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Theorem ptcnplem 17606
Description: Lemma for ptcnp 17607. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcnp.2  |-  K  =  ( Xt_ `  F
)
ptcnp.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
ptcnp.4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
ptcnp.5  |-  ( ph  ->  F : I --> Top )
ptcnp.6  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
ptcnp.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `
 k ) ) `
 D ) )
ptcnplem.1  |-  F/ k ps
ptcnplem.2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  G  Fn  I )
ptcnplem.3  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  I
)  ->  ( G `  k )  e.  ( F `  k ) )
ptcnplem.4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  W  e.  Fin )
ptcnplem.5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  ( I  \  W ) )  ->  ( G `  k )  =  U. ( F `  k ) )
ptcnplem.6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
) )
Assertion
Ref Expression
ptcnplem  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    x, k, z, D    k, I, x, z    x, G, z    k, J, z   
z, K    ph, k, x, z    k, F, x, z    k, V, x   
k, W, z    k, X, x, z
Allowed substitution hints:    ps( x, z, k)    A( x, k)    G( k)    J( x)    K( x, k)    V( z)    W( x)

Proof of Theorem ptcnplem
Dummy variables  f 
t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcnplem.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  W  e.  Fin )
2 inss2 3522 . . . 4  |-  ( I  i^i  W )  C_  W
3 ssfi 7288 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Fin  /\  ( I  i^i  W ) 
C_  W )  -> 
( I  i^i  W
)  e.  Fin )
41, 2, 3sylancl 644 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( I  i^i  W
)  e.  Fin )
5 nfv 1626 . . . . 5  |-  F/ k
ph
6 ptcnplem.1 . . . . 5  |-  F/ k ps
75, 6nfan 1842 . . . 4  |-  F/ k ( ph  /\  ps )
8 inss1 3521 . . . . . . 7  |-  ( I  i^i  W )  C_  I
98sseli 3304 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( I  i^i 
W )  ->  k  e.  I )
10 ptcnp.7 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `
 k ) ) `
 D ) )
1110adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  I
)  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `  k ) ) `  D ) )
12 ptcnplem.3 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  I
)  ->  ( G `  k )  e.  ( F `  k ) )
13 ptcnp.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
1413adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  D  e.  X )
15 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
16 ptcnp.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1716adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
18 ptcnp.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  F : I --> Top )
1918ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  Top )
20 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
2120toptopon 16953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  k )  e.  Top  <->  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `  k ) ) )
2219, 21sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `
 k ) ) )
23 cnpf2 17268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `
 k ) )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `  k ) ) `  D ) )  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
2417, 22, 10, 23syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
25 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
2625fmpt 5849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k )  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
2724, 26sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k
) )
2827r19.21bi 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  U. ( F `  k ) )
2925fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  X  /\  A  e.  U. ( F `  k )
)  ->  ( (
x  e.  X  |->  A ) `  x )  =  A )
3015, 28, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  A )
3130an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  A )
3231mpteq2dva 4255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x
) )  =  ( k  e.  I  |->  A ) )
33 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
34 ptcnp.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
3534adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  I  e.  V )
36 mptexg 5924 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  e.  V  ->  (
k  e.  I  |->  A )  e.  _V )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  I  |->  A )  e.  _V )
38 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
3938fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( k  e.  I  |->  A )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x )  =  ( k  e.  I  |->  A ) )
4033, 37, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x )  =  ( k  e.  I  |->  A ) )
4132, 40eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x
) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x ) )
4241ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 x ) )
4342adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A. x  e.  X  ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 x ) )
44 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x I
45 nffvmpt1 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )
4644, 45nfmpt 4257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )
47 nffvmpt1 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )
4846, 47nfeq 2547 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )
49 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  D  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )
