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Theorem ptrescn 20731
Description: Restriction is a continuous function on product topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptrescn.1  |-  X  = 
U. J
ptrescn.2  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
ptrescn.3  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
Assertion
Ref Expression
ptrescn  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, K    x, V    x, X
Allowed substitution hint:    J( x)

Proof of Theorem ptrescn
Dummy variables  u  k  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1035 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  ->  B  C_  A )
2 ptrescn.2 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
32ptuni 20686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. J
)
433adant3 1050 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  U. J )
5 ptrescn.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
64, 5syl6eqr 2523 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  X )
76eleq2d 2534 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  <-> 
x  e.  X ) )
87biimpar 493 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
9 resixp 7575 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )  ->  ( x  |`  B )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k ) )
101, 8, 9syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  ->  ( x  |`  B )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k
) )
11 ixpeq2 7554 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. ( F `  k )  -> 
X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  X_ k  e.  B  U. ( F `  k )
)
12 fvres 5893 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
1312unieqd 4200 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  B  ->  U. (
( F  |`  B ) `
 k )  = 
U. ( F `  k ) )
1411, 13mprg 2770 . . . . . 6  |-  X_ k  e.  B  U. (
( F  |`  B ) `
 k )  = 
X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)
15 ssexg 4542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  V )  ->  B  e.  _V )
1615ancoms 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  _V )
17163adant2 1049 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  _V )
18 fssres 5761 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( F  |`  B ) : B --> Top )
19183adant1 1048 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( F  |`  B ) : B --> Top )
20 ptrescn.3 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
2120ptuni 20686 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  -> 
X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. K
)
2217, 19, 21syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. K
)
2314, 22syl5eqr 2519 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X_ k  e.  B  U. ( F `  k )  =  U. K )
2423adantr 472 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  -> 
X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)  =  U. K
)
2510, 24eleqtrd 2551 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  ->  ( x  |`  B )  e.  U. K )
26 eqid 2471 . . 3  |-  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )
2725, 26fmptd 6061 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) : X --> U. K
)
28 fimacnv 6027 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) : X --> U. K  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " U. K )  =  X )
2927, 28syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " U. K )  =  X )
30 pttop 20674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
312, 30syl5eqel 2553 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  e.  Top )
32313adant3 1050 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  J  e.  Top )
335topopn 20013 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
3432, 33syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X  e.  J )
3529, 34eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " U. K )  e.  J
)
36 elsni 3985 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  { U. K }  ->  v  =  U. K )
3736imaeq2d 5174 . . . . . 6  |-  ( v  e.  { U. K }  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " U. K
) )
3837eleq1d 2533 . . . . 5  |-  ( v  e.  { U. K }  ->  ( ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J  <->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " U. K
)  e.  J ) )
3935, 38syl5ibrcom 230 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( v  e.  { U. K }  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
4039ralrimiv 2808 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  A. v  e.  { U. K }  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J )
41 imaco 5347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  o.  `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) ) ) " u )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) )
42 cnvco 5025 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) )  o.  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  o.  `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) ) )
4325adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  B  C_  A )  /\  (
k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  |`  B )  e.  U. K )
44 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
)  =  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )
45 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) )  =  ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) )
46 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( x  |`  B )  ->  (
z `  k )  =  ( ( x  |`  B ) `  k
) )
4743, 44, 45, 46fmptco 6072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) )  o.  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x  |`  B ) `
 k ) ) )
48 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  B  ->  (
( x  |`  B ) `
 k )  =  ( x `  k
) )
4948ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( x  |`  B ) `
 k )  =  ( x `  k
) )
5049mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
x  e.  X  |->  ( ( x  |`  B ) `
 k ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) )
5147, 50eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) )  o.  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) )
5251cnveqd 5015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  `' ( ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )  o.  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )  =  `' ( x  e.  X  |->  ( x `
 k ) ) )
5342, 52syl5eqr 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  o.  `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) ) )  =  `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) )
5453imaeq1d 5173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  o.  `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) ) ) " u )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) " u ) )
5541, 54syl5eqr 2519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k
) ) " u
) )
56 simpl1 1033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  A  e.  V )
57 simpl2 1034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  F : A --> Top )
58 simpl3 1035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  B  C_  A )
59 simprl 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  k  e.  B )
6058, 59sseldd 3419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  k  e.  A )
