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Theorem ptcmplem2 20719
Description: Lemma for ptcmp 20724. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcmp.1  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
ptcmp.2  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
ptcmp.3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcmp.4  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
ptcmp.5  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
ptcmplem2.5  |-  ( ph  ->  U  C_  ran  S )
ptcmplem2.6  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
ptcmplem2.7  |-  ( ph  ->  -.  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z )
Assertion
Ref Expression
ptcmplem2  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o } U. ( F `  k )  e.  dom  card )
Distinct variable groups:    k, n, u, w, z, A    S, k, n, u, z    ph, k, n, u    U, k, u, z    k, V, n, u, w, z    k, F, n, u, w, z   
k, X, n, u, w, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w)    S( w)    U( w, n)

Proof of Theorem ptcmplem2
Dummy variables  f 
g  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcmplem2.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z )
2 0ss 3813 . . . . . . 7  |-  (/)  C_  U
3 0fin 7740 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  Fin
4 elfpw 7814 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  <->  ( (/)  C_  U  /\  (/)  e.  Fin )
)
52, 3, 4mpbir2an 918 . . . . . 6  |-  (/)  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
6 unieq 4243 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  (/)  ->  U. z  =  U. (/) )
7 uni0 4262 . . . . . . . . 9  |-  U. (/)  =  (/)
86, 7syl6eq 2511 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (/)  ->  U. z  =  (/) )
98eqeq2d 2468 . . . . . . 7  |-  ( z  =  (/)  ->  ( X  =  U. z  <->  X  =  (/) ) )
109rspcev 3207 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  X  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z
)
115, 10mpan 668 . . . . 5  |-  ( X  =  (/)  ->  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z )
1211necon3bi 2683 . . . 4  |-  ( -. 
E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z  ->  X  =/=  (/) )
131, 12syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
14 n0 3793 . . 3  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. f  f  e.  X )
1513, 14sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  E. f  f  e.  X )
16 ptcmp.2 . . . . . . 7  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
17 fveq2 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
1817unieqd 4245 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  U. ( F `  n )  =  U. ( F `  k ) )
1918cbvixpv 7480 . . . . . . 7  |-  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )  =  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)
2016, 19eqtri 2483 . . . . . 6  |-  X  = 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)
21 inss2 3705 . . . . . . . 8  |-  (UFL  i^i  dom 
card )  C_  dom  card
22 ptcmp.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
2321, 22sseldi 3487 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  dom  card )
2423adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  X  e.  dom  card )
2520, 24syl5eqelr 2547 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  e.  dom  card )
26 ssrab2 3571 . . . . . 6  |-  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o }  C_  A
2713adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  X  =/=  (/) )
2820, 27syl5eqner 2755 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =/=  (/) )
29 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( g  |`  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } ) )  =  ( g  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( g  |`  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o } ) )
3029resixpfo 7500 . . . . . 6  |-  ( ( { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  C_  A  /\  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =/=  (/) )  ->  (
g  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  |->  ( g  |`  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o } ) ) : X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) -onto-> X_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o } U. ( F `  k ) )
3126, 28, 30sylancr 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  (
g  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  |->  ( g  |`  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o } ) ) : X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) -onto-> X_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o } U. ( F `  k ) )
32 fonum 8430 . . . . 5  |-  ( (
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  e.  dom  card  /\  ( g  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( g  |`  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o } ) ) : X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) -onto-> X_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o } U. ( F `  k ) )  ->  X_ k  e. 
