Theorem ptolemy 22090

Description: Ptolemy's Theorem. This theorem is named after the Greek astronomer and mathematician Ptolemy (Claudius Ptolemaeus). This particular version is expressed using the sine function. It is proved by expanding all the multiplication of sines to a product of cosines of differences using sinmul 13573, then using algebraic simplification to show that both sides are equal. This formalization is based on the proof in "Trigonometry" by Gelfand and Saul. This is Metamath 100 proof #95. (Contributed by David A. Wheeler, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ptolemy	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` C ) x. ( sin ` D ) ) ) = ( ( sin ` ( B + C ) ) x. ( sin ` ( A + C ) ) ) )

Proof of Theorem ptolemy

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 9474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> ( C + D ) e. CC )
2	1	3ad2ant2 1010	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( C + D ) e. CC )
3	2	coscld 13532	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( C + D ) ) e. CC )
4	3	negnegd 9820	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> -u -u ( cos ` ( C + D ) ) = ( cos ` ( C + D ) ) )
5		addid2 9662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C + D ) e. CC -> ( 0 + ( C + D ) ) = ( C + D ) )
6	5	oveq1d 6214	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C + D ) e. CC -> ( ( 0 + ( C + D ) ) - ( ( A + B ) + ( C + D ) ) ) = ( ( C + D ) - ( ( A + B ) + ( C + D ) ) ) )
7	2, 6	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( 0 + ( C + D ) ) - ( ( A + B ) + ( C + D ) ) ) = ( ( C + D ) - ( ( A + B ) + ( C + D ) ) ) )
8		0cnd 9489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> 0 e. CC )
9		addcl 9474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
10	9	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( A + B ) e. CC )
11	10	3adant3 1008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( A + B ) e. CC )
12	8, 11, 2	pnpcan2d 9867	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( 0 + ( C + D ) ) - ( ( A + B ) + ( C + D ) ) ) = ( 0 - ( A + B ) ) )
13		simp3 990	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi )
14	13	oveq2d 6215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( C + D ) - ( ( A + B ) + ( C + D ) ) ) = ( ( C + D ) - pi ) )
15	7, 12, 14	3eqtr3rd 2504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( C + D ) - pi ) = ( 0 - ( A + B ) ) )
16		df-neg 9708	. . . . . . . . . . . 12 |- -u ( A + B ) = ( 0 - ( A + B ) )
17	15, 16	syl6eqr 2513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( C + D ) - pi ) = -u ( A + B ) )
18	17	fveq2d 5802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( ( C + D ) - pi ) ) = ( cos ` -u ( A + B ) ) )
19		cosmpi 22082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C + D ) e. CC -> ( cos ` ( ( C + D ) - pi ) ) = -u ( cos ` ( C + D ) ) )
20	2, 19	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( ( C + D ) - pi ) ) = -u ( cos ` ( C + D ) ) )
21		cosneg 13548	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( cos ` -u ( A + B ) ) = ( cos ` ( A + B ) ) )
22	11, 21	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` -u ( A + B ) ) = ( cos ` ( A + B ) ) )
23	18, 20, 22	3eqtr3d 2503	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> -u ( cos ` ( C + D ) ) = ( cos ` ( A + B ) ) )
24	23	negeqd 9714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> -u -u ( cos ` ( C + D ) ) = -u ( cos ` ( A + B ) ) )
25	4, 24	eqtr3d 2497	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( C + D ) ) = -u ( cos ` ( A + B ) ) )
26	25	oveq2d 6215	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) = ( ( cos ` ( C - D ) ) - -u ( cos ` ( A + B ) ) ) )
27		subcl 9719	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> ( C - D ) e. CC )
28	27	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( C - D ) e. CC )
29	28	coscld 13532	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( cos ` ( C - D ) ) e. CC )
30	29	3adant3 1008	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( C - D ) ) e. CC )
31	11	coscld 13532	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( A + B ) ) e. CC )
32	30, 31	subnegd 9836	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( C - D ) ) - -u ( cos ` ( A + B ) ) ) = ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) )
33	26, 32	eqtrd 2495	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) = ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) )
34	33	oveq1d 6214	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) )
35	34	oveq2d 6215	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) + ( ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) / 2 ) ) = ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) + ( ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) ) )
36		subcl 9719	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
37	36	3ad2ant1 1009	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( A - B ) e. CC )
38	37	coscld 13532	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( A - B ) ) e. CC )
39	38, 31	subcld 9829	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) e. CC )
40	30, 31	addcld 9515	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) e. CC )
41		2cnne0 10646	. . . . . 6 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
42	41	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
43		divdir 10127	. . . . 5 |- ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) e. CC /\ ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) + ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) + ( ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) ) )
