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Theorem ptcmplem3 18038
Description: Lemma for ptcmp 18042. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcmp.1  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
ptcmp.2  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
ptcmp.3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcmp.4  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
ptcmp.5  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
ptcmplem2.5  |-  ( ph  ->  U  C_  ran  S )
ptcmplem2.6  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
ptcmplem2.7  |-  ( ph  ->  -.  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z )
ptcmplem3.8  |-  K  =  { u  e.  ( F `  k )  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  e.  U }
Assertion
Ref Expression
ptcmplem3  |-  ( ph  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
Distinct variable groups:    f, k, n, u, w, z, A   
f, K, u    S, k, n, u, z    ph, f,
k, n, u    U, k, u, z    k, V, n, u, w, z   
f, F, k, n, u, w, z    f, X, k, n, u, w, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w)    S( w, f)    U( w, f, n)    K( z, w, k, n)    V( f)

Proof of Theorem ptcmplem3
Dummy variables  g  m  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcmp.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 rabexg 4313 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o }  e.  _V )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  e.  _V )
4 ptcmp.1 . . . . 5  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
5 ptcmp.2 . . . . 5  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
6 ptcmp.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
7 ptcmp.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
8 ptcmplem2.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  C_  ran  S )
9 ptcmplem2.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
10 ptcmplem2.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z )
114, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10ptcmplem2 18037 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o } U. ( F `  k )  e.  dom  card )
12 eldifi 3429 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K )  -> 
y  e.  U. ( F `  k )
)
13123ad2ant3 980 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  _V  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  -> 
y  e.  U. ( F `  k )
)
1413rabssdv 3383 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { y  e.  _V  |  y  e.  ( U. ( F `  k
)  \  U. K ) }  C_  U. ( F `  k )
)
1514ralrimivw 2750 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o }  { y  e.  _V  |  y  e.  ( U. ( F `  k
)  \  U. K ) }  C_  U. ( F `  k )
)
16 ss2iun 4068 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o }  {
y  e.  _V  | 
y  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) } 
C_  U. ( F `  k )  ->  U_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  { y  e. 
_V  |  y  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) }  C_  U_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o } U. ( F `  k ) )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o }  { y  e.  _V  |  y  e.  ( U. ( F `  k
)  \  U. K ) }  C_  U_ k  e. 
{ n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } U. ( F `
 k ) )
18 ssnum 7876 . . . 4  |-  ( (
U_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o } U. ( F `  k )  e.  dom  card  /\  U_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o }  { y  e.  _V  |  y  e.  ( U. ( F `  k
)  \  U. K ) }  C_  U_ k  e. 
{ n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } U. ( F `
 k ) )  ->  U_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o }  { y  e.  _V  |  y  e.  ( U. ( F `  k
)  \  U. K ) }  e.  dom  card )
1911, 17, 18syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o }  { y  e.  _V  |  y  e.  ( U. ( F `  k
)  \  U. K ) }  e.  dom  card )
20 elrabi 3050 . . . . 5  |-  ( k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n ) 
~~  1o }  ->  k  e.  A )
2110adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z
)
22 ssdif0 3646 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ( F `  k ) 
C_  U. K  <->  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K )  =  (/) )
236ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  Comp )
2423adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  -> 
( F `  k
)  e.  Comp )
25 ptcmplem3.8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  { u  e.  ( F `  k )  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  e.  U }
26 ssrab2 3388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { u  e.  ( F `  k
)  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  U }  C_  ( F `  k
)
2725, 26eqsstri 3338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  C_  ( F `  k )
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  ->  K  C_  ( F `  k ) )
29 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  ->  U. ( F `  k
)  C_  U. K )
30 uniss 3996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K 
C_  ( F `  k )  ->  U. K  C_ 
U. ( F `  k ) )
3127, 30mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  ->  U. K  C_  U. ( F `  k )
)
3229, 31eqssd 3325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  ->  U. ( F `  k
)  =  U. K
)
33 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
3433cmpcov 17406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  Comp  /\  K  C_  ( F `  k
)  /\  U. ( F `  k )  =  U. K )  ->  E. t  e.  ( ~P K  i^i  Fin ) U. ( F `  k
)  =  U. t
)
3524, 28, 32, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  ->  E. t  e.  ( ~P K  i^i  Fin ) U. ( F `  k
)  =  U. t
)
36 elfpw 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  <->  ( t  C_  K  /\  t  e. 
