Theorem ptcnplem 19854

Description: Lemma for ptcnp 19855. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptcnp.2	|- K = ( Xt_ ` F )
ptcnp.3	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
ptcnp.4	|- ( ph -> I e. V )
ptcnp.5	|- ( ph -> F : I --> Top )
ptcnp.6	|- ( ph -> D e. X )
ptcnp.7	|- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP ( F ` k ) ) ` D ) )
ptcnplem.1	|- F/ k ps
ptcnplem.2	|- ( ( ph /\ ps ) -> G Fn I )
ptcnplem.3	|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. I ) -> ( G ` k ) e. ( F ` k ) )
ptcnplem.4	|- ( ( ph /\ ps ) -> W e. Fin )
ptcnplem.5	|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I \ W ) ) -> ( G ` k ) = U. ( F ` k ) )
ptcnplem.6	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ k e. I ( G ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
ptcnplem	|- ( ( ph /\ ps ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) )

Distinct variable groups:   z, A   x, k, z, D   k, I, x, z   x, G, z   k, J, z   z, K   ph, k, x, z   k, F, x, z   k, V, x   k, W, z   k, X, x, z

Allowed substitution hints:   ps( x, z, k)   A( x, k)   G( k)   J( x)   K( x, k)   V( z)   W( x)

Proof of Theorem ptcnplem

Dummy variables f t u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptcnplem.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> W e. Fin )
2		inss2 3719	. . . 4 |- ( I i^i W ) C_ W
3		ssfi 7737	. . . 4 |- ( ( W e. Fin /\ ( I i^i W ) C_ W ) -> ( I i^i W ) e. Fin )
4	1, 2, 3	sylancl 662	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( I i^i W ) e. Fin )
5		nfv 1683	. . . . 5 |- F/ k ph
6		ptcnplem.1	. . . . 5 |- F/ k ps
7	5, 6	nfan 1875	. . . 4 |- F/ k ( ph /\ ps )
8		inss1 3718	. . . . . . 7 |- ( I i^i W ) C_ I
9	8	sseli 3500	. . . . . 6 |- ( k e. ( I i^i W ) -> k e. I )
10		ptcnp.7	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP ( F ` k ) ) ` D ) )
11	10	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. I ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP ( F ` k ) ) ` D ) )
12		ptcnplem.3	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. I ) -> ( G ` k ) e. ( F ` k ) )
13		ptcnp.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D e. X )
14	13	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> D e. X )
15		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ x e. X ) -> x e. X )
16		ptcnp.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
17	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> J e. (TopOn ` X ) )
18		ptcnp.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> F : I --> Top )
19	18	ffvelrnda 6019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( F ` k ) e. Top )
20		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- U. ( F ` k ) = U. ( F ` k )
21	20	toptopon 19198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` k ) e. Top <-> ( F ` k ) e. (TopOn ` U. ( F ` k ) ) )
22	19, 21	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( F ` k ) e. (TopOn ` U. ( F ` k ) ) )
23		cnpf2 19514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( F ` k ) e. (TopOn ` U. ( F ` k ) ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP ( F ` k ) ) ` D ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> U. ( F ` k ) )
24	17, 22, 10, 23	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> U. ( F ` k ) )
25		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
26	25	fmpt 6040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. X A e. U. ( F ` k ) <-> ( x e. X |-> A ) : X --> U. ( F ` k ) )
27	24, 26	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> A. x e. X A e. U. ( F ` k ) )
28	27	r19.21bi 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ x e. X ) -> A e. U. ( F ` k ) )
29	25	fvmpt2 5955	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. X /\ A e. U. ( F ` k ) ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
30	15, 28, 29	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
31	30	an32s 802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
32	31	mpteq2dva 4533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( k e. I |-> A ) )
33		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
34		ptcnp.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> I e. V )
35	34	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> I e. V )
36		mptexg 6128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( I e. V -> ( k e. I |-> A ) e. _V )
37	35, 36	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. I |-> A ) e. _V )
38		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) = ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) )
39	38	fvmpt2 5955	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ ( k e. I |-> A ) e. _V ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) = ( k e. I |-> A ) )
40	33, 37, 39	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) = ( k e. I |-> A ) )
41	32, 40	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) )
42	41	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. X ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) )
43	42	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. x e. X ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) )
44		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x I
45		nffvmpt1 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( ( x e. X |-> A ) ` D )
46	44, 45	nfmpt 4535	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) )
47		nffvmpt1 5872	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D )
48	46, 47	nfeq 2640	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D )
49		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = D -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` D ) )
50	49	mpteq2dv 4534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = D -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) )
51		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = D -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) )
52	50, 51	eqeq12d 2489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = D -> ( ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) <-> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) ) )
53	48, 52	rspc 3208	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. X -> ( A. x e. X ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) ) )
