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Theorem ptpcon 24873
Description: The topological product of a collection of path-connected spaces is path-connected. The proof uses the axiom of choice. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ptpcon  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  ->  ( Xt_ `  F )  e. PCon
)

Proof of Theorem ptpcon
Dummy variables  f  x  y  g  t 
z  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcontop 24865 . . . . 5  |-  ( x  e. PCon  ->  x  e.  Top )
21ssriv 3312 . . . 4  |- PCon  C_  Top
3 fss 5558 . . . 4  |-  ( ( F : A -->PCon  /\ PCon  C_  Top )  ->  F : A --> Top )
42, 3mpan2 653 . . 3  |-  ( F : A -->PCon  ->  F : A
--> Top )
5 pttop 17567 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
64, 5sylan2 461 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  ->  ( Xt_ `  F )  e. 
Top )
7 fvi 5742 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (  _I  `  A )  =  A )
87ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  (  _I  `  A )  =  A )
98eleq2d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  ( t  e.  (  _I  `  A
)  <->  t  e.  A
) )
109biimpa 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  t  e.  (  _I  `  A ) )  -> 
t  e.  A )
11 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  F : A
-->PCon )
1211ffvelrnda 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  t  e.  A )  ->  ( F `  t
)  e. PCon )
13 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  x  e.  U. ( Xt_ `  F
) )
14 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Xt_ `  F )  =  (
Xt_ `  F )
1514ptuni 17579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ t  e.  A  U. ( F `  t
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
164, 15sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  ->  X_ t  e.  A  U. ( F `  t )  =  U. ( Xt_ `  F
) )
1716adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  X_ t  e.  A  U. ( F `
 t )  = 
U. ( Xt_ `  F
) )
1813, 17eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  x  e.  X_ t  e.  A  U. ( F `  t ) )
19 vex 2919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
2019elixp 7028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X_ t  e.  A  U. ( F `  t
)  <->  ( x  Fn  A  /\  A. t  e.  A  ( x `  t )  e.  U. ( F `  t ) ) )
2118, 20sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  ( x  Fn  A  /\  A. t  e.  A  ( x `  t )  e.  U. ( F `  t ) ) )
2221simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  A. t  e.  A  ( x `  t )  e.  U. ( F `  t ) )
2322r19.21bi 2764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  t  e.  A )  ->  ( x `  t
)  e.  U. ( F `  t )
)
24 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) )
2524, 17eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  y  e.  X_ t  e.  A  U. ( F `  t ) )
26 vex 2919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
2726elixp 7028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  X_ t  e.  A  U. ( F `  t
)  <->  ( y  Fn  A  /\  A. t  e.  A  ( y `  t )  e.  U. ( F `  t ) ) )
2825, 27sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  ( y  Fn  A  /\  A. t  e.  A  ( y `  t )  e.  U. ( F `  t ) ) )
2928simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  A. t  e.  A  ( y `  t )  e.  U. ( F `  t ) )
3029r19.21bi 2764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  t  e.  A )  ->  ( y `  t
)  e.  U. ( F `  t )
)
31 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( F `  t )  =  U. ( F `  t )
3231pconcn 24864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  t
)  e. PCon  /\  (
x `  t )  e.  U. ( F `  t )  /\  (
y `  t )  e.  U. ( F `  t ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  ( F `  t ) ) ( ( f `  0
)  =  ( x `
 t )  /\  ( f `  1
)  =  ( y `
 t ) ) )
3312, 23, 30, 32syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  t  e.  A )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( F `
 t ) ) ( ( f ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) )
34 df-rex 2672 . . . . . . . 8  |-  ( E. f  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) ) ( ( f `  0
)  =  ( x `
 t )  /\  ( f `  1
)  =  ( y `
 t ) )  <->  E. f ( f  e.  ( II  Cn  ( F `  t )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
f `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) )
3533, 34sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  t  e.  A )  ->  E. f ( f  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( f `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
f `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) )
3610, 35syldan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  t  e.  (  _I  `  A ) )  ->  E. f ( f  e.  ( II  Cn  ( F `  t )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
f `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) )
3736ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  A. t  e.  (  _I  `  A
) E. f ( f  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( f ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) )
38 fvex 5701 . . . . . 6  |-  (  _I 
`  A )  e. 