Fin ) )
3736simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  ->  t  C_  K )
3837ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  t  C_  K
)
3938sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  x  e.  t )  ->  x  e.  K )
40 imaeq2 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  x  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u )  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) )
4140eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  x  ->  (
( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  e.  U  <->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " x )  e.  U ) )
4241, 25elrab2 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  K  <->  ( x  e.  ( F `  k
)  /\  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
)  e.  U ) )
4342simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  K  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x )  e.  U
)
4439, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  x  e.  t )  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x )  e.  U )
45 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  =  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) )
4644, 45fmptd 5852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " x ) ) : t --> U )
47 frn 5556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) ) : t --> U  ->  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) ) 
C_  U )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  C_  U
)
4936simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  ->  t  e.  Fin )
5049ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  t  e.  Fin )
5145rnmpt 5075 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) )  =  { f  |  E. x  e.  t  f  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " x ) }
52 abrexfi 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  Fin  ->  { f  |  E. x  e.  t  f  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) }  e.  Fin )
5351, 52syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) )  e.  Fin )
5450, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  e.  Fin )
55 elfpw 7366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ran  ( x  e.  t 
|->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) )  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  <->  ( ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) ) 
C_  U  /\  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) )  e.  Fin ) )
5648, 54, 55sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )
57 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  k  e.  A )
58 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  f  e.  X )
5958, 5syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  f  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )
)
60 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  f  e. 
_V
6160elixp 7028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  <->  ( f  Fn  A  /\  A. n  e.  A  ( f `  n )  e.  U. ( F `  n ) ) )
6261simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  ->  A. n  e.  A  ( f `  n )  e.  U. ( F `  n ) )
6359, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  A. n  e.  A  ( f `  n
)  e.  U. ( F `  n )
)
64 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  k  ->  (
f `  n )  =  ( f `  k ) )
65 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
6665unieqd 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  k  ->  U. ( F `  n )  =  U. ( F `  k ) )
6764, 66eleq12d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  k  ->  (
( f `  n
)  e.  U. ( F `  n )  <->  ( f `  k )  e.  U. ( F `
 k ) ) )
6867rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  A  ->  ( A. n  e.  A  ( f `  n
)  e.  U. ( F `  n )  ->  ( f `  k
)  e.  U. ( F `  k )
) )
6957, 63, 68sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  ( f `  k
)  e.  U. ( F `  k )
)
70 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  U. ( F `  k )  =  U. t )
7169, 70eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  ( f `  k
)  e.  U. t
)
72 eluni2 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f `  k )  e.  U. t  <->  E. x  e.  t  ( f `  k )  e.  x
)
7371, 72sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  E. x  e.  t  ( f `  k
)  e.  x )
74 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  f  ->  (
w `  k )  =  ( f `  k ) )
7574eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  f  ->  (
( w `  k
)  e.  x  <->  ( f `  k )  e.  x
) )
76 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) )
7776mptpreima 5322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
)  =  { w  e.  X  |  (
w `  k )  e.  x }
7875, 77elrab2 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " x )  <-> 
( f  e.  X  /\  ( f `  k
)  e.  x ) )
7978baib 872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  e.  X  ->  (
f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
)  <->  ( f `  k )  e.  x
) )
8079ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `
 k )  = 
U. t ) )  /\  f  e.  X
)  /\  x  e.  t )  ->  (
f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
)  <->  ( f `  k )  e.  x
) )
8180rexbidva 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  ( E. x  e.  t  f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x )  <->  E. x  e.  t  ( f `  k )  e.  x
) )
8273, 81mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  E. x  e.  t  f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )
83 eliun 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  U_ x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " x )  <->  E. x  e.  t 
f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )
8482, 83sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  f  e.  U_ x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )
8584ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  ( f  e.  X  ->  f  e.  U_ x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) ) )
8685ssrdv 3314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  X  C_  U_ x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )
8744ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  A. x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x )  e.  U )
88 dfiun2g 4083 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x )  e.  U  ->  U_ x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x )  = 
U. { f  |  E. x  e.  t  f  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) } )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  U_ x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x )  = 
U. { f  |  E. x  e.  t  f  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) } )
9051unieqi 3985 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) )  =  U. { f  |  E. x  e.  t  f  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) }
9189, 90syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  U_ x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x )  = 
U. ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) ) )
9286, 91sseqtrd 3344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  X  C_  U. ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) ) )
9348unissd 3999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  U. ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  C_  U. U
)
949ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  X  =  U. U )
9593, 94sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  U. ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  C_  X
)
9692, 95eqssd 3325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  X  =  U. ran  ( x  e.  t 
|->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) ) )
97 unieq 3984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  ->  U. z  =  U. ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) ) )
