Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthon Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pthon 25305
 Description: The set of paths between two vertices (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
pthon PathOn WalkOn Paths
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem pthon
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3054 . . . . 5
21ad2antrr 732 . . . 4
3 elex 3054 . . . . . 6
43adantl 468 . . . . 5
54adantr 467 . . . 4
6 id 22 . . . . . . 7
76ancli 554 . . . . . 6
87ad2antrr 732 . . . . 5
9 mpt2exga 6869 . . . . 5 WalkOn Paths
108, 9syl 17 . . . 4 WalkOn Paths
11 simpl 459 . . . . . 6
12 oveq12 6299 . . . . . . . . . 10 WalkOn WalkOn
1312oveqd 6307 . . . . . . . . 9 WalkOn WalkOn
1413breqd 4413 . . . . . . . 8 WalkOn WalkOn
15 oveq12 6299 . . . . . . . . 9 Paths Paths
1615breqd 4413 . . . . . . . 8 Paths Paths
1714, 16anbi12d 717 . . . . . . 7 WalkOn Paths WalkOn Paths
1817opabbidv 4466 . . . . . 6 WalkOn Paths WalkOn Paths
1911, 11, 18mpt2eq123dv 6353 . . . . 5 WalkOn Paths WalkOn Paths
20 df-pthon 25244 . . . . 5 PathOn WalkOn Paths
2119, 20ovmpt2ga 6426 . . . 4 WalkOn Paths PathOn WalkOn Paths
222, 5, 10, 21syl3anc 1268 . . 3 PathOn WalkOn Paths
2322oveqd 6307 . 2 PathOn WalkOn Paths
24 simpl 459 . . . 4
26 simprr 766 . . 3
27 ancom 452 . . . . . . 7 WalkOn Paths Paths WalkOn
2827a1i 11 . . . . . 6 WalkOn Paths Paths WalkOn
2928opabbidv 4466 . . . . 5 WalkOn Paths Paths WalkOn
30 pthistrl 25302 . . . . . . . 8 Paths Trails
31 trliswlk 25269 . . . . . . . 8 Trails Walks
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 Paths Walks
3332wlkres 25250 . . . . . 6 Paths WalkOn
341, 3, 33syl2an 480 . . . . 5 Paths WalkOn
3529, 34eqeltrd 2529 . . . 4 WalkOn Paths
3635adantr 467 . . 3 WalkOn Paths
37 oveq12 6299 . . . . . . 7 WalkOn WalkOn
3837breqd 4413 . . . . . 6 WalkOn WalkOn
3938anbi1d 711 . . . . 5 WalkOn Paths WalkOn Paths
4039opabbidv 4466 . . . 4 WalkOn Paths WalkOn Paths
41 eqid 2451 . . . 4 WalkOn Paths WalkOn Paths
4240, 41ovmpt2ga 6426 . . 3 WalkOn Paths WalkOn Paths WalkOn Paths
4325, 26, 36, 42syl3anc 1268 . 2 WalkOn Paths WalkOn Paths
4423, 43eqtrd 2485 1 PathOn WalkOn Paths
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  cvv 3045   class class class wbr 4402  copab 4460  (class class class)co 6290   cmpt2 6292   Walks cwalk 25226   Trails ctrail 25227   Paths cpath 25228   WalkOn cwlkon 25230   PathOn cpthon 25232 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-wlk 25236  df-trail 25237  df-pth 25238  df-pthon 25244 This theorem is referenced by:  ispthon  25306  pthonprop  25307
 Copyright terms: Public domain W3C validator