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Theorem ptcnplem 20247
Description: Lemma for ptcnp 20248. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcnp.2  |-  K  =  ( Xt_ `  F
)
ptcnp.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
ptcnp.4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
ptcnp.5  |-  ( ph  ->  F : I --> Top )
ptcnp.6  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
ptcnp.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `
 k ) ) `
 D ) )
ptcnplem.1  |-  F/ k ps
ptcnplem.2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  G  Fn  I )
ptcnplem.3  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  I
)  ->  ( G `  k )  e.  ( F `  k ) )
ptcnplem.4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  W  e.  Fin )
ptcnplem.5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  ( I  \  W ) )  ->  ( G `  k )  =  U. ( F `  k ) )
ptcnplem.6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
) )
Assertion
Ref Expression
ptcnplem  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    x, k, z, D    k, I, x, z    x, G, z    k, J, z   
z, K    ph, k, x, z    k, F, x, z    k, V, x   
k, W, z    k, X, x, z
Allowed substitution hints:    ps( x, z, k)    A( x, k)    G( k)    J( x)    K( x, k)    V( z)    W( x)

Proof of Theorem ptcnplem
Dummy variables  f 
t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcnplem.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  W  e.  Fin )
2 inss2 3715 . . . 4  |-  ( I  i^i  W )  C_  W
3 ssfi 7759 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Fin  /\  ( I  i^i  W ) 
C_  W )  -> 
( I  i^i  W
)  e.  Fin )
41, 2, 3sylancl 662 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( I  i^i  W
)  e.  Fin )
5 nfv 1708 . . . . 5  |-  F/ k
ph
6 ptcnplem.1 . . . . 5  |-  F/ k ps
75, 6nfan 1929 . . . 4  |-  F/ k ( ph  /\  ps )
8 inss1 3714 . . . . . . 7  |-  ( I  i^i  W )  C_  I
98sseli 3495 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( I  i^i 
W )  ->  k  e.  I )
10 ptcnp.7 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `
 k ) ) `
 D ) )
1110adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  I
)  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `  k ) ) `  D ) )
12 ptcnplem.3 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  I
)  ->  ( G `  k )  e.  ( F `  k ) )
13 ptcnp.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  D  e.  X )
15 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
16 ptcnp.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
18 ptcnp.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  F : I --> Top )
1918ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  Top )
20 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
2120toptopon 19560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  k )  e.  Top  <->  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `  k ) ) )
2219, 21sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `
 k ) ) )
23 cnpf2 19877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `
 k ) )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `  k ) ) `  D ) )  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
2417, 22, 10, 23syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
25 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
2625fmpt 6053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k )  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
2724, 26sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k
) )
2827r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  U. ( F `  k ) )
2925fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  X  /\  A  e.  U. ( F `  k )
)  ->  ( (
x  e.  X  |->  A ) `  x )  =  A )
3015, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  A )
3130an32s 804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  A )
3231mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x
) )  =  ( k  e.  I  |->  A ) )
33 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
34 ptcnp.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  I  e.  V )
36 mptexg 6143 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  e.  V  ->  (
k  e.  I  |->  A )  e.  _V )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  I  |->  A )  e.  _V )
38 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
3938fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( k  e.  I  |->  A )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x )  =  ( k  e.  I  |->  A ) )
4033, 37, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x )  =  ( k  e.  I  |->  A ) )
4132, 40eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x
) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x ) )
4241ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 x ) )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A. x  e.  X  ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 x ) )
44 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x I
45 nffvmpt1 5880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )
4644, 45nfmpt 4545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )
47 nffvmpt1 5880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )
4846, 47nfeq 2630 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )
49 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  D  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )
5049mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  D  ->  (
