Theorem ptcmplem4 21070

Description: Lemma for ptcmp 21073. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptcmp.1	|- S = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
ptcmp.2	|- X = X_ n e. A U. ( F ` n )
ptcmp.3	|- ( ph -> A e. V )
ptcmp.4	|- ( ph -> F : A --> Comp )
ptcmp.5	|- ( ph -> X e. (UFL i^i dom card ) )
ptcmplem2.5	|- ( ph -> U C_ ran S )
ptcmplem2.6	|- ( ph -> X = U. U )
ptcmplem2.7	|- ( ph -> -. E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z )
ptcmplem3.8	|- K = { u e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U }

Assertion

Ref	Expression
ptcmplem4	|- -. ph

Distinct variable groups:   k, n, u, w, z, A   u, K   S, k, n, u, z   ph, k, n, u   U, k, u, z   k, V, n, u, w, z   k, F, n, u, w, z   k, X, n, u, w, z

Allowed substitution hints:   ph( z, w)   S( w)   U( w, n)   K( z, w, k, n)

Proof of Theorem ptcmplem4

Dummy variables f v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptcmp.1	. . 3 |- S = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
2		ptcmp.2	. . 3 |- X = X_ n e. A U. ( F ` n )
3		ptcmp.3	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
4		ptcmp.4	. . 3 |- ( ph -> F : A --> Comp )
5		ptcmp.5	. . 3 |- ( ph -> X e. (UFL i^i dom card ) )
6		ptcmplem2.5	. . 3 |- ( ph -> U C_ ran S )
7		ptcmplem2.6	. . 3 |- ( ph -> X = U. U )
8		ptcmplem2.7	. . 3 |- ( ph -> -. E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z )
9		ptcmplem3.8	. . 3 |- K = { u e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U }
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ptcmplem3 21069	. 2 |- ( ph -> E. f ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
11		simprl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> f Fn A )
12		eldifi 3555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) )
13	12	ralimi 2781	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> A. k e. A ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) )
14		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( f ` n ) = ( f ` k ) )
15		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
16	15	unieqd 4208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> U. ( F ` n ) = U. ( F ` k ) )
17	14, 16	eleq12d 2523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) <-> ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) ) )
18	17	cbvralv 3019	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) <-> A. k e. A ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) )
19	13, 18	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) )
20	19	ad2antll 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) )
21		vex 3048	. . . . . . . . . 10 |- f e. _V
22	21	elixp 7529	. . . . . . . . 9 |- ( f e. X_ n e. A U. ( F ` n ) <-> ( f Fn A /\ A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) ) )
23	11, 20, 22	sylanbrc 670	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> f e. X_ n e. A U. ( F ` n ) )
24	23, 2	syl6eleqr 2540	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> f e. X )
25	7	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> X = U. U )
26	24, 25	eleqtrd 2531	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> f e. U. U )
27		eluni2 4202	. . . . . 6 |- ( f e. U. U <-> E. v e. U f e. v )
28	26, 27	sylib 200	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> E. v e. U f e. v )
29		simplrr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> f e. v )
30	29	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> f e. v )
31		simprr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
32	30, 31	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
33		fveq1 5864	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = f -> ( w ` k ) = ( f ` k ) )
34	33	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = f -> ( ( w ` k ) e. u <-> ( f ` k ) e. u ) )
35		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. X |-> ( w ` k ) ) = ( w e. X |-> ( w ` k ) )
36	35	mptpreima 5328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) = { w e. X | ( w ` k ) e. u }
37	34, 36	elrab2 3198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) <-> ( f e. X /\ ( f ` k ) e. u ) )
38	37	simprbi 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. u )
39	32, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> ( f ` k ) e. u )
40		simprl 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> u e. ( F ` k ) )
41		simplrl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> v e. U )
42	41	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> v e. U )
43	31, 42	eqeltrrd 2530	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U )
44		rabid 2967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. { u e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U } <-> ( u e. ( F ` k ) /\ ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U ) )
45	40, 43, 44	sylanbrc 670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> u e. { u e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U } )
46	45, 9	syl6eleqr 2540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> u e. K )
47		elunii 4203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` k ) e. u /\ u e. K ) -> ( f ` k ) e. U. K )
48	39, 46, 47	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> ( f ` k ) e. U. K )
49	48	rexlimdvaa 2880	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) )
50	49	expr 620	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ k e. A ) -> ( ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) ) )
51	50	ralimdva 2796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) ) )
52	51	ex 436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f Fn A ) -> ( ( v e. U /\ f e. v ) -> ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) ) ) )
53	52	com23 81	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f Fn A ) -> ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> ( ( v e. U /\ f e. v ) -> A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) ) ) )
54	53	impr 625	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> ( ( v e. U /\ f e. v ) -> A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) ) )
55	54	imp 431	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) )
56	6	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> U C_ ran S )
57	56	sselda 3432	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ v e. U ) -> v e. ran S )
58	57	adantrr 723	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> v e. ran S )
59	1	rnmpt2 6406	. . . . . . . 8 |- ran S = { v | E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) }
60	58, 59	syl6eleq 2539	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> v e. { v | E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) } )
61		abid 2439	. . . . . . 7 |- ( v e. { v | E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) } <-> E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
62	60, 61	sylib 200	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
63		rexim 2852	. . . . . 6 |- ( A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) -> ( E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> E. k e. A ( f ` k ) e. U. K ) )
64	55, 62, 63	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> E. k e. A ( f ` k ) e. U. K )
65	28, 64	rexlimddv 2883	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> E. k e. A ( f ` k ) e. U. K )
66		eldifn 3556	. . . . . . 7 |- ( ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> -. ( f ` k ) e. U. K )
67	66	ralimi 2781	. . . . . 6 |- ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> A. k e. A -. ( f ` k ) e. U. K )
68	67	ad2antll 735	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> A. k e. A -. ( f ` k ) e. U. K )
69		ralnex 2834	. . . . 5 |- ( A. k e. A -. ( f ` k ) e. U. K <-> -. E. k e. A ( f ` k ) e. U. K )
70	68, 69	sylib 200	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> -. E. k e. A ( f ` k ) e. U. K )
71	65, 70	pm2.65da 580	. . 3 |- ( ph -> -. ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
72	71	nexdv 1782	. 2 |- ( ph -> -. E. f ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
73	10, 72	pm2.65i 177	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   {cab 2437   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   \ cdif 3401   i^i cin 3403   C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   |-> cmpt 4461   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835   "cima 4837   Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582   |-> cmpt2 6292   X_cixp 7522   Fincfn 7569   cardccrd 8369   Compccmp 20401  UFLcufl 20915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-fin 7573  df-wdom 8074  df-card 8373  df-acn 8376  df-cmp 20402

This theorem is referenced by:  ptcmplem5  21071