Theorem ptcnplem 20629

Description: Lemma for ptcnp 20630. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptcnp.2	|- K = ( Xt_ ` F )
ptcnp.3	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
ptcnp.4	|- ( ph -> I e. V )
ptcnp.5	|- ( ph -> F : I --> Top )
ptcnp.6	|- ( ph -> D e. X )
ptcnp.7	|- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP ( F ` k ) ) ` D ) )
ptcnplem.1	|- F/ k ps
ptcnplem.2	|- ( ( ph /\ ps ) -> G Fn I )
ptcnplem.3	|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. I ) -> ( G ` k ) e. ( F ` k ) )
ptcnplem.4	|- ( ( ph /\ ps ) -> W e. Fin )
ptcnplem.5	|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I \ W ) ) -> ( G ` k ) = U. ( F ` k ) )
ptcnplem.6	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ k e. I ( G ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
ptcnplem	|- ( ( ph /\ ps ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) )

Distinct variable groups:   z, A   x, k, z, D   k, I, x, z   x, G, z   k, J, z   z, K   ph, k, x, z   k, F, x, z   k, V, x   k, W, z   k, X, x, z

Allowed substitution hints:   ps( x, z, k)   A( x, k)   G( k)   J( x)   K( x, k)   V( z)   W( x)

Proof of Theorem ptcnplem

Dummy variables f t u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptcnplem.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> W e. Fin )
2		inss2 3652	. . . 4 |- ( I i^i W ) C_ W
3		ssfi 7789	. . . 4 |- ( ( W e. Fin /\ ( I i^i W ) C_ W ) -> ( I i^i W ) e. Fin )
4	1, 2, 3	sylancl 667	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( I i^i W ) e. Fin )
5		nfv 1760	. . . . 5 |- F/ k ph
6		ptcnplem.1	. . . . 5 |- F/ k ps
7	5, 6	nfan 2010	. . . 4 |- F/ k ( ph /\ ps )
8		inss1 3651	. . . . . . 7 |- ( I i^i W ) C_ I
9	8	sseli 3427	. . . . . 6 |- ( k e. ( I i^i W ) -> k e. I )
10		ptcnp.7	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP ( F ` k ) ) ` D ) )
11	10	adantlr 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. I ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP ( F ` k ) ) ` D ) )
12		ptcnplem.3	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. I ) -> ( G ` k ) e. ( F ` k ) )
13		ptcnp.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D e. X )
14	13	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> D e. X )
15		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ x e. X ) -> x e. X )
16		ptcnp.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
17	16	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> J e. (TopOn ` X ) )
18		ptcnp.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> F : I --> Top )
19	18	ffvelrnda 6020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( F ` k ) e. Top )
20		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- U. ( F ` k ) = U. ( F ` k )
21	20	toptopon 19941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` k ) e. Top <-> ( F ` k ) e. (TopOn ` U. ( F ` k ) ) )
22	19, 21	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( F ` k ) e. (TopOn ` U. ( F ` k ) ) )
23		cnpf2 20259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( F ` k ) e. (TopOn ` U. ( F ` k ) ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP ( F ` k ) ) ` D ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> U. ( F ` k ) )
24	17, 22, 10, 23	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> U. ( F ` k ) )
25		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
26	25	fmpt 6041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. X A e. U. ( F ` k ) <-> ( x e. X |-> A ) : X --> U. ( F ` k ) )
27	24, 26	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> A. x e. X A e. U. ( F ` k ) )
28	27	r19.21bi 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ x e. X ) -> A e. U. ( F ` k ) )
29	25	fvmpt2 5955	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. X /\ A e. U. ( F ` k ) ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
30	15, 28, 29	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
31	30	an32s 812	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
32	31	mpteq2dva 4488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( k e. I |-> A ) )
33		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
34		ptcnp.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> I e. V )
35	34	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> I e. V )
36		mptexg 6133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( I e. V -> ( k e. I |-> A ) e. _V )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. I |-> A ) e. _V )
38		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) = ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) )
39	38	fvmpt2 5955	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ ( k e. I |-> A ) e. _V ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) = ( k e. I |-> A ) )
40	33, 37, 39	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) = ( k e. I |-> A ) )
41	32, 40	eqtr4d 2487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) )
42	41	ralrimiva 2801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. X ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) )
43	42	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. x e. X ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) )
44		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x I
45		nffvmpt1 5871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( ( x e. X |-> A ) ` D )
46	44, 45	nfmpt 4490	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) )
47		nffvmpt1 5871	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D )
48	46, 47	nfeq 2602	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D )
49		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = D -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` D ) )
50	49	mpteq2dv 4489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = D -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) )
51		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = D -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) )
52	50, 51	eqeq12d 2465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = D -> ( ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) <-> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) ) )
53	48, 52	rspc 3143	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. X -> ( A. x e. X ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) ) )
54	14, 43, 53	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) )
