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Theorem ptrescn 19967
Description: Restriction is a continuous function on product topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptrescn.1  |-  X  = 
U. J
ptrescn.2  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
ptrescn.3  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
Assertion
Ref Expression
ptrescn  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, K    x, V    x, X
Allowed substitution hint:    J( x)

Proof of Theorem ptrescn
Dummy variables  u  k  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1001 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  ->  B  C_  A )
2 ptrescn.2 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
32ptuni 19922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. J
)
433adant3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  U. J )
5 ptrescn.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
64, 5syl6eqr 2526 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  X )
76eleq2d 2537 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  <-> 
x  e.  X ) )
87biimpar 485 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
9 resixp 7505 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )  ->  ( x  |`  B )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k ) )
101, 8, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  ->  ( x  |`  B )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k
) )
11 ixpeq2 7484 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. ( F `  k )  -> 
X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  X_ k  e.  B  U. ( F `  k )
)
12 fvres 5880 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
1312unieqd 4255 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  B  ->  U. (
( F  |`  B ) `
 k )  = 
U. ( F `  k ) )
1411, 13mprg 2827 . . . . . 6  |-  X_ k  e.  B  U. (
( F  |`  B ) `
 k )  = 
X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)
15 ssexg 4593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  V )  ->  B  e.  _V )
1615ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  _V )
17163adant2 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  _V )
18 fssres 5751 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( F  |`  B ) : B --> Top )
19183adant1 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( F  |`  B ) : B --> Top )
20 ptrescn.3 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
2120ptuni 19922 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  -> 
X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. K
)
2217, 19, 21syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. K
)
2314, 22syl5eqr 2522 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X_ k  e.  B  U. ( F `  k )  =  U. K )
2423adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  -> 
X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)  =  U. K
)
2510, 24eleqtrd 2557 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  ->  ( x  |`  B )  e.  U. K )
26 eqid 2467 . . 3  |-  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )
2725, 26fmptd 6046 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) : X --> U. K
)
28 fimacnv 6014 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) : X --> U. K  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " U. K )  =  X )
2927, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " U. K )  =  X )
30 pttop 19910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
312, 30syl5eqel 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  e.  Top )
32313adant3 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  J  e.  Top )
335topopn 19222 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
3432, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X  e.  J )
3529, 34eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " U. K )  e.  J
)
36 elsni 4052 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  { U. K }  ->  v  =  U. K )
3736imaeq2d 5337 . . . . . 6  |-  ( v  e.  { U. K }  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " U. K
) )
3837eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( v  e.  { U. K }  ->  ( ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J  <->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " U. K
)  e.  J ) )
3935, 38syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( v  e.  { U. K }  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
4039ralrimiv 2876 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  A. v  e.  { U. K }  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J )
41 imaco 5512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  o.  `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) ) ) " u )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) )
42 cnvco 5188 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) )  o.  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  o.  `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) ) )
4325adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  B  C_  A )  /\  (
k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  |`  B )  e.  U. K )
44 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
)  =  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )
45 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) )  =  ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) )
46 fveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( x  |`  B )  ->  (
z `  k )  =  ( ( x  |`  B ) `  k
) )
4743, 44, 45, 46fmptco 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) )  o.  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x  |`  B ) `
 k ) ) )
48 fvres 5880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  B  ->  (
( x  |`  B ) `
 k )  =  ( x `  k
) )
4948ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( x  |`  B ) `
 k )  =  ( x `  k
) )
5049mpteq2dv 4534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
x  e.  X  |->  ( ( x  |`  B ) `
 k ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) )
5147, 50eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) )  o.  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) )
5251cnveqd 5178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  `' ( ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )  o.  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )  =  `' ( x  e.  X  |->  ( x `
 k ) ) )
5342, 52syl5eqr 2522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  o.  `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) ) )  =  `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) )
5453imaeq1d 5336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  o.  `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) ) ) " u )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) " u ) )
5541, 54syl5eqr 2522 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k
) ) " u
) )
56 simpl1 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  A  e.  V )
57 simpl2 1000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  F : A --> Top )
58 simpl3 1001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  B  C_  A )
59 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  k  e.  B )
6058, 59sseldd 3505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  k  e.  A )