615, 2ptpjcn 20703 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  k  e.  A )  ->  ( x  e.  X  |->  ( x `  k
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 k ) ) )
6256, 57, 60, 61syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
x  e.  X  |->  ( x `  k ) )  e.  ( J  Cn  ( F `  k ) ) )
63 simprr 774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  u  e.  ( F `  k
) )
64 cnima 20358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  ( x `  k
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 k ) )  /\  u  e.  ( F `  k ) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k
) ) " u
)  e.  J )
6562, 63, 64syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) "
u )  e.  J
)
6655, 65eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) )  e.  J )
67 imaeq2 5170 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
)  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) ) )
6867eleq1d 2533 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
)  ->  ( ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J  <->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) )  e.  J ) )
6966, 68syl5ibrcom 230 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
v  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
7069rexlimdvva 2878 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
7170alrimiv 1781 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  A. v ( E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
72 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) )  =  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k )  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) )
7372rnmpt2 6425 . . . . . 6  |-  ran  (
k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k )  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) )  =  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) }
7473raleqi 2977 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J  <->  A. v  e.  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) }  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J )
7512rexeqdv 2980 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  B  ->  ( E. u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
)  <->  E. u  e.  ( F `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) ) )
76 eqeq1 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u )  <->  v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) )
7776rexbidv 2892 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  ( E. u  e.  ( F `  k )
y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u )  <->  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) )
7875, 77sylan9bbr 715 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  v  /\  k  e.  B )  ->  ( E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
) y  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  <->  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) )
7978rexbidva 2889 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  ( E. k  e.  B  E. u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
)  <->  E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k )
v  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) ) )
8079ralab 3187 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) }  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J  <->  A. v
( E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
8174, 80bitri 257 . . . 4  |-  ( A. v  e.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J  <->  A. v
( E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
8271, 81sylibr 217 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  A. v  e.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
)
83 ralunb 3606 . . 3  |-  ( A. v  e.  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J  <->  ( A. v  e.  { U. K }  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J  /\  A. v  e.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J ) )
8440, 82, 83sylanbrc 677 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  A. v  e.  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J )
855toptopon 20025 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
8632, 85sylib 201 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
87 snex 4641 . . . 4  |-  { U. K }  e.  _V
88 fvex 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  B ) `  k )  e.  _V
8988abrexex 6786 . . . . . . 7  |-  { y  |  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
) y  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) }  e.  _V
9089rgenw 2768 . . . . . 6  |-  A. k  e.  B  { y  |  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `
 k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) }  e.  _V
91 abrexex2g 6789 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A. k  e.  B  {
y  |  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
) y  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) }  e.  _V )  ->  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) }  e.  _V )
9217, 90, 91sylancl 675 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) }  e.  _V )
9373, 92syl5eqel 2553 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) )  e.  _V )
94 unexg 6611 . . . 4  |-  ( ( { U. K }  e.  _V  /\  ran  (
k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k )  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) )  e. 
_V )  ->  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) )  e.  _V )
9587, 93, 94sylancr 676 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) ) )  e. 
_V )
96 eqid 2471 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
9720, 96, 72ptval2 20693 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  ->  K  =  ( topGen `  ( fi `  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ) ) )
9817, 19, 97syl2anc 673 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  K  =  ( topGen `  ( fi `  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ) ) )
99 pttop 20674 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )  e.  Top )
10017, 19, 99syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( Xt_ `  ( F  |`  B ) )  e. 
Top )
10120, 100syl5eqel 2553 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  K  e.  Top )
10296toptopon 20025 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
103101, 102sylib 201 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
10486, 95, 98, 103subbascn 20347 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) : X --> U. K  /\  A. v  e.  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J ) ) )
10527, 84, 104mpbir2and 936 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007   A.wal 1450    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    u. cun 3388    C_ wss 3390   {csn 3959   U.cuni 4190    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   ran crn 4840    |` cres 4841   "cima 4842    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   X_cixp 7540   ficfi 7942   topGenctg 15414   Xt_cpt 15415   Topctop 19994  TopOnctopon 19995    Cn ccn 20317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-fi 7943  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320
This theorem is referenced by:  ptunhmeo  20900  tmdgsum  21188
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