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Theorem ptpjopn 19027
Description: The projection map is an open map. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptpjcn.1  |-  Y  = 
U. J
ptpjcn.2  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
Assertion
Ref Expression
ptpjopn  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  Y  |->  ( x `  I ) ) " U )  e.  ( F `  I ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, I    x, V    x, Y    x, U
Allowed substitution hint:    J( x)

Proof of Theorem ptpjopn
Dummy variables  g 
k  n  s  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ima 4840 . . 3  |-  ( ( x  e.  Y  |->  ( x `  I ) ) " U )  =  ran  ( ( x  e.  Y  |->  ( x `  I ) )  |`  U )
2 elssuni 4109 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_ 
U. J )
3 ptpjcn.1 . . . . . . 7  |-  Y  = 
U. J
42, 3syl6sseqr 3391 . . . . . 6  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_  Y )
54adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  U  C_  Y
)
6 resmpt 5144 . . . . 5  |-  ( U 
C_  Y  ->  (
( x  e.  Y  |->  ( x `  I
) )  |`  U )  =  ( x  e.  U  |->  ( x `  I ) ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  Y  |->  ( x `  I ) )  |`  U )  =  ( x  e.  U  |->  ( x `  I ) ) )
87rneqd 5054 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ran  ( ( x  e.  Y  |->  ( x `  I ) )  |`  U )  =  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I ) ) )
91, 8syl5eq 2477 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  Y  |->  ( x `  I ) ) " U )  =  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) ) )
10 ptpjcn.2 . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
11 ffn 5547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> Top  ->  F  Fn  A )
12 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  s  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  =  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
1312ptval 18985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
1411, 13sylan2 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
1510, 14syl5eq 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  =  ( topGen `  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
16153adant3 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  J  =  ( topGen `  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
1716eleq2d 2500 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( U  e.  J  <->  U  e.  ( topGen `  {
s  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  s  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } ) ) )
1817biimpa 481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  U  e.  ( topGen `  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
19 tg2 18412 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  ( topGen `  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )  /\  s  e.  U
)  ->  E. w  e.  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  (
s  e.  w  /\  w  C_  U ) )
2018, 19sylan 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  ->  E. w  e.  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  (
s  e.  w  /\  w  C_  U ) )
21 vex 2965 . . . . . . . . 9  |-  w  e. 
_V
22 eqeq1 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  w  ->  (
s  =  X_ y  e.  A  ( g `  y )  <->  w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
2322anbi2d 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  w  ->  (
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  s  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  <->  ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) ) )
2423exbidv 1679 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  w  ->  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  <->  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) ) )
2521, 24elab 3095 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  s  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  <->  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
26 simpl3 986 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  I  e.  A )
2726ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  I  e.  A )
28 simplr2 1024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y ) )
29 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  I  ->  (
g `  y )  =  ( g `  I ) )
30 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  I  ->  ( F `  y )  =  ( F `  I ) )
3129, 30eleq12d 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  I  ->  (
( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  ( g `  I )  e.  ( F `  I ) ) )
3231rspcv 3058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  -> 
( g `  I
)  e.  ( F `
 I ) ) )
3327, 28, 32sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  (
g `  I )  e.  ( F `  I
) )
34 vex 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  s  e. 