9897eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  ->  ( X  =  U. z  <->  X  =  U. ran  (
x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) ) ) )
9998rspcev 3012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " x ) )  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  X  =  U. ran  ( x  e.  t 
|->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) ) )  ->  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z )
10056, 96, 99syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z )
10135, 100rexlimddv 2794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  ->  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z
)
102101ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( U. ( F `  k
)  C_  U. K  ->  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z
) )
10322, 102syl5bir 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( U. ( F `
 k )  \  U. K )  =  (/)  ->  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
10421, 103mtod 170 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  ( U. ( F `  k )  \  U. K )  =  (/) )
105 neq0 3598 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  =  (/)  <->  E. y  y  e.  ( U. ( F `  k
)  \  U. K ) )
106104, 105sylib 189 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  E. y 
y  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) )
107 rexv 2930 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  _V  y  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  <->  E. y 
y  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) )
108106, 107sylibr 204 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  E. y  e.  _V  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )
10920, 108sylan2 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o } )  ->  E. y  e.  _V  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )
110109ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o } E. y  e.  _V  y  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) )
111 eleq1 2464 . . . 4  |-  ( y  =  ( g `  k )  ->  (
y  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K )  <->  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )
112111ac6num 8315 . . 3  |-  ( ( { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  e.  _V  /\  U_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o }  {
y  e.  _V  | 
y  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) }  e.  dom  card  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o } E. y  e.  _V  y  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) )  ->  E. g ( g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )
1133, 19, 110, 112syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  E. g ( g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n ) 
~~  1o } --> _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o }  (
g `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
1141adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  A  e.  V
)
115 mptexg 5924 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
m  e.  A  |->  if ( U. ( F `
 m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) )  e.  _V )
116114, 115syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  e.  _V )
117 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 m )  e. 
_V
118117uniex 4664 . . . . . . 7  |-  U. ( F `  m )  e.  _V
119118uniex 4664 . . . . . 6  |-  U. U. ( F `  m )  e.  _V
120 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( g `
 m )  e. 
_V
121119, 120ifex 3757 . . . . 5  |-  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 m ) ,  ( g `  m
) )  e.  _V
122121rgenw 2733 . . . 4  |-  A. m  e.  A  if ( U. ( F `  m
)  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) )  e.  _V
123 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 m ) ,  ( g `  m
) ) )  =  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) )
124123fnmpt 5530 . . . 4  |-  ( A. m  e.  A  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 m ) ,  ( g `  m
) )  e.  _V  ->  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) )  Fn  A )
125122, 124mp1i 12 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  Fn  A )
12666breq1d 4182 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  ( U. ( F `  n
)  ~~  1o  <->  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )
127126notbid 286 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( -.  U. ( F `  n )  ~~  1o  <->  -. 
U. ( F `  k )  ~~  1o ) )
128127ralrab 3056 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o }  (
g `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  <->  A. k  e.  A  ( -.  U. ( F `  k
)  ~~  1o  ->  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )
129 iftrue 3705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ( F `  k ) 
~~  1o  ->  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) )  =  U. U. ( F `  k
) )
130129ad2antll 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  /\  ( k  e.  A  /\  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )  ->  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) )  =  U. U. ( F `  k
) )
131106adantrr 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )  ->  E. y  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )
13212adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
)  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  -> 
y  e.  U. ( F `  k )
)
133 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
)  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  ->  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
134 en1b 7134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. ( F `  k ) 
~~  1o  <->  U. ( F `  k )  =  { U. U. ( F `  k ) } )
135133, 134sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
)  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  ->  U. ( F `  k
)  =  { U. U. ( F `  k
) } )
136132, 135eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
)  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  -> 
y  e.  { U. U. ( F `  k
) } )
137 elsni 3798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  { U. U. ( F `  k ) }  ->  y  =  U. U. ( F `  k ) )
138136, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
)  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  -> 
y  =  U. U. ( F `  k ) )
139 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
)  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  -> 
y  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) )
140138, 139eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
)  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  ->  U. U. ( F `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )
141131, 140exlimddv 1645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )  ->  U. U. ( F `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )
142141adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  /\  ( k  e.  A  /\  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )  ->  U. U. ( F `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )
143130, 142eqeltrd 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  /\  ( k  e.  A  /\  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )  ->  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )
144143a1d 23 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  /\  ( k  e.  A  /\  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )  ->  (
( -.  U. ( F `  k )  ~~  1o  ->  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  ->  if ( U. ( F `
 k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
145144expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  /\  k  e.  A )  ->  ( U. ( F `
 k )  ~~  1o  ->  ( ( -. 
