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Theorem ptrest 29653
Description: Expressing a restriction of a product topology as a product topology. (Contributed by Brendan Leahy, 24-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ptrest.0  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptrest.1  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
ptrest.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  e.  W )
Assertion
Ref Expression
ptrest  |-  ( ph  ->  ( ( Xt_ `  F
)t  X_ k  e.  A  S )  =  (
Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, k    A, k    k, F    k, V
Allowed substitution hints:    S( k)    W( k)

Proof of Theorem ptrest
Dummy variables  u  v  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 firest 14688 . . . 4  |-  ( fi
`  ( ( { U. ( Xt_ `  F
) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) )t  X_ k  e.  A  S ) )  =  ( ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) ) )t  X_ k  e.  A  S )
2 snex 4688 . . . . . . . 8  |-  { U. ( Xt_ `  F ) }  e.  _V
3 ptrest.0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
4 fvex 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 u )  e. 
_V
54rgenw 2825 . . . . . . . . . 10  |-  A. u  e.  A  ( F `  u )  e.  _V
6 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) )  =  ( u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) )
76mpt2exxg 6857 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. u  e.  A  ( F `  u )  e.  _V )  -> 
( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) )  e.  _V )
83, 5, 7sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) )  e.  _V )
9 rnexg 6716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) )  e. 
_V  ->  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u
)  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `  u ) ) " v ) )  e.  _V )
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u
)  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `  u ) ) " v ) )  e.  _V )
11 unexg 6585 . . . . . . . 8  |-  ( ( { U. ( Xt_ `  F ) }  e.  _V  /\  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) )  e.  _V )  ->  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) )  e.  _V )
122, 10, 11sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) ) )  e. 
_V )
13 ptrest.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  e.  W )
1413ralrimiva 2878 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  S  e.  W )
15 ixpexg 7493 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  S  e.  W  ->  X_ k  e.  A  S  e.  _V )
1614, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  S  e.  _V )
17 restval 14682 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) ) )  e. 
_V  /\  X_ k  e.  A  S  e.  _V )  ->  ( ( { U. ( Xt_ `  F
) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) )t  X_ k  e.  A  S )  =  ran  ( x  e.  ( { U. ( Xt_ `  F
) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) ) )
1812, 16, 17syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) )t  X_ k  e.  A  S
)  =  ran  (
x  e.  ( { U. ( Xt_ `  F
) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) ) )
19 mptun 5712 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) ) 
|->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)  =  ( ( x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) }  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) )  u.  ( x  e.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) 
|->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
) )
2019rneqi 5229 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  ( { U. ( Xt_ `  F
) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) )  =  ran  ( ( x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) } 
|->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)  u.  ( x  e.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) ) )
21 rnun 5414 . . . . . . . 8  |-  ran  (
( x  e.  { U. ( Xt_ `  F
) }  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) )  u.  ( x  e.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) 
|->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
) )  =  ( ran  ( x  e. 
{ U. ( Xt_ `  F ) }  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)  u.  ran  (
x  e.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
) )
2220, 21eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  ( { U. ( Xt_ `  F
) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) )  =  ( ran  ( x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) } 
|->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)  u.  ran  (
x  e.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
) )
23 elsni 4052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) }  ->  x  =  U. ( Xt_ `  F ) )
2423ineq1d 3699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) }  ->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )  =  ( U. ( Xt_ `  F
)  i^i  X_ k  e.  A  S ) )
2524mpteq2ia 4529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) } 
|->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)  =  ( x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) } 
|->  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S )
)
26 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Xt_ `  F )  e.  _V
2726uniex 6580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( Xt_ `  F )  e. 
_V
2827inex1 4588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S )  e.  _V
29 fmptsn 6081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. ( Xt_ `  F
)  e.  _V  /\  ( U. ( Xt_ `  F
)  i^i  X_ k  e.  A  S )  e. 