5049mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  D  ->  (
k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x
) )  =  ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D
) ) )
51 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  D  ->  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D ) )
5250, 51eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  D  ->  (
( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 x )  <->  ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
) ) )
5348, 52rspc 3006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 x )  -> 
( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D ) ) )
5414, 43, 53sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D ) )
55 ptcnplem.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
) )
5654, 55eqeltrd 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
) )
5734adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  I  e.  V )
58 mptelixpg 7058 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  V  ->  (
( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  A. k  e.  I 
( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )  e.  ( G `  k ) ) )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 D ) )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  A. k  e.  I 
( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )  e.  ( G `  k ) ) )
6056, 59mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A. k  e.  I 
( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )  e.  ( G `  k ) )
6160r19.21bi 2764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
x  e.  X  |->  A ) `  D )  e.  ( G `  k ) )
62 cnpimaex 17274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `  k )
) `  D )  /\  ( G `  k
)  e.  ( F `
 k )  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )  e.  ( G `  k ) )  ->  E. u  e.  J  ( D  e.  u  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " u
)  C_  ( G `  k ) ) )
6311, 12, 61, 62syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  I
)  ->  E. u  e.  J  ( D  e.  u  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " u
)  C_  ( G `  k ) ) )
649, 63sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  ->  E. u  e.  J  ( D  e.  u  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " u
)  C_  ( G `  k ) ) )
6564ex 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( k  e.  ( I  i^i  W )  ->  E. u  e.  J  ( D  e.  u  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
u )  C_  ( G `  k )
) ) )
667, 65ralrimi 2747 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A. k  e.  ( I  i^i  W ) E. u  e.  J  ( D  e.  u  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
u )  C_  ( G `  k )
) )
67 eleq2 2465 . . . . 5  |-  ( u  =  ( f `  k )  ->  ( D  e.  u  <->  D  e.  ( f `  k
) ) )
68 imaeq2 5158 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( f `  k )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) " u
)  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) " ( f `
 k ) ) )
6968sseq1d 3335 . . . . 5  |-  ( u  =  ( f `  k )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  A ) "
u )  C_  ( G `  k )  <->  ( ( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) )
7067, 69anbi12d 692 . . . 4  |-  ( u  =  ( f `  k )  ->  (
( D  e.  u  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
u )  C_  ( G `  k )
)  <->  ( D  e.  ( f `  k
)  /\  ( (
x  e.  X  |->  A ) " ( f `
 k ) ) 
C_  ( G `  k ) ) ) )
7170ac6sfi 7310 . . 3  |-  ( ( ( I  i^i  W
)  e.  Fin  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) E. u  e.  J  ( D  e.  u  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
u )  C_  ( G `  k )
) )  ->  E. f
( f : ( I  i^i  W ) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W
) ( D  e.  ( f `  k
)  /\  ( (
x  e.  X  |->  A ) " ( f `
 k ) ) 
C_  ( G `  k ) ) ) )
724, 66, 71syl2anc 643 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. f ( f : ( I  i^i 
W ) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `
 k )  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
( f `  k
) )  C_  ( G `  k )
) ) )
7316ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
74 toponuni 16947 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
7573, 74syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  X  =  U. J )
7675ineq1d 3501 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( X  i^i  |^| ran  f )  =  ( U. J  i^i  |^| ran  f ) )
77 topontop 16946 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
7816, 77syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
7978ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
80 frn 5556 . . . . . 6  |-  ( f : ( I  i^i 
W ) --> J  ->  ran  f  C_  J )
8180ad2antrl 709 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ran  f  C_  J )
824adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( I  i^i  W )  e.  Fin )
83 ffn 5550 . . . . . . . 8  |-  ( f : ( I  i^i 
W ) --> J  -> 
f  Fn  ( I  i^i  W ) )
8483ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  f  Fn  ( I  i^i  W ) )
85 dffn4 5618 . . . . . . 7  |-  ( f  Fn  ( I  i^i 
W )  <->  f :
( I  i^i  W
) -onto-> ran  f )
8684, 85sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  f :
( I  i^i  W
) -onto-> ran  f )
87 fofi 7351 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  i^i  W
)  e.  Fin  /\  f : ( I  i^i 
W ) -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
8882, 86, 87syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ran  f  e. 