54	14, 43, 53	sylc 60	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) )
55		ptcnplem.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ k e. I ( G ` k ) )
56	54, 55	eqeltrd 2555	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) e. X_ k e. I ( G ` k ) )
57	34	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> I e. V )
58		mptelixpg 7503	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. V -> ( ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. k e. I ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. ( G ` k ) ) )
59	57, 58	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. k e. I ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. ( G ` k ) ) )
60	56, 59	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. k e. I ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. ( G ` k ) )
61	60	r19.21bi 2833	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. I ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. ( G ` k ) )
62		cnpimaex 19520	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP ( F ` k ) ) ` D ) /\ ( G ` k ) e. ( F ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. ( G ` k ) ) -> E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) )
63	11, 12, 61, 62	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. I ) -> E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) )
64	9, 63	sylan2 474	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I i^i W ) ) -> E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) )
65	64	ex 434	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. ( I i^i W ) -> E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) ) )
66	7, 65	ralrimi 2864	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. k e. ( I i^i W ) E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) )
67		eleq2 2540	. . . . 5 |- ( u = ( f ` k ) -> ( D e. u <-> D e. ( f ` k ) ) )
68		imaeq2 5331	. . . . . 6 |- ( u = ( f ` k ) -> ( ( x e. X |-> A ) " u ) = ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) )
69	68	sseq1d 3531	. . . . 5 |- ( u = ( f ` k ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) <-> ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) )
70	67, 69	anbi12d 710	. . . 4 |- ( u = ( f ` k ) -> ( ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) <-> ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) )
71	70	ac6sfi 7760	. . 3 |- ( ( ( I i^i W ) e. Fin /\ A. k e. ( I i^i W ) E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) ) -> E. f ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) )
72	4, 66, 71	syl2anc 661	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. f ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) )
73	16	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
74		toponuni 19192	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
75	73, 74	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> X = U. J )
76	75	ineq1d 3699	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( X i^i |^| ran f ) = ( U. J i^i |^| ran f ) )
77		topontop 19191	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
78	16, 77	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. Top )
79	78	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> J e. Top )
80		frn 5735	. . . . . 6 |- ( f : ( I i^i W ) --> J -> ran f C_ J )
81	80	ad2antrl 727	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ran f C_ J )
82	4	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( I i^i W ) e. Fin )
83		ffn 5729	. . . . . . . 8 |- ( f : ( I i^i W ) --> J -> f Fn ( I i^i W ) )
84	83	ad2antrl 727	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> f Fn ( I i^i W ) )
85		dffn4 5799	. . . . . . 7 |- ( f Fn ( I i^i W ) <-> f : ( I i^i W ) -onto-> ran f )
86	84, 85	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> f : ( I i^i W ) -onto-> ran f )
87		fofi 7802	. . . . . 6 |- ( ( ( I i^i W ) e. Fin /\ f : ( I i^i W ) -onto-> ran f ) -> ran f e. Fin )
88	82, 86, 87	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ran f e. Fin )
89		eqid 2467	. . . . . 6 |- U. J = U. J
90	89	rintopn 19182	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ ran f C_ J /\ ran f e. Fin ) -> ( U. J i^i |^| ran f ) e. J )
91	79, 81, 88, 90	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( U. J i^i |^| ran f ) e. J )
92	76, 91	eqeltrd 2555	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( X i^i |^| ran f ) e. J )
93	13	ad2antrr 725	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> D e. X )
94		simpl 457	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) -> D e. ( f ` k ) )
95	94	ralimi 2857	. . . . . 6 |- ( A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) -> A. k e. ( I i^i W ) D e. ( f ` k ) )
96	95	ad2antll 728	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. k e. ( I i^i W ) D e. ( f ` k ) )
97		eleq2 2540	. . . . . . 7 |- ( z = ( f ` k ) -> ( D e. z <-> D e. ( f ` k ) ) )
98	97	ralrn 6022	. . . . . 6 |- ( f Fn ( I i^i W ) -> ( A. z e. ran f D e. z <-> A. k e. ( I i^i W ) D e. ( f ` k ) ) )
99	84, 98	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( A. z e. ran f D e. z <-> A. k e. ( I i^i W ) D e. ( f ` k ) ) )
100	96, 99	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. z e. ran f D e. z )
101		elrint 4323	. . . 4 |- ( D e. ( X i^i |^| ran f ) <-> ( D e. X /\ A. z e. ran f D e. z ) )
102	93, 100, 101	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> D e. ( X i^i |^| ran f ) )
103		nfv 1683	. . . . . . . . . 10 |- F/ k f : ( I i^i W ) --> J
104	7, 103	nfan 1875	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J )
105		funmpt 5622	. . . . . . . . . . . . 13 |- Fun ( x e. X |-> A )
106		simp-4l 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ph )
107	106, 16	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
108		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> f : ( I i^i W ) --> J )
109		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> k e. ( I i^i W ) )
110	108, 109	ffvelrnd 6020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( f ` k ) e. J )
111		toponss 19194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( f ` k ) e. J ) -> ( f ` k ) C_ X )
112	107, 110, 111	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( f ` k ) C_ X )