615, 2ptpjcn 19939 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  k  e.  A )  ->  ( x  e.  X  |->  ( x `  k
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 k ) ) )
6256, 57, 60, 61syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
x  e.  X  |->  ( x `  k ) )  e.  ( J  Cn  ( F `  k ) ) )
63 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  u  e.  ( F `  k
) )
64 cnima 19572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  ( x `  k
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 k ) )  /\  u  e.  ( F `  k ) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k
) ) " u
)  e.  J )
6562, 63, 64syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) "
u )  e.  J
)
6655, 65eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) )  e.  J )
67 imaeq2 5333 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
)  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) ) )
6867eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
)  ->  ( ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J  <->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) )  e.  J ) )
6966, 68syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
v  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
7069rexlimdvva 2962 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
7170alrimiv 1695 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  A. v ( E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
72 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) )  =  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k )  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) )
7372rnmpt2 6397 . . . . . 6  |-  ran  (
k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k )  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) )  =  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) }
7473raleqi 3062 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J  <->  A. v  e.  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) }  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J )
7512rexeqdv 3065 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  B  ->  ( E. u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
)  <->  E. u  e.  ( F `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) ) )
76 eqeq1 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u )  <->  v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) )
7776rexbidv 2973 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  ( E. u  e.  ( F `  k )
y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u )  <->  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) )
7875, 77sylan9bbr 700 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  v  /\  k  e.  B )  ->  ( E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
) y  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  <->  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) )
7978rexbidva 2970 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  ( E. k  e.  B  E. u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
)  <->  E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k )
v  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) ) )
8079ralab 3264 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) }  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J  <->  A. v
( E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
8174, 80bitri 249 . . . 4  |-  ( A. v  e.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J  <->  A. v
( E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
8271, 81sylibr 212 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  A. v  e.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
)
83 ralunb 3685 . . 3  |-  ( A. v  e.  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J  <->  ( A. v  e.  { U. K }  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J  /\  A. v  e.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J ) )
8440, 82, 83sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  A. v  e.  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J )
855toptopon 19241 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
8632, 85sylib 196 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
87 snex 4688 . . . 4  |-  { U. K }  e.  _V
88 fvex 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  B ) `  k )  e.  _V
8988abrexex 6759 . . . . . . 7  |-  { y  |  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
) y  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) }  e.  _V
9089rgenw 2825 . . . . . 6  |-  A. k  e.  B  { y  |  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `
 k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) }  e.  _V
91 abrexex2g 6762 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A. k  e.  B  {
y  |  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
) y  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) }  e.  _V )  ->  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) }  e.  _V )
9217, 90, 91sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) }  e.  _V )
9373, 92syl5eqel 2559 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) )  e.  _V )
94 unexg 6586 . . . 4  |-  ( ( { U. K }  e.  _V  /\  ran  (
k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k )  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) )  e. 
_V )  ->  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) )  e.  _V )
9587, 93, 94sylancr 663 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) ) )  e. 
_V )
96 eqid 2467 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
9720, 96, 72ptval2 19929 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  ->  K  =  ( topGen `  ( fi `  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ) ) )
9817, 19, 97syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  K  =  ( topGen `  ( fi `  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ) ) )
99 pttop 19910 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )  e.  Top )
10017, 19, 99syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( Xt_ `  ( F  |`  B ) )  e. 
Top )
10120, 100syl5eqel 2559 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  K  e.  Top )
10296toptopon 19241 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
103101, 102sylib 196 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
10486, 95, 98, 103subbascn 19561 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) : X --> U. K  /\  A. v  e.  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J ) ) )
10527, 84, 104mpbir2and 920 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    u. cun 3474    C_ wss 3476   {csn 4027   U.cuni 4245    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   ran crn 5000    |` cres 5001   "cima 5002    o. ccom 5003   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    |-> cmpt2 6287   X_cixp 7470   ficfi 7871   topGenctg 14696   Xt_cpt 14697   Topctop 19201  TopOnctopon 19202    Cn ccn 19531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-fin 7521  df-fi 7872  df-topgen 14702  df-pt 14703  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-cn 19534
This theorem is referenced by:  ptunhmeo  20136  tmdgsum  20421
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