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Theorem ptpjpre1 19938
Description: The preimage of a projection function can be expressed as an indexed cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptpjpre1.1  |-  X  = 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)
Assertion
Ref Expression
ptpjpre1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) " U )  =  X_ k  e.  A  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) )
Distinct variable groups:    w, k, A    k, F, w    k, I, w    U, k, w   
k, V, w    w, X
Allowed substitution hint:    X( k)

Proof of Theorem ptpjpre1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  I  e.  A )
2 vex 3096 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
32elixp 7474 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  ( w  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( w `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
43simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  A. k  e.  A  ( w `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
5 ptpjpre1.1 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)
64, 5eleq2s 2549 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  X  ->  A. k  e.  A  ( w `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
76adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  A. k  e.  A  ( w `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
8 fveq2 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  I  ->  (
w `  k )  =  ( w `  I ) )
9 fveq2 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  I  ->  ( F `  k )  =  ( F `  I ) )
109unieqd 4240 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  I  ->  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  I ) )
118, 10eleq12d 2523 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  I  ->  (
( w `  k
)  e.  U. ( F `  k )  <->  ( w `  I )  e.  U. ( F `
 I ) ) )
1211rspcv 3190 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( w `  k
)  e.  U. ( F `  k )  ->  ( w `  I
)  e.  U. ( F `  I )
) )
131, 7, 12sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  ( w `  I )  e.  U. ( F `  I ) )
14 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( w  e.  X  |->  ( w `
 I ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) )
1513, 14fmptd 6036 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) : X --> U. ( F `  I )
)
16 ffn 5717 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) : X --> U. ( F `  I )  ->  ( w  e.  X  |->  ( w `  I
) )  Fn  X
)
17 elpreima 5988 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) )  Fn  X  -> 
( z  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) " U )  <->  ( z  e.  X  /\  (
( w  e.  X  |->  ( w `  I
) ) `  z
)  e.  U ) ) )
1815, 16, 173syl 20 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
z  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I
) ) " U
)  <->  ( z  e.  X  /\  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) `  z )  e.  U ) ) )
19 fveq1 5851 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
w `  I )  =  ( z `  I ) )
20 fvex 5862 . . . . . . . . 9  |-  ( z `
 I )  e. 
_V
2119, 14, 20fvmpt 5937 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  X  ->  (
( w  e.  X  |->  ( w `  I
) ) `  z
)  =  ( z `
 I ) )
2221eleq1d 2510 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  X  ->  (
( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) `  z )  e.  U  <->  ( z `  I )  e.  U ) )
2322pm5.32i 637 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) `  z )  e.  U
)  <->  ( z  e.  X  /\  ( z `
 I )  e.  U ) )
245eleq2i 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  X  <->  z  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) )
25 vex 3096 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
2625elixp 7474 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
2724, 26bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  X  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
2827anbi1i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( z `  I
)  e.  U )  <-> 
( ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) )  /\  ( z `
 I )  e.  U ) )
29 anass 649 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  U. ( F `  k )
)  /\  ( z `  I )  e.  U
)  <->  ( z  Fn  A  /\  ( A. k  e.  A  (
z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  (
z `  I )  e.  U ) ) )
3028, 29bitri 249 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( z `  I
)  e.  U )  <-> 
( z  Fn  A  /\  ( A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  ( z `  I )  e.  U
) ) )
3123, 30bitri 249 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) `  z )  e.  U
)  <->  ( z  Fn  A  /\  ( A. k  e.  A  (
z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  (
z `  I )  e.  U ) ) )
32 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( ( z `
 I )  e.  U  /\  ( z `
 k )  e. 
U. ( F `  k ) ) )  ->  ( z `  I )  e.  U
)
33 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  I  ->  (
z `  k )  =  ( z `  I ) )
34 iftrue 3928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  I  ->  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  =  U )
3533, 34eleq12d 2523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  I  ->  (
( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  <->  ( z `  I )  e.  U
) )
3632, 35syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( ( z `
 I )  e.  U  /\  ( z `
 k )  e. 
U. ( F `  k ) ) )  ->  ( k  =  I  ->  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
37 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( ( z `
 I )  e.  U  /\  ( z `
 k )  e. 
U. ( F `  k ) ) )  ->  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
38 iffalse 3931 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  k  =  I  ->  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  =  U. ( F `  k )
)
3938eleq2d 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  k  =  I  -> 
( ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  <->  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
4037, 39syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( ( z `
 I )  e.  U  /\  ( z `
 k )  e. 
U. ( F `  k ) ) )  ->  ( -.  k  =  I  ->  ( z `
 k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k
) ) ) )
4136, 40pm2.61d 158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( ( z `
 I )  e.  U  /\  ( z `
 k )  e. 
U. ( F `  k ) ) )  ->  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) )
4241expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( z `  I )  e.  U
)  ->  ( (
z `  k )  e.  U. ( F `  k )  ->  (
z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k
) ) ) )
4342ralimdv 2851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( z `  I )  e.  U
)  ->  ( A. k  e.  A  (
z `  k )  e.  U. ( F `  k )  ->  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
4443expimpd 603 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( ( z `  I )  e.  U  /\  A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  U. ( F `  k )
)  ->  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
4544ancomsd 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  ( z `  I )  e.  U
)  ->  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
46 elssuni 4260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  ( F `  I )  ->  U  C_ 
U. ( F `  I ) )
4746ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  U  C_ 
U. ( F `  I ) )
4834, 10sseq12d 3515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  I  ->  ( if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )  <->  U 
C_  U. ( F `  I ) ) )
4947, 48syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
k  =  I  ->  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )
) )
50 ssid 3505 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( F `  k )  C_ 
U. ( F `  k )
5138, 50syl6eqss 3536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  k  =  I  ->  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )
)
5249, 51pm2.61d1 159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )
)
5352sseld 3485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  ->  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
5453ralimdv 2851 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  ->  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
5535rspcv 3190 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  ->  ( z `  I )  e.  U
) )
5655ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  ->  ( z `  I )  e.  U
) )
5754, 56jcad 533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  ->  ( A. k  e.  A  (
z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  (
z `  I )  e.  U ) ) )
5845, 57impbid 191 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  ( z `  I )  e.  U
)  <->  A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
) ) )
5958anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( z  Fn  A  /\  ( A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  ( z `  I )  e.  U
) )  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) ) )
6031, 59syl5bb 257 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( z  e.  X  /\  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) `  z )  e.  U
)  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) ) )
6118, 60bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
z  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I
) ) " U
)  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) ) )
6225elixp 7474 . . 3  |-  ( z  e.  X_ k  e.  A  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
6361, 62syl6bbr 263 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
z  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I
) ) " U
)  <->  z  e.  X_ k  e.  A  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
6463eqrdv 2438 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) " U )  =  X_ k  e.  A  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791    C_ wss 3458   ifcif 3922   U.cuni 4230    |-> cmpt 4491   `'ccnv 4984   "cima 4988    Fn wfn 5569   -->wf 5570   ` cfv 5574   X_cixp 7467   Topctop 19261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pr 4672
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-fv 5582  df-ixp 7468
This theorem is referenced by:  ptpjpre2  19947  ptbasfi  19948
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