113	8, 109	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> k e. I )
114	106, 113, 27	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> A. x e. X A e. U. ( F ` k ) )
115		dmmptg 5502	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. X A e. U. ( F ` k ) -> dom ( x e. X |-> A ) = X )
116	114, 115	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> dom ( x e. X |-> A ) = X )
117	112, 116	sseqtr4d 3541	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( f ` k ) C_ dom ( x e. X |-> A ) )
118		funimass4 5916	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun ( x e. X |-> A ) /\ ( f ` k ) C_ dom ( x e. X |-> A ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) <-> A. t e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( G ` k ) ) )
119	105, 117, 118	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) <-> A. t e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( G ` k ) ) )
120		nffvmpt1 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( ( x e. X |-> A ) ` t )
121	120	nfel1 2645	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( G ` k )
122		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ t ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k )
123		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = x -> ( ( x e. X |-> A ) ` t ) = ( ( x e. X |-> A ) ` x ) )
124	123	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = x -> ( ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( G ` k ) <-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) )
125	121, 122, 124	cbvral 3084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. t e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( G ` k ) <-> A. x e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) )
126	119, 125	syl6bb 261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) <-> A. x e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) )
127		inss1 3718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X i^i |^| ran f ) C_ X
128		ssralv 3564	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X i^i |^| ran f ) C_ X -> ( A. x e. X A e. U. ( F ` k ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) ) )
129	127, 114, 128	mpsyl 63	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) )
130		inss2 3719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X i^i |^| ran f ) C_ |^| ran f
131	108, 83	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> f Fn ( I i^i W ) )
132		fnfvelrn 6016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f Fn ( I i^i W ) /\ k e. ( I i^i W ) ) -> ( f ` k ) e. ran f )
133	131, 109, 132	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( f ` k ) e. ran f )
134		intss1 4297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` k ) e. ran f -> |^| ran f C_ ( f ` k ) )
135	133, 134	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> |^| ran f C_ ( f ` k ) )
136	130, 135	syl5ss 3515	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( X i^i |^| ran f ) C_ ( f ` k ) )
137		ssralv 3564	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X i^i |^| ran f ) C_ ( f ` k ) -> ( A. x e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) )
138	136, 137	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( A. x e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) )
139		r19.26 2989	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( A e. U. ( F ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) <-> ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) /\ A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) )
140	127	sseli 3500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( X i^i |^| ran f ) -> x e. X )
141	140, 29	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( X i^i |^| ran f ) /\ A e. U. ( F ` k ) ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
142	141	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( X i^i |^| ran f ) /\ A e. U. ( F ` k ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) <-> A e. ( G ` k ) ) )
143	142	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( X i^i |^| ran f ) /\ A e. U. ( F ` k ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) -> A e. ( G ` k ) ) )
144	143	expimpd 603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( X i^i |^| ran f ) -> ( ( A e. U. ( F ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) -> A e. ( G ` k ) ) )
145	144	ralimia 2855	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( A e. U. ( F ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
146	139, 145	sylbir 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) /\ A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
147	129, 138, 146	syl6an 545	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( A. x e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
148	126, 147	sylbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
149	148	expimpd 603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) -> ( ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
150	104, 149	ralimdaa 2866	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) -> ( A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) -> A. k e. ( I i^i W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
151	150	impr 619	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. k e. ( I i^i W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
152		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ph )
153		eldifi 3626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( I \ W ) -> k e. I )
154	140, 28	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ x e. ( X i^i |^| ran f ) ) -> A e. U. ( F ` k ) )
155	154	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) )
156	152, 153, 155	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I \ W ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) )
157		ptcnplem.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I \ W ) ) -> ( G ` k ) = U. ( F ` k ) )
158		eleq2 2540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G ` k ) = U. ( F ` k ) -> ( A e. ( G ` k ) <-> A e. U. ( F ` k ) ) )
159	158	ralbidv 2903	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` k ) = U. ( F ` k ) -> ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) ) )
160	157, 159	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I \ W ) ) -> ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) ) )
