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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ptolemy | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Ptolemy's Theorem. This theorem is named after the Greek astronomer and mathematician Ptolemy (Claudius Ptolemaeus). This particular version is expressed using the sine function. It is proved by expanding all the multiplication of sines to a product of cosines of differences using sinmul 14238, then using algebraic simplification to show that both sides are equal. This formalization is based on the proof in "Trigonometry" by Gelfand and Saul. This is Metamath 100 proof #95. (Contributed by David A. Wheeler, 31-May-2015.) |
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ptolemy |
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1 | addcl 9626 |
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2 | 1 | 3ad2ant2 1031 |
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3 | 2 | coscld 14197 |
. . . . . . . . 9
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4 | 3 | negnegd 9982 |
. . . . . . . 8
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5 | addid2 9821 |
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6 | 5 | oveq1d 6310 |
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7 | 2, 6 | syl 17 |
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8 | 0cnd 9641 |
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9 | addcl 9626 |
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10 | 9 | adantr 467 |
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11 | 10 | 3adant3 1029 |
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12 | 8, 11, 2 | pnpcan2d 10029 |
. . . . . . . . . . . . 13
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13 | simp3 1011 |
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14 | 13 | oveq2d 6311 |
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15 | 7, 12, 14 | 3eqtr3rd 2496 |
. . . . . . . . . . . 12
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16 | df-neg 9868 |
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17 | 15, 16 | syl6eqr 2505 |
. . . . . . . . . . 11
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18 | 17 | fveq2d 5874 |
. . . . . . . . . 10
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19 | cosmpi 23455 |
. . . . . . . . . . 11
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20 | 2, 19 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
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21 | cosneg 14213 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | 11, 21 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 18, 20, 22 | 3eqtr3d 2495 |
. . . . . . . . 9
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24 | 23 | negeqd 9874 |
. . . . . . . 8
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25 | 4, 24 | eqtr3d 2489 |
. . . . . . 7
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26 | 25 | oveq2d 6311 |
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29 | 28 | coscld 14197 |
. . . . . . . 8
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30 | 29 | 3adant3 1029 |
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33 | 26, 32 | eqtrd 2487 |
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41 | 2cnne0 10831 |
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43 | divdir 10300 |
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45 | 38, 31, 30 | nppcan3d 10018 |
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47 | 44, 46 | eqtr3d 2489 |
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49 | sinmul 14238 |
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51 | sinmul 14238 |
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52 | 51 | 3ad2ant2 1031 |
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57 | 54, 55, 56 | pnpcan2d 10029 |
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61 | 10, 60, 28 | 3jca 1189 |
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63 | addass 9631 |
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65 | oveq1 6302 |
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66 | 65 | 3ad2ant3 1032 |
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67 | simpl 459 |
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68 | simpr 463 |
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69 | 67, 68, 67 | 3jca 1189 |
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70 | 69 | 3ad2ant2 1031 |
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71 | ppncan 9921 |
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72 | 71 | oveq2d 6311 |
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73 | 70, 72 | syl 17 |
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93 | 88, 92 | eqtrd 2487 |
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99 | 59, 98 | oveq12d 6313 |
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103 | 102 | coscld 14197 |
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104 | 103, 29 | subnegd 9998 |