_V )  ->  { <. U. ( Xt_ `  F
) ,  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S ) >. }  =  ( x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) }  |->  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S ) ) )
3027, 28, 29mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. U. ( Xt_ `  F
) ,  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S ) >. }  =  ( x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) }  |->  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S ) )
3125, 30eqtr4i 2499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) } 
|->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)  =  { <. U. ( Xt_ `  F
) ,  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S ) >. }
3231rneqi 5229 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) }  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) )  =  ran  { <. U. ( Xt_ `  F ) ,  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S ) >. }
3327rnsnop 5489 . . . . . . . . . 10  |-  ran  { <. U. ( Xt_ `  F
) ,  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S ) >. }  =  { ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S ) }
3432, 33eqtri 2496 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) }  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) )  =  { ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S ) }
35 ptrest.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
3635ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  Top )
37 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. ( F `  k )  i^i  S )  C_  U. ( F `  k
)
38 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
3938restuni 19457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  Top  /\  ( U. ( F `  k )  i^i  S
)  C_  U. ( F `  k )
)  ->  ( U. ( F `  k )  i^i  S )  = 
U. ( ( F `
 k )t  ( U. ( F `  k )  i^i  S ) ) )
4036, 37, 39sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( U. ( F `  k
)  i^i  S )  =  U. ( ( F `
 k )t  ( U. ( F `  k )  i^i  S ) ) )
41 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
4238restin 19461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  _V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( F `  k )t  S )  =  ( ( F `  k
)t  ( S  i^i  U. ( F `  k ) ) ) )
4341, 13, 42sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( F `  k
)t 
S )  =  ( ( F `  k
)t  ( S  i^i  U. ( F `  k ) ) ) )
44 incom 3691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  i^i  U. ( F `
 k ) )  =  ( U. ( F `  k )  i^i  S )
4544oveq2i 6295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  k )t  ( S  i^i  U. ( F `  k )
) )  =  ( ( F `  k
)t  ( U. ( F `
 k )  i^i 
S ) )
4643, 45syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( F `  k
)t 
S )  =  ( ( F `  k
)t  ( U. ( F `
 k )  i^i 
S ) ) )
4746unieqd 4255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  U. (
( F `  k
)t 
S )  =  U. ( ( F `  k )t  ( U. ( F `  k )  i^i  S ) ) )
4840, 47eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( U. ( F `  k
)  i^i  S )  =  U. ( ( F `
 k )t  S ) )
4948ixpeq2dva 7484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  ( U. ( F `  k )  i^i  S
)  =  X_ k  e.  A  U. (
( F `  k
)t 
S ) )
50 ixpin 7494 . . . . . . . . . . . 12  |-  X_ k  e.  A  ( U. ( F `  k )  i^i  S )  =  ( X_ k  e.  A  U. ( F `
 k )  i^i  X_ k  e.  A  S )
51 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y U. ( ( F `  k )t  S )
52 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( F `  y
)
53 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ kt
54 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k [_ y  /  k ]_ S
5552, 53, 54nfov 6307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
( ( F `  y )t  [_ y  /  k ]_ S )
5655nfuni 4251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k U. ( ( F `  y )t  [_ y  /  k ]_ S )
57 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  y  ->  ( F `  k )  =  ( F `  y ) )
58 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  y  ->  S  =  [_ y  /  k ]_ S )
5957, 58oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  y  ->  (
( F `  k
)t 
S )  =  ( ( F `  y
)t  [_ y  /  k ]_ S ) )
6059unieqd 4255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  y  ->  U. (
( F `  k
)t 
S )  =  U. ( ( F `  y )t  [_ y  /  k ]_ S ) )
6151, 56, 60cbvixp 7486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X_ k  e.  A  U. (
( F `  k
)t 
S )  =  X_ y  e.  A  U. ( ( F `  y )t  [_ y  /  k ]_ S )
62 ixpeq2 7483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  A  U. ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) `  y )  =  U. ( ( F `  y )t  [_ y  /  k ]_ S
)  ->  X_ y  e.  A  U. ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) `  y )  =  X_ y  e.  A  U. ( ( F `  y )t  [_ y  /  k ]_ S ) )
63 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  y )t  [_ y  /  k ]_ S
)  e.  _V
64 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k
y
65 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) )
6664, 55, 59, 65fvmptf 5966 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( ( F `  y )t  [_ y  /  k ]_ S )  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  y
)  =  ( ( F `  y )t  [_ y  /  k ]_ S
) )
6763, 66mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  A  ->  (
( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  y )  =  ( ( F `  y