{ n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } U. ( F `
 k )  e. 
dom  card )
3325, 31, 32syl2anc 659 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  X_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } U. ( F `
 k )  e. 
dom  card )
34 vex 3109 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
35 difexg 4585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  _V  ->  (
g  \  f )  e.  _V )
3634, 35mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  (
g  \  f )  e.  _V )
37 dmexg 6704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  \  f )  e.  _V  ->  dom  ( g  \  f
)  e.  _V )
38 uniexg 6570 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( g  \  f
)  e.  _V  ->  U.
dom  ( g  \ 
f )  e.  _V )
3936, 37, 383syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  U. dom  ( g  \  f
)  e.  _V )
4039ralrimivw 2869 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  A. g  e.  X  U. dom  (
g  \  f )  e.  _V )
41 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  X  |->  U. dom  ( g  \  f
) )  =  ( g  e.  X  |->  U.
dom  ( g  \ 
f ) )
4241fnmpt 5689 . . . . . . . 8  |-  ( A. g  e.  X  U. dom  ( g  \  f
)  e.  _V  ->  ( g  e.  X  |->  U.
dom  ( g  \ 
f ) )  Fn  X )
4340, 42syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  (
g  e.  X  |->  U.
dom  ( g  \ 
f ) )  Fn  X )
44 dffn4 5783 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  X  |->  U.
dom  ( g  \ 
f ) )  Fn  X  <->  ( g  e.  X  |->  U. dom  ( g 
\  f ) ) : X -onto-> ran  (
g  e.  X  |->  U.
dom  ( g  \ 
f ) ) )
4543, 44sylib 196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  (
g  e.  X  |->  U.
dom  ( g  \ 
f ) ) : X -onto-> ran  ( g  e.  X  |->  U. dom  ( g 
\  f ) ) )
46 fonum 8430 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  dom  card  /\  ( g  e.  X  |-> 
U. dom  ( g  \  f ) ) : X -onto-> ran  (
g  e.  X  |->  U.
dom  ( g  \ 
f ) ) )  ->  ran  ( g  e.  X  |->  U. dom  ( g  \  f
) )  e.  dom  card )
4724, 45, 46syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  ran  ( g  e.  X  |-> 
U. dom  ( g  \  f ) )  e.  dom  card )
48 ssdif0 3873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. ( F `  k ) 
C_  { ( f `
 k ) }  <-> 
( U. ( F `
 k )  \  { ( f `  k ) } )  =  (/) )
49 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  U. ( F `  k )  C_ 
{ ( f `  k ) } )  ->  U. ( F `  k )  C_  { ( f `  k ) } )
50 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  f  e.  X )
5150, 20syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  f  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) )
52 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  f  e. 
_V
5352elixp 7469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
5453simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
5551, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
5655r19.21bi 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A )  ->  (
f `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
5756snssd 4161 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A )  ->  { ( f `  k ) }  C_  U. ( F `  k )
)
5857adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  U. ( F `  k )  C_ 
{ ( f `  k ) } )  ->  { ( f `
 k ) } 
C_  U. ( F `  k ) )
5949, 58eqssd 3506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  U. ( F `  k )  C_ 
{ ( f `  k ) } )  ->  U. ( F `  k )  =  {
( f `  k
) } )
60 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f `
 k )  e. 
_V
6160ensn1 7572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { ( f `  k ) }  ~~  1o
6259, 61syl6eqbr 4476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  U. ( F `  k )  C_ 
{ ( f `  k ) } )  ->  U. ( F `  k )  ~~  1o )
6362ex 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A )  ->  ( U. ( F `  k
)  C_  { (
f `  k ) }  ->  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )
6448, 63syl5bir 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A )  ->  (
( U. ( F `
 k )  \  { ( f `  k ) } )  =  (/)  ->  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )
6564con3d 133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A )  ->  ( -.  U. ( F `  k )  ~~  1o  ->  -.  ( U. ( F `  k )  \  { ( f `  k ) } )  =  (/) ) )
66 neq0 3794 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( U. ( F `
 k )  \  { ( f `  k ) } )  =  (/)  <->  E. x  x  e.  ( U. ( F `
 k )  \  { ( f `  k ) } ) )
6765, 66syl6ib 226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A )  ->  ( -.  U. ( F `  k )  ~~  1o  ->  E. x  x  e.  ( U. ( F `
 k )  \  { ( f `  k ) } ) ) )
68 eldifi 3612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( U. ( F `  k )  \  { ( f `  k ) } )  ->  x  e.  U. ( F `  k ) )
69 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  U. ( F `  k