_V
3534elixp 7258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  <->  ( s  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( s `  y )  e.  ( g `  y ) ) )
3635simprbi 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  A. y  e.  A  ( s `  y )  e.  ( g `  y ) )
3736ad2antrl 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  A. y  e.  A  ( s `  y )  e.  ( g `  y ) )
38 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  I  ->  (
s `  y )  =  ( s `  I ) )
3938, 29eleq12d 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  I  ->  (
( s `  y
)  e.  ( g `
 y )  <->  ( s `  I )  e.  ( g `  I ) ) )
4039rspcv 3058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( s `  y
)  e.  ( g `
 y )  -> 
( s `  I
)  e.  ( g `
 I ) ) )
4127, 37, 40sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  (
s `  I )  e.  ( g `  I
) )
42 simplrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
)
43 simplrl 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  /\  n  =  I )  ->  k  e.  ( g `  I
) )
44 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  I  ->  (
g `  n )  =  ( g `  I ) )
4544adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  /\  n  =  I )  ->  (
g `  n )  =  ( g `  I ) )
4643, 45eleqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  /\  n  =  I )  ->  k  e.  ( g `  n
) )
47 simprr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  ->  n  e.  A )
48 simplrl 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  ->  s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )
4948, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  ->  A. y  e.  A  ( s `  y )  e.  ( g `  y ) )
50 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  =  n  ->  (
s `  y )  =  ( s `  n ) )
51 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  =  n  ->  (
g `  y )  =  ( g `  n ) )
5250, 51eleq12d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  n  ->  (
( s `  y
)  e.  ( g `
 y )  <->  ( s `  n )  e.  ( g `  n ) ) )
5352rspcv 3058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( s `  y
)  e.  ( g `
 y )  -> 
( s `  n
)  e.  ( g `
 n ) ) )
5447, 49, 53sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  ->  ( s `  n )  e.  ( g `  n ) )
5554adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  /\  -.  n  =  I )  ->  (
s `  n )  e.  ( g `  n
) )
5646, 55ifclda 3809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  (
k  e.  ( g `
 I )  /\  n  e.  A )
)  ->  if (
n  =  I ,  k ,  ( s `
 n ) )  e.  ( g `  n ) )
5756anassrs 641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  /\  n  e.  A )  ->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) )  e.  ( g `
 n ) )
5857ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  A. n  e.  A  if (
n  =  I ,  k ,  ( s `
 n ) )  e.  ( g `  n ) )
59 simpll1 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  ->  A  e.  V )
6059ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  A  e.  V )
61 mptelixpg 7288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  V  ->  (
( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n
) ) )  e.  X_ n  e.  A  ( g `  n
)  <->  A. n  e.  A  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) )  e.  ( g `
 n ) ) )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  (
( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n
) ) )  e.  X_ n  e.  A  ( g `  n
)  <->  A. n  e.  A  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) )  e.  ( g `
 n ) ) )
6358, 62mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  (
n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) ) )  e.  X_ n  e.  A  (
g `  n )
)
64 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  y  ->  (
g `  n )  =  ( g `  y ) )
6564cbvixpv 7269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  X_ n  e.  A  ( g `  n )  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
6663, 65syl6eleq 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  (
n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) ) )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )
)
6742, 66sseldd 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  (
n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) ) )  e.  U
)
6827adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  I  e.  A )
69 iftrue 3785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  I  ->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) )  =  k )
70 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `
 n ) ) )  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `
 n ) ) )
71 vex 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  k  e. 
_V
7269, 70, 71fvmpt 5762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I  e.  A  ->  (
( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n
) ) ) `  I )  =  k )
7368, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  (
( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n
) ) ) `  I )  =  k )
7473eqcomd 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  k  =  ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `
 n ) ) ) `  I ) )
75 fveq1 5678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) ) )  ->  ( x `  I )  =  ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n
) ) ) `  I ) )
7675eqeq2d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) ) )  ->  ( k  =  ( x `  I
)  <->  k  =  ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n
) ) ) `  I ) ) )
7776rspcev 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n
) ) )  e.  U  /\  k  =  ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  I ,  k ,  ( s `  n ) ) ) `
 I ) )  ->  E. x  e.  U  k  =  ( x `  I ) )
7867, 74, 77syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  E. x  e.  U  k  =  ( x `  I
) )
79 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) )  =  ( x  e.  U  |->  ( x `  I ) )
8079elrnmpt 5073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  _V  ->  (
k  e.  ran  (
x  e.  U  |->  ( x `  I ) )  <->  E. x  e.  U  k  =  ( x `  I ) ) )
8171, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) )  <->  E. x  e.  U  k  =  ( x `  I ) )
8278, 81sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  /\  k  e.  ( g `  I
) )  ->  k  e.  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I ) ) )
8382ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  (
k  e.  ( g `
 I )  -> 
k  e.  ran  (
x  e.  U  |->  ( x `  I ) ) ) )
8483ssrdv 3350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  (
g `  I )  C_ 
ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I ) ) )
85 eleq2 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( g `  I )  ->  (
( s `  I
)  e.  z  <->  ( s `  I )  e.  ( g `  I ) ) )
86 sseq1 3365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( g `  I )  ->  (
z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) )  <-> 
( g `  I
)  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) ) ) )
