Theorem ptolemy 23463

Description: Ptolemy's Theorem. This theorem is named after the Greek astronomer and mathematician Ptolemy (Claudius Ptolemaeus). This particular version is expressed using the sine function. It is proved by expanding all the multiplication of sines to a product of cosines of differences using sinmul 14238, then using algebraic simplification to show that both sides are equal. This formalization is based on the proof in "Trigonometry" by Gelfand and Saul. This is Metamath 100 proof #95. (Contributed by David A. Wheeler, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ptolemy	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` C ) x. ( sin ` D ) ) ) = ( ( sin ` ( B + C ) ) x. ( sin ` ( A + C ) ) ) )

Proof of Theorem ptolemy

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 9626	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> ( C + D ) e. CC )
2	1	3ad2ant2 1031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( C + D ) e. CC )
3	2	coscld 14197	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( C + D ) ) e. CC )
4	3	negnegd 9982	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> -u -u ( cos ` ( C + D ) ) = ( cos ` ( C + D ) ) )
5		addid2 9821	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C + D ) e. CC -> ( 0 + ( C + D ) ) = ( C + D ) )
6	5	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C + D ) e. CC -> ( ( 0 + ( C + D ) ) - ( ( A + B ) + ( C + D ) ) ) = ( ( C + D ) - ( ( A + B ) + ( C + D ) ) ) )
7	2, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( 0 + ( C + D ) ) - ( ( A + B ) + ( C + D ) ) ) = ( ( C + D ) - ( ( A + B ) + ( C + D ) ) ) )
8		0cnd 9641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> 0 e. CC )
9		addcl 9626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
10	9	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( A + B ) e. CC )
11	10	3adant3 1029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( A + B ) e. CC )
12	8, 11, 2	pnpcan2d 10029	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( 0 + ( C + D ) ) - ( ( A + B ) + ( C + D ) ) ) = ( 0 - ( A + B ) ) )
13		simp3 1011	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi )
14	13	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( C + D ) - ( ( A + B ) + ( C + D ) ) ) = ( ( C + D ) - pi ) )
15	7, 12, 14	3eqtr3rd 2496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( C + D ) - pi ) = ( 0 - ( A + B ) ) )
16		df-neg 9868	. . . . . . . . . . . 12 |- -u ( A + B ) = ( 0 - ( A + B ) )
17	15, 16	syl6eqr 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( C + D ) - pi ) = -u ( A + B ) )
18	17	fveq2d 5874	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( ( C + D ) - pi ) ) = ( cos ` -u ( A + B ) ) )
19		cosmpi 23455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C + D ) e. CC -> ( cos ` ( ( C + D ) - pi ) ) = -u ( cos ` ( C + D ) ) )
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( ( C + D ) - pi ) ) = -u ( cos ` ( C + D ) ) )
21		cosneg 14213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( cos ` -u ( A + B ) ) = ( cos ` ( A + B ) ) )
22	11, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` -u ( A + B ) ) = ( cos ` ( A + B ) ) )
23	18, 20, 22	3eqtr3d 2495	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> -u ( cos ` ( C + D ) ) = ( cos ` ( A + B ) ) )
24	23	negeqd 9874	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> -u -u ( cos ` ( C + D ) ) = -u ( cos ` ( A + B ) ) )
25	4, 24	eqtr3d 2489	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( C + D ) ) = -u ( cos ` ( A + B ) ) )
26	25	oveq2d 6311	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) = ( ( cos ` ( C - D ) ) - -u ( cos ` ( A + B ) ) ) )
27		subcl 9879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> ( C - D ) e. CC )
28	27	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( C - D ) e. CC )
29	28	coscld 14197	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( cos ` ( C - D ) ) e. CC )
30	29	3adant3 1029	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( C - D ) ) e. CC )
31	11	coscld 14197	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( A + B ) ) e. CC )
32	30, 31	subnegd 9998	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( C - D ) ) - -u ( cos ` ( A + B ) ) ) = ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) )
33	26, 32	eqtrd 2487	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) = ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) )
34	33	oveq1d 6310	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) )
35	34	oveq2d 6311	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) + ( ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) / 2 ) ) = ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) + ( ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) ) )
36		subcl 9879	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
37	36	3ad2ant1 1030	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( A - B ) e. CC )
38	37	coscld 14197	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( A - B ) ) e. CC )
39	38, 31	subcld 9991	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) e. CC )
40	30, 31	addcld 9667	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) e. CC )
41		2cnne0 10831	. . . . . 6 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
42	41	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
