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Theorem ptcnplem 20713
 Description: Lemma for ptcnp 20714. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcnp.2
ptcnp.3 TopOn
ptcnp.4
ptcnp.5
ptcnp.6
ptcnp.7
ptcnplem.1
ptcnplem.2
ptcnplem.3
ptcnplem.4
ptcnplem.5
ptcnplem.6
Assertion
Ref Expression
ptcnplem
Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,)   ()   ()   (,)   ()   ()

Proof of Theorem ptcnplem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcnplem.4 . . . 4
2 inss2 3644 . . . 4
3 ssfi 7810 . . . 4
41, 2, 3sylancl 675 . . 3
5 nfv 1769 . . . . 5
6 ptcnplem.1 . . . . 5
75, 6nfan 2031 . . . 4
8 inss1 3643 . . . . . . 7
98sseli 3414 . . . . . 6
10 ptcnp.7 . . . . . . . 8
1110adantlr 729 . . . . . . 7
12 ptcnplem.3 . . . . . . 7
13 ptcnp.6 . . . . . . . . . . . 12
1413adantr 472 . . . . . . . . . . 11
15 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16 ptcnp.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 TopOn
1716adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 TopOn
18 ptcnp.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1918ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
20 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2120toptopon 20025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 TopOn
2219, 21sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 TopOn
23 cnpf2 20343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 TopOn TopOn
2417, 22, 10, 23syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2625fmpt 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2724, 26sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2827r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2925fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3015, 28, 29syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3130an32s 821 . . . . . . . . . . . . . . 15
3231mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . . . 14
33 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 ptcnp.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3534adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
36 mptexg 6151 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . 15
4033, 37, 39syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
4132, 40eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . 13
4241ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12
4342adantr 472 . . . . . . . . . . 11
44 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
45 nffvmpt1 5887 . . . . . . . . . . . . . 14
4644, 45nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . 13
47 nffvmpt1 5887 . . . . . . . . . . . . 13
4846, 47nfeq 2623 . . . . . . . . . . . 12
49 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
5049mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . 13
51 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
5250, 51eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . 12
5348, 52rspc 3130 . . . . . . . . . . 11
5414, 43, 53sylc 61 . . . . . . . . . 10
55 ptcnplem.6 . . . . . . . . . 10
5654, 55eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9
5734adantr 472 . . . . . . . . . 10
58 mptelixpg 7577 . . . . . . . . . 10
5957, 58syl 17 . . . . . . . . 9
6056, 59mpbid 215 . . . . . . . 8
6160r19.21bi 2776 . . . . . . 7
62 cnpimaex 20349 . . . . . . 7
6311, 12, 61, 62syl3anc 1292 . . . . . 6
649, 63sylan2 482 . . . . 5
6564ex 441 . . . 4
667, 65ralrimi 2800 . . 3
67 eleq2 2538 . . . . 5
68 imaeq2 5170 . . . . . 6
6968sseq1d 3445 . . . . 5
7067, 69anbi12d 725 . . . 4
7170ac6sfi 7833 . . 3
724, 66, 71syl2anc 673 . 2
7316ad2antrr 740 . . . . . 6 TopOn
74 toponuni 20019 . . . . . 6 TopOn
7573, 74syl 17 . . . . 5
7675ineq1d 3624 . . . 4
77 topontop 20018 . . . . . . 7 TopOn
7816, 77syl 17 . . . . . 6
7978ad2antrr 740 . . . . 5
80 frn 5747 . . . . . 6
8180ad2antrl 742 . . . . 5
824adantr 472 . . . . . 6
83 ffn 5739 . . . . . . . 8
8483ad2antrl 742 . . . . . . 7
85 dffn4 5812 . . . . . . 7
8684, 85sylib 201 . . . . . 6
87 fofi 7878 . . . . . 6
8882, 86, 87syl2anc 673 . . . . 5
89 eqid 2471 . . . . . 6
9089rintopn 20016 . . . . 5
9179, 81, 88, 90syl3anc 1292 . . . 4
9276, 91eqeltrd 2549 . . 3
9313ad2antrr 740 . . . 4
94 simpl 464 . . . . . . 7
9594ralimi 2796 . . . . . 6
9695ad2antll 743 . . . . 5
97 eleq2 2538 . . . . . . 7
9897ralrn 6040 . . . . . 6
9984, 98syl 17 . . . . 5
10096, 99mpbird 240 . . . 4
101 elrint 4267 . . . 4
10293, 100, 101sylanbrc 677 . . 3
103 nfv 1769 . . . . . . . . . 10
1047, 103nfan 2031 . . . . . . . . 9
105 funmpt 5625 . . . . . . . . . . . . 13
106 simp-4l 784 . . . . . . . . . . . . . . . 16
107106, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn
108 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110108, 109ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15
