Theorem ptcnplem 17606

Description: Lemma for ptcnp 17607. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptcnp.2	|- K = ( Xt_ ` F )
ptcnp.3	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
ptcnp.4	|- ( ph -> I e. V )
ptcnp.5	|- ( ph -> F : I --> Top )
ptcnp.6	|- ( ph -> D e. X )
ptcnp.7	|- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP ( F ` k ) ) ` D ) )
ptcnplem.1	|- F/ k ps
ptcnplem.2	|- ( ( ph /\ ps ) -> G Fn I )
ptcnplem.3	|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. I ) -> ( G ` k ) e. ( F ` k ) )
ptcnplem.4	|- ( ( ph /\ ps ) -> W e. Fin )
ptcnplem.5	|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I \ W ) ) -> ( G ` k ) = U. ( F ` k ) )
ptcnplem.6	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ k e. I ( G ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
ptcnplem	|- ( ( ph /\ ps ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) )

Distinct variable groups:   z, A   x, k, z, D   k, I, x, z   x, G, z   k, J, z   z, K   ph, k, x, z   k, F, x, z   k, V, x   k, W, z   k, X, x, z

Allowed substitution hints:   ps( x, z, k)   A( x, k)   G( k)   J( x)   K( x, k)   V( z)   W( x)

