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Theorem ptcmplem5 19628
Description: Lemma for ptcmp 19630. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcmp.1  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
ptcmp.2  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
ptcmp.3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcmp.4  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
ptcmp.5  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
Assertion
Ref Expression
ptcmplem5  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )
Distinct variable groups:    k, n, u, w, A    S, k, n, u    ph, k, n, u    k, V, n, u, w    k, F, n, u, w    k, X, n, u, w
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)

Proof of Theorem ptcmplem5
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3570 . . 3  |-  (UFL  i^i  dom 
card )  C_ UFL
2 ptcmp.5 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
31, 2sseldi 3354 . 2  |-  ( ph  ->  X  e. UFL )
4 ptcmp.1 . . . 4  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
5 ptcmp.2 . . . 4  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
6 ptcmp.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
7 ptcmp.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
84, 5, 6, 7, 2ptcmplem1 19624 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  =  U. ( ran  S  u.  { X } )  /\  ( Xt_ `  F )  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) ) )
98simpld 459 . 2  |-  ( ph  ->  X  =  U. ( ran  S  u.  { X } ) )
108simprd 463 . 2  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) )
11 elpwi 3869 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P ran  S  ->  y  C_  ran  S )
126ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  A  e.  V )
137ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  F : A
--> Comp )
142ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom  card ) )
15 simplrl 759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  y  C_  ran  S )
16 simplrr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  X  =  U. y )
17 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )
18 imaeq2 5165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  u  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
z )  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )
1918eleq1d 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  u  ->  (
( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" z )  e.  y  <->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  e.  y ) )
2019cbvrabv 2971 . . . . . . . . 9  |-  { z  e.  ( F `  k )  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
z )  e.  y }  =  { u  e.  ( F `  k
)  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  y }
214, 5, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20ptcmplem4 19627 . . . . . . . 8  |-  -.  (
( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)
22 iman 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )  <->  -.  (
( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
) )
2321, 22mpbir 209 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_ 
ran  S  /\  X  = 
U. y ) )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z )
2423expr 615 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  C_  ran  S )  ->  ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
2511, 24sylan2 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ~P ran  S )  -> 
( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
2625adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  y  e.  ~P ran  S )  ->  ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
27 selpw 3867 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P ( ran 
S  u.  { X } )  <->  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )
28 eldif 3338 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P ( ran  S  u.  { X } )  \  ~P ran  S )  <->  ( y  e.  ~P ( ran  S  u.  { X } )  /\  -.  y  e. 
~P ran  S )
)
29 elpwunsn 3917 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P ( ran  S  u.  { X } )  \  ~P ran  S )  ->  X  e.  y )
3028, 29sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ~P ( ran  S  u.  { X } )  /\  -.  y  e.  ~P ran  S )  ->  X  e.  y )
3127, 30sylanbr 473 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  ( ran  S  u.  { X }
)  /\  -.  y  e.  ~P ran  S )  ->  X  e.  y )
3231adantll 713 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  -.  y  e. 
~P ran  S )  ->  X  e.  y )
33 snssi 4017 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  y  ->  { X }  C_  y )
3433adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  { X }  C_  y )
35 snfi 7390 . . . . . . . . 9  |-  { X }  e.  Fin
3635a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  { X }  e.  Fin )
37 elfpw 7613 . . . . . . . 8  |-  ( { X }  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) 
<->  ( { X }  C_  y  /\  { X }  e.  Fin )
)
3834, 36, 37sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  { X }  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )
39 unisng 4107 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  y  ->  U. { X }  =  X
)
4039eqcomd 2448 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  y  ->  X  =  U. { X }
)
4140adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  X  =  U. { X } )
42 unieq 4099 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { X }  ->  U. z  =  U. { X } )
4342eqeq2d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { X }  ->  ( X  =  U. z 
<->  X  =  U. { X } ) )
4443rspcev 3073 . . . . . . 7  |-  ( ( { X }  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  /\  X  =  U. { X } )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)
4538, 41, 44syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )
4645a1d 25 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z ) )
4732, 46syldan 470 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  -.  y  e. 
~P ran  S )  ->  ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
4826, 47pm2.61dan 789 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  -> 
( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
4948impr 619 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  ( ran  S  u.  { X } )  /\  X  =  U. y
) )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )
503, 9, 10, 49alexsub 19617 1  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2716   {crab 2719    \ cdif 3325    u. cun 3326    i^i cin 3327    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   {csn 3877   U.cuni 4091    e. cmpt 4350   `'ccnv 4839   dom cdm 4840   ran crn 4841   "cima 4843   -->wf 5414   ` cfv 5418    e. cmpt2 6093   X_cixp 7263   Fincfn 7310   ficfi 7660   cardccrd 8105   topGenctg 14376   Xt_cpt 14377   Compccmp 18989  UFLcufl 19473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-omul 6925  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fi 7661  df-wdom 7774  df-card 8109  df-acn 8112  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-cmp 18990  df-fil 19419  df-ufil 19474  df-ufl 19475  df-flim 19512  df-fcls 19514
This theorem is referenced by:  ptcmpg  19629
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