43		divdir 10300	. . . . 5 |- ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) e. CC /\ ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) + ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) + ( ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) ) )
44	39, 40, 42, 43	syl3anc 1269	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) + ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) + ( ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) ) )
45	38, 31, 30	nppcan3d 10018	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) + ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) ) = ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) )
46	45	oveq1d 6310	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) + ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) / 2 ) )
47	44, 46	eqtr3d 2489	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) + ( ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) / 2 ) )
48	35, 47	eqtrd 2487	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) + ( ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) / 2 ) ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) / 2 ) )
49		sinmul 14238	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) )
50	49	3ad2ant1 1030	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) )
51		sinmul 14238	. . . 4 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> ( ( sin ` C ) x. ( sin ` D ) ) = ( ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) / 2 ) )
52	51	3ad2ant2 1031	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( sin ` C ) x. ( sin ` D ) ) = ( ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) / 2 ) )
53	50, 52	oveq12d 6313	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` C ) x. ( sin ` D ) ) ) = ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) + ( ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) / 2 ) ) )
54		simplr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> B e. CC )
55		simpll 761	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> A e. CC )
56		simprl 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> C e. CC )
57	54, 55, 56	pnpcan2d 10029	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( B + C ) - ( A + C ) ) = ( B - A ) )
58	57	fveq2d 5874	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) = ( cos ` ( B - A ) ) )
59	58	3adant3 1029	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) = ( cos ` ( B - A ) ) )
60	1	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( C + D ) e. CC )
61	10, 60, 28	3jca 1189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + B ) e. CC /\ ( C + D ) e. CC /\ ( C - D ) e. CC ) )
62	61	3adant3 1029	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( A + B ) e. CC /\ ( C + D ) e. CC /\ ( C - D ) e. CC ) )
63		addass 9631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ ( C + D ) e. CC /\ ( C - D ) e. CC ) -> ( ( ( A + B ) + ( C + D ) ) + ( C - D ) ) = ( ( A + B ) + ( ( C + D ) + ( C - D ) ) ) )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( A + B ) + ( C + D ) ) + ( C - D ) ) = ( ( A + B ) + ( ( C + D ) + ( C - D ) ) ) )
65		oveq1 6302	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi -> ( ( ( A + B ) + ( C + D ) ) + ( C - D ) ) = ( pi + ( C - D ) ) )
66	65	3ad2ant3 1032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( A + B ) + ( C + D ) ) + ( C - D ) ) = ( pi + ( C - D ) ) )
67		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> C e. CC )
68		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> D e. CC )
69	67, 68, 67	3jca 1189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> ( C e. CC /\ D e. CC /\ C e. CC ) )
70	69	3ad2ant2 1031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( C e. CC /\ D e. CC /\ C e. CC ) )
71		ppncan 9921	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( C + D ) + ( C - D ) ) = ( C + C ) )
72	71	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A + B ) + ( ( C + D ) + ( C - D ) ) ) = ( ( A + B ) + ( C + C ) ) )
73	70, 72	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( A + B ) + ( ( C + D ) + ( C - D ) ) ) = ( ( A + B ) + ( C + C ) ) )
74		simp1 1009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( A e. CC /\ B e. CC ) )
75	67, 67	jca 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> ( C e. CC /\ C e. CC ) )
76	75	3ad2ant2 1031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( C e. CC /\ C e. CC ) )
77		add4 9854	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C e. CC ) ) -> ( ( A + B ) + ( C + C ) ) = ( ( A + C ) + ( B + C ) ) )
78	74, 76, 77	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( A + B ) + ( C + C ) ) = ( ( A + C ) + ( B + C ) ) )
79		addcl 9626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC ) -> ( A + C ) e. CC )
80	79	ad2ant2r 754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( A + C ) e. CC )
81		addcl 9626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B + C ) e. CC )
82	81	ad2ant2lr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( B + C ) e. CC )
83	80, 82	jca 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + C ) e. CC /\ ( B + C ) e. CC ) )
84	83	3adant3 1029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( A + C ) e. CC /\ ( B + C ) e. CC ) )
85		addcom 9824	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A + C ) e. CC /\ ( B + C ) e. CC ) -> ( ( A + C ) + ( B + C ) ) = ( ( B + C ) + ( A + C ) ) )
