MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptopn2 Structured version   Unicode version

Theorem ptopn2 19288
Description: A sub-basic open set in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptopn2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptopn2.f  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
ptopn2.o  |-  ( ph  ->  O  e.  ( F `
 Y ) )
Assertion
Ref Expression
ptopn2  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  if ( k  =  Y ,  O ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Xt_ `  F ) )
Distinct variable groups:    ph, k    A, k    k, F    k, V    k, Y
Allowed substitution hint:    O( k)

Proof of Theorem ptopn2
StepHypRef Expression
1 ptopn2.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 ptopn2.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
3 snfi 7499 . . 3  |-  { Y }  e.  Fin
43a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  { Y }  e.  Fin )
5 ptopn2.o . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  ( F `
 Y ) )
65adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  O  e.  ( F `  Y
) )
7 fveq2 5798 . . . . . 6  |-  ( k  =  Y  ->  ( F `  k )  =  ( F `  Y ) )
87eleq2d 2524 . . . . 5  |-  ( k  =  Y  ->  ( O  e.  ( F `  k )  <->  O  e.  ( F `  Y ) ) )
96, 8syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
k  =  Y  ->  O  e.  ( F `  k ) ) )
109imp 429 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  =  Y )  ->  O  e.  ( F `  k
) )
112ffvelrnda 5951 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  Top )
12 eqid 2454 . . . . . 6  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
1312topopn 18650 . . . . 5  |-  ( ( F `  k )  e.  Top  ->  U. ( F `  k )  e.  ( F `  k
) )
1411, 13syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  U. ( F `  k )  e.  ( F `  k
) )
1514adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  k  =  Y )  ->  U. ( F `  k )  e.  ( F `  k ) )
1610, 15ifclda 3928 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  =  Y ,  O ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( F `
 k ) )
17 eldifn 3586 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( A  \  { Y } )  ->  -.  k  e.  { Y } )
18 elsn 3998 . . . . 5  |-  ( k  e.  { Y }  <->  k  =  Y )
1917, 18sylnib 304 . . . 4  |-  ( k  e.  ( A  \  { Y } )  ->  -.  k  =  Y
)
20 iffalse 3906 . . . 4  |-  ( -.  k  =  Y  ->  if ( k  =  Y ,  O ,  U. ( F `  k ) )  =  U. ( F `  k )
)
2119, 20syl 16 . . 3  |-  ( k  e.  ( A  \  { Y } )  ->  if ( k  =  Y ,  O ,  U. ( F `  k ) )  =  U. ( F `  k )
)
2221adantl 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { Y } ) )  ->  if ( k  =  Y ,  O ,  U. ( F `  k ) )  =  U. ( F `  k )
)
231, 2, 4, 16, 22ptopn 19287 1  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  if ( k  =  Y ,  O ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Xt_ `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3432   ifcif 3898   {csn 3984   U.cuni 4198   -->wf 5521   ` cfv 5525   X_cixp 7372   Fincfn 7419   Xt_cpt 14495   Topctop 18629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-ixp 7373  df-en 7420  df-fin 7423  df-fi 7771  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-top 18634  df-bases 18636
This theorem is referenced by:  ptcld  19317
  Copyright terms: Public domain W3C validator