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Theorem ptpjopn 20619
Description: The projection map is an open map. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptpjcn.1  |-  Y  = 
U. J
ptpjcn.2  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
Assertion
Ref Expression
ptpjopn  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  Y  |->  ( x `  I ) ) " U )  e.  ( F `  I ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, I    x, V    x, Y    x, U
Allowed substitution hint:    J( x)

Proof of Theorem ptpjopn
Dummy variables  g 
k  n  s  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ima 4864 . . 3  |-  ( ( x  e.  Y  |->  ( x `  I ) ) " U )  =  ran  ( ( x  e.  Y  |->  ( x `  I ) )  |`  U )
2 elssuni 4246 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_ 
U. J )
3 ptpjcn.1 . . . . . . 7  |-  Y  = 
U. J
42, 3syl6sseqr 3512 . . . . . 6  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_  Y )
54adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  U  C_  Y
)
65resmptd 5173 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  Y  |->  ( x `  I ) )  |`  U )  =  ( x  e.  U  |->  ( x `  I ) ) )
76rneqd 5079 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ran  ( ( x  e.  Y  |->  ( x `  I ) )  |`  U )  =  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I ) ) )
81, 7syl5eq 2476 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  Y  |->  ( x `  I ) ) " U )  =  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) ) )
9 ptpjcn.2 . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
10 ffn 5744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> Top  ->  F  Fn  A )
11 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  s  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  =  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
1211ptval 20577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
1310, 12sylan2 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
149, 13syl5eq 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  =  ( topGen `  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
15143adant3 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  J  =  ( topGen `  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
1615eleq2d 2493 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( U  e.  J  <->  U  e.  ( topGen `  {
s  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  s  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } ) ) )
1716biimpa 487 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  U  e.  ( topGen `  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
18 tg2 19972 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  ( topGen `  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )  /\  s  e.  U
)  ->  E. w  e.  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  (
s  e.  w  /\  w  C_  U ) )
1917, 18sylan 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  ->  E. w  e.  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  (
s  e.  w  /\  w  C_  U ) )
20 vex 3085 . . . . . . . . 9  |-  w  e. 
_V
21 eqeq1 2427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  w  ->  (
s  =  X_ y  e.  A  ( g `  y )  <->  w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
2221anbi2d 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  w  ->  (
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  s  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  <->  ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) ) )
2322exbidv 1759 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  w  ->  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  <->  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) ) )
2420, 23elab 3219 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  <->  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
25 simpl3 1011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  I  e.  A )
2625ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  I  e.  A )
27 simplr2 1049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y ) )
28 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  I  ->  (
g `  y )  =  ( g `  I ) )
29 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  I  ->  ( F `  y )  =  ( F `  I ) )
3028, 29eleq12d 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  I  ->  (
( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  ( g `  I )  e.  ( F `  I ) ) )
3130rspcv 3179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  -> 
( g `  I
)  e.  ( F `
 I ) ) )
3226, 27, 31sylc 63 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  (
g `  I )  e.  ( F `  I
) )
33 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  s  e. 
