Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ptcn 20719
 Description: If every projection of a function is continuous, then the function itself is continuous into the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcn.2
ptcn.3 TopOn
ptcn.4
ptcn.5
ptcn.6
Assertion
Ref Expression
ptcn
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()

Proof of Theorem ptcn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcn.3 . . . . . . . . . . 11 TopOn
21adantr 472 . . . . . . . . . 10 TopOn
3 ptcn.5 . . . . . . . . . . . 12
43ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11
5 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12
65toptopon 20025 . . . . . . . . . . 11 TopOn
74, 6sylib 201 . . . . . . . . . 10 TopOn
8 ptcn.6 . . . . . . . . . 10
9 cnf2 20342 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
102, 7, 8, 9syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
11 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
1211fmpt 6058 . . . . . . . . 9
1310, 12sylibr 217 . . . . . . . 8
1413r19.21bi 2776 . . . . . . 7
1514an32s 821 . . . . . 6
1615ralrimiva 2809 . . . . 5
17 ptcn.4 . . . . . . 7
1817adantr 472 . . . . . 6
19 mptelixpg 7577 . . . . . 6
2018, 19syl 17 . . . . 5
2116, 20mpbird 240 . . . 4
22 ptcn.2 . . . . . . 7
2322ptuni 20686 . . . . . 6
2417, 3, 23syl2anc 673 . . . . 5
2524adantr 472 . . . 4
2621, 25eleqtrd 2551 . . 3
27 eqid 2471 . . 3
2826, 27fmptd 6061 . 2
291adantr 472 . . . 4 TopOn
3017adantr 472 . . . 4
313adantr 472 . . . 4
32 simpr 468 . . . 4
338adantlr 729 . . . . 5
34 simplr 770 . . . . . 6
35 toponuni 20019 . . . . . . . 8 TopOn
361, 35syl 17 . . . . . . 7
3736ad2antrr 740 . . . . . 6
3834, 37eleqtrd 2551 . . . . 5
39 eqid 2471 . . . . . 6
4039cncnpi 20371 . . . . 5
4133, 38, 40syl2anc 673 . . . 4
4222, 29, 30, 31, 32, 41ptcnp 20714 . . 3
4342ralrimiva 2809 . 2
44 pttop 20674 . . . . . 6
4517, 3, 44syl2anc 673 . . . . 5
4622, 45syl5eqel 2553 . . . 4
47 eqid 2471 . . . . 5
4847toptopon 20025 . . . 4 TopOn
4946, 48sylib 201 . . 3 TopOn
50 cncnp 20373 . . 3 TopOn TopOn
511, 49, 50syl2anc 673 . 2
5228, 43, 51mpbir2and 936 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cuni 4190   cmpt 4454  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cixp 7540  cpt 15415  ctop 19994  TopOnctopon 19995   ccn 20317   ccnp 20318 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-fi 7943  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320  df-cnp 20321 This theorem is referenced by:  pt1hmeo  20898  ptunhmeo  20900  symgtgp  21194  prdstmdd  21216  prdstgpd  21217  ptpcon  30028  broucube  32038
 Copyright terms: Public domain W3C validator