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Theorem ptpjopn 19188
Description: The projection map is an open map. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptpjcn.1  |-  Y  = 
U. J
ptpjcn.2  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
Assertion
Ref Expression
ptpjopn  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  Y  |->  ( x `  I ) ) " U )  e.  ( F `  I ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, I    x, V    x, Y    x, U
Allowed substitution hint:    J( x)

Proof of Theorem ptpjopn
Dummy variables  g 
k  n  s  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ima 4856 . . 3  |-  ( ( x  e.  Y  |->  ( x `  I ) ) " U )  =  ran  ( ( x  e.  Y  |->  ( x `  I ) )  |`  U )
2 elssuni 4124 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_ 
U. J )
3 ptpjcn.1 . . . . . . 7  |-  Y  = 
U. J
42, 3syl6sseqr 3406 . . . . . 6  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_  Y )
54adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  U  C_  Y
)
6 resmpt 5159 . . . . 5  |-  ( U 
C_  Y  ->  (
( x  e.  Y  |->  ( x `  I
) )  |`  U )  =  ( x  e.  U  |->  ( x `  I ) ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  Y  |->  ( x `  I ) )  |`  U )  =  ( x  e.  U  |->  ( x `  I ) ) )
87rneqd 5070 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ran  ( ( x  e.  Y  |->  ( x `  I ) )  |`  U )  =  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I ) ) )
91, 8syl5eq 2487 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  Y  |->  ( x `  I ) ) " U )  =  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) ) )
10 ptpjcn.2 . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
11 ffn 5562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> Top  ->  F  Fn  A )
12 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  s  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  =  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
1312ptval 19146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
1411, 13sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
1510, 14syl5eq 2487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  =  ( topGen `  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
16153adant3 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  J  =  ( topGen `  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
1716eleq2d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( U  e.  J  <->  U  e.  ( topGen `  {
s  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  s  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } ) ) )
1817biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  U  e.  ( topGen `  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
19 tg2 18573 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  ( topGen `  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )  /\  s  e.  U
)  ->  E. w  e.  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  (
s  e.  w  /\  w  C_  U ) )
2018, 19sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  ->  E. w  e.  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  (
s  e.  w  /\  w  C_  U ) )
21 vex 2978 . . . . . . . . 9  |-  w  e. 
_V
22 eqeq1 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  w  ->  (
s  =  X_ y  e.  A  ( g `  y )  <->  w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
2322anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  w  ->  (
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  s  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  <->  ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) ) )
2423exbidv 1680 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  w  ->  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  <->  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) ) )
2521, 24elab 3109 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  <->  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
26 simpl3 993 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  I  e.  A )
2726ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  I  e.  A )
28 simplr2 1031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y ) )
29 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  I  ->  (
g `  y )  =  ( g `  I ) )
30 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  I  ->  ( F `  y )  =  ( F `  I ) )
3129, 30eleq12d 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  I  ->  (
( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  ( g `  I )  e.  ( F `  I ) ) )
3231rspcv 3072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  -> 
( g `  I
)  e.  ( F `
 I ) ) )
3327, 28, 32sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  (
g `  I )  e.  ( F `  I
) )
34 vex 2978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  s  e. 