)t  [_ y  /  k ]_ S ) )
6867unieqd 4255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  A  ->  U. (
( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  y )  =  U. ( ( F `  y )t  [_ y  /  k ]_ S ) )
6962, 68mprg 2827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X_ y  e.  A  U. (
( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  y )  =  X_ y  e.  A  U. ( ( F `  y )t  [_ y  /  k ]_ S )
7061, 69eqtr4i 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  X_ k  e.  A  U. (
( F `  k
)t 
S )  =  X_ y  e.  A  U. ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) `  y )
7149, 50, 703eqtr3g 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X_ k  e.  A  U. ( F `
 k )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =  X_ y  e.  A  U. ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) `  y ) )
72 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Xt_ `  F )  =  (
Xt_ `  F )
7372ptuni 19858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
743, 35, 73syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
7574ineq1d 3699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X_ k  e.  A  U. ( F `
 k )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =  ( U. ( Xt_ `  F
)  i^i  X_ k  e.  A  S ) )
76 resttop 19455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  Top  /\  S  e.  W )  ->  ( ( F `  k )t  S )  e.  Top )
7736, 13, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( F `  k
)t 
S )  e.  Top )
7877, 65fmptd 6045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) : A --> Top )
79 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  =  ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) )
8079ptuni 19858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) : A --> Top )  ->  X_ y  e.  A  U. (
( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  y )  =  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) )
813, 78, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
X_ y  e.  A  U. ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) `  y )  =  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) )
8271, 75, 813eqtr3d 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =  U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) )
8382sneqd 4039 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S ) }  =  { U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) } )
8434, 83syl5eq 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e. 
{ U. ( Xt_ `  F ) }  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)  =  { U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) } )
85 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  w  e. 
_V
8685elixp 7476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  X_ k  e.  A  S 
<->  ( w  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( w `  k
)  e.  S ) )
8786simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  X_ k  e.  A  S  ->  A. k  e.  A  ( w `  k
)  e.  S )
88 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ k [_ u  /  k ]_ S
8988nfel2 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k ( w `  u
)  e.  [_ u  /  k ]_ S
90 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  u  ->  (
w `  k )  =  ( w `  u ) )
91 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  u  ->  S  =  [_ u  /  k ]_ S )
9290, 91eleq12d 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  u  ->  (
( w `  k
)  e.  S  <->  ( w `  u )  e.  [_ u  /  k ]_ S
) )
9389, 92rspc 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( w `  k
)  e.  S  -> 
( w `  u
)  e.  [_ u  /  k ]_ S
) )
9487, 93syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  A  ->  (
w  e.  X_ k  e.  A  S  ->  ( w `  u )  e.  [_ u  / 
k ]_ S ) )
9594pm4.71d 634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  A  ->  (
w  e.  X_ k  e.  A  S  <->  ( w  e.  X_ k  e.  A  S  /\  ( w `  u )  e.  [_ u  /  k ]_ S
) ) )
9695anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  A  ->  (
( ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  /\  ( w `  u )  e.  v )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S )  <->  ( (
w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  ( w `  u
)  e.  v )  /\  ( w  e.  X_ k  e.  A  S  /\  ( w `  u )  e.  [_ u  /  k ]_ S
) ) ) )
97 an4 822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  ( w `  u )  e.  v )  /\  ( w  e.  X_ k  e.  A  S  /\  ( w `  u )  e.  [_ u  /  k ]_ S
) )  <->  ( (
w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S )  /\  ( ( w `  u )  e.  v  /\  ( w `  u )  e.  [_ u  /  k ]_ S
) ) )
98 elin 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w `  u )  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S )  <->  ( (
w `  u )  e.  v  /\  (
w `  u )  e.  [_ u  /  k ]_ S ) )
9998anbi2i 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S
)  /\  ( w `  u )  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S
) )  <->  ( (
w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S )  /\  ( ( w `  u )  e.  v  /\  ( w `  u )  e.  [_ u  /  k ]_ S
) ) )
10097, 99bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  ( w `  u )  e.  v )  /\  ( w  e.  X_ k  e.  A  S  /\  ( w `  u )  e.  [_ u  /  k ]_ S
) )  <->  ( (
w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S )  /\  ( w `  u