_V
3433elixp 7535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  <->  ( s  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( s `  y )  e.  ( g `  y ) ) )
3534simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  A. y  e.  A  ( s `  y )  e.  ( g `  y ) )
3635ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  A. y  e.  A  ( s `  y )  e.  ( g `  y ) )
37 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  I  ->  (
s `  y )  =  ( s `  I ) )
3837, 28eleq12d 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  I  ->  (
( s `  y
)  e.  ( g `
 y )  <->  ( s `  I )  e.  ( g `  I ) ) )
3938rspcv 3179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( s `  y
)  e.  ( g `
 y )  -> 
( s `  I
)  e.  ( g `
 I ) ) )
4026, 36, 39sylc 63 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  (
s `  I )  e.  ( g `  I
) )
41 simplrr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
)
42 simplrl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  /\  n  =  I )  ->  k  e.  ( g `  I
) )
43 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  I  ->  (
g `  n )  =  ( g `  I ) )
4443adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  /\  n  =  I )  ->  (
g `  n )  =  ( g `  I ) )
4542, 44eleqtrrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  /\  n  =  I )  ->  k  e.  ( g `  n
) )
46 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  ->  n  e.  A )
47 simplrl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  ->  s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )
4847, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  ->  A. y  e.  A  ( s `  y )  e.  ( g `  y ) )
49 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  =  n  ->  (
s `  y )  =  ( s `  n ) )
50 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  =  n  ->  (
g `  y )  =  ( g `  n ) )
5149, 50eleq12d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  n  ->  (
( s `  y
)  e.  ( g `
 y )  <->  ( s `  n )  e.  ( g `  n ) ) )
5251rspcv 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( s `  y
)  e.  ( g `
 y )  -> 
( s `  n
)  e.  ( g `
 n ) ) )
5346, 48, 52sylc 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  ->  ( s `  n )  e.  ( g `  n ) )
5453adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  /\  -.  n  =  I )  ->  (
s `  n )  e.  ( g `  n
) )
5545, 54ifclda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  ->  if (
n  =  I ,  k ,  ( s `
 n ) )  e.  ( g `  n ) )
5655anassrs 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  /\  n  e.  A )  ->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) )  e.  ( g `
 n ) )
5756ralrimiva 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  A. n  e.  A  if (
n  =  I ,  k ,  ( s `
 n ) )  e.  ( g `  n ) )
58 simpll1 1045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  ->  A  e.  V )
5958ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  A  e.  V )
60 mptelixpg 7565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  V  ->  (
( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n
) ) )  e.  X_ n  e.  A  ( g `  n
)  <->  A. n  e.  A  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) )  e.  ( g `
 n ) ) )
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  (
( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n
) ) )  e.  X_ n  e.  A  ( g `  n
)  <->  A. n  e.  A  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) )  e.  ( g `
 n ) ) )
6257, 61mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  (
n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) ) )  e.  X_ n  e.  A  (
g `  n )
)
63 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  y  ->  (
g `  n )  =  ( g `  y ) )
6463cbvixpv 7546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  X_ n  e.  A  ( g `  n )  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
6562, 64syl6eleq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  (
n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) ) )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )
)
6641, 65sseldd 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  (
n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) ) )  e.  U
)
6726adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  I  e.  A )
68 iftrue 3916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  I  ->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) )  =  k )
69 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `
 n ) ) )  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `
 n ) ) )
70 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  k  e. 
_V
7168, 69, 70fvmpt 5962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I  e.  A  ->  (
( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n
) ) ) `  I )  =  k )
7267, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  (
( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n
) ) ) `  I )  =  k )
7372eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  k  =  ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `
 n ) ) ) `  I ) )
74 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) ) )  ->  ( x `  I )  =  ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n
) ) ) `  I ) )
7574eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) ) )  ->  ( k  =  ( x `  I
)  <->  k  =  ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n
) ) ) `  I ) ) )
7675rspcev 3183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n
) ) )  e.  U  /\  k  =  ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) ) ) `
 I ) )  ->  E. x  e.  U  k  =  ( x `  I ) )
7766, 73, 76syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  E. x  e.  U  k  =  ( x `  I
) )
78 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) )  =  ( x  e.  U  |->  ( x `  I ) )
7978elrnmpt 5098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  _V  ->  (
k  e.  ran  (
x  e.  U  |->  ( x `  I ) )  <->  E. x  e.  U  k  =  ( x `  I ) ) )
8070, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) )  <->  E. x  e.  U  k  =  ( x `  I ) )
8177, 80sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  k  e.  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I ) ) )
8281ex 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  (
k  e.  ( g `
 I )  -> 
k  e.  ran  (
x  e.  U  |->  ( x `  I ) ) ) )
8382ssrdv 3471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  (
g `  I )  C_ 
ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I ) ) )
84 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( g `  I )  ->  (
( s `  I
)  e.  z  <->  ( s `  I )  e.  ( g `  I ) ) )
85 sseq1 3486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( g `  I )  ->  (