k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x
) )  =  ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D
) ) )
51 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  D  ->  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D ) )
5250, 51eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  D  ->  (
( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 x )  <->  ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
) ) )
5348, 52rspc 3204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 x )  -> 
( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D ) ) )
5414, 43, 53sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D ) )
55 ptcnplem.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
) )
5654, 55eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
) )
5734adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  I  e.  V )
58 mptelixpg 7525 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  V  ->  (
( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  A. k  e.  I 
( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )  e.  ( G `  k ) ) )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 D ) )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  A. k  e.  I 
( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )  e.  ( G `  k ) ) )
6056, 59mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A. k  e.  I 
( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )  e.  ( G `  k ) )
6160r19.21bi 2826 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
x  e.  X  |->  A ) `  D )  e.  ( G `  k ) )
62 cnpimaex 19883 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `  k )
) `  D )  /\  ( G `  k
)  e.  ( F `
 k )  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )  e.  ( G `  k ) )  ->  E. u  e.  J  ( D  e.  u  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " u
)  C_  ( G `  k ) ) )
6311, 12, 61, 62syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  I
)  ->  E. u  e.  J  ( D  e.  u  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " u
)  C_  ( G `  k ) ) )
649, 63sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  ->  E. u  e.  J  ( D  e.  u  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " u
)  C_  ( G `  k ) ) )
6564ex 434 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( k  e.  ( I  i^i  W )  ->  E. u  e.  J  ( D  e.  u  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
u )  C_  ( G `  k )
) ) )
667, 65ralrimi 2857 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A. k  e.  ( I  i^i  W ) E. u  e.  J  ( D  e.  u  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
u )  C_  ( G `  k )
) )
67 eleq2 2530 . . . . 5  |-  ( u  =  ( f `  k )  ->  ( D  e.  u  <->  D  e.  ( f `  k
) ) )
68 imaeq2 5343 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( f `  k )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) " u
)  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) " ( f `
 k ) ) )
6968sseq1d 3526 . . . . 5  |-  ( u  =  ( f `  k )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  A ) "
u )  C_  ( G `  k )  <->  ( ( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) )
7067, 69anbi12d 710 . . . 4  |-  ( u  =  ( f `  k )  ->  (
( D  e.  u  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
u )  C_  ( G `  k )
)  <->  ( D  e.  ( f `  k
)  /\  ( (
x  e.  X  |->  A ) " ( f `
 k ) ) 
C_  ( G `  k ) ) ) )
7170ac6sfi 7782 . . 3  |-  ( ( ( I  i^i  W
)  e.  Fin  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) E. u  e.  J  ( D  e.  u  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
u )  C_  ( G `  k )
) )  ->  E. f
( f : ( I  i^i  W ) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W
) ( D  e.  ( f `  k
)  /\  ( (
x  e.  X  |->  A ) " ( f `
 k ) ) 
C_  ( G `  k ) ) ) )
724, 66, 71syl2anc 661 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. f ( f : ( I  i^i 
W ) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `
 k )  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
( f `  k
) )  C_  ( G `  k )
) ) )
7316ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
74 toponuni 19554 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
7573, 74syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  X  =  U. J )
7675ineq1d 3695 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( X  i^i  |^| ran  f )  =  ( U. J  i^i  |^| ran  f ) )
77 topontop 19553 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
7816, 77syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
7978ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
80 frn 5743 . . . . . 6  |-  ( f : ( I  i^i 
W ) --> J  ->  ran  f  C_  J )
8180ad2antrl 727 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ran  f  C_  J )
824adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( I  i^i  W )  e.  Fin )
83 ffn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( f : ( I  i^i 
W ) --> J  -> 
f  Fn  ( I  i^i  W ) )
8483ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  f  Fn  ( I  i^i  W ) )
85 dffn4 5807 . . . . . . 7  |-  ( f  Fn  ( I  i^i 
W )  <->  f :
( I  i^i  W
) -onto-> ran  f )
8684, 85sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  f :
( I  i^i  W
) -onto-> ran  f )
87 fofi 7824 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  i^i  W
)  e.  Fin  /\  f : ( I  i^i 
W ) -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
8882, 86, 87syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ran  f  e. 
