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Theorem ptcmplem4 21054
Description: Lemma for ptcmp 21057. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcmp.1  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
ptcmp.2  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
ptcmp.3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcmp.4  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
ptcmp.5  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
ptcmplem2.5  |-  ( ph  ->  U  C_  ran  S )
ptcmplem2.6  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
ptcmplem2.7  |-  ( ph  ->  -.  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z )
ptcmplem3.8  |-  K  =  { u  e.  ( F `  k )  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  e.  U }
Assertion
Ref Expression
ptcmplem4  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    k, n, u, w, z, A    u, K    S, k, n, u, z    ph, k, n, u    U, k, u, z    k, V, n, u, w, z   
k, F, n, u, w, z    k, X, n, u, w, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w)    S( w)    U( w, n)    K( z, w, k, n)

Proof of Theorem ptcmplem4
Dummy variables  f 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcmp.1 . . 3  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
2 ptcmp.2 . . 3  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
3 ptcmp.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
4 ptcmp.4 . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
5 ptcmp.5 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
6 ptcmplem2.5 . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  ran  S )
7 ptcmplem2.6 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
8 ptcmplem2.7 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z )
9 ptcmplem3.8 . . 3  |-  K  =  { u  e.  ( F `  k )  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  e.  U }
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ptcmplem3 21053 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
11 simprl 762 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  f  Fn  A
)
12 eldifi 3587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K )  -> 
( f `  k
)  e.  U. ( F `  k )
)
1312ralimi 2818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  ->  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
14 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
f `  n )  =  ( f `  k ) )
15 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
1615unieqd 4226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  U. ( F `  n )  =  U. ( F `  k ) )
1714, 16eleq12d 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( f `  n
)  e.  U. ( F `  n )  <->  ( f `  k )  e.  U. ( F `
 k ) ) )
1817cbvralv 3055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  A  (
f `  n )  e.  U. ( F `  n )  <->  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
1913, 18sylibr 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  ->  A. n  e.  A  ( f `  n )  e.  U. ( F `  n ) )
2019ad2antll 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  A. n  e.  A  ( f `  n
)  e.  U. ( F `  n )
)
21 vex 3084 . . . . . . . . . 10  |-  f  e. 
_V
2221elixp 7533 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  <->  ( f  Fn  A  /\  A. n  e.  A  ( f `  n )  e.  U. ( F `  n ) ) )
2311, 20, 22sylanbrc 668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  f  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n ) )
2423, 2syl6eleqr 2521 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  f  e.  X
)
257adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  X  =  U. U )
2624, 25eleqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  f  e.  U. U )
27 eluni2 4220 . . . . . 6  |-  ( f  e.  U. U  <->  E. v  e.  U  f  e.  v )
2826, 27sylib 199 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  E. v  e.  U  f  e.  v )
29 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v
) )  /\  (
k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  ->  f  e.  v )
3029adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  f  e.  v )
31 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) )
3230, 31eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
33 fveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  f  ->  (
w `  k )  =  ( f `  k ) )
3433eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  f  ->  (
( w `  k
)  e.  u  <->  ( f `  k )  e.  u
) )
35 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) )
3635mptpreima 5343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  =  { w  e.  X  |  (
w `  k )  e.  u }
3734, 36elrab2 3231 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  <-> 
( f  e.  X  /\  ( f `  k
)  e.  u ) )
3837simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  ->  ( f `  k )  e.  u
)
3932, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  (
f `  k )  e.  u )
40 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  u  e.  ( F `  k
) )
41 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v
) )  /\  (
k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  ->  v  e.  U )
4241adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  v  e.  U )
4331, 42eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u )  e.  U
)
44 rabid 3005 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  { u  e.  ( F `  k
)  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  U }  <->  ( u  e.  ( F `
 k )  /\  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u )  e.  U
) )
