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Theorem pthaus 20308
Description: The product of a collection of Hausdorff spaces is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
pthaus  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Haus )

Proof of Theorem pthaus
Dummy variables  k  m  n  x  y 
z  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 20002 . . . . 5  |-  ( x  e.  Haus  ->  x  e. 
Top )
21ssriv 3493 . . . 4  |-  Haus  C_  Top
3 fss 5721 . . . 4  |-  ( ( F : A --> Haus  /\  Haus  C_ 
Top )  ->  F : A --> Top )
42, 3mpan2 669 . . 3  |-  ( F : A --> Haus  ->  F : A --> Top )
5 pttop 20252 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
64, 5sylan2 472 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
7 simprl 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  x  e.  U. ( Xt_ `  F
) )
8 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Xt_ `  F )  =  (
Xt_ `  F )
98ptuni 20264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
104, 9sylan2 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
1110adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  U. ( Xt_ `  F
) )
127, 11eleqtrrd 2545 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) )
13 ixpfn 7468 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  x  Fn  A )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  x  Fn  A )
15 simprr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) )
1615, 11eleqtrrd 2545 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  y  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) )
17 ixpfn 7468 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  y  Fn  A )
1816, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  y  Fn  A )
19 eqfnfv 5957 . . . . . 6  |-  ( ( x  Fn  A  /\  y  Fn  A )  ->  ( x  =  y  <->  A. k  e.  A  ( x `  k
)  =  ( y `
 k ) ) )
2014, 18, 19syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  (
x  =  y  <->  A. k  e.  A  ( x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
2120necon3abid 2700 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  (
x  =/=  y  <->  -.  A. k  e.  A  ( x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
22 rexnal 2902 . . . . 5  |-  ( E. k  e.  A  -.  ( x `  k
)  =  ( y `
 k )  <->  -.  A. k  e.  A  ( x `  k )  =  ( y `  k ) )
23 df-ne 2651 . . . . . . 7  |-  ( ( x `  k )  =/=  ( y `  k )  <->  -.  (
x `  k )  =  ( y `  k ) )
24 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  ->  F : A --> Haus )
25 simprl 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
k  e.  A )
2624, 25ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  Haus )
27 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
2827elixp 7469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  ( x  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
2928simprbi 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3012, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3130r19.21bi 2823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  (
x `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3231adantrr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
( x `  k
)  e.  U. ( F `  k )
)
33 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
3433elixp 7469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  ( y  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( y `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
3534simprbi 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  A. k  e.  A  ( y `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3616, 35syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( y `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3736r19.21bi 2823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  (
y `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3837adantrr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
( y `  k
)  e.  U. ( F `  k )
)
39 simprr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
( x `  k
)  =/=  ( y `
 k ) )
40 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
4140hausnei 19999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  Haus  /\  (
( x `  k
)  e.  U. ( F `  k )  /\  ( y `  k
)  e.  U. ( F `  k )  /\  ( x `  k
)  =/=  ( y `
 k ) ) )  ->  E. m  e.  ( F `  k
) E. n  e.  ( F `  k
) ( ( x `
 k )  e.  m  /\  ( y `
 k )  e.  n  /\  ( m  i^i  n )  =  (/) ) )
4226, 32, 38, 39, 41syl13anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  ->  E. m  e.  ( F `  k ) E. n  e.  ( F `  k )
( ( x `  k )  e.  m  /\  ( y `  k
)  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )
43 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  A  e.  V
)
444ad4antlr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  F : A --> Top )
4525adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  k  e.  A
)
46 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. ( Xt_ `  F )  = 
U. ( Xt_ `  F
)
4746, 8ptpjcn 20281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  k  e.  A )  ->  ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) ) )
4843, 44, 45, 47syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( z `  k ) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) ) )
49 simprll 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  m  e.  ( F `  k ) )
50 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( z `
 k ) )  =  ( z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( z `  k ) )
5150mptpreima 5483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) ) " m
)  =  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }
52 cnima 19936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) )  /\  m  e.  ( F `  k ) )  ->  ( `' ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) ) " m
)  e.  ( Xt_ `  F ) )
5351, 52syl5eqelr 2547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) )  /\  m  e.  ( F `  k ) )  ->  { z  e.  U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  e.  (
Xt_ `  F )
)
5448, 49, 53syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  e.  (
Xt_ `  F )
)
55 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  n  e.  ( F `  k ) )
5650mptpreima 5483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) ) " n
)  =  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  n }
57 cnima 19936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) )  /\  n  e.  ( F `  k ) )  ->  ( `' ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) ) " n
)  e.  ( Xt_ `  F ) )
5856, 57syl5eqelr 2547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) )  /\  n  e.  ( F `  k ) )  ->  { z  e.  U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  e.  (
Xt_ `  F )
)
5948, 55, 58syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  e.  (
Xt_ `  F )
)
607ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  U. ( Xt_ `  F ) )
61 simprr1 1042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( x `  k )  e.  m
)
62 fveq1 5847 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  (
z `  k )  =  ( x `  k ) )
6362eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
( z `  k
)  e.  m  <->  ( x `  k )  e.  m
) )