_V
3534elixp 7273 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  <->  ( s  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( s `  y )  e.  ( g `  y ) ) )
3635simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  A. y  e.  A  ( s `  y )  e.  ( g `  y ) )
3736ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  A. y  e.  A  ( s `  y )  e.  ( g `  y ) )
38 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  I  ->  (
s `  y )  =  ( s `  I ) )
3938, 29eleq12d 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  I  ->  (
( s `  y
)  e.  ( g `
 y )  <->  ( s `  I )  e.  ( g `  I ) ) )
4039rspcv 3072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( s `  y
)  e.  ( g `
 y )  -> 
( s `  I
)  e.  ( g `
 I ) ) )
4127, 37, 40sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  (
s `  I )  e.  ( g `  I
) )
42 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
)
43 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  /\  n  =  I )  ->  k  e.  ( g `  I
) )
44 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  I  ->  (
g `  n )  =  ( g `  I ) )
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  /\  n  =  I )  ->  (
g `  n )  =  ( g `  I ) )
4643, 45eleqtrrd 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  /\  n  =  I )  ->  k  e.  ( g `  n
) )
47 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  ->  n  e.  A )
48 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  ->  s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )
4948, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  ->  A. y  e.  A  ( s `  y )  e.  ( g `  y ) )
50 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  =  n  ->  (
s `  y )  =  ( s `  n ) )
51 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  =  n  ->  (
g `  y )  =  ( g `  n ) )
5250, 51eleq12d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  n  ->  (
( s `  y
)  e.  ( g `
 y )  <->  ( s `  n )  e.  ( g `  n ) ) )
5352rspcv 3072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( s `  y
)  e.  ( g `
 y )  -> 
( s `  n
)  e.  ( g `
 n ) ) )
5447, 49, 53sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  ->  ( s `  n )  e.  ( g `  n ) )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  /\  -.  n  =  I )  ->  (
s `  n )  e.  ( g `  n
) )
5646, 55ifclda 3824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  ->  if (
n  =  I ,  k ,  ( s `
 n ) )  e.  ( g `  n ) )
5756anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  /\  n  e.  A )  ->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) )  e.  ( g `
 n ) )
5857ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  A. n  e.  A  if (
n  =  I ,  k ,  ( s `
 n ) )  e.  ( g `  n ) )
59 simpll1 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  ->  A  e.  V )
6059ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  A  e.  V )
61 mptelixpg 7303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  V  ->  (
( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n
) ) )  e.  X_ n  e.  A  ( g `  n
)  <->  A. n  e.  A  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) )  e.  ( g `
 n ) ) )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  (
( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n
) ) )  e.  X_ n  e.  A  ( g `  n
)  <->  A. n  e.  A  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) )  e.  ( g `
 n ) ) )
6358, 62mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  (
n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) ) )  e.  X_ n  e.  A  (
g `  n )
)
64 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  y  ->  (
g `  n )  =  ( g `  y ) )
6564cbvixpv 7284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  X_ n  e.  A  ( g `  n )  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
6663, 65syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  (
n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) ) )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )
)
6742, 66sseldd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  (
n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) ) )  e.  U
)
6827adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  I  e.  A )
69 iftrue 3800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  I  ->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) )  =  k )
70 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `
 n ) ) )  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `
 n ) ) )
71 vex 2978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  k  e. 
_V
7269, 70, 71fvmpt 5777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I  e.  A  ->  (
( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n
) ) ) `  I )  =  k )
7368, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  (
( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n
) ) ) `  I )  =  k )
7473eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  k  =  ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `
 n ) ) ) `  I ) )
75 fveq1 5693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) ) )  ->  ( x `  I )  =  ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n
) ) ) `  I ) )
7675eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) ) )  ->  ( k  =  ( x `  I
)  <->  k  =  ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n
) ) ) `  I ) ) )
7776rspcev 3076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n
) ) )  e.  U  /\  k  =  ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) ) ) `
 I ) )  ->  E. x  e.  U  k  =  ( x `  I ) )
7867, 74, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  E. x  e.  U  k  =  ( x `  I
) )
79 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) )  =  ( x  e.  U  |->  ( x `  I ) )
8079elrnmpt 5089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  _V  ->  (
k  e.  ran  (
x  e.  U  |->  ( x `  I ) )  <->  E. x  e.  U  k  =  ( x `  I ) ) )
8171, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) )  <->  E. x  e.  U  k  =  ( x `  I ) )
8278, 81sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  k  e.  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I ) ) )
8382ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  (
k  e.  ( g `
 I )  -> 
k  e.  ran  (
x  e.  U  |->  ( x `  I ) ) ) )
8483ssrdv 3365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  (
g `  I )  C_ 
ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I ) ) )
85 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( g `  I )  ->  (
( s `  I
)  e.  z  <->  ( s `  I )  e.  ( g `  I ) ) )
86 sseq1 3380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( g `  I )  ->  (
