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Theorem ptrescn 20647
Description: Restriction is a continuous function on product topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptrescn.1  |-  X  = 
U. J
ptrescn.2  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
ptrescn.3  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
Assertion
Ref Expression
ptrescn  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, K    x, V    x, X
Allowed substitution hint:    J( x)

Proof of Theorem ptrescn
Dummy variables  u  k  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1012 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  ->  B  C_  A )
2 ptrescn.2 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
32ptuni 20602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. J
)
433adant3 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  U. J )
5 ptrescn.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
64, 5syl6eqr 2502 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  X )
76eleq2d 2513 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  <-> 
x  e.  X ) )
87biimpar 488 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
9 resixp 7554 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )  ->  ( x  |`  B )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k ) )
101, 8, 9syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  ->  ( x  |`  B )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k
) )
11 ixpeq2 7533 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. ( F `  k )  -> 
X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  X_ k  e.  B  U. ( F `  k )
)
12 fvres 5877 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
1312unieqd 4207 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  B  ->  U. (
( F  |`  B ) `
 k )  = 
U. ( F `  k ) )
1411, 13mprg 2750 . . . . . 6  |-  X_ k  e.  B  U. (
( F  |`  B ) `
 k )  = 
X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)
15 ssexg 4548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  V )  ->  B  e.  _V )
1615ancoms 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  _V )
17163adant2 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  _V )
18 fssres 5747 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( F  |`  B ) : B --> Top )
19183adant1 1025 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( F  |`  B ) : B --> Top )
20 ptrescn.3 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
2120ptuni 20602 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  -> 
X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. K
)
2217, 19, 21syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. K
)
2314, 22syl5eqr 2498 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X_ k  e.  B  U. ( F `  k )  =  U. K )
2423adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  -> 
X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)  =  U. K
)
2510, 24eleqtrd 2530 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  ->  ( x  |`  B )  e.  U. K )
26 eqid 2450 . . 3  |-  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )
2725, 26fmptd 6044 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) : X --> U. K
)
28 fimacnv 6010 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) : X --> U. K  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " U. K )  =  X )
2927, 28syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " U. K )  =  X )
30 pttop 20590 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
312, 30syl5eqel 2532 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  e.  Top )
32313adant3 1027 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  J  e.  Top )
335topopn 19929 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
3432, 33syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X  e.  J )
3529, 34eqeltrd 2528 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " U. K )  e.  J
)
36 elsni 3992 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  { U. K }  ->  v  =  U. K )
3736imaeq2d 5167 . . . . . 6  |-  ( v  e.  { U. K }  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " U. K
) )
3837eleq1d 2512 . . . . 5  |-  ( v  e.  { U. K }  ->  ( ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J  <->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " U. K
)  e.  J ) )
3935, 38syl5ibrcom 226 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( v  e.  { U. K }  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
4039ralrimiv 2799 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  A. v  e.  { U. K }  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J )
41 imaco 5339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  o.  `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) ) ) " u )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) )
42 cnvco 5019 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) )  o.  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  o.  `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) ) )
4325adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  B  C_  A )  /\  (
k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  |`  B )  e.  U. K )
44 eqidd 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
)  =  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )
45 eqidd 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) )  =  ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) )
46 fveq1 5862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( x  |`  B )  ->  (
z `  k )  =  ( ( x  |`  B ) `  k
) )
4743, 44, 45, 46fmptco 6054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) )  o.  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x  |`  B ) `
 k ) ) )
48 fvres 5877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  B  ->  (
( x  |`  B ) `
 k )  =  ( x `  k
) )
4948ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( x  |`  B ) `
 k )  =  ( x `  k
) )
5049mpteq2dv 4489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
x  e.  X  |->  ( ( x  |`  B ) `
 k ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) )
5147, 50eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) )  o.  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) )
5251cnveqd 5009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  `' ( ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )  o.  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )  =  `' ( x  e.  X  |->  ( x `
 k ) ) )
5342, 52syl5eqr 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  o.  `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) ) )  =  `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) )
5453imaeq1d 5166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  o.  `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) ) ) " u )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) " u ) )
5541, 54syl5eqr 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k
) ) " u
) )
56 simpl1 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  A  e.  V )
57 simpl2 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  F : A --> Top )
58 simpl3 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  B  C_  A )
59 simprl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  k  e.  B )
6058, 59sseldd 3432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  k  e.  A )
