  ( w `  u )  e.  [_ u  /  k ]_ S
) ) )
10097, 99bitr4i 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  ( w `  u )  e.  v )  /\  ( w  e.  X_ k  e.  A  S  /\  ( w `  u )  e.  [_ u  /  k ]_ S
) )  <->  ( (
w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S )  /\  ( w `  u
)  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) ) )
10196, 100syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  A  ->  (
( ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  /\  ( w `  u )  e.  v )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S )  <->  ( (
w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S )  /\  ( w `  u
)  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) ) ) )
102 elin 3649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  ( w  e.  U. ( Xt_ `  F
)  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S
) )
10382eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( U. ( Xt_ `  F
)  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  w  e.  U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) ) )
104102, 103syl5bbr 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S
)  <->  w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) ) ) )
105104anbi1d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S )  /\  (
w `  u )  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S
) )  <->  ( w  e.  U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) )  /\  ( w `  u )  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S
) ) ) )
106101, 105sylan9bbr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  (
( ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  /\  ( w `  u )  e.  v )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S )  <->  ( w  e.  U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) )  /\  ( w `  u )  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S
) ) ) )
107106abbidv 2558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  { w  |  ( ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  (
w `  u )  e.  v )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S ) }  =  { w  |  (
w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  /\  (
w `  u )  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S
) ) } )
108 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )  =  ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) )
109108mptpreima 5343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
)  =  { w  e.  U. ( Xt_ `  F
)  |  ( w `
 u )  e.  v }
110 df-rab 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { w  e.  U. ( Xt_ `  F
)  |  ( w `
 u )  e.  v }  =  {
w  |  ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  (
w `  u )  e.  v ) }
111109, 110eqtr2i 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { w  |  ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  /\  ( w `  u )  e.  v ) }  =  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v )
112 abid2 2562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { w  |  w  e.  X_ k  e.  A  S }  =  X_ k  e.  A  S
113111, 112ineq12i 3662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { w  |  ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  (
w `  u )  e.  v ) }  i^i  { w  |  w  e.  X_ k  e.  A  S } )  =  ( ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v )  i^i  X_ k  e.  A  S )
114 inab 3741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { w  |  ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  (
w `  u )  e.  v ) }  i^i  { w  |  w  e.  X_ k  e.  A  S } )  =  {
w  |  ( ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  ( w `  u
)  e.  v )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S
) }
115113, 114eqtr3i 2453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =  { w  |  ( ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  ( w `  u )  e.  v )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S ) }
116 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) )  =  ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  |->  ( w `
 u ) )
117116mptpreima 5343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) )  =  { w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |  ( w `  u
)  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) }
118 df-rab 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { w  e.  U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) )  |  ( w `  u )  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S
) }  =  {
w  |  ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  /\  ( w `  u )  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S
) ) }
119117, 118eqtri 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) )  =  { w  |  ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  /\  (
w `  u )  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S
) ) }
120107, 115, 1193eqtr4g 2488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  (
( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " (
v  i^i  [_ u  / 
k ]_ S ) ) )
121120eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  (
x  =  ( ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v )  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  |->  ( w `
 u ) )
" ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) ) ) )
122121rexbidv 2939 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  ( E. v  e.  ( F `  u )
x  =  ( ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v )  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  E. v  e.  ( F `
 u ) x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  |->  ( w `
 u ) )
" ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) ) ) )
123 ineq1 3657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  y  ->  (
v  i^i  [_ u  / 
k ]_ S )  =  ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S
) )
124123imaeq2d 5183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  y  ->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " (
v  i^i  [_ u  / 
k ]_ S ) )  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  |->  ( w `
 u ) )
" ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) ) )
125124eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  y  ->  (
x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) )  <->  x  =  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " (
y  i^i  [_ u  / 
k ]_ S ) ) ) )
126125cbvrexv 3056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. v  e.  ( F `
 u ) x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  |->  ( w `
 u ) )
" ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) )  <->  E. y  e.  ( F `  u
) x  =  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " (
y  i^i  [_ u  / 
k ]_ S ) ) )
127122, 126syl6bb 264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  ( E. v  e.  ( F `  u )
x  =  ( ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v )  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  E. y  e.  ( F `
 u ) x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  |->  ( w `
 u ) )
" ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) ) ) )
128 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
129128inex1 4561 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S )  e.  _V
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  A )  /\  y  e.  ( F `  u
) )  ->  (
y  i^i  [_ u  / 
k ]_ S )  e. 