U. ( F `  k )  ~~  1o  ->  ( g `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) )  ->  if ( U. ( F `  k ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  k
) ,  ( g `
 k ) )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) ) )
146 pm2.27 37 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
U. ( F `  k )  ~~  1o  ->  ( ( -.  U. ( F `  k ) 
~~  1o  ->  ( g `
 k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) )  -> 
( g `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )
147 iffalse 3706 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
U. ( F `  k )  ~~  1o  ->  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  =  ( g `  k
) )
148147eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
U. ( F `  k )  ~~  1o  ->  ( if ( U. ( F `  k ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  k
) ,  ( g `
 k ) )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K )  <->  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )
149146, 148sylibrd 226 . . . . . . 7  |-  ( -. 
U. ( F `  k )  ~~  1o  ->  ( ( -.  U. ( F `  k ) 
~~  1o  ->  ( g `
 k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) )  ->  if ( U. ( F `
 k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
150145, 149pm2.61d1 153 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  /\  k  e.  A )  ->  ( ( -.  U. ( F `  k ) 
~~  1o  ->  ( g `
 k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) )  ->  if ( U. ( F `
 k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
151150ralimdva 2744 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  -> 
( A. k  e.  A  ( -.  U. ( F `  k ) 
~~  1o  ->  ( g `
 k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) )  ->  A. k  e.  A  if ( U. ( F `
 k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
152128, 151syl5bi 209 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  -> 
( A. k  e. 
{ n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K )  ->  A. k  e.  A  if ( U. ( F `  k
)  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )
153152impr 603 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  A. k  e.  A  if ( U. ( F `
 k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) )
154 fneq1 5493 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  ->  ( f  Fn  A  <->  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  Fn  A ) )
155 fveq1 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  ->  ( f `  k )  =  ( ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) ) `
 k ) )
156 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
157156unieqd 3986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  U. ( F `  m )  =  U. ( F `  k ) )
158157breq1d 4182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  ( U. ( F `  m
)  ~~  1o  <->  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )
159157unieqd 3986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  U. U. ( F `  m )  =  U. U. ( F `  k )
)
160 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
g `  m )  =  ( g `  k ) )
161158, 159, 160ifbieq12d 3721 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  k  ->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 m ) ,  ( g `  m
) )  =  if ( U. ( F `
 k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) ) )
162 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
163162uniex 4664 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( F `  k )  e.  _V
164163uniex 4664 . . . . . . . . . . 11  |-  U. U. ( F `  k )  e.  _V
165 fvex 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g `
 k )  e. 
_V
166164, 165ifex 3757 . . . . . . . . . 10  |-  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) )  e.  _V
167161, 123, 166fvmpt 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  A  ->  (
( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) ) `
 k )  =  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) ) )
168155, 167sylan9eq 2456 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 m ) ,  ( g `  m
) ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( f `  k
)  =  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) ) )
169168eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 m ) ,  ( g `  m
) ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K )  <->  if ( U. ( F `  k
)  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )
170169ralbidva 2682 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  ->  ( A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  <->  A. k  e.  A  if ( U. ( F `  k
)  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )
171154, 170anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( f  =  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  ->  ( (
f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  <-> 
( ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  Fn  A  /\  A. k  e.  A  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) ) )
172171spcegv 2997 . . . 4  |-  ( ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `
 m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) )  e.  _V  ->  (
( ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  Fn  A  /\  A. k  e.  A  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) ) )
1731723impib 1151 . . 3  |-  ( ( ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) )  e.  _V  /\  (
m  e.  A  |->  if ( U. ( F `
 m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) )  Fn  A  /\  A. k  e.  A  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )
174116, 125, 153, 173syl3anc 1184 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
175113, 174exlimddv 1645 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ifcif 3699   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975   U_ciun 4053   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413    e. cmpt2 6042   1oc1o 6676   X_cixp 7022    ~~ cen 7065   Fincfn 7068   cardccrd 7778   Compccmp 17403  UFLcufl 17885
This theorem is referenced by:  ptcmplem4  18039
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-fin 7072  df-wdom 7483  df-card 7782  df-acn 7785  df-cmp 17404
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