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Theorem ptcnplem 20247
Description: Lemma for ptcnp 20248. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcnp.2 |- K = ( Xt_ ` F )
ptcnp.3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
ptcnp.4 |- ( ph -> I e. V )
ptcnp.5 |- ( ph -> F : I --> Top )
ptcnp.6 |- ( ph -> D e. X )
ptcnp.7 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP ( F ` k ) ) ` D ) )
ptcnplem.1 |- F/ k ps
ptcnplem.2 |- ( ( ph /\ ps ) -> G Fn I )
ptcnplem.3 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. I ) -> ( G ` k ) e. ( F ` k ) )
ptcnplem.4 |- ( ( ph /\ ps ) -> W e. Fin )
ptcnplem.5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I \ W ) ) -> ( G ` k ) = U. ( F ` k ) )
ptcnplem.6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ k e. I ( G ` k ) )
Assertion
Ref Expression
ptcnplem |- ( ( ph /\ ps ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) )
Distinct variable groups:   z, A   x, k, z, D   k, I, x, z   x, G, z   k, J, z   z, K   ph, k, x, z   k, F, x, z   k, V, x   k, W, z   k, X, x, z
Allowed substitution hints:   ps( x, z, k)   A( x, k)   G( k)   J( x)   K( x, k)   V( z)   W( x)
Proof of Theorem ptcnplem
Dummy variables f t u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcnplem.4 . . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> W e. Fin )
2 inss2 3715 . . . 4 |- ( I i^i W ) C_ W
3 ssfi 7759 . . . 4 |- ( ( W e. Fin /\ ( I i^i W ) C_ W ) -> ( I i^i W ) e. Fin )
41, 2, 3sylancl 662 . . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( I i^i W ) e. Fin )
5 nfv 1708 . . . . 5 |- F/ k ph
6 ptcnplem.1 . . . . 5 |- F/ k ps
75, 6nfan 1929 . . . 4 |- F/ k ( ph /\ ps )
8 inss1 3714 . . . . . . 7 |- ( I i^i W ) C_ I
98sseli 3495 . . . . . 6 |- ( k e. ( I i^i W ) -> k e. I )
10 ptcnp.7 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP ( F ` k ) ) ` D ) )
1110adantlr 714 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. I ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP ( F ` k ) ) ` D ) )
12 ptcnplem.3 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. I ) -> ( G ` k ) e. ( F ` k ) )
13 ptcnp.6 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D e. X )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> D e. X )
15 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ x e. X ) -> x e. X )
16 ptcnp.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> J e. (TopOn ` X ) )
18 ptcnp.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> F : I --> Top )
1918ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( F ` k ) e. Top )
20 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- U. ( F ` k ) = U. ( F ` k )
2120toptopon 19560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` k ) e. Top <-> ( F ` k ) e. (TopOn ` U. ( F ` k ) ) )
2219, 21sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( F ` k ) e. (TopOn ` U. ( F ` k ) ) )
23 cnpf2 19877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( F ` k ) e. (TopOn ` U. ( F ` k ) ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP ( F ` k ) ) ` D ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> U. ( F ` k ) )
2417, 22, 10, 23syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> U. ( F ` k ) )
25 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
2625fmpt 6053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. X A e. U. ( F ` k ) <-> ( x e. X |-> A ) : X --> U. ( F ` k ) )
2724, 26sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> A. x e. X A e. U. ( F ` k ) )
2827r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ x e. X ) -> A e. U. ( F ` k ) )
2925fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. X /\ A e. U. ( F ` k ) ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
3015, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
3130an32s 804 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
3231mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( k e. I |-> A ) )
33 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
34 ptcnp.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> I e. V )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> I e. V )
36 mptexg 6143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( I e. V -> ( k e. I |-> A ) e. _V )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. I |-> A ) e. _V )
38 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) = ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) )
3938fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ ( k e. I |-> A ) e. _V ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) = ( k e. I |-> A ) )
4033, 37, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) = ( k e. I |-> A ) )
4132, 40eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) )
4241ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. X ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. x e. X ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) )
44 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x I
45 nffvmpt1 5880 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( ( x e. X |-> A ) ` D )
4644, 45nfmpt 4545 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) )