)  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) ) )
10196, 100syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  A  ->  (
( ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  /\  ( w `  u )  e.  v )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S )  <->  ( (
w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S )  /\  ( w `  u
)  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) ) ) )
102 elin 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  ( w  e.  U. ( Xt_ `  F
)  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S
) )
10382eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( U. ( Xt_ `  F
)  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  w  e.  U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) ) )
104102, 103syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S
)  <->  w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) ) ) )
105104anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S )  /\  (
w `  u )  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S
) )  <->  ( w  e.  U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) )  /\  ( w `  u )  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S
) ) ) )
106101, 105sylan9bbr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  (
( ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  /\  ( w `  u )  e.  v )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S )  <->  ( w  e.  U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) )  /\  ( w `  u )  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S
) ) ) )
107106abbidv 2603 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  { w  |  ( ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  (
w `  u )  e.  v )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S ) }  =  { w  |  (
w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  /\  (
w `  u )  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S
) ) } )
108 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )  =  ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) )
109108mptpreima 5500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
)  =  { w  e.  U. ( Xt_ `  F
)  |  ( w `
 u )  e.  v }
110 df-rab 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { w  e.  U. ( Xt_ `  F
)  |  ( w `
 u )  e.  v }  =  {
w  |  ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  (
w `  u )  e.  v ) }
111109, 110eqtr2i 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { w  |  ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  /\  ( w `  u )  e.  v ) }  =  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v )
112 abid2 2607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { w  |  w  e.  X_ k  e.  A  S }  =  X_ k  e.  A  S
113111, 112ineq12i 3698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { w  |  ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  (
w `  u )  e.  v ) }  i^i  { w  |  w  e.  X_ k  e.  A  S } )  =  ( ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v )  i^i  X_ k  e.  A  S )
114 inab 3766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { w  |  ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  (
w `  u )  e.  v ) }  i^i  { w  |  w  e.  X_ k  e.  A  S } )  =  {
w  |  ( ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  ( w `  u
)  e.  v )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S
) }
115113, 114eqtr3i 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =  { w  |  ( ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  ( w `  u )  e.  v )  /\  w  e.  X_ k  e.  A  S ) }
116 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) )  =  ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  |->  ( w `
 u ) )
117116mptpreima 5500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) )  =  { w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |  ( w `  u
)  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) }
118 df-rab 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { w  e.  U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) )  |  ( w `  u )  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S
) }  =  {
w  |  ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  /\  ( w `  u )  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S
) ) }
119117, 118eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) )  =  { w  |  ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  /\  (
w `  u )  e.  ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S
) ) }
120107, 115, 1193eqtr4g 2533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  (
( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " (
v  i^i  [_ u  / 
k ]_ S ) ) )
121120eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  (
x  =  ( ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v )  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  |->  ( w `
 u ) )
" ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) ) ) )
122121rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  ( E. v  e.  ( F `  u )
x  =  ( ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v )  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  E. v  e.  ( F `
 u ) x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  |->  ( w `
 u ) )
" ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) ) ) )