55		ptcnplem.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ k e. I ( G ` k ) )
56	54, 55	eqeltrd 2528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) e. X_ k e. I ( G ` k ) )
57	34	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> I e. V )
58		mptelixpg 7556	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. V -> ( ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. k e. I ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. ( G ` k ) ) )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. k e. I ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. ( G ` k ) ) )
60	56, 59	mpbid 214	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. k e. I ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. ( G ` k ) )
61	60	r19.21bi 2756	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. I ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. ( G ` k ) )
62		cnpimaex 20265	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP ( F ` k ) ) ` D ) /\ ( G ` k ) e. ( F ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. ( G ` k ) ) -> E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) )
63	11, 12, 61, 62	syl3anc 1267	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. I ) -> E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) )
64	9, 63	sylan2 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I i^i W ) ) -> E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) )
65	64	ex 436	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. ( I i^i W ) -> E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) ) )
66	7, 65	ralrimi 2787	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. k e. ( I i^i W ) E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) )
67		eleq2 2517	. . . . 5 |- ( u = ( f ` k ) -> ( D e. u <-> D e. ( f ` k ) ) )
68		imaeq2 5163	. . . . . 6 |- ( u = ( f ` k ) -> ( ( x e. X |-> A ) " u ) = ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) )
69	68	sseq1d 3458	. . . . 5 |- ( u = ( f ` k ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) <-> ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) )
70	67, 69	anbi12d 716	. . . 4 |- ( u = ( f ` k ) -> ( ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) <-> ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) )
71	70	ac6sfi 7812	. . 3 |- ( ( ( I i^i W ) e. Fin /\ A. k e. ( I i^i W ) E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) ) -> E. f ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) )
72	4, 66, 71	syl2anc 666	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. f ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) )
73	16	ad2antrr 731	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
74		toponuni 19935	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
75	73, 74	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> X = U. J )
76	75	ineq1d 3632	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( X i^i |^| ran f ) = ( U. J i^i |^| ran f ) )
77		topontop 19934	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
78	16, 77	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. Top )
79	78	ad2antrr 731	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> J e. Top )
80		frn 5733	. . . . . 6 |- ( f : ( I i^i W ) --> J -> ran f C_ J )
81	80	ad2antrl 733	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ran f C_ J )
82	4	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( I i^i W ) e. Fin )
83		ffn 5726	. . . . . . . 8 |- ( f : ( I i^i W ) --> J -> f Fn ( I i^i W ) )
84	83	ad2antrl 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> f Fn ( I i^i W ) )
85		dffn4 5797	. . . . . . 7 |- ( f Fn ( I i^i W ) <-> f : ( I i^i W ) -onto-> ran f )
86	84, 85	sylib 200	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> f : ( I i^i W ) -onto-> ran f )
87		fofi 7857	. . . . . 6 |- ( ( ( I i^i W ) e. Fin /\ f : ( I i^i W ) -onto-> ran f ) -> ran f e. Fin )
88	82, 86, 87	syl2anc 666	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ran f e. Fin )
89		eqid 2450	. . . . . 6 |- U. J = U. J
90	89	rintopn 19932	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ ran f C_ J /\ ran f e. Fin ) -> ( U. J i^i |^| ran f ) e. J )
91	79, 81, 88, 90	syl3anc 1267	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( U. J i^i |^| ran f ) e. J )
92	76, 91	eqeltrd 2528	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( X i^i |^| ran f ) e. J )
93	13	ad2antrr 731	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> D e. X )
94		simpl 459	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) -> D e. ( f ` k ) )
95	94	ralimi 2780	. . . . . 6 |- ( A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) -> A. k e. ( I i^i W ) D e. ( f ` k ) )
96	95	ad2antll 734	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. k e. ( I i^i W ) D e. ( f ` k ) )
97		eleq2 2517	. . . . . . 7 |- ( z = ( f ` k ) -> ( D e. z <-> D e. ( f ` k ) ) )
98	97	ralrn 6023	. . . . . 6 |- ( f Fn ( I i^i W ) -> ( A. z e. ran f D e. z <-> A. k e. ( I i^i W ) D e. ( f ` k ) ) )
99	84, 98	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( A. z e. ran f D e. z <-> A. k e. ( I i^i W ) D e. ( f ` k ) ) )
100	96, 99	mpbird 236	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. z e. ran f D e. z )
101		elrint 4275	. . . 4 |- ( D e. ( X i^i |^| ran f ) <-> ( D e. X /\ A. z e. ran f D e. z ) )
102	93, 100, 101	sylanbrc 669	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> D e. ( X i^i |^| ran f ) )
103		nfv 1760	. . . . . . . . . 10 |- F/ k f : ( I i^i W ) --> J
104	7, 103	nfan 2010	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J )
105		funmpt 5617	. . . . . . . . . . . . 13 |- Fun ( x e. X |-> A )
106		simp-4l 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ph )
107	106, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
108		simpllr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> f : ( I i^i W ) --> J )
109		simplr 761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> k e. ( I i^i W ) )
110	108, 109	ffvelrnd 6021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( f ` k ) e. J )
111		toponss 19937	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( f ` k ) e. J ) -> ( f ` k ) C_ X )
112	107, 110, 111	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( f ` k ) C_ X )
113	8, 109	sseldi 3429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> k e. I )