) )  /\  n  e.  A )  ->  x  e.  U. ( F `  k ) )
70 iftrue 3935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `
 n ) )  =  x )
7170, 18eleq12d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  ( if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) )  e.  U. ( F `  n )  <->  x  e.  U. ( F `
 k ) ) )
7269, 71syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  U. ( F `  k
) )  /\  n  e.  A )  ->  (
n  =  k  ->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) )  e.  U. ( F `  n )
) )
7350, 16syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  f  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
) )
7452elixp 7469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  <->  ( f  Fn  A  /\  A. n  e.  A  ( f `  n )  e.  U. ( F `  n ) ) )
7574simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  ->  A. n  e.  A  ( f `  n )  e.  U. ( F `  n ) )
7673, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  A. n  e.  A  ( f `  n )  e.  U. ( F `  n ) )
7776ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  U. ( F `  k
) )  ->  A. n  e.  A  ( f `  n )  e.  U. ( F `  n ) )
7877r19.21bi 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  U. ( F `  k
) )  /\  n  e.  A )  ->  (
f `  n )  e.  U. ( F `  n ) )
79 iffalse 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  n  =  k  ->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) )  =  ( f `
 n ) )
8079eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  n  =  k  -> 
( if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) )  e. 
U. ( F `  n )  <->  ( f `  n )  e.  U. ( F `  n ) ) )
8178, 80syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  U. ( F `  k
) )  /\  n  e.  A )  ->  ( -.  n  =  k  ->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n
) )  e.  U. ( F `  n ) ) )
8272, 81pm2.61d 158 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  U. ( F `  k
) )  /\  n  e.  A )  ->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `
 n ) )  e.  U. ( F `
 n ) )
8382ralrimiva 2868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  U. ( F `  k
) )  ->  A. n  e.  A  if (
n  =  k ,  x ,  ( f `
 n ) )  e.  U. ( F `
 n ) )
84 ptcmp.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
8584ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  U. ( F `  k
) )  ->  A  e.  V )
86 mptelixpg 7499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  V  ->  (
( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n
) ) )  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  <->  A. n  e.  A  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) )  e.  U. ( F `  n )
) )
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  U. ( F `  k
) )  ->  (
( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n
) ) )  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  <->  A. n  e.  A  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) )  e.  U. ( F `  n )
) )
8883, 87mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  U. ( F `  k
) )  ->  (
n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) ) )  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n ) )
8988, 16syl6eleqr 2553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  U. ( F `  k
) )  ->  (
n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) ) )  e.  X
)
9068, 89sylan2 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  ( U. ( F `  k )  \  {
( f `  k
) } ) )  ->  ( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) ) )  e.  X )
91 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  k  e. 
_V
9291unisn 4250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. {
k }  =  k
93 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  ( U. ( F `  k )  \  {
( f `  k
) } ) )  ->  k  e.  A
)
94 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  k  ->  (
m  e.  A  <->  k  e.  A ) )
9593, 94syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  ( U. ( F `  k )  \  {
( f `  k
) } ) )  ->  ( m  =  k  ->  m  e.  A ) )
9695pm4.71rd 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  ( U. ( F `  k )  \  {
( f `  k
) } ) )  ->  ( m  =  k  <->  ( m  e.  A  /\  m  =  k ) ) )
97 equequ1 1803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  m  ->  (
n  =  k  <->  m  =  k ) )
98 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  m  ->  (
f `  n )  =  ( f `  m ) )
9997, 98ifbieq2d 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  m  ->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `
 n ) )  =  if ( m  =  k ,  x ,  ( f `  m ) ) )
100 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `
 n ) ) )  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `
 n ) ) )
101 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  x  e. 
_V
102 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f `
 m )  e. 