_V
39 eleq1 2464 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( g `  t )  ->  (
f  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  <->  ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `
 t ) ) ) )
40 fveq1 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g `  t )  ->  (
f `  0 )  =  ( ( g `
 t ) ` 
0 ) )
4140eqeq1d 2412 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g `  t )  ->  (
( f `  0
)  =  ( x `
 t )  <->  ( (
g `  t ) `  0 )  =  ( x `  t
) ) )
42 fveq1 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g `  t )  ->  (
f `  1 )  =  ( ( g `
 t ) ` 
1 ) )
4342eqeq1d 2412 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g `  t )  ->  (
( f `  1
)  =  ( y `
 t )  <->  ( (
g `  t ) `  1 )  =  ( y `  t
) ) )
4441, 43anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( g `  t )  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( y `  t ) )  <->  ( ( ( g `  t ) `
 0 )  =  ( x `  t
)  /\  ( (
g `  t ) `  1 )  =  ( y `  t
) ) ) )
4539, 44anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g `  t )  ->  (
( f  e.  ( II  Cn  ( F `
 t ) )  /\  ( ( f `
 0 )  =  ( x `  t
)  /\  ( f `  1 )  =  ( y `  t
) ) )  <->  ( (
g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t )
)  /\  ( (
( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )
4638, 45ac6s2 8322 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  (  _I  `  A ) E. f
( f  e.  ( II  Cn  ( F `
 t ) )  /\  ( ( f `
 0 )  =  ( x `  t
)  /\  ( f `  1 )  =  ( y `  t
) ) )  ->  E. g ( g  Fn  (  _I  `  A
)  /\  A. t  e.  (  _I  `  A
) ( ( g `
 t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t )
)  /\  ( (
( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )
4737, 46syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  E. g
( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )
48 iitopon 18862 . . . . . . 7  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
4948a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
50 simplll 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  A  e.  V
)
5111adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  F : A -->PCon )
5251, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  F : A --> Top )
538adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  (  _I  `  A )  =  A )
5453eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( i  e.  (  _I  `  A
)  <->  i  e.  A
) )
5554biimpar 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  i  e.  (  _I  `  A
) )
56 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `
 t ) )  /\  ( ( ( g `  t ) `
 0 )  =  ( x `  t
)  /\  ( (
g `  t ) `  1 )  =  ( y `  t
) ) ) )
57 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  i  ->  (
g `  t )  =  ( g `  i ) )
58 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  i  ->  ( F `  t )  =  ( F `  i ) )
5958oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  i  ->  (
II  Cn  ( F `  t ) )  =  ( II  Cn  ( F `  i )
) )
6057, 59eleq12d 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  i  ->  (
( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  <->  ( g `  i )  e.  ( II  Cn  ( F `
 i ) ) ) )
6157fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  i  ->  (
( g `  t
) `  0 )  =  ( ( g `
 i ) ` 
0 ) )
62 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  i  ->  (
x `  t )  =  ( x `  i ) )
6361, 62eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  i  ->  (
( ( g `  t ) `  0
)  =  ( x `
 t )  <->  ( (
g `  i ) `  0 )  =  ( x `  i
) ) )
6457fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  i  ->  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( ( g `
 i ) ` 
1 ) )
65 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  i  ->  (
y `  t )  =  ( y `  i ) )
6664, 65eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  i  ->  (
( ( g `  t ) `  1
)  =  ( y `
 t )  <->  ( (
g `  i ) `  1 )  =  ( y `  i
) ) )
6763, 66anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  i  ->  (
( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) )  <->  ( ( ( g `  i ) `
 0 )  =  ( x `  i
)  /\  ( (
g `  i ) `  1 )  =  ( y `  i
) ) ) )
6860, 67anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  i  ->  (
( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `
 t ) )  /\  ( ( ( g `  t ) `
 0 )  =  ( x `  t
)  /\  ( (
g `  t ) `  1 )  =  ( y `  t
) ) )  <->  ( (
g `  i )  e.  ( II  Cn  ( F `  i )
)  /\  ( (
( g `  i
) `  0 )  =  ( x `  i )  /\  (
( g `  i
) `  1 )  =  ( y `  i ) ) ) ) )
6968rspccva 3011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `
 t ) )  /\  ( ( ( g `  t ) `
 0 )  =  ( x `  t
)  /\  ( (
g `  t ) `  1 )  =  ( y `  t
) ) )  /\  i  e.  (  _I  `  A ) )  -> 
( ( g `  i )  e.  ( II  Cn  ( F `
 i ) )  /\  ( ( ( g `  i ) `
 0 )  =  ( x `  i
)  /\  ( (
g `  i ) `  1 )  =  ( y `  i
) ) ) )
7056, 69sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  (  _I  `  A
) )  ->  (
( g `  i
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  i ) )  /\  ( ( ( g `
 i ) ` 
0 )  =  ( x `  i )  /\  ( ( g `
 i ) ` 
1 )  =  ( y `  i ) ) ) )
7155, 70syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
( g `  i
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  i ) )  /\  ( ( ( g `
 i ) ` 
0 )  =  ( x `  i )  /\  ( ( g `
 i ) ` 
1 )  =  ( y `  i ) ) ) )
7271simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
g `  i )  e.  ( II  Cn  ( F `  i )
) )
73 iiuni 18864 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
74 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( F `  i )  =  U. ( F `  i )
7573, 74cnf 17264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g `  i )  e.  ( II  Cn  ( F `  i ) )  ->  ( g `  i ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. ( F `  i ) )
7672, 75syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
g `  i ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. ( F `  i )
)
7776feqmptd 5738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
g `  i )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) )
7877, 72eqeltrrd 2479 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( g `  i
) `  z )
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  i ) ) )
7914, 49, 50, 52, 78ptcn 17612 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) )  e.  ( II  Cn  ( Xt_ `  F ) ) )
8071simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
( ( g `  i ) `  0
)  =  ( x `
 i )  /\  ( ( g `  i ) `  1
)  =  ( y `
 i ) ) )
8180simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
( g `  i
) `  0 )  =  ( x `  i ) )
8281mpteq2dva 4255 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
0 ) )  =  ( i  e.  A  |->  ( x `  i
) ) )
83 0elunit 10971 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
84 mptexg 5924 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
i  e.  A  |->  ( ( g `  i
) `  0 )
)  e.  _V )
8550, 84syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
0 ) )  e. 
