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Theorem ptcmplem5 20401
Description: Lemma for ptcmp 20403. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcmp.1  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
ptcmp.2  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
ptcmp.3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcmp.4  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
ptcmp.5  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
Assertion
Ref Expression
ptcmplem5  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )
Distinct variable groups:    k, n, u, w, A    S, k, n, u    ph, k, n, u    k, V, n, u, w    k, F, n, u, w    k, X, n, u, w
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)

Proof of Theorem ptcmplem5
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3723 . . 3  |-  (UFL  i^i  dom 
card )  C_ UFL
2 ptcmp.5 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
31, 2sseldi 3507 . 2  |-  ( ph  ->  X  e. UFL )
4 ptcmp.1 . . . 4  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
5 ptcmp.2 . . . 4  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
6 ptcmp.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
7 ptcmp.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
84, 5, 6, 7, 2ptcmplem1 20397 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  =  U. ( ran  S  u.  { X } )  /\  ( Xt_ `  F )  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) ) )
98simpld 459 . 2  |-  ( ph  ->  X  =  U. ( ran  S  u.  { X } ) )
108simprd 463 . 2  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) )
11 elpwi 4024 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P ran  S  ->  y  C_  ran  S )
126ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  A  e.  V )
137ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  F : A
--> Comp )
142ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom  card ) )
15 simplrl 759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  y  C_  ran  S )
16 simplrr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  X  =  U. y )
17 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )
18 imaeq2 5338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  u  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
z )  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )
1918eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  u  ->  (
( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" z )  e.  y  <->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  e.  y ) )
2019cbvrabv 3117 . . . . . . . . 9  |-  { z  e.  ( F `  k )  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
z )  e.  y }  =  { u  e.  ( F `  k
)  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  y }
214, 5, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20ptcmplem4 20400 . . . . . . . 8  |-  -.  (
( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)
22 iman 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )  <->  -.  (
( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
) )
2321, 22mpbir 209 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_ 
ran  S  /\  X  = 
U. y ) )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z )
2423expr 615 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  C_  ran  S )  ->  ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
2511, 24sylan2 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ~P ran  S )  -> 
( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
2625adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  y  e.  ~P ran  S )  ->  ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
27 selpw 4022 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P ( ran 
S  u.  { X } )  <->  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )
28 eldif 3491 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P ( ran  S  u.  { X } )  \  ~P ran  S )  <->  ( y  e.  ~P ( ran  S  u.  { X } )  /\  -.  y  e. 
~P ran  S )
)
29 elpwunsn 4073 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P ( ran  S  u.  { X } )  \  ~P ran  S )  ->  X  e.  y )
3028, 29sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ~P ( ran  S  u.  { X } )  /\  -.  y  e.  ~P ran  S )  ->  X  e.  y )
3127, 30sylanbr 473 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  ( ran  S  u.  { X }
)  /\  -.  y  e.  ~P ran  S )  ->  X  e.  y )
3231adantll 713 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  -.  y  e. 
~P ran  S )  ->  X  e.  y )
33 snssi 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  y  ->  { X }  C_  y )
3433adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  { X }  C_  y )
35 snfi 7606 . . . . . . . . 9  |-  { X }  e.  Fin
3635a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  { X }  e.  Fin )
37 elfpw 7832 . . . . . . . 8  |-  ( { X }  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) 
<->  ( { X }  C_  y  /\  { X }  e.  Fin )
)
3834, 36, 37sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  { X }  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )
39 unisng 4266 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  y  ->  U. { X }  =  X
)
4039eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  y  ->  X  =  U. { X }
)
4140adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  X  =  U. { X } )
42 unieq 4258 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { X }  ->  U. z  =  U. { X } )
4342eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { X }  ->  ( X  =  U. z 
<->  X  =  U. { X } ) )
4443rspcev 3219 . . . . . . 7  |-  ( ( { X }  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  /\  X  =  U. { X } )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)
4538, 41, 44syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )
4645a1d 25 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z ) )
4732, 46syldan 470 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  -.  y  e. 
~P ran  S )  ->  ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
4826, 47pm2.61dan 789 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  -> 
( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
4948impr 619 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  ( ran  S  u.  { X } )  /\  X  =  U. y
) )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )
503, 9, 10, 49alexsub 20390 1  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818   {crab 2821    \ cdif 3478    u. cun 3479    i^i cin 3480    C_ wss 3481   ~Pcpw 4015   {csn 4032   U.cuni 4250    |-> cmpt 4510   `'ccnv 5003   dom cdm 5004   ran crn 5005   "cima 5007   -->wf 5589   ` cfv 5593    |-> cmpt2 6296   X_cixp 7479   Fincfn 7526   ficfi 7880   cardccrd 8326   topGenctg 14705   Xt_cpt 14706   Compccmp 19731  UFLcufl 20246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-omul 7145  df-er 7321  df-map 7432  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fi 7881  df-wdom 7995  df-card 8330  df-acn 8333  df-topgen 14711  df-pt 14712  df-fbas 18263  df-fg 18264  df-top 19245  df-bases 19247  df-topon 19248  df-cld 19365  df-ntr 19366  df-cls 19367  df-nei 19444  df-cmp 19732  df-fil 20192  df-ufil 20247  df-ufl 20248  df-flim 20285  df-fcls 20287
This theorem is referenced by:  ptcmpg  20402
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