Theorem ptcmplem4 20290

Description: Lemma for ptcmp 20293. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptcmp.1	|- S = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
ptcmp.2	|- X = X_ n e. A U. ( F ` n )
ptcmp.3	|- ( ph -> A e. V )
ptcmp.4	|- ( ph -> F : A --> Comp )
ptcmp.5	|- ( ph -> X e. (UFL i^i dom card ) )
ptcmplem2.5	|- ( ph -> U C_ ran S )
ptcmplem2.6	|- ( ph -> X = U. U )
ptcmplem2.7	|- ( ph -> -. E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z )
ptcmplem3.8	|- K = { u e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U }

Assertion

Ref	Expression
ptcmplem4	|- -. ph

Distinct variable groups:   k, n, u, w, z, A   u, K   S, k, n, u, z   ph, k, n, u   U, k, u, z   k, V, n, u, w, z   k, F, n, u, w, z   k, X, n, u, w, z

Allowed substitution hints:   ph( z, w)   S( w)   U( w, n)   K( z, w, k, n)

Proof of Theorem ptcmplem4

Dummy variables f v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptcmp.1	. . 3 |- S = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
2		ptcmp.2	. . 3 |- X = X_ n e. A U. ( F ` n )
3		ptcmp.3	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
4		ptcmp.4	. . 3 |- ( ph -> F : A --> Comp )
5		ptcmp.5	. . 3 |- ( ph -> X e. (UFL i^i dom card ) )
6		ptcmplem2.5	. . 3 |- ( ph -> U C_ ran S )
7		ptcmplem2.6	. . 3 |- ( ph -> X = U. U )
8		ptcmplem2.7	. . 3 |- ( ph -> -. E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z )
9		ptcmplem3.8	. . 3 |- K = { u e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U }
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ptcmplem3 20289	. 2 |- ( ph -> E. f ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
11		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> f Fn A )
12		eldifi 3626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) )
13	12	ralimi 2857	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> A. k e. A ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) )
14		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( f ` n ) = ( f ` k ) )
15		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
16	15	unieqd 4255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> U. ( F ` n ) = U. ( F ` k ) )
17	14, 16	eleq12d 2549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) <-> ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) ) )
18	17	cbvralv 3088	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) <-> A. k e. A ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) )
19	13, 18	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) )
20	19	ad2antll 728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) )
21		vex 3116	. . . . . . . . . 10 |- f e. _V
22	21	elixp 7473	. . . . . . . . 9 |- ( f e. X_ n e. A U. ( F ` n ) <-> ( f Fn A /\ A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) ) )
23	11, 20, 22	sylanbrc 664	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> f e. X_ n e. A U. ( F ` n ) )
24	23, 2	syl6eleqr 2566	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> f e. X )
25	7	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> X = U. U )
26	24, 25	eleqtrd 2557	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> f e. U. U )
27		eluni2 4249	. . . . . 6 |- ( f e. U. U <-> E. v e. U f e. v )
28	26, 27	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> E. v e. U f e. v )
29		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> f e. v )
30	29	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> f e. v )
31		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
32	30, 31	eleqtrd 2557	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
33		fveq1 5863	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = f -> ( w ` k ) = ( f ` k ) )
34	33	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = f -> ( ( w ` k ) e. u <-> ( f ` k ) e. u ) )
35		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. X |-> ( w ` k ) ) = ( w e. X |-> ( w ` k ) )
36	35	mptpreima 5498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) = { w e. X | ( w ` k ) e. u }
37	34, 36	elrab2 3263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) <-> ( f e. X /\ ( f ` k ) e. u ) )
38	37	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. u )
39	32, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> ( f ` k ) e. u )
40		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> u e. ( F ` k ) )
41		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> v e. U )
42	41	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> v e. U )
43	31, 42	eqeltrrd 2556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U )
44		rabid 3038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. { u e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U } <-> ( u e. ( F ` k ) /\ ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U ) )
45	40, 43, 44	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> u e. { u e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U } )
46	45, 9	syl6eleqr 2566	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> u e. K )
47		elunii 4250	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` k ) e. u /\ u e. K ) -> ( f ` k ) e. U. K )
48	39, 46, 47	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> ( f ` k ) e. U. K )
49	48	rexlimdvaa 2956	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) )
50	49	expr 615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ k e. A ) -> ( ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) ) )
51	50	ralimdva 2872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) ) )
52	51	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f Fn A ) -> ( ( v e. U /\ f e. v ) -> ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) ) ) )
53	52	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f Fn A ) -> ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> ( ( v e. U /\ f e. v ) -> A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) ) ) )
54	53	impr 619	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> ( ( v e. U /\ f e. v ) -> A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) ) )
55	54	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) )
56	6	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> U C_ ran S )
57	56	sselda 3504	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ v e. U ) -> v e. ran S )
58	57	adantrr 716	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> v e. ran S )
59	1	rnmpt2 6394	. . . . . . . 8 |- ran S = { v | E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) }
60	58, 59	syl6eleq 2565	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> v e. { v | E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) } )
61		abid 2454	. . . . . . 7 |- ( v e. { v | E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) } <-> E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
62	60, 61	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
63		rexim 2929	. . . . . 6 |- ( A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) -> ( E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> E. k e. A ( f ` k ) e. U. K ) )
64	55, 62, 63	sylc 60	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> E. k e. A ( f ` k ) e. U. K )
65	28, 64	rexlimddv 2959	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> E. k e. A ( f ` k ) e. U. K )
66		eldifn 3627	. . . . . . 7 |- ( ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> -. ( f ` k ) e. U. K )
67	66	ralimi 2857	. . . . . 6 |- ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> A. k e. A -. ( f ` k ) e. U. K )
68	67	ad2antll 728	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> A. k e. A -. ( f ` k ) e. U. K )
69		ralnex 2910	. . . . 5 |- ( A. k e. A -. ( f ` k ) e. U. K <-> -. E. k e. A ( f ` k ) e. U. K )
70	68, 69	sylib 196	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> -. E. k e. A ( f ` k ) e. U. K )
71	65, 70	pm2.65da 576	. . 3 |- ( ph -> -. ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
72	71	nexdv 1832	. 2 |- ( ph -> -. E. f ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
73	10, 72	pm2.65i 173	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   \ cdif 3473   i^i cin 3475   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   "cima 5002   Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586   |-> cmpt2 6284   X_cixp 7466   Fincfn 7513   cardccrd 8312   Compccmp 19652  UFLcufl 20136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-fin 7517  df-wdom 7981  df-card 8316  df-acn 8319  df-cmp 19653

This theorem is referenced by:  ptcmplem5  20291