z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) )  <-> 
( g `  I
)  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) ) ) )
8684, 85anbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( g `  I )  ->  (
( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) )  <->  ( (
s `  I )  e.  ( g `  I
)  /\  ( g `  I )  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) )
8786rspcev 3183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g `  I
)  e.  ( F `
 I )  /\  ( ( s `  I )  e.  ( g `  I )  /\  ( g `  I )  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) )  ->  E. z  e.  ( F `  I ) ( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) )
8832, 40, 83, 87syl12anc 1263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) )
8988ex 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  ->  (
( s  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I ) ( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) )
90 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( s  e.  w  <->  s  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) )
91 sseq1 3486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( w  C_  U  <->  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  U )
)
9290, 91anbi12d 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( (
s  e.  w  /\  w  C_  U )  <->  ( s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) ) )
9392imbi1d 319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( (
( s  e.  w  /\  w  C_  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I ) ( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) )  <-> 
( ( s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
)  ->  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) ) )
9489, 93syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  ->  (
w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y )  ->  (
( s  e.  w  /\  w  C_  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I ) ( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) ) )
9594expimpd 607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  ->  (
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  ->  ( (
s  e.  w  /\  w  C_  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I )
( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) ) )
9695exlimdv 1769 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  ->  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  ->  (
( s  e.  w  /\  w  C_  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I ) ( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) ) )
9724, 96syl5bi 221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  ->  (
w  e.  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  s  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  ->  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) ) )
9897rexlimdv 2916 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  ->  ( E. w  e.  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  s  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I ) ( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) )
9919, 98mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) )
10099ralrimiva 2840 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  A. s  e.  U  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) )
101 fvex 5889 . . . . . 6  |-  ( s `
 I )  e. 
_V
102101rgenw 2787 . . . . 5  |-  A. s  e.  U  ( s `  I )  e.  _V
103 fveq1 5878 . . . . . . 7  |-  ( x  =  s  ->  (
x `  I )  =  ( s `  I ) )
104103cbvmptv 4514 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) )  =  ( s  e.  U  |->  ( s `  I ) )
105 eleq1 2495 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( s `  I )  ->  (
y  e.  z  <->  ( s `  I )  e.  z ) )
106105anbi1d 710 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( s `  I )  ->  (
( y  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) )  <->  ( (
s `  I )  e.  z  /\  z  C_ 
ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I ) ) ) ) )
107106rexbidv 2940 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( s `  I )  ->  ( E. z  e.  ( F `  I )
( y  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) )  <->  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) )
108104, 107ralrnmpt 6044 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  U  (
s `  I )  e.  _V  ->  ( A. y  e.  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) ) E. z  e.  ( F `  I ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) )  <->  A. s  e.  U  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) )
109102, 108ax-mp 5 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) ) E. z  e.  ( F `  I ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) )  <->  A. s  e.  U  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) )
110100, 109sylibr 216 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  A. y  e.  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I ) ) E. z  e.  ( F `
 I ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) ) ) )
111 simpl2 1010 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  F : A
--> Top )
112111, 25ffvelrnd 6036 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ( F `  I )  e.  Top )
113 eltop2 19983 . . . 4  |-  ( ( F `  I )  e.  Top  ->  ( ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) )  e.  ( F `  I )  <->  A. y  e.  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) E. z  e.  ( F `  I
) ( y  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) )
114112, 113syl 17 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ( ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) )  e.  ( F `  I )  <->  A. y  e.  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) E. z  e.  ( F `  I
) ( y  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) )
115110, 114mpbird 236 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) )  e.  ( F `  I ) )
1168, 115eqeltrd 2511 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  Y  |->  ( x `  I ) ) " U )  e.  ( F `  I ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438   E.wex 1660    e. wcel 1869   {cab 2408   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    C_ wss 3437   ifcif 3910   U.cuni 4217    |-> cmpt 4480   ran crn 4852    |` cres 4853   "cima 4854    Fn wfn 5594   -->wf 5595   ` cfv 5599   X_cixp 7528   Fincfn 7575   topGenctg 15329   Xt_cpt 15330   Topctop 19909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ixp 7529  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-top 19913
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