Theorem ptolemy 23015

Description: Ptolemy's Theorem. This theorem is named after the Greek astronomer and mathematician Ptolemy (Claudius Ptolemaeus). This particular version is expressed using the sine function. It is proved by expanding all the multiplication of sines to a product of cosines of differences using sinmul 13919, then using algebraic simplification to show that both sides are equal. This formalization is based on the proof in "Trigonometry" by Gelfand and Saul. This is Metamath 100 proof #95. (Contributed by David A. Wheeler, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ptolemy	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` C ) x. ( sin ` D ) ) ) = ( ( sin ` ( B + C ) ) x. ( sin ` ( A + C ) ) ) )

Proof of Theorem ptolemy

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 9591	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> ( C + D ) e. CC )
2	1	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( C + D ) e. CC )
3	2	coscld 13878	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( C + D ) ) e. CC )
4	3	negnegd 9941	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> -u -u ( cos ` ( C + D ) ) = ( cos ` ( C + D ) ) )
5		addid2 9780	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C + D ) e. CC -> ( 0 + ( C + D ) ) = ( C + D ) )
6	5	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C + D ) e. CC -> ( ( 0 + ( C + D ) ) - ( ( A + B ) + ( C + D ) ) ) = ( ( C + D ) - ( ( A + B ) + ( C + D ) ) ) )
7	2, 6	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( 0 + ( C + D ) ) - ( ( A + B ) + ( C + D ) ) ) = ( ( C + D ) - ( ( A + B ) + ( C + D ) ) ) )
8		0cnd 9606	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> 0 e. CC )
9		addcl 9591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
10	9	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( A + B ) e. CC )
11	10	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( A + B ) e. CC )
12	8, 11, 2	pnpcan2d 9988	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( 0 + ( C + D ) ) - ( ( A + B ) + ( C + D ) ) ) = ( 0 - ( A + B ) ) )
13		simp3 998	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi )
14	13	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( C + D ) - ( ( A + B ) + ( C + D ) ) ) = ( ( C + D ) - pi ) )
15	7, 12, 14	3eqtr3rd 2507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( C + D ) - pi ) = ( 0 - ( A + B ) ) )
16		df-neg 9827	. . . . . . . . . . . 12 |- -u ( A + B ) = ( 0 - ( A + B ) )
17	15, 16	syl6eqr 2516	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( C + D ) - pi ) = -u ( A + B ) )
18	17	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( ( C + D ) - pi ) ) = ( cos ` -u ( A + B ) ) )
19		cosmpi 23007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C + D ) e. CC -> ( cos ` ( ( C + D ) - pi ) ) = -u ( cos ` ( C + D ) ) )
20	2, 19	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( ( C + D ) - pi ) ) = -u ( cos ` ( C + D ) ) )
21		cosneg 13894	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( cos ` -u ( A + B ) ) = ( cos ` ( A + B ) ) )
22	11, 21	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` -u ( A + B ) ) = ( cos ` ( A + B ) ) )
23	18, 20, 22	3eqtr3d 2506	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> -u ( cos ` ( C + D ) ) = ( cos ` ( A + B ) ) )
24	23	negeqd 9833	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> -u -u ( cos ` ( C + D ) ) = -u ( cos ` ( A + B ) ) )
25	4, 24	eqtr3d 2500	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( C + D ) ) = -u ( cos ` ( A + B ) ) )
26	25	oveq2d 6312	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) = ( ( cos ` ( C - D ) ) - -u ( cos ` ( A + B ) ) ) )
27		subcl 9838	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> ( C - D ) e. CC )
28	27	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( C - D ) e. CC )
29	28	coscld 13878	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( cos ` ( C - D ) ) e. CC )
30	29	3adant3 1016	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( C - D ) ) e. CC )
31	11	coscld 13878	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( A + B ) ) e. CC )
32	30, 31	subnegd 9957	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( C - D ) ) - -u ( cos ` ( A + B ) ) ) = ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) )
33	26, 32	eqtrd 2498	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) = ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) )
34	33	oveq1d 6311	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) )
35	34	oveq2d 6312	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) + ( ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) / 2 ) ) = ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) + ( ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) ) )
36		subcl 9838	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
37	36	3ad2ant1 1017	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( A - B ) e. CC )
38	37	coscld 13878	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( A - B ) ) e. CC )
39	38, 31	subcld 9950	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) e. CC )
40	30, 31	addcld 9632	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) e. CC )
41		2cnne0 10771	. . . . . 6 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
42	41	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