47 nffvmpt1 5880 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D )
4846, 47nfeq 2630 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D )
49 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = D -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` D ) )
5049mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = D -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) )
51 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = D -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) )
5250, 51eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = D -> ( ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) <-> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) ) )
5348, 52rspc 3204 . . . . . . . . . . 11 |- ( D e. X -> ( A. x e. X ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) ) )
5414, 43, 53sylc 60 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) )
55 ptcnplem.6 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` D ) e. X_ k e. I ( G ` k ) )
5654, 55eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) e. X_ k e. I ( G ` k ) )
5734adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> I e. V )
58 mptelixpg 7525 . . . . . . . . . 10 |- ( I e. V -> ( ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. k e. I ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. ( G ` k ) ) )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( k e. I |-> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. k e. I ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. ( G ` k ) ) )
6056, 59mpbid 210 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. k e. I ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. ( G ` k ) )
6160r19.21bi 2826 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. I ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. ( G ` k ) )
62 cnpimaex 19883 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP ( F ` k ) ) ` D ) /\ ( G ` k ) e. ( F ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. ( G ` k ) ) -> E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) )
6311, 12, 61, 62syl3anc 1228 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. I ) -> E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) )
649, 63sylan2 474 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I i^i W ) ) -> E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) )
6564ex 434 . . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. ( I i^i W ) -> E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) ) )
667, 65ralrimi 2857 . . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. k e. ( I i^i W ) E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) )
67 eleq2 2530 . . . . 5 |- ( u = ( f ` k ) -> ( D e. u <-> D e. ( f ` k ) ) )
68 imaeq2 5343 . . . . . 6 |- ( u = ( f ` k ) -> ( ( x e. X |-> A ) " u ) = ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) )
6968sseq1d 3526 . . . . 5 |- ( u = ( f ` k ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) <-> ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) )
7067, 69anbi12d 710 . . . 4 |- ( u = ( f ` k ) -> ( ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) <-> ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) )
7170ac6sfi 7782 . . 3 |- ( ( ( I i^i W ) e. Fin /\ A. k e. ( I i^i W ) E. u e. J ( D e. u /\ ( ( x e. X |-> A ) " u ) C_ ( G ` k ) ) ) -> E. f ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) )
724, 66, 71syl2anc 661 . 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. f ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) )
7316ad2antrr 725 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
74 toponuni 19554 . . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
7573, 74syl 16 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> X = U. J )
7675ineq1d 3695 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( X i^i |^| ran f ) = ( U. J i^i |^| ran f ) )
77 topontop 19553 . . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
7816, 77syl 16 . . . . . 6 |- ( ph -> J e. Top )
7978ad2antrr 725 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> J e. Top )
80 frn 5743 . . . . . 6 |- ( f : ( I i^i W ) --> J -> ran f C_ J )
8180ad2antrl 727 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ran f C_ J )
824adantr 465 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( I i^i W ) e. Fin )
83 ffn 5737 . . . . . . . 8 |- ( f : ( I i^i W ) --> J -> f Fn ( I i^i W ) )
8483ad2antrl 727 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> f Fn ( I i^i W ) )
85 dffn4 5807 . . . . . . 7 |- ( f Fn ( I i^i W ) <-> f : ( I i^i W ) -onto-> ran f )
8684, 85sylib 196 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> f : ( I i^i W ) -onto-> ran f )
87 fofi 7824 . . . . . 6 |- ( ( ( I i^i W ) e. Fin /\ f : ( I i^i W ) -onto-> ran f ) -> ran f e. Fin )
8882, 86, 87syl2anc 661 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ran f e. Fin )
89 eqid 2457 . . . . . 6 |- U. J = U. J
9089rintopn 19544 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ ran f C_ J /\ ran f e. Fin ) -> ( U. J i^i |^| ran f ) e. J )
9179, 81, 88, 90syl3anc 1228 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( U. J i^i |^| ran f ) e. J )
