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Theorem ptcn 19858
Description: If every projection of a function is continuous, then the function itself is continuous into the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcn.2  |-  K  =  ( Xt_ `  F
)
ptcn.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
ptcn.4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
ptcn.5  |-  ( ph  ->  F : I --> Top )
ptcn.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  ( F `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
ptcn  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  K
) )
Distinct variable groups:    x, k, F    k, I, x    k, J    ph, k, x    k, X, x    x, K    k, V, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    J( x)    K( k)

Proof of Theorem ptcn
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcn.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
21adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3 ptcn.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : I --> Top )
43ffvelrnda 6014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  Top )
5 eqid 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
65toptopon 19196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  k )  e.  Top  <->  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `  k ) ) )
74, 6sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `
 k ) ) )
8 ptcn.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  ( F `  k ) ) )
9 cnf2 19511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `
 k ) )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  ( F `  k )
) )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
102, 7, 8, 9syl3anc 1223 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
11 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
1211fmpt 6035 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k )  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
1310, 12sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k
) )
1413r19.21bi 2828 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  U. ( F `  k ) )
1514an32s 802 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  A  e.  U. ( F `  k ) )
1615ralrimiva 2873 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. k  e.  I  A  e.  U. ( F `  k
) )
17 ptcn.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  I  e.  V )
19 mptelixpg 7498 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
( k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )  <->  A. k  e.  I  A  e.  U. ( F `  k )
) )
2018, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )  <->  A. k  e.  I  A  e.  U. ( F `  k )
) )
2116, 20mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )
)
22 ptcn.2 . . . . . . 7  |-  K  =  ( Xt_ `  F
)
2322ptuni 19825 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F : I --> Top )  -> 
X_ k  e.  I  U. ( F `  k
)  =  U. K
)
2417, 3, 23syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  I  U. ( F `  k
)  =  U. K
)
2524adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )  =  U. K )
2621, 25eleqtrd 2552 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  I  |->  A )  e.  U. K
)
27 eqid 2462 . . 3  |-  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
2826, 27fmptd 6038 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) : X --> U. K )
291adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3017adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  I  e.  V )
313adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  F : I --> Top )
32 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
338adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  ( F `  k ) ) )
34 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  z  e.  X )
35 toponuni 19190 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
361, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
3736ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  X  =  U. J )
3834, 37eleqtrd 2552 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  z  e.  U. J )
39 eqid 2462 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
4039cncnpi 19540 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  ( F `
 k ) )  /\  z  e.  U. J )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `
 k ) ) `
 z ) )
4133, 38, 40syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `
 k ) ) `
 z ) )
4222, 29, 30, 31, 32, 41ptcnp 19853 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( ( J  CnP  K
) `  z )
)
4342ralrimiva 2873 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  z ) )
44 pttop 19813 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F : I --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
4517, 3, 44syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
4622, 45syl5eqel 2554 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
47 eqid 2462 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
4847toptopon 19196 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
4946, 48sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
50 cncnp 19542 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) : X --> U. K  /\  A. z  e.  X  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  z ) ) ) )
511, 49, 50syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) : X --> U. K  /\  A. z  e.  X  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 z ) ) ) )
5228, 43, 51mpbir2and 915 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  K
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   U.cuni 4240    |-> cmpt 4500   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   X_cixp 7461   Xt_cpt 14685   Topctop 19156  TopOnctopon 19157    Cn ccn 19486    CnP ccnp 19487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-fin 7512  df-fi 7862  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-cn 19489  df-cnp 19490
This theorem is referenced by:  pt1hmeo  20037  ptunhmeo  20039  symgtgp  20330  prdstmdd  20352  prdstgpd  20353  ptpcon  28306
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