z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) )  <-> 
( g `  I
)  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) ) ) )
8785, 86anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( g `  I )  ->  (
( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) )  <->  ( (
s `  I )  e.  ( g `  I
)  /\  ( g `  I )  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) )
8887rspcev 3076 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g `  I
)  e.  ( F `
 I )  /\  ( ( s `  I )  e.  ( g `  I )  /\  ( g `  I )  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) )  ->  E. z  e.  ( F `  I ) ( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) )
8933, 41, 84, 88syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) )
9089ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  ->  (
( s  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I ) ( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) )
91 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( s  e.  w  <->  s  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) )
92 sseq1 3380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( w  C_  U  <->  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  U )
)
9391, 92anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( (
s  e.  w  /\  w  C_  U )  <->  ( s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) ) )
9493imbi1d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( (
( s  e.  w  /\  w  C_  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I ) ( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) )  <-> 
( ( s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
)  ->  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) ) )
9590, 94syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  ->  (
w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y )  ->  (
( s  e.  w  /\  w  C_  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I ) ( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) ) )
9695expimpd 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  ->  (
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  ->  ( (
s  e.  w  /\  w  C_  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I )
( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) ) )
9796exlimdv 1690 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  ->  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  ->  (
( s  e.  w  /\  w  C_  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I ) ( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) ) )
9825, 97syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  ->  (
w  e.  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  s  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  ->  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) ) )
9998rexlimdv 2843 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  ->  ( E. w  e.  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  s  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I ) ( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) )
10020, 99mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) )
101100ralrimiva 2802 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  A. s  e.  U  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) )
102 fvex 5704 . . . . . 6  |-  ( s `
 I )  e. 
_V
103102rgenw 2786 . . . . 5  |-  A. s  e.  U  ( s `  I )  e.  _V
104 fveq1 5693 . . . . . . 7  |-  ( x  =  s  ->  (
x `  I )  =  ( s `  I ) )
105104cbvmptv 4386 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) )  =  ( s  e.  U  |->  ( s `  I ) )
106 eleq1 2503 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( s `  I )  ->  (
y  e.  z  <->  ( s `  I )  e.  z ) )
107106anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( s `  I )  ->  (
( y  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) )  <->  ( (
s `  I )  e.  z  /\  z  C_ 
ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I ) ) ) ) )
108107rexbidv 2739 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( s `  I )  ->  ( E. z  e.  ( F `  I )
( y  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) )  <->  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) )
109105, 108ralrnmpt 5855 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  U  (
s `  I )  e.  _V  ->  ( A. y  e.  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) ) E. z  e.  ( F `  I ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) )  <->  A. s  e.  U  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) )
110103, 109ax-mp 5 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) ) E. z  e.  ( F `  I ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) )  <->  A. s  e.  U  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) )
111101, 110sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  A. y  e.  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I ) ) E. z  e.  ( F `
 I ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) ) ) )
112 simpl2 992 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  F : A
--> Top )
113112, 26ffvelrnd 5847 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ( F `  I )  e.  Top )
114 eltop2 18583 . . . 4  |-  ( ( F `  I )  e.  Top  ->  ( ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) )  e.  ( F `  I )  <->  A. y  e.  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) E. z  e.  ( F `  I
) ( y  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) )
115113, 114syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ( ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) )  e.  ( F `  I )  <->  A. y  e.  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) E. z  e.  ( F `  I
) ( y  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) )
116111, 115mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) )  e.  ( F `  I ) )
1179, 116eqeltrd 2517 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  Y  |->  ( x `  I ) ) " U )  e.  ( F `  I ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2718   E.wrex 2719   _Vcvv 2975    \ cdif 3328    C_ wss 3331   ifcif 3794   U.cuni 4094    e. cmpt 4353   ran crn 4844    |` cres 4845   "cima 4846    Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421   X_cixp 7266   Fincfn 7313   topGenctg 14379   Xt_cpt 14380   Topctop 18501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-id 4639  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ixp 7267  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-top 18506
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