9276, 91eqeltrd 2545 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( X i^i |^| ran f ) e. J )
9313ad2antrr 725 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> D e. X )
94 simpl 457 . . . . . . 7 |- ( ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) -> D e. ( f ` k ) )
9594ralimi 2850 . . . . . 6 |- ( A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) -> A. k e. ( I i^i W ) D e. ( f ` k ) )
9695ad2antll 728 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. k e. ( I i^i W ) D e. ( f ` k ) )
97 eleq2 2530 . . . . . . 7 |- ( z = ( f ` k ) -> ( D e. z <-> D e. ( f ` k ) ) )
9897ralrn 6035 . . . . . 6 |- ( f Fn ( I i^i W ) -> ( A. z e. ran f D e. z <-> A. k e. ( I i^i W ) D e. ( f ` k ) ) )
9984, 98syl 16 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( A. z e. ran f D e. z <-> A. k e. ( I i^i W ) D e. ( f ` k ) ) )
10096, 99mpbird 232 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. z e. ran f D e. z )
101 elrint 4330 . . . 4 |- ( D e. ( X i^i |^| ran f ) <-> ( D e. X /\ A. z e. ran f D e. z ) )
10293, 100, 101sylanbrc 664 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> D e. ( X i^i |^| ran f ) )
103 nfv 1708 . . . . . . . . . 10 |- F/ k f : ( I i^i W ) --> J
1047, 103nfan 1929 . . . . . . . . 9 |- F/ k ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J )
105 funmpt 5630 . . . . . . . . . . . . 13 |- Fun ( x e. X |-> A )
106 simp-4l 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ph )
107106, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
108 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> f : ( I i^i W ) --> J )
109 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> k e. ( I i^i W ) )
110108, 109ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( f ` k ) e. J )
111 toponss 19556 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( f ` k ) e. J ) -> ( f ` k ) C_ X )
112107, 110, 111syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( f ` k ) C_ X )
1138, 109sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> k e. I )
114106, 113, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> A. x e. X A e. U. ( F ` k ) )
115 dmmptg 5510 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. X A e. U. ( F ` k ) -> dom ( x e. X |-> A ) = X )
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> dom ( x e. X |-> A ) = X )
117112, 116sseqtr4d 3536 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( f ` k ) C_ dom ( x e. X |-> A ) )
118 funimass4 5924 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun ( x e. X |-> A ) /\ ( f ` k ) C_ dom ( x e. X |-> A ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) <-> A. t e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( G ` k ) ) )
119105, 117, 118sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) <-> A. t e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( G ` k ) ) )
120 nffvmpt1 5880 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( ( x e. X |-> A ) ` t )
121120nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( G ` k )
122 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/ t ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k )
123 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = x -> ( ( x e. X |-> A ) ` t ) = ( ( x e. X |-> A ) ` x ) )
124123eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = x -> ( ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( G ` k ) <-> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) )
125121, 122, 124cbvral 3080 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. t e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( G ` k ) <-> A. x e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) )
126119, 125syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) <-> A. x e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) )
127 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( X i^i |^| ran f ) C_ X
128 ssralv 3560 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X i^i |^| ran f ) C_ X -> ( A. x e. X A e. U. ( F ` k ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) ) )
129127, 114, 128mpsyl 63 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) )
130 inss2 3715 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X i^i |^| ran f ) C_ |^| ran f
131108, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> f Fn ( I i^i W ) )
132 fnfvelrn 6029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f Fn ( I i^i W ) /\ k e. ( I i^i W ) ) -> ( f ` k ) e. ran f )
133131, 109, 132syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( f ` k ) e. ran f )
134 intss1 4303 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` k ) e. ran f -> |^| ran f C_ ( f ` k ) )
135133, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> |^| ran f C_ ( f ` k ) )
136130, 135syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( X i^i |^| ran f ) C_ ( f ` k ) )
137 ssralv 3560 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X i^i |^| ran f ) C_ ( f ` k ) -> ( A. x e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) )
138136, 137syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( A. x e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) )