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105 | 104 | 3adant3 1029 |
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106 | 99, 105 | eqtrd 2487 |
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107 | 106 | oveq1d 6310 |
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108 | sinmul 14238 |
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109 | 82, 80, 108 | syl2anc 667 |
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110 | 109 | 3adant3 1029 |
. . 3
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111 | cosneg 14213 |
. . . . . . . 8
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112 | 36, 111 | syl 17 |
. . . . . . 7
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113 | negsubdi2 9938 |
. . . . . . . 8
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114 | 113 | fveq2d 5874 |
. . . . . . 7
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115 | 112, 114 | eqtr3d 2489 |
. . . . . 6
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116 | 115 | 3ad2ant1 1030 |
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117 | 116 | oveq1d 6310 |
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118 | 117 | oveq1d 6310 |
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119 | 107, 110, 118 | 3eqtr4d 2497 |
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120 | 48, 53, 119 | 3eqtr4d 2497 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1671 ax-4 1684 ax-5 1760 ax-6 1807 ax-7 1853 ax-8 1891 ax-9 1898 ax-10 1917 ax-11 1922 ax-12 1935 ax-13 2093 ax-ext 2433 ax-rep 4518 ax-sep 4528 ax-nul 4537 ax-pow 4584 ax-pr 4642 ax-un 6588 ax-inf2 8151 ax-cnex 9600 ax-resscn 9601 ax-1cn 9602 ax-icn 9603 ax-addcl 9604 ax-addrcl 9605 ax-mulcl 9606 ax-mulrcl 9607 ax-mulcom 9608 ax-addass 9609 ax-mulass 9610 ax-distr 9611 ax-i2m1 9612 ax-1ne0 9613 ax-1rid 9614 ax-rnegex 9615 ax-rrecex 9616 ax-cnre 9617 ax-pre-lttri 9618 ax-pre-lttrn 9619 ax-pre-ltadd 9620 ax-pre-mulgt0 9621 ax-pre-sup 9622 ax-addf 9623 ax-mulf 9624 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 987 df-3an 988 df-tru 1449 df-fal 1452 df-ex 1666 df-nf 1670 df-sb 1800 df-eu 2305 df-mo 2306 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2583 df-ne 2626 df-nel 2627 df-ral 2744 df-rex 2745 df-reu 2746 df-rmo 2747 df-rab 2748 df-v 3049 df-sbc 3270 df-csb 3366 df-dif 3409 df-un 3411 df-in 3413 df-ss 3420 df-pss 3422 df-nul 3734 df-if 3884 df-pw 3955 df-sn 3971 df-pr 3973 df-tp 3975 df-op 3977 df-uni 4202 df-int 4238 df-iun 4283 df-iin 4284 df-br 4406 df-opab 4465 df-mpt 4466 df-tr 4501 df-eprel 4748 df-id 4752 df-po 4758 df-so 4759 df-fr 4796 df-se 4797 df-we 4798 df-xp 4843 df-rel 4844 df-cnv 4845 df-co 4846 df-dm 4847 df-rn 4848 df-res 4849 df-ima 4850 df-pred 5383 df-ord 5429 df-on 5430 df-lim 5431 df-suc 5432 df-iota 5549 df-fun 5587 df-fn 5588 df-f 5589 df-f1 5590 df-fo 5591 df-f1o 5592 df-fv 5593 df-isom 5594 df-riota 6257 df-ov 6298 df-oprab 6299 df-mpt2 6300 df-of 6536 df-om 6698 df-1st 6798 df-2nd 6799 df-supp 6920 df-wrecs 7033 df-recs 7095 df-rdg 7133 df-1o 7187 df-2o 7188 df-oadd 7191 df-er 7368 df-map 7479 df-pm 7480 df-ixp 7528 df-en 7575 df-dom 7576 df-sdom 7577 df-fin 7578 df-fsupp 7889 df-fi 7930 df-sup 7961 df-inf 7962 df-oi 8030 df-card 8378 df-cda 8603 df-pnf 9682 df-mnf 9683 df-xr 9684 df-ltxr 9685 df-le 9686 df-sub 9867 df-neg 9868 df-div 10277 df-nn 10617 df-2 10675 df-3 10676 df-4 10677 df-5 10678 df-6 10679 df-7 10680 df-8 10681 df-9 10682 df-10 10683 df-n0 10877 df-z 10945 df-dec 11059 df-uz 11167 df-q 11272 df-rp 11310 df-xneg 11416 df-xadd 11417 df-xmul 11418 df-ioo 11646 df-ioc 11647 df-ico 11648 df-icc 11649 df-fz 11792 df-fzo 11923 df-fl 12035 df-seq 12221 df-exp 12280 df-fac 12467 df-bc 12495 df-hash 12523 df-shft 13142 df-cj 13174 df-re 13175 df-im 13176 df-sqrt 13310 df-abs 13311 df-limsup 13538 df-clim 13564 df-rlim 13565 df-sum 13765 df-ef 14133 df-sin 14135 df-cos 14136 df-pi 14138 df-struct 15135 df-ndx 15136 df-slot 15137 df-base 15138 df-sets 15139 df-ress 15140 df-plusg 15215 df-mulr 15216 df-starv 15217 df-sca 15218 df-vsca 15219 df-ip 15220 df-tset 15221 df-ple 15222 df-ds 15224 df-unif 15225 df-hom 15226 df-cco 15227 df-rest 15333 df-topn 15334 df-0g 15352 df-gsum 15353 df-topgen 15354 df-pt 15355 df-prds 15358 df-xrs 15412 df-qtop 15418 df-imas 15419 df-xps 15422 df-mre 15504 df-mrc 15505 df-acs 15507 df-mgm 16500 df-sgrp 16539 df-mnd 16549 df-submnd 16595 df-mulg 16688 df-cntz 16983 df-cmn 17444 df-psmet 18974 df-xmet 18975 df-met 18976 df-bl 18977 df-mopn 18978 df-fbas 18979 df-fg 18980 df-cnfld 18983 df-top 19933 df-bases 19934 df-topon 19935 df-topsp 19936 df-cld 20046 df-ntr 20047 df-cls 20048 df-nei 20126 df-lp 20164 df-perf 20165 df-cn 20255 df-cnp 20256 df-haus 20343 df-tx 20589 df-hmeo 20782 df-fil 20873 df-fm 20965 df-flim 20966 df-flf 20967 df-xms 21347 df-ms 21348 df-tms 21349 df-cncf 21922 df-limc 22833 df-dv 22834 |
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