123 ineq1 3693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  y  ->  (
v  i^i  [_ u  / 
k ]_ S )  =  ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S
) )
124123imaeq2d 5337 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  y  ->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " (
v  i^i  [_ u  / 
k ]_ S ) )  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  |->  ( w `
 u ) )
" ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) ) )
125124eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  y  ->  (
x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) )  <->  x  =  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " (
y  i^i  [_ u  / 
k ]_ S ) ) ) )
126125cbvrexv 3089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. v  e.  ( F `
 u ) x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  |->  ( w `
 u ) )
" ( v  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) )  <->  E. y  e.  ( F `  u
) x  =  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " (
y  i^i  [_ u  / 
k ]_ S ) ) )
127122, 126syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  ( E. v  e.  ( F `  u )
x  =  ( ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v )  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  E. y  e.  ( F `
 u ) x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  |->  ( w `
 u ) )
" ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) ) ) )
128 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
129128inex1 4588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S )  e.  _V
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  A )  /\  y  e.  ( F `  u
) )  ->  (
y  i^i  [_ u  / 
k ]_ S )  e. 
_V )
131 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  u )t  [_ u  /  k ]_ S
)  e.  _V
132 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
u
133 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k
( F `  u
)
134133, 53, 88nfov 6307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
( ( F `  u )t  [_ u  /  k ]_ S )
135 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  u  ->  ( F `  k )  =  ( F `  u ) )
136135, 91oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  u  ->  (
( F `  k
)t 
S )  =  ( ( F `  u
)t  [_ u  /  k ]_ S ) )
137132, 134, 136, 65fvmptf 5966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  A  /\  ( ( F `  u )t  [_ u  /  k ]_ S )  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  u
)  =  ( ( F `  u )t  [_ u  /  k ]_ S
) )
138131, 137mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  A  ->  (
( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  u )  =  ( ( F `  u
)t  [_ u  /  k ]_ S ) )
139138adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  u )  =  ( ( F `  u
)t  [_ u  /  k ]_ S ) )
140139eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  (
v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) `  u )  <->  v  e.  ( ( F `  u )t  [_ u  /  k ]_ S ) ) )
141 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ( ph  /\  u  e.  A )
142 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k [_ u  /  k ]_ W
14388, 142nfel 2642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k
[_ u  /  k ]_ S  e.  [_ u  /  k ]_ W
144141, 143nfim 1867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k ( ( ph  /\  u  e.  A )  ->  [_ u  /  k ]_ S  e.  [_ u  /  k ]_ W
)
145 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  u  ->  (
k  e.  A  <->  u  e.  A ) )
146145anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  u  ->  (
( ph  /\  k  e.  A )  <->  ( ph  /\  u  e.  A ) ) )
147 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  u  ->  W  =  [_ u  /  k ]_ W )
14891, 147eleq12d 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  u  ->  ( S  e.  W  <->  [_ u  / 
k ]_ S  e.  [_ u  /  k ]_ W
) )
149146, 148imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  u  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  A )  ->  S  e.  W )  <-> 
( ( ph  /\  u  e.  A )  ->  [_ u  /  k ]_ S  e.  [_ u  /  k ]_ W
) ) )
150144, 149, 13chvar 1982 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  [_ u  /  k ]_ S  e.  [_ u  /  k ]_ W )
151 elrest 14683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  u
)  e.  _V  /\  [_ u  /  k ]_ S  e.  [_ u  / 
k ]_ W )  -> 
( v  e.  ( ( F `  u
)t  [_ u  /  k ]_ S )  <->  E. y  e.  ( F `  u
) v  =  ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S
) ) )
1524, 150, 151sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  (
v  e.  ( ( F `  u )t  [_ u  /  k ]_ S
)  <->  E. y  e.  ( F `  u ) v  =  ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) ) )
153140, 152bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  (
v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) `  u )  <->  E. y  e.  ( F `  u
) v  =  ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S
) ) )
154 imaeq2 5333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S )  ->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
)  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) ) )
155154eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S )  ->  (
x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " v )  <-> 
x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) ) ) )
156155adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  A )  /\  v  =  ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) )  -> 