139 r19.26 2984 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( A e. U. ( F ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) <-> ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) /\ A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) )
140127sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( X i^i |^| ran f ) -> x e. X )
141140, 29sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( X i^i |^| ran f ) /\ A e. U. ( F ` k ) ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
142141eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( X i^i |^| ran f ) /\ A e. U. ( F ` k ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) <-> A e. ( G ` k ) ) )
143142biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( X i^i |^| ran f ) /\ A e. U. ( F ` k ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) -> A e. ( G ` k ) ) )
144143expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( X i^i |^| ran f ) -> ( ( A e. U. ( F ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) -> A e. ( G ` k ) ) )
145144ralimia 2848 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( A e. U. ( F ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
146139, 145sylbir 213 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) /\ A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
147129, 138, 146syl6an 545 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( A. x e. ( f ` k ) ( ( x e. X |-> A ) ` x ) e. ( G ` k ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
148126, 147sylbid 215 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) /\ D e. ( f ` k ) ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
149148expimpd 603 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) /\ k e. ( I i^i W ) ) -> ( ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
150104, 149ralimdaa 2859 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ f : ( I i^i W ) --> J ) -> ( A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) -> A. k e. ( I i^i W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
151150impr 619 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. k e. ( I i^i W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
152 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ph )
153 eldifi 3622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( I \ W ) -> k e. I )
154140, 28sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ x e. ( X i^i |^| ran f ) ) -> A e. U. ( F ` k ) )
155154ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) )
156152, 153, 155syl2an 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I \ W ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) )
157 ptcnplem.5 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I \ W ) ) -> ( G ` k ) = U. ( F ` k ) )
158 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G ` k ) = U. ( F ` k ) -> ( A e. ( G ` k ) <-> A e. U. ( F ` k ) ) )
159158ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` k ) = U. ( F ` k ) -> ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) ) )
160157, 159syl 16 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I \ W ) ) -> ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. U. ( F ` k ) ) )
161156, 160mpbird 232 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. ( I \ W ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
162161ex 434 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. ( I \ W ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
1637, 162ralrimi 2857 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. k e. ( I \ W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
164163adantr 465 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. k e. ( I \ W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
165 inundif 3909 . . . . . . . . 9 |- ( ( I i^i W ) u. ( I \ W ) ) = I
166165raleqi 3058 . . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( ( I i^i W ) u. ( I \ W ) ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) <-> A. k e. I A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
167 ralunb 3681 . . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( ( I i^i W ) u. ( I \ W ) ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) <-> ( A. k e. ( I i^i W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) /\ A. k e. ( I \ W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
168166, 167bitr3i 251 . . . . . . 7 |- ( A. k e. I A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) <-> ( A. k e. ( I i^i W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) /\ A. k e. ( I \ W ) A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) ) )
169151, 164, 168sylanbrc 664 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. k e. I A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
170 ralcom 3018 . . . . . 6 |- ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A. k e. I A e. ( G ` k ) <-> A. k e. I A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A e. ( G ` k ) )
171169, 170sylibr 212 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A. k e. I A e. ( G ` k ) )
17234ad2antrr 725 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> I e. V )