Fin )
89 eqid 2457 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
9089rintopn 19544 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ran  f  C_  J  /\  ran  f  e.  Fin )  ->  ( U. J  i^i  |^| ran  f )  e.  J )
9179, 81, 88, 90syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( U. J  i^i  |^| ran  f )  e.  J )
9276, 91eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( X  i^i  |^| ran  f )  e.  J )
9313ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  D  e.  X )
94 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( f `
 k )  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
( f `  k
) )  C_  ( G `  k )
)  ->  D  e.  ( f `  k
) )
9594ralimi 2850 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) )  ->  A. k  e.  (
I  i^i  W ) D  e.  ( f `  k ) )
9695ad2antll 728 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. k  e.  ( I  i^i  W
) D  e.  ( f `  k ) )
97 eleq2 2530 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( f `  k )  ->  ( D  e.  z  <->  D  e.  ( f `  k
) ) )
9897ralrn 6035 . . . . . 6  |-  ( f  Fn  ( I  i^i 
W )  ->  ( A. z  e.  ran  f  D  e.  z  <->  A. k  e.  ( I  i^i  W ) D  e.  ( f `  k ) ) )
9984, 98syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( A. z  e.  ran  f  D  e.  z  <->  A. k  e.  ( I  i^i  W
) D  e.  ( f `  k ) ) )
10096, 99mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. z  e.  ran  f  D  e.  z )
101 elrint 4330 . . . 4  |-  ( D  e.  ( X  i^i  |^|
ran  f )  <->  ( D  e.  X  /\  A. z  e.  ran  f  D  e.  z ) )
10293, 100, 101sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  D  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) )
103 nfv 1708 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  f : ( I  i^i  W ) --> J
1047, 103nfan 1929 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( ph  /\  ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )
105 funmpt 5630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Fun  (
x  e.  X  |->  A )
106 simp-4l 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  ph )
107106, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
108 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  f : ( I  i^i 
W ) --> J )
109 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  k  e.  ( I  i^i  W
) )
110108, 109ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  (
f `  k )  e.  J )
111 toponss 19556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
f `  k )  e.  J )  ->  (
f `  k )  C_  X )
112107, 110, 111syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  (
f `  k )  C_  X )
1138, 109sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  k  e.  I )
114106, 113, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k
) )
115 dmmptg 5510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k )  ->  dom  ( x  e.  X  |->  A )  =  X )
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  dom  ( x  e.  X  |->  A )  =  X )
117112, 116sseqtr4d 3536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  (
f `  k )  C_ 
dom  ( x  e.  X  |->  A ) )
118 funimass4 5924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  ( x  e.  X  |->  A )  /\  ( f `  k
)  C_  dom  ( x  e.  X  |->  A ) )  ->  ( (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k )  <->  A. t  e.  ( f `  k
) ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 t )  e.  ( G `  k
) ) )
119105, 117, 118sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  A ) "
( f `  k
) )  C_  ( G `  k )  <->  A. t  e.  ( f `
 k ) ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t
)  e.  ( G `
 k ) ) )
120 nffvmpt1 5880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )
121120nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )  e.  ( G `  k )
122 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ t ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k )
123 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  x  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  t
)  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) )
124123eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  x  ->  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )  e.  ( G `  k )  <-> 
( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k ) ) )
125121, 122, 124cbvral 3080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. t  e.  ( f `  k ) ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )  e.  ( G `  k )  <->  A. x  e.  ( f `  k
) ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x )  e.  ( G `  k
) )
126119, 125syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  A ) "
( f `  k
) )  C_  ( G `  k )  <->  A. x  e.  ( f `
 k ) ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  e.  ( G `
 k ) ) )
127 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  i^i  |^| ran  f ) 
C_  X
128 ssralv 3560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  i^i  |^| ran  f )  C_  X  ->  ( A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e. 
U. ( F `  k ) ) )
129127, 114, 128mpsyl 63 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e. 