43		divdir 10251	. . . . 5 |- ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) e. CC /\ ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) + ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) + ( ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) ) )
44	39, 40, 42, 43	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) + ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) + ( ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) ) )
45	38, 31, 30	nppcan3d 9977	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) + ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) ) = ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) )
46	45	oveq1d 6311	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) + ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) / 2 ) )
47	44, 46	eqtr3d 2500	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) + ( ( ( cos ` ( C - D ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) / 2 ) )
48	35, 47	eqtrd 2498	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) + ( ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) / 2 ) ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) / 2 ) )
49		sinmul 13919	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) )
50	49	3ad2ant1 1017	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) )
51		sinmul 13919	. . . 4 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> ( ( sin ` C ) x. ( sin ` D ) ) = ( ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) / 2 ) )
52	51	3ad2ant2 1018	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( sin ` C ) x. ( sin ` D ) ) = ( ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) / 2 ) )
53	50, 52	oveq12d 6314	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` C ) x. ( sin ` D ) ) ) = ( ( ( ( cos ` ( A - B ) ) - ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) + ( ( ( cos ` ( C - D ) ) - ( cos ` ( C + D ) ) ) / 2 ) ) )
54		simplr 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> B e. CC )
55		simpll 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> A e. CC )
56		simprl 756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> C e. CC )
57	54, 55, 56	pnpcan2d 9988	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( B + C ) - ( A + C ) ) = ( B - A ) )
58	57	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) = ( cos ` ( B - A ) ) )
59	58	3adant3 1016	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) = ( cos ` ( B - A ) ) )
60	1	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( C + D ) e. CC )
61	10, 60, 28	3jca 1176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + B ) e. CC /\ ( C + D ) e. CC /\ ( C - D ) e. CC ) )
62	61	3adant3 1016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( A + B ) e. CC /\ ( C + D ) e. CC /\ ( C - D ) e. CC ) )
63		addass 9596	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ ( C + D ) e. CC /\ ( C - D ) e. CC ) -> ( ( ( A + B ) + ( C + D ) ) + ( C - D ) ) = ( ( A + B ) + ( ( C + D ) + ( C - D ) ) ) )
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( A + B ) + ( C + D ) ) + ( C - D ) ) = ( ( A + B ) + ( ( C + D ) + ( C - D ) ) ) )
65		oveq1 6303	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi -> ( ( ( A + B ) + ( C + D ) ) + ( C - D ) ) = ( pi + ( C - D ) ) )
66	65	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( A + B ) + ( C + D ) ) + ( C - D ) ) = ( pi + ( C - D ) ) )
67		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> C e. CC )
68		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> D e. CC )
69	67, 68, 67	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> ( C e. CC /\ D e. CC /\ C e. CC ) )
70	69	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( C e. CC /\ D e. CC /\ C e. CC ) )
71		ppncan 9880	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( C + D ) + ( C - D ) ) = ( C + C ) )
72	71	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A + B ) + ( ( C + D ) + ( C - D ) ) ) = ( ( A + B ) + ( C + C ) ) )
73	70, 72	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( A + B ) + ( ( C + D ) + ( C - D ) ) ) = ( ( A + B ) + ( C + C ) ) )
74		simp1 996	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( A e. CC /\ B e. CC ) )
75	67, 67	jca 532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> ( C e. CC /\ C e. CC ) )
76	75	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( C e. CC /\ C e. CC ) )
77		add4 9813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ C e. CC ) ) -> ( ( A + B ) + ( C + C ) ) = ( ( A + C ) + ( B + C ) ) )
78	74, 76, 77	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( A + B ) + ( C + C ) ) = ( ( A + C ) + ( B + C ) ) )
79		addcl 9591	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC ) -> ( A + C ) e. CC )
80	79	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( A + C ) e. CC )
81		addcl 9591	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B + C ) e. CC )
82	81	ad2ant2lr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( B + C ) e. CC )
83	80, 82	jca 532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + C ) e. CC /\ ( B + C ) e. CC ) )
84	83	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( A + C ) e. CC /\ ( B + C ) e. CC ) )
85		addcom 9783	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A + C ) e. CC /\ ( B + C ) e. CC ) -> ( ( A + C ) + ( B + C ) ) = ( ( B + C ) + ( A + C ) ) )
