MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptopn2 Structured version   Unicode version

Theorem ptopn2 20251
Description: A sub-basic open set in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptopn2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptopn2.f  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
ptopn2.o  |-  ( ph  ->  O  e.  ( F `
 Y ) )
Assertion
Ref Expression
ptopn2  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  if ( k  =  Y ,  O ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Xt_ `  F ) )
Distinct variable groups:    ph, k    A, k    k, F    k, V    k, Y
Allowed substitution hint:    O( k)

Proof of Theorem ptopn2
StepHypRef Expression
1 ptopn2.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 ptopn2.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
3 snfi 7589 . . 3  |-  { Y }  e.  Fin
43a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  { Y }  e.  Fin )
5 ptopn2.o . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  ( F `
 Y ) )
65adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  O  e.  ( F `  Y
) )
7 fveq2 5848 . . . . . 6  |-  ( k  =  Y  ->  ( F `  k )  =  ( F `  Y ) )
87eleq2d 2524 . . . . 5  |-  ( k  =  Y  ->  ( O  e.  ( F `  k )  <->  O  e.  ( F `  Y ) ) )
96, 8syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
k  =  Y  ->  O  e.  ( F `  k ) ) )
109imp 427 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  =  Y )  ->  O  e.  ( F `  k
) )
112ffvelrnda 6007 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  Top )
12 eqid 2454 . . . . . 6  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
1312topopn 19582 . . . . 5  |-  ( ( F `  k )  e.  Top  ->  U. ( F `  k )  e.  ( F `  k
) )
1411, 13syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  U. ( F `  k )  e.  ( F `  k
) )
1514adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  k  =  Y )  ->  U. ( F `  k )  e.  ( F `  k ) )
1610, 15ifclda 3961 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  =  Y ,  O ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( F `
 k ) )
17 eldifn 3613 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( A  \  { Y } )  ->  -.  k  e.  { Y } )
18 elsn 4030 . . . . 5  |-  ( k  e.  { Y }  <->  k  =  Y )
1917, 18sylnib 302 . . . 4  |-  ( k  e.  ( A  \  { Y } )  ->  -.  k  =  Y
)
2019iffalsed 3940 . . 3  |-  ( k  e.  ( A  \  { Y } )  ->  if ( k  =  Y ,  O ,  U. ( F `  k ) )  =  U. ( F `  k )
)
2120adantl 464 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { Y } ) )  ->  if ( k  =  Y ,  O ,  U. ( F `  k ) )  =  U. ( F `  k )
)
221, 2, 4, 16, 21ptopn 20250 1  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  if ( k  =  Y ,  O ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Xt_ `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    \ cdif 3458   ifcif 3929   {csn 4016   U.cuni 4235   -->wf 5566   ` cfv 5570   X_cixp 7462   Fincfn 7509   Xt_cpt 14928   Topctop 19561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-ixp 7463  df-en 7510  df-fin 7513  df-fi 7863  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-top 19566  df-bases 19568
This theorem is referenced by:  ptcld  20280
  Copyright terms: Public domain W3C validator