44	39, 40, 42, 43	syl3anc 1219	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) + ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) + ( ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) ) )
45	38, 31, 30	nppcan3d 9856	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) + ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) ) = ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) )
46	45	oveq1d 6214	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) + ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) / 2 ) )
47	44, 46	eqtr3d 2497	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) + ( ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) / 2 ) )
48	35, 47	eqtrd 2495	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) + ( ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) / 2 ) ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) / 2 ) )
49		sinmul 13573	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) )
50	49	3ad2ant1 1009	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) )
51		sinmul 13573	. . . 4 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> ( ( sin ` C ) x. ( sin ` D ) ) = ( ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) / 2 ) )
52	51	3ad2ant2 1010	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( sin ` C ) x. ( sin ` D ) ) = ( ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) / 2 ) )
53	50, 52	oveq12d 6217	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` C ) x. ( sin ` D ) ) ) = ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) + ( ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) / 2 ) ) )
54		simplr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> B e. CC )
55		simpll 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> A e. CC )
56		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> C e. CC )
57	54, 55, 56	pnpcan2d 9867	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( B + C ) - ( A + C ) ) = ( B - A ) )
58	57	fveq2d 5802	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) = ( cos ` ( B - A ) ) )
59	58	3adant3 1008	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) = ( cos ` ( B - A ) ) )
60	1	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( C + D ) e. CC )
61	10, 60, 28	3jca 1168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + B ) e. CC /\ ( C + D ) e. CC /\ ( C - D ) e. CC ) )
62	61	3adant3 1008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( A + B ) e. CC /\ ( C + D ) e. CC /\ ( C - D ) e. CC ) )
63		addass 9479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ ( C + D ) e. CC /\ ( C - D ) e. CC ) -> ( ( ( A + B ) + ( C + D ) ) + ( C - D ) ) = ( ( A + B ) + ( ( C + D ) + ( C - D ) ) ) )
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( A + B ) + ( C + D ) ) + ( C - D ) ) = ( ( A + B ) + ( ( C + D ) + ( C - D ) ) ) )
65		oveq1 6206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi -> ( ( ( A + B ) + ( C + D ) ) + ( C - D ) ) = ( pi + ( C - D ) ) )
66	65	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( A + B ) + ( C + D ) ) + ( C - D ) ) = ( pi + ( C - D ) ) )
67		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> C e. CC )
68		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> D e. CC )
69	67, 68, 67	3jca 1168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> ( C e. CC /\ D e. CC /\ C e. CC ) )
70	69	3ad2ant2 1010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( C e. CC /\ D e. CC /\ C e. CC ) )
71		ppncan 9761	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( C + D ) + ( C - D ) ) = ( C + C ) )
72	71	oveq2d 6215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A + B ) + ( ( C + D ) + ( C - D ) ) ) = ( ( A + B ) + ( C + C ) ) )
73	70, 72	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( A + B ) + ( ( C + D ) + ( C - D ) ) ) = ( ( A + B ) + ( C + C ) ) )
74		simp1 988	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( A e. CC /\ B e. CC ) )
75	67, 67	jca 532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> ( C e. CC /\ C e. CC ) )
76	75	3ad2ant2 1010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( C e. CC /\ C e. CC ) )
77		add4 9695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C e. CC ) ) -> ( ( A + B ) + ( C + C ) ) = ( ( A + C ) + ( B + C ) ) )
78	74, 76, 77	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( A + B ) + ( C + C ) ) = ( ( A + C ) + ( B + C ) ) )
79		addcl 9474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC ) -> ( A + C ) e. CC )
80	79	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( A + C ) e. CC )
81		addcl 9474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B + C ) e. CC )
82	81	ad2ant2lr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( B + C ) e. CC )
83	80, 82	jca 532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + C ) e. CC /\ ( B + C ) e. CC ) )
84	83	3adant3 1008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( A + C ) e. CC /\ ( B + C ) e. CC ) )
85		addcom 9665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A + C ) e. CC /\ ( B + C ) e. CC ) -> ( ( A + C ) + ( B + C ) ) = ( ( B + C ) + ( A + C ) ) )
86	84, 85	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( A + C ) + ( B + C ) ) = ( ( B + C ) + ( A + C ) ) )
87	73, 78, 86	3eqtrd 2499	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( A + B ) + ( ( C + D ) + ( C - D ) ) ) = ( ( B + C ) + ( A + C ) ) )
88	64, 66, 87	3eqtr3rd 2504	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( B + C ) + ( A + C ) ) = ( pi + ( C - D ) ) )
89		picn 22054	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. CC
90		addcom 9665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( pi e. CC /\ ( C - D ) e. CC ) -> ( pi + ( C - D ) ) = ( ( C - D ) + pi ) )