_V )
131 ovex 6329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  u )t  [_ u  /  k ]_ S
)  e.  _V
132 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
u
133 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k
( F `  u
)
134133, 53, 88nfov 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
( ( F `  u )t  [_ u  /  k ]_ S )
135 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  u  ->  ( F `  k )  =  ( F `  u ) )
136135, 91oveq12d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  u  ->  (
( F `  k
)t 
S )  =  ( ( F `  u
)t  [_ u  /  k ]_ S ) )
137132, 134, 136, 65fvmptf 5978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  A  /\  ( ( F `  u )t  [_ u  /  k ]_ S )  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  u
)  =  ( ( F `  u )t  [_ u  /  k ]_ S
) )
138131, 137mpan2 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  A  ->  (
( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  u )  =  ( ( F `  u
)t  [_ u  /  k ]_ S ) )
139138adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  u )  =  ( ( F `  u
)t  [_ u  /  k ]_ S ) )
140139eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  (
v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) `  u )  <->  v  e.  ( ( F `  u )t  [_ u  /  k ]_ S ) ) )
141 nfv 1751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ( ph  /\  u  e.  A )
142 nfcsb1v 3411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k [_ u  /  k ]_ W
14388, 142nfel 2597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k
[_ u  /  k ]_ S  e.  [_ u  /  k ]_ W
144141, 143nfim 1976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k ( ( ph  /\  u  e.  A )  ->  [_ u  /  k ]_ S  e.  [_ u  /  k ]_ W
)
145 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  u  ->  (
k  e.  A  <->  u  e.  A ) )
146145anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  u  ->  (
( ph  /\  k  e.  A )  <->  ( ph  /\  u  e.  A ) ) )
147 csbeq1a 3404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  u  ->  W  =  [_ u  /  k ]_ W )
14891, 147eleq12d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  u  ->  ( S  e.  W  <->  [_ u  / 
k ]_ S  e.  [_ u  /  k ]_ W
) )
149146, 148imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  u  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  A )  ->  S  e.  W )  <-> 
( ( ph  /\  u  e.  A )  ->  [_ u  /  k ]_ S  e.  [_ u  /  k ]_ W
) ) )
150144, 149, 13chvar 2067 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  [_ u  /  k ]_ S  e.  [_ u  /  k ]_ W )
151 elrest 15311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  u
)  e.  _V  /\  [_ u  /  k ]_ S  e.  [_ u  / 
k ]_ W )  -> 
( v  e.  ( ( F `  u
)t  [_ u  /  k ]_ S )  <->  E. y  e.  ( F `  u
) v  =  ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S
) ) )
1524, 150, 151sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  (
v  e.  ( ( F `  u )t  [_ u  /  k ]_ S
)  <->  E. y  e.  ( F `  u ) v  =  ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) ) )
153140, 152bitrd 256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  (
v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) `  u )  <->  E. y  e.  ( F `  u
) v  =  ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S
) ) )
154 imaeq2 5179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S )  ->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
)  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) ) )
155154eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S )  ->  (
x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " v )  <-> 
x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) ) ) )
156155adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  A )  /\  v  =  ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) )  -> 
( x  =  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
)  <->  x  =  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " (
y  i^i  [_ u  / 
k ]_ S ) ) ) )
157130, 153, 156rexxfr2d 4634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  ( E. v  e.  (
( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  u ) x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
)  <->  E. y  e.  ( F `  u ) x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) ) ) )
158127, 157bitr4d 259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  ( E. v  e.  ( F `  u )
x  =  ( ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v )  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  E. v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) `  u ) x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) ) )
159158rexbidva 2936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  A  E. v  e.  ( F `  u
) x  =  ( ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v )  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  E. u  e.  A  E. v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) `  u ) x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " v ) ) )
160159abbidv 2558 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  |  E. u  e.  A  E. v  e.  ( F `  u ) x  =  ( ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `  u ) ) " v )  i^i  X_ k  e.  A  S ) }  =  { x  |  E. u  e.  A  E. v  e.  ( (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) `  u ) x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) } )
161 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) )  =  ( x  e.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) 
|->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)
162161rnmpt 5095 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
x  e.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)  =  { y  |  E. x  e. 
ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u
)  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `  u ) ) " v ) ) y  =  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) }
163 nfre1 2886 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x E. x  e.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) y  =  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
164 nfv 1751 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y E. u  e.  A  E. v  e.  ( F `  u )
x  =  ( ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v )  i^i  X_ k  e.  A  S )
16527mptex 6147 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )  e.  _V
166165cnvex 6750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `  u ) )  e.  _V
167 imaexg 6740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) )  e.  _V  ->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v )  e. 