86	84, 85	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( A + C ) + ( B + C ) ) = ( ( B + C ) + ( A + C ) ) )
87	73, 78, 86	3eqtrd 2502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( A + B ) + ( ( C + D ) + ( C - D ) ) ) = ( ( B + C ) + ( A + C ) ) )
88	64, 66, 87	3eqtr3rd 2507	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( B + C ) + ( A + C ) ) = ( pi + ( C - D ) ) )
89		picn 22978	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. CC
90		addcom 9783	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( pi e. CC /\ ( C - D ) e. CC ) -> ( pi + ( C - D ) ) = ( ( C - D ) + pi ) )
91	89, 28, 90	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( pi + ( C - D ) ) = ( ( C - D ) + pi ) )
92	91	3adant3 1016	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( pi + ( C - D ) ) = ( ( C - D ) + pi ) )
93	88, 92	eqtrd 2498	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( B + C ) + ( A + C ) ) = ( ( C - D ) + pi ) )
94	93	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) = ( cos ` ( ( C - D ) + pi ) ) )
95		cosppi 23009	. . . . . . . . 9 |- ( ( C - D ) e. CC -> ( cos ` ( ( C - D ) + pi ) ) = -u ( cos ` ( C - D ) ) )
96	28, 95	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( cos ` ( ( C - D ) + pi ) ) = -u ( cos ` ( C - D ) ) )
97	96	3adant3 1016	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( ( C - D ) + pi ) ) = -u ( cos ` ( C - D ) ) )
98	94, 97	eqtrd 2498	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) = -u ( cos ` ( C - D ) ) )
99	59, 98	oveq12d 6314	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) - ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) ) = ( ( cos ` ( B - A ) ) - -u ( cos ` ( C - D ) ) ) )
100		subcl 9838	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B - A ) e. CC )
101	100	ancoms 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B - A ) e. CC )
102	101	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( B - A ) e. CC )
103	102	coscld 13878	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( cos ` ( B - A ) ) e. CC )
104	103, 29	subnegd 9957	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( cos ` ( B - A ) ) - -u ( cos ` ( C - D ) ) ) = ( ( cos ` ( B - A ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) )
105	104	3adant3 1016	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( B - A ) ) - -u ( cos ` ( C - D ) ) ) = ( ( cos ` ( B - A ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) )
106	99, 105	eqtrd 2498	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) - ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) ) = ( ( cos ` ( B - A ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) )
107	106	oveq1d 6311	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) - ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` ( B - A ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) / 2 ) )
108		sinmul 13919	. . . . 5 |- ( ( ( B + C ) e. CC /\ ( A + C ) e. CC ) -> ( ( sin ` ( B + C ) ) x. ( sin ` ( A + C ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) - ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) ) / 2 ) )
109	82, 80, 108	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( sin ` ( B + C ) ) x. ( sin ` ( A + C ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) - ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) ) / 2 ) )
110	109	3adant3 1016	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( sin ` ( B + C ) ) x. ( sin ` ( A + C ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( B + C ) - ( A + C ) ) ) - ( cos ` ( ( B + C ) + ( A + C ) ) ) ) / 2 ) )
111		cosneg 13894	. . . . . . . 8 |- ( ( A - B ) e. CC -> ( cos ` -u ( A - B ) ) = ( cos ` ( A - B ) ) )
112	36, 111	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` -u ( A - B ) ) = ( cos ` ( A - B ) ) )
113		negsubdi2 9897	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u ( A - B ) = ( B - A ) )
114	113	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` -u ( A - B ) ) = ( cos ` ( B - A ) ) )
115	112, 114	eqtr3d 2500	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( A - B ) ) = ( cos ` ( B - A ) ) )
116	115	3ad2ant1 1017	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( cos ` ( A - B ) ) = ( cos ` ( B - A ) ) )
117	116	oveq1d 6311	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) = ( ( cos ` ( B - A ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) )
118	117	oveq1d 6311	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` ( B - A ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) / 2 ) )
119	107, 110, 118	3eqtr4d 2508	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( sin ` ( B + C ) ) x. ( sin ` ( A + C ) ) ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( C - D ) ) ) / 2 ) )
120	48, 53, 119	3eqtr4d 2508	1 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) /\ ( ( A + B ) + ( C + D ) ) = pi ) -> ( ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) + ( ( sin ` C ) x. ( sin ` D ) ) ) = ( ( sin ` ( B + C ) ) x. ( sin ` ( A + C ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509   + caddc 9512   x. cmul 9514   - cmin 9824   -ucneg 9825   / cdiv 10227   2c2 10606   sincsin 13811   cosccos 13812   picpi 13814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397

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