U. ( F `  k ) )
130 inss2 3715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  |^| ran  f ) 
C_  |^| ran  f
131108, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  f  Fn  ( I  i^i  W
) )
132 fnfvelrn 6029 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  Fn  ( I  i^i  W )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  -> 
( f `  k
)  e.  ran  f
)
133131, 109, 132syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  (
f `  k )  e.  ran  f )
134 intss1 4303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  k )  e.  ran  f  ->  |^| ran  f  C_  (
f `  k )
)
135133, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  |^| ran  f  C_  ( f `  k ) )
136130, 135syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  ( X  i^i  |^| ran  f ) 
C_  ( f `  k ) )
137 ssralv 3560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  i^i  |^| ran  f )  C_  (
f `  k )  ->  ( A. x  e.  ( f `  k
) ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x )  e.  ( G `  k
)  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k ) ) )
138136, 137syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  ( A. x  e.  (
f `  k )
( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k ) ) )
139 r19.26 2984 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( A  e.  U. ( F `  k )  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x )  e.  ( G `  k
) )  <->  ( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  U. ( F `  k )  /\  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k ) ) )
140127sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( X  i^i  |^|
ran  f )  ->  x  e.  X )
141140, 29sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f )  /\  A  e.  U. ( F `  k ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  A ) `  x )  =  A )
142141eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f )  /\  A  e.  U. ( F `  k ) )  ->  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  e.  ( G `
 k )  <->  A  e.  ( G `  k ) ) )
143142biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f )  /\  A  e.  U. ( F `  k ) )  ->  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  e.  ( G `
 k )  ->  A  e.  ( G `  k ) ) )
144143expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( X  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( ( A  e. 
U. ( F `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  e.  ( G `
 k ) )  ->  A  e.  ( G `  k ) ) )
145144ralimia 2848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( A  e.  U. ( F `  k )  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x )  e.  ( G `  k
) )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
146139, 145sylbir 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e. 
U. ( F `  k )  /\  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k ) )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
147129, 138, 146syl6an 545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  ( A. x  e.  (
f `  k )
( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) ) )
148126, 147sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  A ) "
( f `  k
) )  C_  ( G `  k )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) ) )
149148expimpd 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  ->  ( ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `
 k ) ) )
150104, 149ralimdaa 2859 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  f : ( I  i^i  W ) --> J )  ->  ( A. k  e.  (
I  i^i  W )
( D  e.  ( f `  k )  /\  ( ( x  e.  X  |->  A )
" ( f `  k ) )  C_  ( G `  k ) )  ->  A. k  e.  ( I  i^i  W
) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) ) )
151150impr 619 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. k  e.  ( I  i^i  W
) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
152 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ph )
153 eldifi 3622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( I  \  W )  ->  k  e.  I )
154140, 28sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) )  ->  A  e.  U. ( F `  k )
)
155154ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e. 
U. ( F `  k ) )
156152, 153, 155syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  ( I  \  W ) )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e. 
U. ( F `  k ) )
157 ptcnplem.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  ( I  \  W ) )  ->  ( G `  k )  =  U. ( F `  k ) )
158 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  k )  =  U. ( F `
 k )  -> 
( A  e.  ( G `  k )  <-> 
A  e.  U. ( F `  k )
) )
159158ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  k )  =  U. ( F `
 k )  -> 
( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
)  <->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e. 
U. ( F `  k ) ) )
160157, 159syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  ( I  \  W ) )  ->  ( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `
 k )  <->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e. 