114	106, 113, 27	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> A. x e. X A e. U. ( F ` k ) )
115		dmmptg 5331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. X A e. U. ( F ` k ) -> dom ( x e. X |-> A ) = X )
116	114, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> dom ( x e. X |-> A ) = X )
117	112, 116	sseqtr4d 3468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( f ` k ) C_ dom ( x e. X |-> A ) )
118		funimass4 5914	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun ( x e. X |-> A ) /\ ( f ` k ) C_ dom ( x e. X |-> A ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) <-> A. t e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( G ` k ) ) )
119	105, 117, 118	sylancr 668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) <-> A. t e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( G ` k ) ) )
120		nffvmpt1 5871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( ( x e. X |-> A ) ` t )
121	120	nfel1 2605	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( G ` k )
122		nfv 1760	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ t ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k )
123		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = x -> ( ( x e. X |-> A ) ` t ) = ( ( x e. X |-> A ) ` x ) )
124	123	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = x -> ( ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( G ` k ) <-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) )
125	121, 122, 124	cbvral 3014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. t e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( G ` k ) <-> A. x e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) )
126	119, 125	syl6bb 265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) <-> A. x e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) )
127		inss1 3651	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X i^i |^| ran f ) C_ X
128		ssralv 3492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X i^i |^| ran f ) C_ X -> ( A. x e. X A e. U. ( F ` k ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) ) )
129	127, 114, 128	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) )
130		inss2 3652	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X i^i |^| ran f ) C_ |^| ran f
131	108, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> f Fn ( I i^i W ) )
132		fnfvelrn 6017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f Fn ( I i^i W ) /\ k e. ( I i^i W ) ) -> ( f ` k ) e. ran f )
133	131, 109, 132	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( f ` k ) e. ran f )
134		intss1 4248	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` k ) e. ran f -> |^| ran f C_ ( f ` k ) )
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> |^| ran f C_ ( f ` k ) )
136	130, 135	syl5ss 3442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( X i^i |^| ran f ) C_ ( f ` k ) )
137		ssralv 3492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X i^i |^| ran f ) C_ ( f ` k ) -> ( A. x e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) )
138	136, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( A. x e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) )
139		r19.26 2916	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( A e. U. ( F ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) <-> ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) /\ A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) )
140	127	sseli 3427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( X i^i |^| ran f ) -> x e. X )
141	140, 29	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( X i^i |^| ran f ) /\ A e. U. ( F ` k ) ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
142	141	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( X i^i |^| ran f ) /\ A e. U. ( F ` k ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) <-> A e. ( G ` k ) ) )
143	142	biimpd 211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( X i^i |^| ran f ) /\ A e. U. ( F ` k ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) -> A e. ( G ` k ) ) )
144	143	expimpd 607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( X i^i |^| ran f ) -> ( ( A e. U. ( F ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) -> A e. ( G ` k ) ) )
145	144	ralimia 2778	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( A e. U. ( F ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
146	139, 145	sylbir 217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) /\ A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
147	129, 138, 146	syl6an 548	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( A. x e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
148	126, 147	sylbid 219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
149	148	expimpd 607	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) -> ( ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
150	104, 149	ralimdaa 2789	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) -> ( A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) -> A. k e. ( I i^i W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
151	150	impr 624	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. k e. ( I i^i W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
152		simpl 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ph )
153		eldifi 3554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( I \ W ) -> k e. I )
154	140, 28	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ x e. ( X i^i |^| ran f ) ) -> A e. U. ( F ` k ) )
155	154	ralrimiva 2801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) )
156	152, 153, 155	syl2an 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I \ W ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) )
157		ptcnplem.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I \ W ) ) -> ( G ` k ) = U. ( F ` k ) )
158		eleq2 2517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G ` k ) = U. ( F ` k ) -> ( A e. ( G ` k ) <-> A e. U. ( F ` k ) ) )
159	158	ralbidv 2826	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` k ) = U. ( F ` k ) -> ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) ) )
160	157, 159	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I \ W ) ) -> ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) ) )