Proof of Theorem ptcnplem

Dummy variables f t u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptcnplem.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> W e. Fin )
2		inss2 3522	. . . 4 |- ( I i^i W ) C_ W
3		ssfi 7288	. . . 4 |- ( ( W e. Fin /\ ( I i^i W ) C_ W ) -> ( I i^i W ) e. Fin )
4	1, 2, 3	sylancl 644	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( I i^i W ) e. Fin )
5		nfv 1626	. . . . 5 |- F/ k ph
6		ptcnplem.1	. . . . 5 |- F/ k ps
7	5, 6	nfan 1842	. . . 4 |- F/ k ( ph /\ ps )
8		inss1 3521	. . . . . . 7 |- ( I i^i W ) C_ I
9	8	sseli 3304	. . . . . 6 |- ( k e. ( I i^i W ) -> k e. I )
10		ptcnp.7	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP ( F ` k ) ) ` D ) )
11	10	adantlr 696	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. I ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP ( F ` k ) ) ` D ) )
12		ptcnplem.3	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. I ) -> ( G ` k ) e. ( F ` k ) )
13		ptcnp.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D e. X )
14	13	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> D e. X )
15		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ x e. X ) -> x e. X )
16		ptcnp.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
17	16	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> J e. (TopOn ` X ) )
18		ptcnp.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> F : I --> Top )
19	18	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( F ` k ) e. Top )
20		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- U. ( F ` k ) = U. ( F ` k )
21	20	toptopon 16953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` k ) e. Top <-> ( F ` k ) e. (TopOn ` U. ( F ` k ) ) )
22	19, 21	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( F ` k ) e. (TopOn ` U. ( F ` k ) ) )
23		cnpf2 17268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( F ` k ) e. (TopOn ` U. ( F ` k ) ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP ( F ` k ) ) ` D ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> U. ( F ` k ) )
24	17, 22, 10, 23	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> U. ( F ` k ) )
25		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
26	25	fmpt 5849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. X A e. U. ( F ` k ) <-> ( x e. X |-> A ) : X --> U. ( F ` k ) )
27	24, 26	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> A. x e. X A e. U. ( F ` k ) )
28	27	r19.21bi 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ x e. X ) -> A e. U. ( F ` k ) )
29	25	fvmpt2 5771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. X /\ A e. U. ( F ` k ) ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
30	15, 28, 29	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
31	30	an32s 780	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
32	31	mpteq2dva 4255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( k e. I |-> A ) )
33		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
34		ptcnp.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> I e. V )
35	34	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> I e. V )
36		mptexg 5924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( I e. V -> ( k e. I |-> A ) e. _V )
37	35, 36	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. I |-> A ) e. _V )
38		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) = ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) )
39	38	fvmpt2 5771	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ ( k e. I |-> A ) e. _V ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) = ( k e. I |-> A ) )
40	33, 37, 39	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) = ( k e. I |-> A ) )
41	32, 40	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) )
42	41	ralrimiva 2749	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. X ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) )
43	42	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. x e. X ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) )
44		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x I
45		nffvmpt1 5695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( ( x e. X |-> A ) ` D )
46	44, 45	nfmpt 4257	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) )
47		nffvmpt1 5695	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D )
48	46, 47	nfeq 2547	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D )
49		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = D -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` D ) )
50	49	mpteq2dv 4256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = D -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) )
51		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = D -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) )
52	50, 51	eqeq12d 2418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = D -> ( ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) <-> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) ) )
53	48, 52	rspc 3006	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. X -> ( A. x e. X ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) ) )
54	14, 43, 53	sylc 58	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) )
55		ptcnplem.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ k e. I ( G ` k ) )
56	54, 55	eqeltrd 2478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) e. X_ k e. I ( G ` k ) )
57	34	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> I e. V )
58		mptelixpg 7058	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. V -> ( ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. k e. I ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. ( G ` k ) ) )
59	57, 58	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. k e. I ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. ( G ` k ) ) )
60	56, 59	mpbid 202	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. k e. I ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. ( G ` k ) )
61	60	r19.21bi 2764	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. I ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. ( G ` k ) )
62		cnpimaex 17274	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP ( F ` k ) ) ` D ) /\ ( G ` k ) e. ( F ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. ( G ` k ) ) -> E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) )
63	11, 12, 61, 62	syl3anc 1184	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. I ) -> E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) )
64	9, 63	sylan2 461	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I i^i W ) ) -> E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) )
65	64	ex 424	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. ( I i^i W ) -> E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) ) )
66	7, 65	ralrimi 2747	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. k e. ( I i^i W ) E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) )
67		eleq2 2465	. . . . 5 |- ( u = ( f ` k ) -> ( D e. u <-> D e. ( f ` k ) ) )
68		imaeq2 5158	. . . . . 6 |- ( u = ( f ` k ) -> ( ( x e. X |-> A ) " u ) = ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) )
69	68	sseq1d 3335	. . . . 5 |- ( u = ( f ` k ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) <-> ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) )
70	67, 69	anbi12d 692	. . . 4 |- ( u = ( f ` k ) -> ( ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) <-> ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) )
71	70	ac6sfi 7310	. . 3 |- ( ( ( I i^i W ) e. Fin /\ A. k e. ( I i^i W ) E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) ) -> E. f ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) )
72	4, 66, 71	syl2anc 643	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. f ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) )
73	16	ad2antrr 707	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
74		toponuni 16947	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
75	73, 74	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> X = U. J )