8785, 86anbi12d 703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( g `  I )  ->  (
( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) )  <->  ( (
s `  I )  e.  ( g `  I
)  /\  ( g `  I )  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) )
8887rspcev 3062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g `  I
)  e.  ( F `
 I )  /\  ( ( s `  I )  e.  ( g `  I )  /\  ( g `  I )  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) )  ->  E. z  e.  ( F `  I ) ( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) )
8933, 41, 84, 88syl12anc 1209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  (
s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) )  ->  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) )
9089ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  ->  (
( s  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I ) ( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) )
91 eleq2 2494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( s  e.  w  <->  s  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) )
92 sseq1 3365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( w  C_  U  <->  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  U )
)
9391, 92anbi12d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( (
s  e.  w  /\  w  C_  U )  <->  ( s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
) ) )
9493imbi1d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( (
( s  e.  w  /\  w  C_  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I ) ( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) )  <-> 
( ( s  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  U
)  ->  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) ) )
9590, 94syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  ->  (
w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y )  ->  (
( s  e.  w  /\  w  C_  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I ) ( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) ) )
9695expimpd 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  ->  (
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  ->  ( (
s  e.  w  /\  w  C_  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I )
( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) ) )
9796exlimdv 1689 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  ->  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  ->  (
( s  e.  w  /\  w  C_  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I ) ( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) ) )
9825, 97syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  ->  (
w  e.  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  s  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  ->  ( ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) ) )
9998rexlimdv 2830 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  ->  ( E. w  e.  { s  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  s  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  ( s  e.  w  /\  w  C_  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I ) ( ( s `  I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) )
10020, 99mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J )  /\  s  e.  U )  ->  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) )
101100ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  A. s  e.  U  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) )
102 fvex 5689 . . . . . 6  |-  ( s `
 I )  e. 
_V
103102rgenw 2773 . . . . 5  |-  A. s  e.  U  ( s `  I )  e.  _V
104 fveq1 5678 . . . . . . 7  |-  ( x  =  s  ->  (
x `  I )  =  ( s `  I ) )
105104cbvmptv 4371 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) )  =  ( s  e.  U  |->  ( s `  I ) )
106 eleq1 2493 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( s `  I )  ->  (
y  e.  z  <->  ( s `  I )  e.  z ) )
107106anbi1d 697 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( s `  I )  ->  (
( y  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) )  <->  ( (
s `  I )  e.  z  /\  z  C_ 
ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I ) ) ) ) )
108107rexbidv 2726 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( s `  I )  ->  ( E. z  e.  ( F `  I )
( y  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) )  <->  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) )
109105, 108ralrnmpt 5840 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  U  (
s `  I )  e.  _V  ->  ( A. y  e.  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) ) E. z  e.  ( F `  I ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) )  <->  A. s  e.  U  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) )
110103, 109ax-mp 5 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) ) E. z  e.  ( F `  I ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) )  <->  A. s  e.  U  E. z  e.  ( F `  I
) ( ( s `
 I )  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) )
111101, 110sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  A. y  e.  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I ) ) E. z  e.  ( F `
 I ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) ) ) )
112 simpl2 985 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  F : A
--> Top )
113112, 26ffvelrnd 5832 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ( F `  I )  e.  Top )
114 eltop2 18422 . . . 4  |-  ( ( F `  I )  e.  Top  ->  ( ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) )  e.  ( F `  I )  <->  A. y  e.  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) E. z  e.  ( F `  I
) ( y  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) )
115113, 114syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ( ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) )  e.  ( F `  I )  <->  A. y  e.  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) E. z  e.  ( F `  I
) ( y  e.  z  /\  z  C_  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `  I
) ) ) ) )
116111, 115mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ran  ( x  e.  U  |->  ( x `
 I ) )  e.  ( F `  I ) )
1179, 116eqeltrd 2507 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  U  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  Y  |->  ( x `  I ) ) " U )  e.  ( F `  I ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362   E.wex 1589    e. wcel 1755   {cab 2419   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2962    \ cdif 3313    C_ wss 3316   ifcif 3779   U.cuni 4079    e. cmpt 4338   ran crn 4828    |` cres 4829   "cima 4830    Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406   X_cixp 7251   Fincfn 7298   topGenctg 14359   Xt_cpt 14360   Topctop 18340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ixp 7252  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-top 18345
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