6463elrab 3254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  <->  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F
)  /\  ( x `  k )  e.  m
) )
6560, 61, 64sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }
)
6615ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) )
67 simprr2 1043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( y `  k )  e.  n
)
68 fveq1 5847 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  (
z `  k )  =  ( y `  k ) )
6968eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
( z `  k
)  e.  n  <->  ( y `  k )  e.  n
) )
7069elrab 3254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  <->  ( y  e.  U. ( Xt_ `  F
)  /\  ( y `  k )  e.  n
) )
7166, 67, 70sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
)
72 inrab 3767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }  i^i  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  n } )  =  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( ( z `  k )  e.  m  /\  ( z `  k
)  e.  n ) }
73 simprr3 1044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( m  i^i  n )  =  (/) )
74 inelcm 3869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( z `  k
)  e.  m  /\  ( z `  k
)  e.  n )  ->  ( m  i^i  n )  =/=  (/) )
7574necon2bi 2691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  i^i  n )  =  (/)  ->  -.  (
( z `  k
)  e.  m  /\  ( z `  k
)  e.  n ) )
7673, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  -.  ( (
z `  k )  e.  m  /\  (
z `  k )  e.  n ) )
7776ralrimivw 2869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  A. z  e.  U. ( Xt_ `  F )  -.  ( ( z `
 k )  e.  m  /\  ( z `
 k )  e.  n ) )
78 rabeq0 3806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( ( z `  k )  e.  m  /\  ( z `  k
)  e.  n ) }  =  (/)  <->  A. z  e.  U. ( Xt_ `  F
)  -.  ( ( z `  k )  e.  m  /\  (
z `  k )  e.  n ) )
7977, 78sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( ( z `  k )  e.  m  /\  (
z `  k )  e.  n ) }  =  (/) )
8072, 79syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  i^i  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
)  =  (/) )
81 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  ->  (
x  e.  u  <->  x  e.  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }
) )
82 ineq1 3679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  ->  (
u  i^i  v )  =  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  i^i  v ) )
8382eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  ->  (
( u  i^i  v
)  =  (/)  <->  ( {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }  i^i  v )  =  (/) ) )
8481, 833anbi13d 1299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  ->  (
( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  /\  y  e.  v  /\  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  i^i  v )  =  (/) ) ) )
85 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  ->  (
y  e.  v  <->  y  e.  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
) )
86 ineq2 3680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  ->  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  i^i  v )  =  ( { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  i^i  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
) )
8786eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  ->  (
( { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  i^i  v
)  =  (/)  <->  ( {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }  i^i  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  n } )  =  (/) ) )
8885, 873anbi23d 1300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  ->  (
( x  e.  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }  /\  y  e.  v  /\  ( { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  i^i  v
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  /\  y  e.  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }  /\  ( { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  i^i  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
)  =  (/) ) ) )
8984, 88rspc2ev 3218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  e.  ( Xt_ `  F )  /\  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }  e.  ( Xt_ `  F
)  /\  ( x  e.  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  /\  y  e.  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }  /\  ( { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  i^i  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
)  =  (/) ) )  ->  E. u  e.  (
Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) ) )
9054, 59, 65, 71, 80, 89syl113anc 1238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  E. u  e.  (
Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) ) )
9190expr 613 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( m  e.  ( F `  k )  /\  n  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( ( x `  k )  e.  m  /\  ( y `  k
)  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9291rexlimdvva 2953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
( E. m  e.  ( F `  k
) E. n  e.  ( F `  k
) ( ( x `
 k )  e.  m  /\  ( y `
 k )  e.  n  /\  ( m  i^i  n )  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F
) E. v  e.  ( Xt_ `  F
) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9342, 92mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
9493expr 613 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  (
( x `  k
)  =/=  ( y `
 k )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9523, 94syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( -.  ( x `  k
)  =  ( y `
 k )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9695rexlimdva 2946 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  ( E. k  e.  A  -.  ( x `  k
)  =  ( y `
 k )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9722, 96syl5bir 218 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  ( -.  A. k  e.  A  ( x `  k
)  =  ( y `
 k )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9821, 97sylbid 215 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  (
x  =/=  y  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9998ralrimivva 2875 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  ->  A. x  e.  U. ( Xt_ `  F ) A. y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ( x  =/=  y  ->  E. u  e.  (
Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) ) ) )
10046ishaus 19993 . 2  |-  ( (
Xt_ `  F )  e.  Haus  <->  ( ( Xt_ `  F )  e.  Top  /\ 
A. x  e.  U. ( Xt_ `  F ) A. y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ( x  =/=  y  ->  E. u  e.  (
Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) ) ) ) )
1016, 99, 100sylanbrc 662 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   U.cuni 4235    |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987   "cima 4991    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   X_cixp 7462   Xt_cpt 14931   Topctop 19564    Cn ccn 19895   Hauscha 19979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-fin 7513  df-fi 7863  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-cn 19898  df-haus 19986
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