( x  =  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
)  <->  x  =  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " (
y  i^i  [_ u  / 
k ]_ S ) ) ) )
157130, 153, 156rexxfr2d 4664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  ( E. v  e.  (
( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  u ) x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
)  <->  E. y  e.  ( F `  u ) x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " ( y  i^i  [_ u  /  k ]_ S ) ) ) )
158127, 157bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  ( E. v  e.  ( F `  u )
x  =  ( ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v )  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  E. v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) `  u ) x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) ) )
159158rexbidva 2970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  A  E. v  e.  ( F `  u
) x  =  ( ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v )  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  E. u  e.  A  E. v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) `  u ) x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " v ) ) )
160159abbidv 2603 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  |  E. u  e.  A  E. v  e.  ( F `  u ) x  =  ( ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `  u ) ) " v )  i^i  X_ k  e.  A  S ) }  =  { x  |  E. u  e.  A  E. v  e.  ( (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) `  u ) x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) } )
161 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) )  =  ( x  e.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) 
|->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)
162161rnmpt 5248 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
x  e.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)  =  { y  |  E. x  e. 
ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u
)  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `  u ) ) " v ) ) y  =  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) }
163 nfre1 2925 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x E. x  e.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) y  =  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
164 nfv 1683 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y E. u  e.  A  E. v  e.  ( F `  u )
x  =  ( ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v )  i^i  X_ k  e.  A  S )
16527mptex 6131 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )  e.  _V
166165cnvex 6731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `  u ) )  e.  _V
167 imaexg 6721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) )  e.  _V  ->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v )  e. 
_V )
168166, 167ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
)  e.  _V
169168rgen2w 2826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. u  e.  A  A. v  e.  ( F `  u
) ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `  u ) ) " v )  e.  _V
170 ineq1 3693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `  u ) ) " v )  ->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )  =  ( ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v )  i^i  X_ k  e.  A  S ) )
171170eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `  u ) ) " v )  ->  ( y  =  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  y  =  ( ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
)  i^i  X_ k  e.  A  S ) ) )
1726, 171rexrnmpt2 6402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. u  e.  A  A. v  e.  ( F `  u ) ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
)  e.  _V  ->  ( E. x  e.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) y  =  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  E. u  e.  A  E. v  e.  ( F `  u
) y  =  ( ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v )  i^i  X_ k  e.  A  S ) ) )
173169, 172ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) y  =  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  E. u  e.  A  E. v  e.  ( F `  u
) y  =  ( ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v )  i^i  X_ k  e.  A  S ) )
174 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  ( ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v )  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  x  =  ( ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
)  i^i  X_ k  e.  A  S ) ) )
1751742rexbidv 2980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( E. u  e.  A  E. v  e.  ( F `  u )
y  =  ( ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v )  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  E. u  e.  A  E. v  e.  ( F `  u ) x  =  ( ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `  u ) ) " v )  i^i  X_ k  e.  A  S ) ) )
176173, 175syl5bb 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( E. x  e.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) y  =  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )  <->  E. u  e.  A  E. v  e.  ( F `  u
) x  =  ( ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v )  i^i  X_ k  e.  A  S ) ) )
177163, 164, 176cbvab 2608 . . . . . . . . . 10  |-  { y  |  E. x  e. 
ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u
)  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `  u ) ) " v ) ) y  =  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) }  =  { x  |  E. u  e.  A  E. v  e.  ( F `  u )
x  =  ( ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v )  i^i  X_ k  e.  A  S ) }
178162, 177eqtri 2496 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
x  e.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)  =  { x  |  E. u  e.  A  E. v  e.  ( F `  u )
x  =  ( ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v )  i^i  X_ k  e.  A  S ) }
179 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  A ,  v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  u
)  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) )  =  ( u  e.  A ,  v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) `  u ) 
|->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) )
180179rnmpt2 6396 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " v ) )  =  { x  |  E. u  e.  A  E. v  e.  (
( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  u ) x  =  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) }
181160, 178, 1803eqtr4g 2533 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e. 
ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u
)  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `  u ) ) " v ) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S ) )  =  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) `  u ) 
|->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) ) )
18284, 181uneq12d 3659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ran  ( x  e.  { U. ( Xt_ `  F ) } 
|->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)  u.  ran  (
x  e.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
) )  =  ( { U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " v ) ) ) )
18322, 182syl5eq 2520 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) ) )  |->  ( x  i^i  X_ k  e.  A  S )
)  =  ( { U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " v ) ) ) )
18418, 183eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) )t  X_ k  e.  A  S
)  =  ( { U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " v ) ) ) )
185184fveq2d 5870 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( fi `  (
( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) ) )t  X_ k  e.  A  S )
)  =  ( fi
`  ( { U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  u
)  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) ) ) )
1861, 185syl5eqr 2522 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) ) )t  X_ k  e.  A  S )  =  ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " v ) ) ) ) )
187186fveq2d 5870 . 2  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ( ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) ) )t  X_ k  e.  A  S ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) ) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  (
( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " v ) ) ) ) ) )
188 eqid 2467 . . . . . 6  |-  U. ( Xt_ `  F )  = 
U. ( Xt_ `  F
)
18972, 188, 6ptval2 19865 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  F
) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) ) ) ) )
1903, 35, 189syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  F
) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) ) ) ) )
191190oveq1d 6299 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Xt_ `  F
)t  X_ k  e.  A  S )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( w `  u
) ) " v
) ) ) ) )t  X_ k  e.  A  S ) )
192 fvex 5876 . . . 4  |-  ( fi
`  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) ) )  e.  _V
193 tgrest 19454 . . . 4  |-  ( ( ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  F
) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( F `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) ) )  e.  _V  /\  X_ k  e.  A  S  e.  _V )  ->  ( topGen `  ( ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) ) )t  X_ k  e.  A  S ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) ) ) )t  X_ k  e.  A  S ) )
194192, 16, 193sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ( ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) ) )t  X_ k  e.  A  S ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) ) ) )t  X_ k  e.  A  S ) )
195191, 194eqtr4d 2511 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Xt_ `  F
)t  X_ k  e.  A  S )  =  (
topGen `  ( ( fi
`  ( { U. ( Xt_ `  F ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( F `
 u )  |->  ( `' ( w  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( w `  u ) ) "
v ) ) ) )t  X_ k  e.  A  S ) ) )
196 eqid 2467 . . . 4  |-  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  =  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )
19779, 196, 179ptval2 19865 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) }  u.  ran  (
u  e.  A , 
v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) `  u )  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) )  |->  ( w `  u ) ) " v ) ) ) ) ) )
1983, 78, 197syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  ( ( F `  k
)t 
S ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) }  u.  ran  ( u  e.  A ,  v  e.  ( ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) `  u
)  |->  ( `' ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k )t  S ) ) )  |->  ( w `
 u ) )
" v ) ) ) ) ) )
199187, 195, 1983eqtr4d 2518 1  |-  ( ph  ->  ( ( Xt_ `  F
)t  X_ k  e.  A  S )  =  (
Xt_ `  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )t  S ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   [_csb 3435    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   {csn 4027   <.cop 4033   U.cuni 4245    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   ran crn 5000   "cima 5002    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286   X_cixp 7469   ficfi 7870   ↾t crest 14676   topGenctg 14693   Xt_cpt 14694   Topctop 19189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-fin 7520  df-fi 7871  df-rest 14678  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197
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