_V )
168166, 167ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
)  e.  _V
169168rgen2w 2787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. u  e.  A  A. v  e.  ( F `  u
) ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `  u ) ) " v )  e.  _V
170 ineq1 3657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `  u ) ) " v )  ->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )  =  ( ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v )  i^i  X_ k  e.  A  S ) )
171170eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `  u ) ) " v )  ->  ( y  =  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  y  =  ( ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
)  i^i  X_ k  e.  A  S ) ) )
1726, 171rexrnmpt2 6422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. u  e.  A  A. v  e.  ( F `  u ) ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
)  e.  _V  ->  ( E. x  e.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) y  =  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  E. u  e.  A  E. v  e.  ( F `  u
) y  =  ( ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v )  i^i  X_ k  e.  A  S ) ) )
173169, 172ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) y  =  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  E. u  e.  A  E. v  e.  ( F `  u
) y  =  ( ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v )  i^i  X_ k  e.  A  S ) )
174 eqeq1 2426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  ( ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v )  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  x  =  ( ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
)  i^i  X_ k  e.  A  S ) ) )
1751742rexbidv 2946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( E. u  e.  A  E. v  e.  ( F `  u )
y  =  ( ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v )  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  E. u  e.  A  E. v  e.  ( F `  u ) x  =  ( ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `  u ) ) " v )  i^i  X_ k  e.  A  S ) ) )
176173, 175syl5bb 260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( E. x  e.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) y  =  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  E. u  e.  A  E. v  e.  ( F `  u
) x  =  ( ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v )  i^i  X_ k  e.  A  S ) ) )
177163, 164, 176cbvab 2563 . . . . . . . . . 10  |-  { y  |  E. x  e. 
ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u
)  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `  u ) ) " v ) ) y  =  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) }  =  { x  |  E. u  e.  A  E. v  e.  ( F `  u )
x  =  ( ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v )  i^i  X_ k  e.  A  S ) }
178162, 177eqtri 2451 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
x  e.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)  =  { x  |  E. u  e.  A  E. v  e.  ( F `  u )
x  =  ( ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v )  i^i  X_ k  e.  A  S ) }
179 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  A ,  v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  u
)  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) )  =  ( u  e.  A ,  v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) `  u ) 
|->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) )
180179rnmpt2 6416 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " v ) )  =  { x  |  E. u  e.  A  E. v  e.  (
( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  u ) x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) }
181160, 178, 1803eqtr4g 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e. 
ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u
)  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `  u ) ) " v ) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) )  =  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) `  u ) 
|->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) ) )
18284, 181uneq12d 3621 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ran  ( x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) } 
|->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)  u.  ran  (
x  e.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
) )  =  ( { U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " v ) ) ) )
18322, 182syl5eq 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) ) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)  =  ( { U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " v ) ) ) )
18418, 183eqtrd 2463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) )t  X_ k  e.  A  S
)  =  ( { U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " v ) ) ) )
185184fveq2d 5881 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( fi `  (
( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) ) )t  X_ k  e.  A  S )
)  =  ( fi
`  ( { U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  u
)  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) ) ) )
1861, 185syl5eqr 2477 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) ) )t  X_ k  e.  A  S )  =  ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " v ) ) ) ) )
187186fveq2d 5881 . 2  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ( ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) ) )t  X_ k  e.  A  S ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) ) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  (
( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " v ) ) ) ) ) )
188 eqid 2422 . . . . . 6  |-  U. ( Xt_ `  F )  = 
U. ( Xt_ `  F
)
18972, 188, 6ptval2 20600 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  F
) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) ) ) ) )
1903, 35, 189syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  F
) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) ) ) ) )
191190oveq1d 6316 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Xt_ `  F
)t  X_ k  e.  A  S )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) ) ) ) )t  X_ k  e.  A  S ) )
192 fvex 5887 . . . 4  |-  ( fi
`  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) ) )  e.  _V
193 tgrest 20159 . . . 4  |-  ( ( ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  F
) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) ) )  e.  _V  /\  X_ k  e.  A  S  e.  _V )  ->  ( topGen `  ( ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) ) )t  X_ k  e.  A  S ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) ) ) )t  X_ k  e.  A  S ) )
194192, 16, 193sylancr 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ( ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) ) )t  X_ k  e.  A  S ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) ) ) )t  X_ k  e.  A  S ) )
195191, 194eqtr4d 2466 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Xt_ `  F
)t  X_ k  e.  A  S )  =  (
topGen `  ( ( fi
`  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) ) )t  X_ k  e.  A  S ) ) )
196 eqid 2422 . . . 4  |-  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  =  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )
19779, 196, 179ptval2 20600 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " v ) ) ) ) ) )
1983, 78, 197syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  u
)  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) ) ) ) )
199187, 195, 1983eqtr4d 2473 1  |-  ( ph  ->  ( ( Xt_ `  F
)t  X_ k  e.  A  S )  =  (
Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   {cab 2407   A.wral 2775   E.wrex 2776   {crab 2779   _Vcvv 3081   [_csb 3395    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   {csn 3996   <.cop 4002   U.cuni 4216    |-> cmpt 4479   `'ccnv 4848   ran crn 4850   "cima 4852    Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301    |-> cmpt2 6303   X_cixp 7526   ficfi 7926   ↾t crest 15304   topGenctg 15321   Xt_cpt 15322   Topctop 19901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-fin 7577  df-fi 7927  df-rest 15306  df-topgen 15327  df-pt 15328  df-top 19905  df-bases 19906  df-topon 19907
This theorem is referenced by:  poimirlem30  31881
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