Theorem ptcmplem4 19586

Description: Lemma for ptcmp 19589. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptcmp.1	|- S = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
ptcmp.2	|- X = X_ n e. A U. ( F ` n )
ptcmp.3	|- ( ph -> A e. V )
ptcmp.4	|- ( ph -> F : A --> Comp )
ptcmp.5	|- ( ph -> X e. (UFL i^i dom card ) )
ptcmplem2.5	|- ( ph -> U C_ ran S )
ptcmplem2.6	|- ( ph -> X = U. U )
ptcmplem2.7	|- ( ph -> -. E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z )
ptcmplem3.8	|- K = { u e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U }

Assertion

Ref	Expression
ptcmplem4	|- -. ph

Distinct variable groups:   k, n, u, w, z, A   u, K   S, k, n, u, z   ph, k, n, u   U, k, u, z   k, V, n, u, w, z   k, F, n, u, w, z   k, X, n, u, w, z

Allowed substitution hints:   ph( z, w)   S( w)   U( w, n)   K( z, w, k, n)

Proof of Theorem ptcmplem4

Dummy variables f v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptcmp.1	. . 3 |- S = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
2		ptcmp.2	. . 3 |- X = X_ n e. A U. ( F ` n )
3		ptcmp.3	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
4		ptcmp.4	. . 3 |- ( ph -> F : A --> Comp )
5		ptcmp.5	. . 3 |- ( ph -> X e. (UFL i^i dom card ) )
6		ptcmplem2.5	. . 3 |- ( ph -> U C_ ran S )
7		ptcmplem2.6	. . 3 |- ( ph -> X = U. U )
8		ptcmplem2.7	. . 3 |- ( ph -> -. E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z )
9		ptcmplem3.8	. . 3 |- K = { u e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U }
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ptcmplem3 19585	. 2 |- ( ph -> E. f ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
11		simprl 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> f Fn A )
12		eldifi 3475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) )
13	12	ralimi 2789	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> A. k e. A ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) )
14		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( f ` n ) = ( f ` k ) )
15		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
16	15	unieqd 4098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> U. ( F ` n ) = U. ( F ` k ) )
17	14, 16	eleq12d 2509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) <-> ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) ) )
18	17	cbvralv 2945	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) <-> A. k e. A ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) )
19	13, 18	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) )
20	19	ad2antll 723	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) )
21		vex 2973	. . . . . . . . . 10 |- f e. _V
22	21	elixp 7266	. . . . . . . . 9 |- ( f e. X_ n e. A U. ( F ` n ) <-> ( f Fn A /\ A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) ) )
23	11, 20, 22	sylanbrc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> f e. X_ n e. A U. ( F ` n ) )
24	23, 2	syl6eleqr 2532	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> f e. X )
25	7	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> X = U. U )
26	24, 25	eleqtrd 2517	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> f e. U. U )
27		eluni2 4092	. . . . . 6 |- ( f e. U. U <-> E. v e. U f e. v )
28	26, 27	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> E. v e. U f e. v )
29		simplrr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> f e. v )
30	29	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> f e. v )
31		simprr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
32	30, 31	eleqtrd 2517	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
33		fveq1 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = f -> ( w ` k ) = ( f ` k ) )
34	33	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = f -> ( ( w ` k ) e. u <-> ( f ` k ) e. u ) )
35		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. X |-> ( w ` k ) ) = ( w e. X |-> ( w ` k ) )
36	35	mptpreima 5328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) = { w e. X | ( w ` k ) e. u }
37	34, 36	elrab2 3116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) <-> ( f e. X /\ ( f ` k ) e. u ) )
38	37	simprbi 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. u )
39	32, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> ( f ` k ) e. u )
40		simprl 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> u e. ( F ` k ) )
41		simplrl 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> v e. U )
42	41	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> v e. U )
43	31, 42	eqeltrrd 2516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U )
44		rabid 2895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. { u e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U } <-> ( u e. ( F ` k ) /\ ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U ) )
45	40, 43, 44	sylanbrc 659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> u e. { u e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U } )
46	45, 9	syl6eleqr 2532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> u e. K )
47		elunii 4093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` k ) e. u /\ u e. K ) -> ( f ` k ) e. U. K )
48	39, 46, 47	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( u e. ( F ` k ) /\ v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> ( f ` k ) e. U. K )
49	48	rexlimdvaa 2840	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ ( k e. A /\ ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) )
50	49	expr 612	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) /\ k e. A ) -> ( ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) ) )
51	50	ralimdva 2792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f Fn A ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) ) )
52	51	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f Fn A ) -> ( ( v e. U /\ f e. v ) -> ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) ) ) )
53	52	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f Fn A ) -> ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> ( ( v e. U /\ f e. v ) -> A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) ) ) )
54	53	impr 616	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> ( ( v e. U /\ f e. v ) -> A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) ) )
55	54	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) )
56	6	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> U C_ ran S )
57	56	sselda 3353	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ v e. U ) -> v e. ran S )
58	57	adantrr 711	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> v e. ran S )
59	1	rnmpt2 6199	. . . . . . . 8 |- ran S = { v | E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) }
60	58, 59	syl6eleq 2531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> v e. { v | E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) } )
61		abid 2429	. . . . . . 7 |- ( v e. { v | E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) } <-> E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
62	60, 61	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
63		rexim 2818	. . . . . 6 |- ( A. k e. A ( E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( f ` k ) e. U. K ) -> ( E. k e. A E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) -> E. k e. A ( f ` k ) e. U. K ) )
64	55, 62, 63	sylc 60	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) /\ ( v e. U /\ f e. v ) ) -> E. k e. A ( f ` k ) e. U. K )
65	28, 64	rexlimddv 2843	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> E. k e. A ( f ` k ) e. U. K )
66		eldifn 3476	. . . . . . 7 |- ( ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> -. ( f ` k ) e. U. K )
67	66	ralimi 2789	. . . . . 6 |- ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> A. k e. A -. ( f ` k ) e. U. K )
68	67	ad2antll 723	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> A. k e. A -. ( f ` k ) e. U. K )
69		ralnex 2723	. . . . 5 |- ( A. k e. A -. ( f ` k ) e. U. K <-> -. E. k e. A ( f ` k ) e. U. K )
70	68, 69	sylib 196	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> -. E. k e. A ( f ` k ) e. U. K )
71	65, 70	pm2.65da 573	. . 3 |- ( ph -> -. ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
72	71	nexdv 1939	. 2 |- ( ph -> -. E. f ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) )
73	10, 72	pm2.65i 173	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1364   E.wex 1591   e. wcel 1761   {cab 2427   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   \ cdif 3322   i^i cin 3324   C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   U.cuni 4088   e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   ran crn 4837   "cima 4839   Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415   e. cmpt2 6092   X_cixp 7259   Fincfn 7306   cardccrd 8101   Compccmp 18948  UFLcufl 19432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-fin 7310  df-wdom 7770  df-card 8105  df-acn 8108  df-cmp 18949

This theorem is referenced by:  ptcmplem5  19587