76	75	ineq1d 3501	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( X i^i |^| ran f ) = ( U. J i^i |^| ran f ) )
77		topontop 16946	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
78	16, 77	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. Top )
79	78	ad2antrr 707	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> J e. Top )
80		frn 5556	. . . . . 6 |- ( f : ( I i^i W ) --> J -> ran f C_ J )
81	80	ad2antrl 709	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ran f C_ J )
82	4	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( I i^i W ) e. Fin )
83		ffn 5550	. . . . . . . 8 |- ( f : ( I i^i W ) --> J -> f Fn ( I i^i W ) )
84	83	ad2antrl 709	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> f Fn ( I i^i W ) )
85		dffn4 5618	. . . . . . 7 |- ( f Fn ( I i^i W ) <-> f : ( I i^i W ) -onto-> ran f )
86	84, 85	sylib 189	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> f : ( I i^i W ) -onto-> ran f )
87		fofi 7351	. . . . . 6 |- ( ( ( I i^i W ) e. Fin /\ f : ( I i^i W ) -onto-> ran f ) -> ran f e. Fin )
88	82, 86, 87	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ran f e. Fin )
89		eqid 2404	. . . . . 6 |- U. J = U. J
90	89	rintopn 16937	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ ran f C_ J /\ ran f e. Fin ) -> ( U. J i^i |^| ran f ) e. J )
91	79, 81, 88, 90	syl3anc 1184	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( U. J i^i |^| ran f ) e. J )
92	76, 91	eqeltrd 2478	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( X i^i |^| ran f ) e. J )
93	13	ad2antrr 707	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> D e. X )
94		simpl 444	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) -> D e. ( f ` k ) )
95	94	ralimi 2741	. . . . . 6 |- ( A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) -> A. k e. ( I i^i W ) D e. ( f ` k ) )
96	95	ad2antll 710	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. k e. ( I i^i W ) D e. ( f ` k ) )
97		eleq2 2465	. . . . . . 7 |- ( z = ( f ` k ) -> ( D e. z <-> D e. ( f ` k ) ) )
98	97	ralrn 5832	. . . . . 6 |- ( f Fn ( I i^i W ) -> ( A. z e. ran f D e. z <-> A. k e. ( I i^i W ) D e. ( f ` k ) ) )
99	84, 98	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( A. z e. ran f D e. z <-> A. k e. ( I i^i W ) D e. ( f ` k ) ) )
100	96, 99	mpbird 224	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. z e. ran f D e. z )
101		elrint 4051	. . . 4 |- ( D e. ( X i^i |^| ran f ) <-> ( D e. X /\ A. z e. ran f D e. z ) )
102	93, 100, 101	sylanbrc 646	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> D e. ( X i^i |^| ran f ) )
103		nfv 1626	. . . . . . . . . 10 |- F/ k f : ( I i^i W ) --> J
104	7, 103	nfan 1842	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J )
105		funmpt 5448	. . . . . . . . . . . . 13 |- Fun ( x e. X |-> A )
106		simp-4l 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ph )
107	106, 16	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
108		simpllr 736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> f : ( I i^i W ) --> J )
109		simplr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> k e. ( I i^i W ) )
110	108, 109	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( f ` k ) e. J )
111		toponss 16949	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( f ` k ) e. J ) -> ( f ` k ) C_ X )
112	107, 110, 111	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( f ` k ) C_ X )
113	8, 109	sseldi 3306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> k e. I )
114	106, 113, 27	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> A. x e. X A e. U. ( F ` k ) )
115		dmmptg 5326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. X A e. U. ( F ` k ) -> dom ( x e. X |-> A ) = X )
116	114, 115	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> dom ( x e. X |-> A ) = X )
117	112, 116	sseqtr4d 3345	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( f ` k ) C_ dom ( x e. X |-> A ) )
118		funimass4 5736	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun ( x e. X |-> A ) /\ ( f ` k ) C_ dom ( x e. X |-> A ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) <-> A. t e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( G ` k ) ) )
119	105, 117, 118	sylancr 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) <-> A. t e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( G ` k ) ) )
120		nffvmpt1 5695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( ( x e. X |-> A ) ` t )
121	120	nfel1 2550	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( G ` k )
122		nfv 1626	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ t ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k )
123		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = x -> ( ( x e. X |-> A ) ` t ) = ( ( x e. X |-> A ) ` x ) )
124	123	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = x -> ( ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( G ` k ) <-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) )
125	121, 122, 124	cbvral 2888	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. t e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( G ` k ) <-> A. x e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) )
126	119, 125	syl6bb 253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) <-> A. x e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) )
127		inss1 3521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X i^i |^| ran f ) C_ X
128		ssralv 3367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X i^i |^| ran f ) C_ X -> ( A. x e. X A e. U. ( F ` k ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) ) )
129	127, 114, 128	mpsyl 61	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) )
130		inss2 3522	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X i^i |^| ran f ) C_ |^| ran f
131	108, 83	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> f Fn ( I i^i W ) )
132		fnfvelrn 5826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f Fn ( I i^i W ) /\ k e. ( I i^i W ) ) -> ( f ` k ) e. ran f )
133	131, 109, 132	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( f ` k ) e. ran f )
134		intss1 4025	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` k ) e. ran f -> |^| ran f C_ ( f ` k ) )
135	133, 134	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> |^| ran f C_ ( f ` k ) )
136	130, 135	syl5ss 3319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( X i^i |^| ran f ) C_ ( f ` k ) )
137		ssralv 3367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X i^i |^| ran f ) C_ ( f ` k ) -> ( A. x e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) )
138	136, 137	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( A. x e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) )
139		r19.26 2798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( A e. U. ( F ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) <-> ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) /\ A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) )
140	127	sseli 3304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( X i^i |^| ran f ) -> x e. X )
141	140, 29	sylan 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( X i^i |^| ran f ) /\ A e. U. ( F ` k ) ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
142	141	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( X i^i |^| ran f ) /\ A e. U. ( F ` k ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) <-> A e. ( G ` k ) ) )
143	142	biimpd 199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( X i^i |^| ran f ) /\ A e. U. ( F ` k ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) -> A e. ( G ` k ) ) )
144	143	expimpd 587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( X i^i |^| ran f ) -> ( ( A e. U. ( F ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) -> A e. ( G ` k ) ) )
145	144	ralimia 2739	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( A e. U. ( F ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
146	139, 145	sylbir 205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) /\ A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