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( A + C ) + ( B + C ) ) = ( ( B + C ) + ( A + C ) ) )
87	73, 78, 86	3eqtrd 2491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( A + B ) + ( ( C + D ) + ( C - D ) ) ) = ( ( B + C ) + ( A + C ) ) )
88	64, 66, 87	3eqtr3rd 2496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( B + C ) + ( A + C ) ) = ( pi + ( C - D ) ) )
89		picn 23426	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. CC
90		addcom 9824	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( pi e. CC /\ ( C - D ) e. CC ) -> ( pi + ( C - D ) ) = ( ( C - D ) + pi ) )
91	89, 28, 90	sylancr 670	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( pi + ( C - D ) ) = ( ( C - D ) + pi ) )
92	91	3adant3 1029	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( pi + ( C - D ) ) = ( ( C - D ) + pi ) )
93	88, 92	eqtrd 2487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( B + C ) + ( A + C ) ) = ( ( C - D ) + pi ) )
94	93	fveq2d 5874	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) = ( cos ` ( ( C - D ) + pi ) ) )
95		cosppi 23457	. . . . . . . . 9 |- ( ( C - D ) e. CC -> ( cos ` ( ( C - D ) + pi ) ) = -u ( cos ` ( C - D ) ) )
96	28, 95	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( cos ` ( ( C - D ) + pi ) ) = -u ( cos ` ( C - D ) ) )
97	96	3adant3 1029	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( ( C - D ) + pi ) ) = -u ( cos ` ( C - D ) ) )
98	94, 97	eqtrd 2487	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) = -u ( cos ` ( C - D ) ) )
99	59, 98	oveq12d 6313	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) - ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) ) = ( ( cos ` ( B - A ) ) - -u ( cos ` ( C - D ) ) ) )
100		subcl 9879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B - A ) e. CC )
101	100	ancoms 455	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B - A ) e. CC )
102	101	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( B - A ) e. CC )
103	102	coscld 14197	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( cos ` ( B - A ) ) e. CC )
104	103, 29	subnegd 9998	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( cos ` ( B - A ) ) - -u ( cos ` ( C - D ) ) ) = ( ( cos ` ( B - A ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) )
105	104	3adant3 1029	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( B - A ) ) - -u ( cos ` ( C - D ) ) ) = ( ( cos ` ( B - A ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) )
106	99, 105	eqtrd 2487	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) - ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) ) = ( ( cos ` ( B - A ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) )
107	106	oveq1d 6310	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) - ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` ( B - A ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) / 2 ) )
108		sinmul 14238	. . . . 5 |- ( ( ( B + C ) e. CC /\ ( A + C ) e. CC ) -> ( ( sin ` ( B + C ) ) x. ( sin ` ( A + C ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) - ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) ) / 2 ) )
109	82, 80, 108	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( sin ` ( B + C ) ) x. ( sin ` ( A + C ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) - ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) ) / 2 ) )
110	109	3adant3 1029	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( sin ` ( B + C ) ) x. ( sin ` ( A + C ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) - ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) ) / 2 ) )
111		cosneg 14213	. . . . . . . 8 |- ( ( A - B ) e. CC -> ( cos ` -u ( A - B ) ) = ( cos ` ( A - B ) ) )
112	36, 111	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` -u ( A - B ) ) = ( cos ` ( A - B ) ) )
113		negsubdi2 9938	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u ( A - B ) = ( B - A ) )
114	113	fveq2d 5874	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` -u ( A - B ) ) = ( cos ` ( B - A ) ) )
115	112, 114	eqtr3d 2489	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( A - B ) ) = ( cos ` ( B - A ) ) )
116	115	3ad2ant1 1030	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( A - B ) ) = ( cos ` ( B - A ) ) )
117	116	oveq1d 6310	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) = ( ( cos ` ( B - A ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) )
118	117	oveq1d 6310	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` ( B - A ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) / 2 ) )
119	107, 110, 118	3eqtr4d 2497	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( sin ` ( B + C ) ) x. ( sin ` ( A + C ) ) ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) / 2 ) )
120	48, 53, 119	3eqtr4d 2497	1 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` C ) x. ( sin ` D ) ) ) = ( ( sin ` ( B + C ) ) x. ( sin ` ( A + C ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   0cc0 9544   + caddc 9547   x. cmul 9549   - cmin 9865   -ucneg 9866   / cdiv 10276   2c2 10666   sincsin 14128   cosccos 14129   picpi 14131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-shft 13142  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-limsup 13538  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-ef 14133  df-sin 14135  df-cos 14136  df-pi 14138  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834

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