MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthistrl Structured version   Unicode version

Theorem pthistrl 23469
Description: A path is a trail (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
pthistrl  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  F ( V Trails  E ) P )

Proof of Theorem pthistrl
Dummy variables  e 
f  p  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-pth 23415 . . 3  |- Paths  =  ( v  e.  _V , 
e  e.  _V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ( f ( v Trails 
e ) p  /\  Fun  `' ( p  |`  ( 1..^ ( # `  f
) ) )  /\  ( ( p " { 0 ,  (
# `  f ) } )  i^i  (
p " ( 1..^ ( # `  f
) ) ) )  =  (/) ) } )
21brovmpt2ex 6739 . 2  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
3 ispth 23465 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Paths  E ) P 
<->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) ) )
4 simp1 988 . . 3  |-  ( ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  ->  F ( V Trails  E ) P )
53, 4syl6bi 228 . 2  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Paths  E ) P  ->  F ( V Trails  E ) P ) )
62, 5mpcom 36 1  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  F ( V Trails  E ) P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2970    i^i cin 3325   (/)c0 3635   {cpr 3877   class class class wbr 4290   `'ccnv 4837    |` cres 4840   "cima 4841   Fun wfun 5410   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   0cc0 9280   1c1 9281  ..^cfzo 11546   #chash 12101   Trails ctrail 23404   Paths cpath 23405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-pm 7215  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-word 12227  df-wlk 23413  df-trail 23414  df-pth 23415
This theorem is referenced by:  pthon  23472  spthon  23479  isspthonpth  23481  cycls  23507  cycliscrct  23514  cyclnspth  23515  cycliswlk  23516  usgrcyclnl1  23524  usgrcyclnl2  23525  usgra2pthspth  30292  spthdifv  30296  usgra2pth  30298  el2spthonot  30386  usg2wotspth  30400
  Copyright terms: Public domain W3C validator