_V )
86 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  0  ->  (
( g `  i
) `  z )  =  ( ( g `
 i ) ` 
0 ) )
8786mpteq2dv 4256 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  0  ->  (
i  e.  A  |->  ( ( g `  i
) `  z )
)  =  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 0 ) ) )
88 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) )
8987, 88fvmptg 5763 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `  0
) )  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  0 )  =  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
0 ) ) )
9083, 85, 89sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  0 )  =  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
0 ) ) )
9121simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  x  Fn  A )
9291adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  x  Fn  A
)
93 dffn5 5731 . . . . . . 7  |-  ( x  Fn  A  <->  x  =  ( i  e.  A  |->  ( x `  i
) ) )
9492, 93sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  x  =  ( i  e.  A  |->  ( x `  i ) ) )
9582, 90, 943eqtr4d 2446 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  0 )  =  x )
9680simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
( g `  i
) `  1 )  =  ( y `  i ) )
9796mpteq2dva 4255 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
1 ) )  =  ( i  e.  A  |->  ( y `  i
) ) )
98 1elunit 10972 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
99 mptexg 5924 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
i  e.  A  |->  ( ( g `  i
) `  1 )
)  e.  _V )
10050, 99syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
1 ) )  e. 
_V )
101 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  (
( g `  i
) `  z )  =  ( ( g `
 i ) ` 
1 ) )
102101mpteq2dv 4256 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
i  e.  A  |->  ( ( g `  i
) `  z )
)  =  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 1 ) ) )
103102, 88fvmptg 5763 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `  1
) )  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  1 )  =  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
1 ) ) )
10498, 100, 103sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  1 )  =  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
1 ) ) )
10528simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  y  Fn  A )
106105adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  y  Fn  A
)
107 dffn5 5731 . . . . . . 7  |-  ( y  Fn  A  <->  y  =  ( i  e.  A  |->  ( y `  i
) ) )
108106, 107sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  y  =  ( i  e.  A  |->  ( y `  i ) ) )
10997, 104, 1083eqtr4d 2446 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  1 )  =  y )
110 fveq1 5686 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) )  ->  ( f ` 
0 )  =  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `  z
) ) ) ` 
0 ) )
111110eqeq1d 2412 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) )  ->  ( ( f `
 0 )  =  x  <->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  0 )  =  x ) )
112 fveq1 5686 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) )  ->  ( f ` 
1 )  =  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `  z
) ) ) ` 
1 ) )
113112eqeq1d 2412 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) )  ->  ( ( f `
 1 )  =  y  <->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  1 )  =  y ) )
114111, 113anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) )  ->  ( ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y )  <->  ( (
( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `  z
) ) ) ` 
0 )  =  x  /\  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  1 )  =  y ) ) )
115114rspcev 3012 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `  z
) ) )  e.  ( II  Cn  ( Xt_ `  F ) )  /\  ( ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i
) `  z )
) ) `  0
)  =  x  /\  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) ) `
 1 )  =  y ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  ( Xt_ `  F ) ) ( ( f `  0
)  =  x  /\  ( f `  1
)  =  y ) )
11679, 95, 109, 115syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( Xt_ `  F ) ) ( ( f `  0
)  =  x  /\  ( f `  1
)  =  y ) )
11747, 116exlimddv 1645 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( Xt_ `  F ) ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
118117ralrimivva 2758 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  ->  A. x  e.  U. ( Xt_ `  F
) A. y  e. 
U. ( Xt_ `  F
) E. f  e.  ( II  Cn  ( Xt_ `  F ) ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
119 eqid 2404 . . 3  |-  U. ( Xt_ `  F )  = 
U. ( Xt_ `  F
)
120119ispcon 24863 . 2  |-  ( (
Xt_ `  F )  e. PCon  <-> 
( ( Xt_ `  F
)  e.  Top  /\  A. x  e.  U. ( Xt_ `  F ) A. y  e.  U. ( Xt_ `  F ) E. f  e.  ( II 
Cn  ( Xt_ `  F
) ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) ) )
1216, 118, 120sylanbrc 646 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  ->  ( Xt_ `  F )  e. PCon
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   U.cuni 3975    e. cmpt 4226    _I cid 4453    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   X_cixp 7022   0cc0 8946   1c1 8947   [,]cicc 10875   Xt_cpt 13621   Topctop 16913  TopOnctopon 16914    Cn ccn 17242   IIcii 18858  PConcpcon 24859
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-reg 7516  ax-inf2 7552  ax-ac2 8299  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-r1 7646  df-rank 7647  df-card 7782  df-ac 7953  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-ii 18860  df-pcon 24861
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