111 toponss 20021 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn
112107, 110, 111syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
1138, 109sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . 16
114106, 113, 27syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15
115 dmmptg 5339 . . . . . . . . . . . . . . 15
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
117112, 116sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . . . 13
118 funimass4 5930 . . . . . . . . . . . . 13
119105, 117, 118sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12
120 nffvmpt1 5887 . . . . . . . . . . . . . 14
121120nfel1 2626 . . . . . . . . . . . . 13
122 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . 13
123 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
124123eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13
125121, 122, 124cbvral 3001 . . . . . . . . . . . 12
126119, 125syl6bb 269 . . . . . . . . . . 11
127 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . 13
128 ssralv 3479 . . . . . . . . . . . . 13
129127, 114, 128mpsyl 64 . . . . . . . . . . . 12
130 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . 14
131108, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
132 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . . . . . . . 16
133131, 109, 132syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15
134 intss1 4241 . . . . . . . . . . . . . . 15
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
136130, 135syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . . 13
137 ssralv 3479 . . . . . . . . . . . . 13
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . . . 12
139 r19.26 2904 . . . . . . . . . . . . 13
140127sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
141140, 29sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
142141eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16
143142biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . . 15
144143expimpd 614 . . . . . . . . . . . . . 14
145144ralimia 2794 . . . . . . . . . . . . 13
146139, 145sylbir 218 . . . . . . . . . . . 12
147129, 138, 146syl6an 554 . . . . . . . . . . 11
148126, 147sylbid 223 . . . . . . . . . 10
149148expimpd 614 . . . . . . . . 9
150104, 149ralimdaa 2801 . . . . . . . 8
151150impr 631 . . . . . . 7
152 simpl 464 . . . . . . . . . . . 12
153 eldifi 3544 . . . . . . . . . . . 12
154140, 28sylan2 482 . . . . . . . . . . . . 13
155154ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12
156152, 153, 155syl2an 485 . . . . . . . . . . 11
157 ptcnplem.5 . . . . . . . . . . . 12
158 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . 13
159158ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . 12
160157, 159syl 17 . . . . . . . . . . 11
161156, 160mpbird 240 . . . . . . . . . 10
162161ex 441 . . . . . . . . 9
1637, 162ralrimi 2800 . . . . . . . 8
164163adantr 472 . . . . . . 7
165 inundif 3836 . . . . . . . . 9
166165raleqi 2977 . . . . . . . 8
167 ralunb 3606 . . . . . . . 8
168166, 167bitr3i 259 . . . . . . 7
169151, 164, 168sylanbrc 677 . . . . . 6
170 ralcom 2937 . . . . . 6
171169, 170sylibr 217 . . . . 5
17234ad2antrr 740 . . . . . 6
173 nffvmpt1 5887 . . . . . . . . 9
174173nfel1 2626 . . . . . . . 8
175 nfv 1769 . . . . . . . 8
176 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
177176eleq1d 2533 . . . . . . . 8
178174, 175, 177cbvral 3001 . . . . . . 7
179140, 36, 39syl2anr 486 . . . . . . . . . 10
180179eleq1d 2533 . . . . . . . . 9
181 mptelixpg 7577 . . . . . . . . . 10
182181adantr 472 . . . . . . . . 9
183180, 182bitrd 261 . . . . . . . 8
184183ralbidva 2828 . . . . . . 7
185178, 184syl5bb 265 . . . . . 6
186172, 185syl 17 . . . . 5
187171, 186mpbird 240 . . . 4
188 funmpt 5625 . . . . 5
18934, 36syl 17 . . . . . . . . 9
190189ralrimivw 2810 . . . . . . . 8
191190ad2antrr 740 . . . . . . 7
192 dmmptg 5339 . . . . . . 7
193191, 192syl 17 . . . . . 6
194127, 193syl5sseqr 3467 . . . . 5
195 funimass4 5930 . . . . 5
196188, 194, 195sylancr 676 . . . 4
197187, 196mpbird 240 . . 3
198 eleq2 2538 . . . . 5
199 imaeq2 5170 . . . . . 6
200199sseq1d 3445 . . . . 5
201198, 200anbi12d 725 . . . 4
202201rspcev 3136 . . 3
20392, 102, 197, 202syl12anc 1290 . 2
20472, 203exlimddv 1789 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452  wex 1671  wnf 1675   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   cin 3389   wss 3390  cuni 4190  cint 4226   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840  cima 4842   wfun 5583   wfn 5584  wf 5585  wfo 5587  cfv 5589  (class class class)co 6308  cixp 7540  cfn 7587  cpt 15415  ctop 19994  TopOnctopon 19995   ccnp 20318 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-top 19998  df-topon 20000  df-cnp 20321 This theorem is referenced by:  ptcnp  20714
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