Fin )
89 eqid 2404 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
9089rintopn 16937 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ran  f  C_  J  /\  ran  f  e.  Fin )  ->  ( U. J  i^i  |^| ran  f )  e.  J )
9179, 81, 88, 90syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( U. J  i^i  |^| ran  f )  e.  J )
9276, 91eqeltrd 2478 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( X  i^i  |^| ran  f )  e.  J )
9313ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  D  e.  X )
94 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( f `
 k )  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
( f `  k
) )  C_  ( G `  k )
)  ->  D  e.  ( f `  k
) )
9594ralimi 2741 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) )  ->  A. k  e.  (
I  i^i  W ) D  e.  ( f `  k ) )
9695ad2antll 710 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. k  e.  ( I  i^i  W
) D  e.  ( f `  k ) )
97 eleq2 2465 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( f `  k )  ->  ( D  e.  z  <->  D  e.  ( f `  k
) ) )
9897ralrn 5832 . . . . . 6  |-  ( f  Fn  ( I  i^i 
W )  ->  ( A. z  e.  ran  f  D  e.  z  <->  A. k  e.  ( I  i^i  W ) D  e.  ( f `  k ) ) )
9984, 98syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( A. z  e.  ran  f  D  e.  z  <->  A. k  e.  ( I  i^i  W
) D  e.  ( f `  k ) ) )
10096, 99mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. z  e.  ran  f  D  e.  z )
101 elrint 4051 . . . 4  |-  ( D  e.  ( X  i^i  |^|
ran  f )  <->  ( D  e.  X  /\  A. z  e.  ran  f  D  e.  z ) )
10293, 100, 101sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  D  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) )
103 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  f : ( I  i^i  W ) --> J
1047, 103nfan 1842 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( ph  /\  ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )
105 funmpt 5448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Fun  (
x  e.  X  |->  A )
106 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  ph )
107106, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
108 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  f : ( I  i^i 
W ) --> J )
109 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  k  e.  ( I  i^i  W
) )
110108, 109ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  (
f `  k )  e.  J )
111 toponss 16949 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
f `  k )  e.  J )  ->  (
f `  k )  C_  X )
112107, 110, 111syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  (
f `  k )  C_  X )
1138, 109sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  k  e.  I )
114106, 113, 27syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k
) )
115 dmmptg 5326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k )  ->  dom  ( x  e.  X  |->  A )  =  X )
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  dom  ( x  e.  X  |->  A )  =  X )
117112, 116sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  (
f `  k )  C_ 
dom  ( x  e.  X  |->  A ) )
118 funimass4 5736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  ( x  e.  X  |->  A )  /\  ( f `  k
)  C_  dom  ( x  e.  X  |->  A ) )  ->  ( (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k )  <->  A. t  e.  ( f `  k
) ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 t )  e.  ( G `  k
) ) )
119105, 117, 118sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  A ) "
( f `  k
) )  C_  ( G `  k )  <->  A. t  e.  ( f `
 k ) ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t
)  e.  ( G `
 k ) ) )
120 nffvmpt1 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )
121120nfel1 2550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )  e.  ( G `  k )
122 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ t ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k )
123 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  x  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  t
)  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) )
124123eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  x  ->  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )  e.  ( G `  k )  <-> 
( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k ) ) )
125121, 122, 124cbvral 2888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. t  e.  ( f `  k ) ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )  e.  ( G `  k )  <->  A. x  e.  ( f `  k
) ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x )  e.  ( G `  k
) )
126119, 125syl6bb 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  A ) "
( f `  k
) )  C_  ( G `  k )  <->  A. x  e.  ( f `
 k ) ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  e.  ( G `
 k ) ) )
127 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  i^i  |^| ran  f ) 
C_  X
128 ssralv 3367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  i^i  |^| ran  f )  C_  X  ->  ( A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e. 
U. ( F `  k ) ) )
129127, 114, 128mpsyl 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e. 