173 nffvmpt1 5880 . . . . . . . . 9 |- F/_ x ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t )
174173nfel1 2635 . . . . . . . 8 |- F/ x ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k )
175 nfv 1708 . . . . . . . 8 |- F/ t ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k )
176 fveq2 5872 . . . . . . . . 9 |- ( t = x -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) )
177176eleq1d 2526 . . . . . . . 8 |- ( t = x -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k ) ) )
178174, 175, 177cbvral 3080 . . . . . . 7 |- ( A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k ) )
179140, 36, 39syl2anr 478 . . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ x e. ( X i^i |^| ran f ) ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) = ( k e. I |-> A ) )
180179eleq1d 2526 . . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ x e. ( X i^i |^| ran f ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> ( k e. I |-> A ) e. X_ k e. I ( G ` k ) ) )
181 mptelixpg 7525 . . . . . . . . . 10 |- ( I e. V -> ( ( k e. I |-> A ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
182181adantr 465 . . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ x e. ( X i^i |^| ran f ) ) -> ( ( k e. I |-> A ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
183180, 182bitrd 253 . . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ x e. ( X i^i |^| ran f ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
184183ralbidva 2893 . . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( A. x e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` x ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
185178, 184syl5bb 257 . . . . . 6 |- ( I e. V -> ( A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
186172, 185syl 16 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. x e. ( X i^i |^| ran f ) A. k e. I A e. ( G ` k ) ) )
187171, 186mpbird 232 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) )
188 funmpt 5630 . . . . 5 |- Fun ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) )
18934, 36syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. I |-> A ) e. _V )
190189ralrimivw 2872 . . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. X ( k e. I |-> A ) e. _V )
191190ad2antrr 725 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> A. x e. X ( k e. I |-> A ) e. _V )
192 dmmptg 5510 . . . . . . 7 |- ( A. x e. X ( k e. I |-> A ) e. _V -> dom ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) = X )
193191, 192syl 16 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> dom ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) = X )
194127, 193syl5sseqr 3548 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( X i^i |^| ran f ) C_ dom ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) )
195 funimass4 5924 . . . . 5 |- ( ( Fun ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) /\ ( X i^i |^| ran f ) C_ dom ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) ) )
196188, 194, 195sylancr 663 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) <-> A. t e. ( X i^i |^| ran f ) ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) ` t ) e. X_ k e. I ( G ` k ) ) )
197187, 196mpbird 232 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) )
198 eleq2 2530 . . . . 5 |- ( z = ( X i^i |^| ran f ) -> ( D e. z <-> D e. ( X i^i |^| ran f ) ) )
199 imaeq2 5343 . . . . . 6 |- ( z = ( X i^i |^| ran f ) -> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) = ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) )
200199sseq1d 3526 . . . . 5 |- ( z = ( X i^i |^| ran f ) -> ( ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) <-> ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) )
201198, 200anbi12d 710 . . . 4 |- ( z = ( X i^i |^| ran f ) -> ( ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) <-> ( D e. ( X i^i |^| ran f ) /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) ) )
202201rspcev 3210 . . 3 |- ( ( ( X i^i |^| ran f ) e. J /\ ( D e. ( X i^i |^| ran f ) /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " ( X i^i |^| ran f ) ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) )
20392, 102, 197, 202syl12anc 1226 . 2 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( f : ( I i^i W ) --> J /\ A. k e. ( I i^i W ) ( D e. ( f ` k ) /\ ( ( x e. X |-> A ) " ( f ` k ) ) C_ ( G ` k ) ) ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) )
20472, 203exlimddv 1727 1 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> ( k e. I |-> A ) ) " z ) C_ X_ k e. I ( G ` k ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   E.wex 1613   F/wnf 1617   e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   \ cdif 3468   u. cun 3469   i^i cin 3470   C_ wss 3471   U.cuni 4251   |^|cint 4288   |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011   Fun wfun 5588   Fn wfn 5589   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   X_cixp 7488   Fincfn 7535   Xt_cpt 14855   Topctop 19520  TopOnctopon 19521   CnP ccnp 19852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-fin 7539  df-top 19525  df-topon 19528  df-cnp 19855
This theorem is referenced by:  ptcnp  20248
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