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Theorem ptpjpre1 20578
Description: The preimage of a projection function can be expressed as an indexed cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptpjpre1.1  |-  X  = 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)
Assertion
Ref Expression
ptpjpre1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) " U )  =  X_ k  e.  A  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) )
Distinct variable groups:    w, k, A    k, F, w    k, I, w    U, k, w   
k, V, w    w, X
Allowed substitution hint:    X( k)

Proof of Theorem ptpjpre1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 769 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  I  e.  A )
2 vex 3085 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
32elixp 7535 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  ( w  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( w `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
43simprbi 466 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  A. k  e.  A  ( w `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
5 ptpjpre1.1 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)
64, 5eleq2s 2531 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  X  ->  A. k  e.  A  ( w `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
76adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  A. k  e.  A  ( w `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
8 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  I  ->  (
w `  k )  =  ( w `  I ) )
9 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  I  ->  ( F `  k )  =  ( F `  I ) )
109unieqd 4227 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  I  ->  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  I ) )
118, 10eleq12d 2505 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  I  ->  (
( w `  k
)  e.  U. ( F `  k )  <->  ( w `  I )  e.  U. ( F `
 I ) ) )
1211rspcv 3179 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( w `  k
)  e.  U. ( F `  k )  ->  ( w `  I
)  e.  U. ( F `  I )
) )
131, 7, 12sylc 63 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  ( w `  I )  e.  U. ( F `  I ) )
14 eqid 2423 . . . . . 6  |-  ( w  e.  X  |->  ( w `
 I ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) )
1513, 14fmptd 6059 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) : X --> U. ( F `  I )
)
16 ffn 5744 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) : X --> U. ( F `  I )  ->  ( w  e.  X  |->  ( w `  I
) )  Fn  X
)
17 elpreima 6015 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) )  Fn  X  -> 
( z  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) " U )  <->  ( z  e.  X  /\  (
( w  e.  X  |->  ( w `  I
) ) `  z
)  e.  U ) ) )
1815, 16, 173syl 18 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
z  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I
) ) " U
)  <->  ( z  e.  X  /\  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) `  z )  e.  U ) ) )
19 fveq1 5878 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
w `  I )  =  ( z `  I ) )
20 fvex 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( z `
 I )  e. 
_V
2119, 14, 20fvmpt 5962 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  X  ->  (
( w  e.  X  |->  ( w `  I
) ) `  z
)  =  ( z `
 I ) )
2221eleq1d 2492 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  X  ->  (
( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) `  z )  e.  U  <->  ( z `  I )  e.  U ) )
2322pm5.32i 642 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) `  z )  e.  U
)  <->  ( z  e.  X  /\  ( z `
 I )  e.  U ) )
245eleq2i 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  X  <->  z  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) )
25 vex 3085 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
2625elixp 7535 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
2724, 26bitri 253 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  X  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
2827anbi1i 700 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( z `  I
)  e.  U )  <-> 
( ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) )  /\  ( z `
 I )  e.  U ) )
29 anass 654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  U. ( F `  k )
)  /\  ( z `  I )  e.  U
)  <->  ( z  Fn  A  /\  ( A. k  e.  A  (
z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  (
z `  I )  e.  U ) ) )
3028, 29bitri 253 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( z `  I
)  e.  U )  <-> 
( z  Fn  A  /\  ( A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  ( z `  I )  e.  U
) ) )
3123, 30bitri 253 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) `  z )  e.  U
)  <->  ( z  Fn  A  /\  ( A. k  e.  A  (
z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  (
z `  I )  e.  U ) ) )
32 simprl 763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( ( z `
 I )  e.  U  /\  ( z `
 k )  e. 
U. ( F `  k ) ) )  ->  ( z `  I )  e.  U
)
33 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  I  ->  (
z `  k )  =  ( z `  I ) )
34 iftrue 3916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  I  ->  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  =  U )
3533, 34eleq12d 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  I  ->  (
( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  <->  ( z `  I )  e.  U
) )
3632, 35syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( ( z `
 I )  e.  U  /\  ( z `
 k )  e. 
U. ( F `  k ) ) )  ->  ( k  =  I  ->  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
37 simprr 765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( ( z `
 I )  e.  U  /\  ( z `
 k )  e. 
U. ( F `  k ) ) )  ->  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
38 iffalse 3919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  k  =  I  ->  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  =  U. ( F `  k )
)
3938eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  k  =  I  -> 
( ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  <->  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
4037, 39syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( ( z `
 I )  e.  U  /\  ( z `
 k )  e. 
U. ( F `  k ) ) )  ->  ( -.  k  =  I  ->  ( z `
 k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k
) ) ) )
4136, 40pm2.61d 162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( ( z `
 I )  e.  U  /\  ( z `
 k )  e. 
U. ( F `  k ) ) )  ->  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) )
4241expr 619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( z `  I )  e.  U
)  ->  ( (
z `  k )  e.  U. ( F `  k )  ->  (
z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k
) ) ) )
4342ralimdv 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( z `  I )  e.  U
)  ->  ( A. k  e.  A  (
z `  k )  e.  U. ( F `  k )  ->  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
4443expimpd 607 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( ( z `  I )  e.  U  /\  A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  U. ( F `  k )
)  ->  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
4544ancomsd 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  ( z `  I )  e.  U
)  ->  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
46 elssuni 4246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  ( F `  I )  ->  U  C_ 
U. ( F `  I ) )
4746ad2antll 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  U  C_ 
U. ( F `  I ) )
4834, 10sseq12d 3494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  I  ->  ( if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )  <->  U 
C_  U. ( F `  I ) ) )
4947, 48syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
k  =  I  ->  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )
) )
50 ssid 3484 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( F `  k )  C_ 
U. ( F `  k )
5138, 50syl6eqss 3515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  k  =  I  ->  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )
)
5249, 51pm2.61d1 163 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )
)
5352sseld 3464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  ->  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
5453ralimdv 2836 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  ->  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
5535rspcv 3179 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  ->  ( z `  I )  e.  U
) )
5655ad2antrl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  ->  ( z `  I )  e.  U
) )
5754, 56jcad 536 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  ->  ( A. k  e.  A  (
z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  (
z `  I )  e.  U ) ) )
5845, 57impbid 194 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  ( z `  I )  e.  U
)  <->  A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
) ) )
5958anbi2d 709 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( z  Fn  A  /\  ( A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  ( z `  I )  e.  U
) )  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) ) )
6031, 59syl5bb 261 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( z  e.  X  /\  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) `  z )  e.  U
)  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) ) )
6118, 60bitrd 257 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
z  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I
) ) " U
)  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) ) )
6225elixp 7535 . . 3  |-  ( z  e.  X_ k  e.  A  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
6361, 62syl6bbr 267 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
z  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I
) ) " U
)  <->  z  e.  X_ k  e.  A  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
6463eqrdv 2420 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) " U )  =  X_ k  e.  A  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776    C_ wss 3437   ifcif 3910   U.cuni 4217    |-> cmpt 4480   `'ccnv 4850   "cima 4854    Fn wfn 5594   -->wf 5595   ` cfv 5599   X_cixp 7528   Topctop 19909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pr 4658
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-fv 5607  df-ixp 7529
This theorem is referenced by:  ptpjpre2  20587  ptbasfi  20588
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