U. ( F `  k ) )
130 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  |^| ran  f ) 
C_  |^| ran  f
131108, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  f  Fn  ( I  i^i  W
) )
132 fnfvelrn 5826 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  Fn  ( I  i^i  W )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  -> 
( f `  k
)  e.  ran  f
)
133131, 109, 132syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  (
f `  k )  e.  ran  f )
134 intss1 4025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  k )  e.  ran  f  ->  |^| ran  f  C_  (
f `  k )
)
135133, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  |^| ran  f  C_  ( f `  k ) )
136130, 135syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  ( X  i^i  |^| ran  f ) 
C_  ( f `  k ) )
137 ssralv 3367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  i^i  |^| ran  f )  C_  (
f `  k )  ->  ( A. x  e.  ( f `  k
) ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x )  e.  ( G `  k
)  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k ) ) )
138136, 137syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  ( A. x  e.  (
f `  k )
( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k ) ) )
139 r19.26 2798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( A  e.  U. ( F `  k )  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x )  e.  ( G `  k
) )  <->  ( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  U. ( F `  k )  /\  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k ) ) )
140127sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( X  i^i  |^|
ran  f )  ->  x  e.  X )
141140, 29sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f )  /\  A  e.  U. ( F `  k ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  A ) `  x )  =  A )
142141eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f )  /\  A  e.  U. ( F `  k ) )  ->  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  e.  ( G `
 k )  <->  A  e.  ( G `  k ) ) )
143142biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f )  /\  A  e.  U. ( F `  k ) )  ->  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  e.  ( G `
 k )  ->  A  e.  ( G `  k ) ) )
144143expimpd 587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( X  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( ( A  e. 
U. ( F `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  e.  ( G `
 k ) )  ->  A  e.  ( G `  k ) ) )
145144ralimia 2739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( A  e.  U. ( F `  k )  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x )  e.  ( G `  k
) )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
146139, 145sylbir 205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e. 
U. ( F `  k )  /\  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k ) )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
147129, 138, 146ee12an 1369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  ( A. x  e.  (
f `  k )
( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) ) )
148126, 147sylbid 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  A ) "
( f `  k
) )  C_  ( G `  k )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) ) )
149148expimpd 587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  ->  ( ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `
 k ) ) )
150104, 149ralimdaa 2743 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  f : ( I  i^i  W ) --> J )  ->  ( A. k  e.  (
I  i^i  W )
( D  e.  ( f `  k )  /\  ( ( x  e.  X  |->  A )
" ( f `  k ) )  C_  ( G `  k ) )  ->  A. k  e.  ( I  i^i  W
) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) ) )
151150impr 603 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. k  e.  ( I  i^i  W
) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
152 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ph )
153 eldifi 3429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( I  \  W )  ->  k  e.  I )
154140, 28sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) )  ->  A  e.  U. ( F `  k )
)
155154ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e. 
U. ( F `  k ) )
156152, 153, 155syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  ( I  \  W ) )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e. 
U. ( F `  k ) )
157 ptcnplem.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  ( I  \  W ) )  ->  ( G `  k )  =  U. ( F `  k ) )
158 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  k )  =  U. ( F `
 k )  -> 
( A  e.  ( G `  k )  <-> 
A  e.  U. ( F `  k )
) )
159158ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  k )  =  U. ( F `
 k )  -> 
( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
)  <->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e. 
U. ( F `  k ) ) )
160157, 159syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  ( I  \  W ) )  ->  ( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `
 k )  <->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e. 