615, 2ptpjcn 20619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  k  e.  A )  ->  ( x  e.  X  |->  ( x `  k
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 k ) ) )
6256, 57, 60, 61syl3anc 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
x  e.  X  |->  ( x `  k ) )  e.  ( J  Cn  ( F `  k ) ) )
63 simprr 765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  u  e.  ( F `  k
) )
64 cnima 20274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  ( x `  k
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 k ) )  /\  u  e.  ( F `  k ) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k
) ) " u
)  e.  J )
6562, 63, 64syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) "
u )  e.  J
)
6655, 65eqeltrd 2528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) )  e.  J )
67 imaeq2 5163 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
)  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) ) )
6867eleq1d 2512 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
)  ->  ( ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J  <->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) )  e.  J ) )
6966, 68syl5ibrcom 226 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
v  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
7069rexlimdvva 2885 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
7170alrimiv 1772 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  A. v ( E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
72 eqid 2450 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) )  =  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k )  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) )
7372rnmpt2 6403 . . . . . 6  |-  ran  (
k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k )  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) )  =  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) }
7473raleqi 2990 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J  <->  A. v  e.  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) }  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J )
7512rexeqdv 2993 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  B  ->  ( E. u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
)  <->  E. u  e.  ( F `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) ) )
76 eqeq1 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u )  <->  v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) )
7776rexbidv 2900 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  ( E. u  e.  ( F `  k )
y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u )  <->  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) )
7875, 77sylan9bbr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  v  /\  k  e.  B )  ->  ( E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
) y  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  <->  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) )
7978rexbidva 2897 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  ( E. k  e.  B  E. u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
)  <->  E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k )
v  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) ) )
8079ralab 3198 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) }  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J  <->  A. v
( E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
8174, 80bitri 253 . . . 4  |-  ( A. v  e.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J  <->  A. v
( E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
8271, 81sylibr 216 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  A. v  e.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
)
83 ralunb 3614 . . 3  |-  ( A. v  e.  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J  <->  ( A. v  e.  { U. K }  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J  /\  A. v  e.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J ) )
8440, 82, 83sylanbrc 669 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  A. v  e.  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J )
855toptopon 19941 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
8632, 85sylib 200 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
87 snex 4640 . . . 4  |-  { U. K }  e.  _V
88 fvex 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  B ) `  k )  e.  _V
8988abrexex 6764 . . . . . . 7  |-  { y  |  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
) y  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) }  e.  _V
9089rgenw 2748 . . . . . 6  |-  A. k  e.  B  { y  |  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `
 k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) }  e.  _V
91 abrexex2g 6767 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A. k  e.  B  {
y  |  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
) y  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) }  e.  _V )  ->  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) }  e.  _V )
9217, 90, 91sylancl 667 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) }  e.  _V )
9373, 92syl5eqel 2532 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) )  e.  _V )
94 unexg 6589 . . . 4  |-  ( ( { U. K }  e.  _V  /\  ran  (
k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k )  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) )  e. 
_V )  ->  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) )  e.  _V )
9587, 93, 94sylancr 668 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) ) )  e. 
_V )
96 eqid 2450 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
9720, 96, 72ptval2 20609 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  ->  K  =  ( topGen `  ( fi `  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ) ) )
9817, 19, 97syl2anc 666 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  K  =  ( topGen `  ( fi `  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ) ) )
99 pttop 20590 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )  e.  Top )
10017, 19, 99syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( Xt_ `  ( F  |`  B ) )  e. 
Top )
10120, 100syl5eqel 2532 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  K  e.  Top )
10296toptopon 19941 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
103101, 102sylib 200 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
10486, 95, 98, 103subbascn 20263 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) : X --> U. K  /\  A. v  e.  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J ) ) )
10527, 84, 104mpbir2and 932 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 984   A.wal 1441    = wceq 1443    e. wcel 1886   {cab 2436   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044    u. cun 3401    C_ wss 3403   {csn 3967   U.cuni 4197    |-> cmpt 4460   `'ccnv 4832   ran crn 4834    |` cres 4835   "cima 4836    o. ccom 4837   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    |-> cmpt2 6290   X_cixp 7519   ficfi 7921   topGenctg 15329   Xt_cpt 15330   Topctop 19910  TopOnctopon 19911    Cn ccn 20233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-fin 7570  df-fi 7922  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cn 20236
This theorem is referenced by:  ptunhmeo  20816  tmdgsum  21103
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