U. ( F `  k ) ) )
161156, 160mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  ( I  \  W ) )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
162161ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( k  e.  ( I  \  W )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) ) )
1637, 162ralrimi 2857 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A. k  e.  ( I  \  W ) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
164163adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. k  e.  ( I  \  W
) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
165 inundif 3909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  i^i  W )  u.  ( I  \  W ) )  =  I
166165raleqi 3058 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( (
I  i^i  W )  u.  ( I  \  W
) ) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
)  <->  A. k  e.  I  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `
 k ) )
167 ralunb 3681 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( (
I  i^i  W )  u.  ( I  \  W
) ) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
)  <->  ( A. k  e.  ( I  i^i  W
) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
)  /\  A. k  e.  ( I  \  W
) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) ) )
168166, 167bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  I  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `
 k )  <->  ( A. k  e.  ( I  i^i  W ) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
)  /\  A. k  e.  ( I  \  W
) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) ) )
169151, 164, 168sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. k  e.  I  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
170 ralcom 3018 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k )  <->  A. k  e.  I  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
171169, 170sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k ) )
17234ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  I  e.  V )
173 nffvmpt1 5880 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 t )
174173nfel1 2635 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 t )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)
175 nfv 1708 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 x )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)
176 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  x  ->  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  t )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x ) )
177176eleq1d 2526 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  x  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 t )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
) ) )
178174, 175, 177cbvral 3080 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 t )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x
)  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k ) )
179140, 36, 39syl2anr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x
)  =  ( k  e.  I  |->  A ) )
180179eleq1d 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) )  ->  ( (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x )  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k )  <->  ( k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )
181 mptelixpg 7525 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  V  ->  (
( k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k )  <->  A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k ) ) )
182181adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) )  ->  ( (
k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k )  <->  A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k ) ) )
183180, 182bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) )  ->  ( (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x )  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k )  <->  A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k ) ) )
184183ralbidva 2893 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 x )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k ) ) )
185178, 184syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. t  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 t )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k ) ) )
186172, 185syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( A. t  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 t )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k ) ) )
187171, 186mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. t  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  t
)  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k ) )
188 funmpt 5630 . . . . 5  |-  Fun  (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
18934, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  I  |->  A )  e.  _V )
190189ralrimivw 2872 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( k  e.  I  |->  A )  e.  _V )
191190ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  ( k  e.  I  |->  A )  e.  _V )
192 dmmptg 5510 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  (
k  e.  I  |->  A )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  =  X )
193191, 192syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  dom  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  =  X )
194127, 193syl5sseqr 3548 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( X  i^i  |^| ran  f ) 
C_  dom  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) )
195 funimass4 5924 . . . . 5  |-  ( ( Fun  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  /\  ( X  i^i  |^|
ran  f )  C_  dom  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) " ( X  i^i  |^| ran  f ) )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k )  <->  A. t  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  t
)  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )
196188, 194, 195sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
( X  i^i  |^| ran  f ) )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k )  <->  A. t  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 t )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
) ) )
197187, 196mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) " ( X  i^i  |^| ran  f ) )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) )
198 eleq2 2530 . . . . 5  |-  ( z  =  ( X  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( D  e.  z  <-> 
D  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ) )
199 imaeq2 5343 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( X  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" ( X  i^i  |^|
ran  f ) ) )
200199sseq1d 3526 . . . . 5  |-  ( z  =  ( X  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) " z ) 
C_  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) " ( X  i^i  |^| ran  f ) )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )
201198, 200anbi12d 710 . . . 4  |-  ( z  =  ( X  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) " z
)  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) )  <->  ( D  e.  ( X  i^i  |^| ran  f )  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
( X  i^i  |^| ran  f ) )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) ) )
202201rspcev 3210 . . 3  |-  ( ( ( X  i^i  |^| ran  f )  e.  J  /\  ( D  e.  ( X  i^i  |^| ran  f )  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
( X  i^i  |^| ran  f ) )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )
20392, 102, 197, 202syl12anc 1226 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )
20472, 203exlimddv 1727 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613   F/wnf 1617    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   U.cuni 4251   |^|cint 4288    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   X_cixp 7488   Fincfn 7535   Xt_cpt 14855   Topctop 19520  TopOnctopon 19521    CnP ccnp 19852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-fin 7539  df-top 19525  df-topon 19528  df-cnp 19855
This theorem is referenced by:  ptcnp  20248
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