U. ( F `  k ) ) )
161156, 160mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  ( I  \  W ) )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
162161ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( k  e.  ( I  \  W )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) ) )
1637, 162ralrimi 2747 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A. k  e.  ( I  \  W ) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
164163adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. k  e.  ( I  \  W
) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
165 inundif 3666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  i^i  W )  u.  ( I  \  W ) )  =  I
166165raleqi 2868 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( (
I  i^i  W )  u.  ( I  \  W
) ) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
)  <->  A. k  e.  I  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `
 k ) )
167 ralunb 3488 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( (
I  i^i  W )  u.  ( I  \  W
) ) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
)  <->  ( A. k  e.  ( I  i^i  W
) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
)  /\  A. k  e.  ( I  \  W
) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) ) )
168166, 167bitr3i 243 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  I  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `
 k )  <->  ( A. k  e.  ( I  i^i  W ) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
)  /\  A. k  e.  ( I  \  W
) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) ) )
169151, 164, 168sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. k  e.  I  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
170 ralcom 2828 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k )  <->  A. k  e.  I  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
171169, 170sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k ) )
17234ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  I  e.  V )
173 nffvmpt1 5695 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 t )
174173nfel1 2550 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 t )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)
175 nfv 1626 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 x )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)
176 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  x  ->  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  t )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x ) )
177176eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  x  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 t )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
) ) )
178174, 175, 177cbvral 2888 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 t )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x
)  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k ) )
179140, 36, 39syl2anr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x
)  =  ( k  e.  I  |->  A ) )
180179eleq1d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) )  ->  ( (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x )  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k )  <->  ( k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )
181 mptelixpg 7058 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  V  ->  (
( k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k )  <->  A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k ) ) )
182181adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) )  ->  ( (
k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k )  <->  A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k ) ) )
183180, 182bitrd 245 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) )  ->  ( (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x )  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k )  <->  A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k ) ) )
184183ralbidva 2682 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 x )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k ) ) )
185178, 184syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. t  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 t )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k ) ) )
186172, 185syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( A. t  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 t )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k ) ) )
187171, 186mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. t  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  t
)  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k ) )
188 funmpt 5448 . . . . 5  |-  Fun  (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
18934, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  I  |->  A )  e.  _V )
190189ralrimivw 2750 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( k  e.  I  |->  A )  e.  _V )
191190ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  ( k  e.  I  |->  A )  e.  _V )
192 dmmptg 5326 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  (
k  e.  I  |->  A )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  =  X )
193191, 192syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  dom  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  =  X )
194127, 193syl5sseqr 3357 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( X  i^i  |^| ran  f ) 
C_  dom  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) )
195 funimass4 5736 . . . . 5  |-  ( ( Fun  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  /\  ( X  i^i  |^|
ran  f )  C_  dom  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) " ( X  i^i  |^| ran  f ) )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k )  <->  A. t  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  t
)  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )
196188, 194, 195sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
( X  i^i  |^| ran  f ) )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k )  <->  A. t  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 t )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
) ) )
197187, 196mpbird 224 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) " ( X  i^i  |^| ran  f ) )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) )
198 eleq2 2465 . . . . 5  |-  ( z  =  ( X  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( D  e.  z  <-> 
D  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ) )
199 imaeq2 5158 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( X  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" ( X  i^i  |^|
ran  f ) ) )
200199sseq1d 3335 . . . . 5  |-  ( z  =  ( X  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) " z ) 
C_  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) " ( X  i^i  |^| ran  f ) )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )
201198, 200anbi12d 692 . . . 4  |-  ( z  =  ( X  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) " z
)  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) )  <->  ( D  e.  ( X  i^i  |^| ran  f )  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
( X  i^i  |^| ran  f ) )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) ) )
202201rspcev 3012 . . 3  |-  ( ( ( X  i^i  |^| ran  f )  e.  J  /\  ( D  e.  ( X  i^i  |^| ran  f )  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
( X  i^i  |^| ran  f ) )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )
20392, 102, 197, 202syl12anc 1182 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )
20472, 203exlimddv 1645 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   U.cuni 3975   |^|cint 4010    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   X_cixp 7022   Fincfn 7068   Xt_cpt 13621   Topctop 16913  TopOnctopon 16914    CnP ccnp 17243
This theorem is referenced by:  ptcnp  17607
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-fin 7072  df-top 16918  df-topon 16921  df-cnp 17246
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