161	156, 160	mpbird 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I \ W ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
162	161	ex 436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. ( I \ W ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
163	7, 162	ralrimi 2787	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. k e. ( I \ W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
164	163	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. k e. ( I \ W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
165		inundif 3844	. . . . . . . . 9 |- ( ( I i^i W ) u. ( I \ W ) ) = I
166	165	raleqi 2990	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( ( I i^i W ) u. ( I \ W ) ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) <-> A. k e. I A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
167		ralunb 3614	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( ( I i^i W ) u. ( I \ W ) ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) <-> ( A. k e. ( I i^i W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) /\ A. k e. ( I \ W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
168	166, 167	bitr3i 255	. . . . . . 7 |- ( A. k e. I A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) <-> ( A. k e. ( I i^i W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) /\ A. k e. ( I \ W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
169	151, 164, 168	sylanbrc 669	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. k e. I A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
170		ralcom 2950	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A. k e. I A e. ( G ` k ) <-> A. k e. I A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
171	169, 170	sylibr 216	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A. k e. I A e. ( G ` k ) )
172	34	ad2antrr 731	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> I e. V )
173		nffvmpt1 5871	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t )
174	173	nfel1 2605	. . . . . . . 8 |- F/ x ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k )
175		nfv 1760	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k )
176		fveq2 5863	. . . . . . . . 9 |- ( t = x -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) )
177	176	eleq1d 2512	. . . . . . . 8 |- ( t = x -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k ) ) )
178	174, 175, 177	cbvral 3014	. . . . . . 7 |- ( A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k ) )
179	140, 36, 39	syl2anr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ x e. ( X i^i |^| ran f ) ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) = ( k e. I |-> A ) )
180	179	eleq1d 2512	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ x e. ( X i^i |^| ran f ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> ( k e. I |-> A ) e. X_ k e. I ( G ` k ) ) )
181		mptelixpg 7556	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. V -> ( ( k e. I |-> A ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
182	181	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ x e. ( X i^i |^| ran f ) ) -> ( ( k e. I |-> A ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
183	180, 182	bitrd 257	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ x e. ( X i^i |^| ran f ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
184	183	ralbidva 2823	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
185	178, 184	syl5bb 261	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
186	172, 185	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
187	171, 186	mpbird 236	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) )
188		funmpt 5617	. . . . 5 |- Fun ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) )
189	34, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. I |-> A ) e. _V )
190	189	ralrimivw 2802	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. X ( k e. I |-> A ) e. _V )
191	190	ad2antrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. x e. X ( k e. I |-> A ) e. _V )
192		dmmptg 5331	. . . . . . 7 |- ( A. x e. X ( k e. I |-> A ) e. _V -> dom ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) = X )
193	191, 192	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> dom ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) = X )
194	127, 193	syl5sseqr 3480	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( X i^i |^| ran f ) C_ dom ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) )
195		funimass4 5914	. . . . 5 |- ( ( Fun ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) /\ ( X i^i |^| ran f ) C_ dom ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) ) )
196	188, 194, 195	sylancr 668	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) ) )
197	187, 196	mpbird 236	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) )
198		eleq2 2517	. . . . 5 |- ( z = ( X i^i |^| ran f ) -> ( D e. z <-> D e. ( X i^i |^| ran f ) ) )
199		imaeq2 5163	. . . . . 6 |- ( z = ( X i^i |^| ran f ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) )
200	199	sseq1d 3458	. . . . 5 |- ( z = ( X i^i |^| ran f ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) <-> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) )
201	198, 200	anbi12d 716	. . . 4 |- ( z = ( X i^i |^| ran f ) -> ( ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) <-> ( D e. ( X i^i |^| ran f ) /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) ) )
202	201	rspcev 3149	. . 3 |- ( ( ( X i^i |^| ran f ) e. J /\ ( D e. ( X i^i |^| ran f ) /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) )
203	92, 102, 197, 202	syl12anc 1265	. 2 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) )
204	72, 203	exlimddv 1780	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   E.wex 1662   F/wnf 1666   e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044   \ cdif 3400   u. cun 3401   i^i cin 3402   C_ wss 3403   U.cuni 4197   |^|cint 4233   |-> cmpt 4460   dom cdm 4833   ran crn 4834   "cima 4836   Fun wfun 5575   Fn wfn 5576   -->wf 5577   -onto->wfo 5579   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   X_cixp 7519   Fincfn 7566   Xt_cpt 15330   Topctop 19910  TopOnctopon 19911   CnP ccnp 20234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-fin 7570  df-top 19914  df-topon 19916  df-cnp 20237

This theorem is referenced by:  ptcnp  20630