147	129, 138, 146	ee12an 1369	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( A. x e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
148	126, 147	sylbid 207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
149	148	expimpd 587	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) -> ( ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
150	104, 149	ralimdaa 2743	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) -> ( A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) -> A. k e. ( I i^i W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
151	150	impr 603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. k e. ( I i^i W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
152		simpl 444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ph )
153		eldifi 3429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( I \ W ) -> k e. I )
154	140, 28	sylan2 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ x e. ( X i^i |^| ran f ) ) -> A e. U. ( F ` k ) )
155	154	ralrimiva 2749	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) )
156	152, 153, 155	syl2an 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I \ W ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) )
157		ptcnplem.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I \ W ) ) -> ( G ` k ) = U. ( F ` k ) )
158		eleq2 2465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G ` k ) = U. ( F ` k ) -> ( A e. ( G ` k ) <-> A e. U. ( F ` k ) ) )
159	158	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` k ) = U. ( F ` k ) -> ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) ) )
160	157, 159	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I \ W ) ) -> ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) ) )
161	156, 160	mpbird 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I \ W ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
162	161	ex 424	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. ( I \ W ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
163	7, 162	ralrimi 2747	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. k e. ( I \ W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
164	163	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. k e. ( I \ W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
165		inundif 3666	. . . . . . . . 9 |- ( ( I i^i W ) u. ( I \ W ) ) = I
166	165	raleqi 2868	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( ( I i^i W ) u. ( I \ W ) ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) <-> A. k e. I A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
167		ralunb 3488	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( ( I i^i W ) u. ( I \ W ) ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) <-> ( A. k e. ( I i^i W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) /\ A. k e. ( I \ W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
168	166, 167	bitr3i 243	. . . . . . 7 |- ( A. k e. I A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) <-> ( A. k e. ( I i^i W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) /\ A. k e. ( I \ W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
169	151, 164, 168	sylanbrc 646	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. k e. I A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
170		ralcom 2828	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A. k e. I A e. ( G ` k ) <-> A. k e. I A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
171	169, 170	sylibr 204	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A. k e. I A e. ( G ` k ) )
172	34	ad2antrr 707	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> I e. V )
173		nffvmpt1 5695	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t )
174	173	nfel1 2550	. . . . . . . 8 |- F/ x ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k )
175		nfv 1626	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k )
176		fveq2 5687	. . . . . . . . 9 |- ( t = x -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) )
177	176	eleq1d 2470	. . . . . . . 8 |- ( t = x -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k ) ) )
178	174, 175, 177	cbvral 2888	. . . . . . 7 |- ( A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k ) )
179	140, 36, 39	syl2anr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ x e. ( X i^i |^| ran f ) ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) = ( k e. I |-> A ) )
180	179	eleq1d 2470	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ x e. ( X i^i |^| ran f ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> ( k e. I |-> A ) e. X_ k e. I ( G ` k ) ) )
181		mptelixpg 7058	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. V -> ( ( k e. I |-> A ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
182	181	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ x e. ( X i^i |^| ran f ) ) -> ( ( k e. I |-> A ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
183	180, 182	bitrd 245	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ x e. ( X i^i |^| ran f ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
184	183	ralbidva 2682	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
185	178, 184	syl5bb 249	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
186	172, 185	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
187	171, 186	mpbird 224	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) )
188		funmpt 5448	. . . . 5 |- Fun ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) )
189	34, 36	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. I |-> A ) e. _V )
190	189	ralrimivw 2750	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. X ( k e. I |-> A ) e. _V )
191	190	ad2antrr 707	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. x e. X ( k e. I |-> A ) e. _V )
192		dmmptg 5326	. . . . . . 7 |- ( A. x e. X ( k e. I |-> A ) e. _V -> dom ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) = X )
193	191, 192	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> dom ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) = X )
194	127, 193	syl5sseqr 3357	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( X i^i |^| ran f ) C_ dom ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) )
195		funimass4 5736	. . . . 5 |- ( ( Fun ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) /\ ( X i^i |^| ran f ) C_ dom ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) ) )
196	188, 194, 195	sylancr 645	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) ) )
197	187, 196	mpbird 224	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) )
198		eleq2 2465	. . . . 5 |- ( z = ( X i^i |^| ran f ) -> ( D e. z <-> D e. ( X i^i |^| ran f ) ) )
199		imaeq2 5158	. . . . . 6 |- ( z = ( X i^i |^| ran f ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) )
200	199	sseq1d 3335	. . . . 5 |- ( z = ( X i^i |^| ran f ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) <-> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) )
201	198, 200	anbi12d 692	. . . 4 |- ( z = ( X i^i |^| ran f ) -> ( ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) <-> ( D e. ( X i^i |^| ran f ) /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) ) )
202	201	rspcev 3012	. . 3 |- ( ( ( X i^i |^| ran f ) e. J /\ ( D e. ( X i^i |^| ran f ) /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) )
203	92, 102, 197, 202	syl12anc 1182	. 2 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) )
204	72, 203	exlimddv 1645	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   E.wex 1547   F/wnf 1550   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   u. cun 3278   i^i cin 3279   C_ wss 3280   U.cuni 3975   |^|cint 4010   e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840   Fun wfun 5407   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   X_cixp 7022   Fincfn 7068   Xt_cpt 13621   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   CnP ccnp 17243

This theorem is referenced by:  ptcnp  17607

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-fin 7072  df-top 16918  df-topon 16921  df-cnp 17246