161	156, 160	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I \ W ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
162	161	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. ( I \ W ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
163	7, 162	ralrimi 2864	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. k e. ( I \ W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
164	163	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. k e. ( I \ W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
165		inundif 3905	. . . . . . . . 9 |- ( ( I i^i W ) u. ( I \ W ) ) = I
166	165	raleqi 3062	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( ( I i^i W ) u. ( I \ W ) ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) <-> A. k e. I A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
167		ralunb 3685	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( ( I i^i W ) u. ( I \ W ) ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) <-> ( A. k e. ( I i^i W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) /\ A. k e. ( I \ W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
168	166, 167	bitr3i 251	. . . . . . 7 |- ( A. k e. I A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) <-> ( A. k e. ( I i^i W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) /\ A. k e. ( I \ W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
169	151, 164, 168	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. k e. I A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
170		ralcom 3022	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A. k e. I A e. ( G ` k ) <-> A. k e. I A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
171	169, 170	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A. k e. I A e. ( G ` k ) )
172	34	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> I e. V )
173		nffvmpt1 5872	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t )
174	173	nfel1 2645	. . . . . . . 8 |- F/ x ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k )
175		nfv 1683	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k )
176		fveq2 5864	. . . . . . . . 9 |- ( t = x -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) )
177	176	eleq1d 2536	. . . . . . . 8 |- ( t = x -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k ) ) )
178	174, 175, 177	cbvral 3084	. . . . . . 7 |- ( A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k ) )
179	140, 36, 39	syl2anr 478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ x e. ( X i^i |^| ran f ) ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) = ( k e. I |-> A ) )
180	179	eleq1d 2536	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ x e. ( X i^i |^| ran f ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> ( k e. I |-> A ) e. X_ k e. I ( G ` k ) ) )
181		mptelixpg 7503	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. V -> ( ( k e. I |-> A ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
182	181	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ x e. ( X i^i |^| ran f ) ) -> ( ( k e. I |-> A ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
183	180, 182	bitrd 253	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ x e. ( X i^i |^| ran f ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
184	183	ralbidva 2900	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
185	178, 184	syl5bb 257	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
186	172, 185	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
187	171, 186	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) )
188		funmpt 5622	. . . . 5 |- Fun ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) )
189	34, 36	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. I |-> A ) e. _V )
190	189	ralrimivw 2879	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. X ( k e. I |-> A ) e. _V )
191	190	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. x e. X ( k e. I |-> A ) e. _V )
192		dmmptg 5502	. . . . . . 7 |- ( A. x e. X ( k e. I |-> A ) e. _V -> dom ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) = X )
193	191, 192	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> dom ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) = X )
194	127, 193	syl5sseqr 3553	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( X i^i |^| ran f ) C_ dom ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) )
195		funimass4 5916	. . . . 5 |- ( ( Fun ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) /\ ( X i^i |^| ran f ) C_ dom ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) ) )
196	188, 194, 195	sylancr 663	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) ) )
197	187, 196	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) )
198		eleq2 2540	. . . . 5 |- ( z = ( X i^i |^| ran f ) -> ( D e. z <-> D e. ( X i^i |^| ran f ) ) )
199		imaeq2 5331	. . . . . 6 |- ( z = ( X i^i |^| ran f ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) )
200	199	sseq1d 3531	. . . . 5 |- ( z = ( X i^i |^| ran f ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) <-> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) )
201	198, 200	anbi12d 710	. . . 4 |- ( z = ( X i^i |^| ran f ) -> ( ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) <-> ( D e. ( X i^i |^| ran f ) /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) ) )
202	201	rspcev 3214	. . 3 |- ( ( ( X i^i |^| ran f ) e. J /\ ( D e. ( X i^i |^| ran f ) /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) )
203	92, 102, 197, 202	syl12anc 1226	. 2 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) )
204	72, 203	exlimddv 1702	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   E.wex 1596   F/wnf 1599   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   U.cuni 4245   |^|cint 4282   |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000   "cima 5002   Fun wfun 5580   Fn wfn 5581   -->wf 5582   -onto->wfo 5584   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   X_cixp 7466   Fincfn 7513   Xt_cpt 14687   Topctop 19158  TopOnctopon 19159   CnP ccnp 19489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-fin 7517  df-top 19163  df-topon 19166  df-cnp 19492

This theorem is referenced by:  ptcnp  19855