91	89, 28, 90	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( pi + ( C - D ) ) = ( ( C - D ) + pi ) )
92	91	3adant3 1008	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( pi + ( C - D ) ) = ( ( C - D ) + pi ) )
93	88, 92	eqtrd 2495	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( B + C ) + ( A + C ) ) = ( ( C - D ) + pi ) )
94	93	fveq2d 5802	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) = ( cos ` ( ( C - D ) + pi ) ) )
95		cosppi 22084	. . . . . . . . 9 |- ( ( C - D ) e. CC -> ( cos ` ( ( C - D ) + pi ) ) = -u ( cos ` ( C - D ) ) )
96	28, 95	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( cos ` ( ( C - D ) + pi ) ) = -u ( cos ` ( C - D ) ) )
97	96	3adant3 1008	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( ( C - D ) + pi ) ) = -u ( cos ` ( C - D ) ) )
98	94, 97	eqtrd 2495	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) = -u ( cos ` ( C - D ) ) )
99	59, 98	oveq12d 6217	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) - ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) ) = ( ( cos ` ( B - A ) ) - -u ( cos ` ( C - D ) ) ) )
100		subcl 9719	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B - A ) e. CC )
101	100	ancoms 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B - A ) e. CC )
102	101	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( B - A ) e. CC )
103	102	coscld 13532	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( cos ` ( B - A ) ) e. CC )
104	103, 29	subnegd 9836	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( cos ` ( B - A ) ) - -u ( cos ` ( C - D ) ) ) = ( ( cos ` ( B - A ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) )
105	104	3adant3 1008	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( B - A ) ) - -u ( cos ` ( C - D ) ) ) = ( ( cos ` ( B - A ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) )
106	99, 105	eqtrd 2495	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) - ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) ) = ( ( cos ` ( B - A ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) )
107	106	oveq1d 6214	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) - ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` ( B - A ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) / 2 ) )
108		sinmul 13573	. . . . 5 |- ( ( ( B + C ) e. CC /\ ( A + C ) e. CC ) -> ( ( sin ` ( B + C ) ) x. ( sin ` ( A + C ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) - ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) ) / 2 ) )
109	82, 80, 108	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( sin ` ( B + C ) ) x. ( sin ` ( A + C ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) - ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) ) / 2 ) )
110	109	3adant3 1008	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( sin ` ( B + C ) ) x. ( sin ` ( A + C ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) - ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) ) / 2 ) )
111		cosneg 13548	. . . . . . . 8 |- ( ( A - B ) e. CC -> ( cos ` -u ( A - B ) ) = ( cos ` ( A - B ) ) )
112	36, 111	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` -u ( A - B ) ) = ( cos ` ( A - B ) ) )
113		negsubdi2 9778	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u ( A - B ) = ( B - A ) )
114	113	fveq2d 5802	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` -u ( A - B ) ) = ( cos ` ( B - A ) ) )
115	112, 114	eqtr3d 2497	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( A - B ) ) = ( cos ` ( B - A ) ) )
116	115	3ad2ant1 1009	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( A - B ) ) = ( cos ` ( B - A ) ) )
117	116	oveq1d 6214	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) = ( ( cos ` ( B - A ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) )
118	117	oveq1d 6214	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` ( B - A ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) / 2 ) )
119	107, 110, 118	3eqtr4d 2505	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( sin ` ( B + C ) ) x. ( sin ` ( A + C ) ) ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) / 2 ) )
120	48, 53, 119	3eqtr4d 2505	1 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` C ) x. ( sin ` D ) ) ) = ( ( sin ` ( B + C ) ) x. ( sin ` ( A + C ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2647   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   0cc0 9392   + caddc 9395   x. cmul 9397   - cmin 9705   -ucneg 9706   / cdiv 10103   2c2 10481   sincsin 13466   cosccos 13467   picpi 13469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-pm 7326  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ioo 11414  df-ioc 11415  df-ico 11416  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-fl 11758  df-seq 11923  df-exp 11982  df-fac 12168  df-bc 12195  df-hash 12220  df-shft 12673  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-limsup 13066  df-clim 13083  df-rlim 13084  df-sum 13281  df-ef 13470  df-sin 13472  df-cos 13473  df-pi 13475  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-prds 14504  df-xrs 14558  df-qtop 14563  df-imas 14564  df-xps 14566  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-mulg 15666  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-fbas 17938  df-fg 17939  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cld 18754  df-ntr 18755  df-cls 18756  df-nei 18833  df-lp 18871  df-perf 18872  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-haus 19050  df-tx 19266  df-hmeo 19459  df-fil 19550  df-fm 19642  df-flim 19643  df-flf 19644  df-xms 20026  df-ms 20027  df-tms 20028  df-cncf 20585  df-limc 21473  df-dv 21474

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