4540, 43, 44sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  u  e.  { u  e.  ( F `  k )  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  e.  U } )
4645, 9syl6eleqr 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  u  e.  K )
47 elunii 4221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  k
)  e.  u  /\  u  e.  K )  ->  ( f `  k
)  e.  U. K
)
4839, 46, 47syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  (
f `  k )  e.  U. K )
4948rexlimdvaa 2918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v
) )  /\  (
k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  ->  ( E. u  e.  ( F `  k ) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  -> 
( f `  k
)  e.  U. K
) )
5049expr 618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v
) )  /\  k  e.  A )  ->  (
( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K )  -> 
( E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u )  ->  (
f `  k )  e.  U. K ) ) )
5150ralimdva 2833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  (
v  e.  U  /\  f  e.  v )
)  ->  ( A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  ->  A. k  e.  A  ( E. u  e.  ( F `  k ) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  -> 
( f `  k
)  e.  U. K
) ) )
5251ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  Fn  A )  ->  (
( v  e.  U  /\  f  e.  v
)  ->  ( A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  ->  A. k  e.  A  ( E. u  e.  ( F `  k ) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  -> 
( f `  k
)  e.  U. K
) ) ) )
5352com23 81 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  Fn  A )  ->  ( A. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K )  -> 
( ( v  e.  U  /\  f  e.  v )  ->  A. k  e.  A  ( E. u  e.  ( F `  k ) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  -> 
( f `  k
)  e.  U. K
) ) ) )
5453impr 623 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  ( ( v  e.  U  /\  f  e.  v )  ->  A. k  e.  A  ( E. u  e.  ( F `  k ) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  -> 
( f `  k
)  e.  U. K
) ) )
5554imp 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  ->  A. k  e.  A  ( E. u  e.  ( F `  k ) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  ->  ( f `  k )  e.  U. K ) )
566adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  U  C_  ran  S )
5756sselda 3464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  /\  v  e.  U )  ->  v  e.  ran  S )
5857adantrr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  -> 
v  e.  ran  S
)
591rnmpt2 6416 . . . . . . . 8  |-  ran  S  =  { v  |  E. k  e.  A  E. u  e.  ( F `  k ) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) }
6058, 59syl6eleq 2520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  -> 
v  e.  { v  |  E. k  e.  A  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u ) } )
61 abid 2409 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  { v  |  E. k  e.  A  E. u  e.  ( F `  k )
v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
) }  <->  E. k  e.  A  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )
6260, 61sylib 199 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  ->  E. k  e.  A  E. u  e.  ( F `  k )
v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
) )
63 rexim 2890 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  A  ( E. u  e.  ( F `  k )
v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  ->  ( f `  k )  e.  U. K )  ->  ( E. k  e.  A  E. u  e.  ( F `  k )
v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  ->  E. k  e.  A  ( f `  k )  e.  U. K ) )
6455, 62, 63sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  ->  E. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  U. K
)
6528, 64rexlimddv 2921 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  E. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  U. K
)
66 eldifn 3588 . . . . . . 7  |-  ( ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K )  ->  -.  ( f `  k
)  e.  U. K
)
6766ralimi 2818 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  ->  A. k  e.  A  -.  (
f `  k )  e.  U. K )
6867ad2antll 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  A. k  e.  A  -.  ( f `  k
)  e.  U. K
)
69 ralnex 2871 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  A  -.  ( f `  k
)  e.  U. K  <->  -. 
E. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  U. K
)
7068, 69sylib 199 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  -.  E. k  e.  A  ( f `  k )  e.  U. K )
7165, 70pm2.65da 578 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )
7271nexdv 1771 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. f ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )
7310, 72pm2.65i 176 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1868   {cab 2407   A.wral 2775   E.wrex 2776   {crab 2779    \ cdif 3433    i^i cin 3435    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   U.cuni 4216    |-> cmpt 4479   `'ccnv 4848   dom cdm 4849   ran crn 4850   "cima 4852    Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597    |-> cmpt2 6303   X_cixp 7526   Fincfn 7573   cardccrd 8370   Compccmp 20385  UFLcufl 20899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-omul 7191  df-er 7367  df-map 7478  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-fin 7577  df-wdom 8076  df-card 8374  df-acn 8377  df-cmp 20386
This theorem is referenced by:  ptcmplem5  21055
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