_V
103101, 102ifex 3997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  if ( m  =  k ,  x ,  ( f `
 m ) )  e.  _V
10499, 100, 103fvmpt 5931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  A  ->  (
( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n
) ) ) `  m )  =  if ( m  =  k ,  x ,  ( f `  m ) ) )
105104neeq1d 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  A  ->  (
( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) ) ) `
 m )  =/=  ( f `  m
)  <->  if ( m  =  k ,  x ,  ( f `  m
) )  =/=  (
f `  m )
) )
106105adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  ( U. ( F `  k )  \  {
( f `  k
) } ) )  /\  m  e.  A
)  ->  ( (
( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n
) ) ) `  m )  =/=  (
f `  m )  <->  if ( m  =  k ,  x ,  ( f `  m ) )  =/=  ( f `
 m ) ) )
107 iffalse 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  m  =  k  ->  if ( m  =  k ,  x ,  ( f `  m ) )  =  ( f `
 m ) )
108107necon1ai 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( if ( m  =  k ,  x ,  ( f `  m ) )  =/=  ( f `
 m )  ->  m  =  k )
109 eldifsni 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ( U. ( F `  k )  \  { ( f `  k ) } )  ->  x  =/=  (
f `  k )
)
110109ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  ( U. ( F `  k )  \  {
( f `  k
) } ) )  /\  m  e.  A
)  ->  x  =/=  ( f `  k
) )
111 iftrue 3935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  k  ->  if ( m  =  k ,  x ,  ( f `
 m ) )  =  x )
112 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  k  ->  (
f `  m )  =  ( f `  k ) )
113111, 112neeq12d 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  k  ->  ( if ( m  =  k ,  x ,  ( f `  m ) )  =/=  ( f `
 m )  <->  x  =/=  ( f `  k
) ) )
114110, 113syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  ( U. ( F `  k )  \  {
( f `  k
) } ) )  /\  m  e.  A
)  ->  ( m  =  k  ->  if ( m  =  k ,  x ,  ( f `
 m ) )  =/=  ( f `  m ) ) )
115108, 114impbid2 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  ( U. ( F `  k )  \  {
( f `  k
) } ) )  /\  m  e.  A
)  ->  ( if ( m  =  k ,  x ,  ( f `
 m ) )  =/=  ( f `  m )  <->  m  =  k ) )
116106, 115bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  ( U. ( F `  k )  \  {
( f `  k
) } ) )  /\  m  e.  A
)  ->  ( (
( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n
) ) ) `  m )  =/=  (
f `  m )  <->  m  =  k ) )
117116pm5.32da 639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  ( U. ( F `  k )  \  {
( f `  k
) } ) )  ->  ( ( m  e.  A  /\  (
( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n
) ) ) `  m )  =/=  (
f `  m )
)  <->  ( m  e.  A  /\  m  =  k ) ) )
11896, 117bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  ( U. ( F `  k )  \  {
( f `  k
) } ) )  ->  ( m  =  k  <->  ( m  e.  A  /\  ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) ) ) `  m
)  =/=  ( f `
 m ) ) ) )
119118abbidv 2590 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  ( U. ( F `  k )  \  {
( f `  k
) } ) )  ->  { m  |  m  =  k }  =  { m  |  ( m  e.  A  /\  ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) ) ) `
 m )  =/=  ( f `  m
) ) } )
120 df-sn 4017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { k }  =  { m  |  m  =  k }
121 df-rab 2813 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { m  e.  A  |  (
( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n
) ) ) `  m )  =/=  (
f `  m ) }  =  { m  |  ( m  e.  A  /\  ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) ) ) `  m
)  =/=  ( f `
 m ) ) }
122119, 120, 1213eqtr4g 2520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  ( U. ( F `  k )  \  {
( f `  k
) } ) )  ->  { k }  =  { m  e.  A  |  ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) ) ) `  m
)  =/=  ( f `
 m ) } )
123 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f `
 n )  e. 
_V
124101, 123ifex 3997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `
 n ) )  e.  _V
125124rgenw 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A. n  e.  A  if (
n  =  k ,  x ,  ( f `
 n ) )  e.  _V
126100fnmpt 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. n  e.  A  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `
 n ) )  e.  _V  ->  (
n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) ) )  Fn  A
)
127125, 126mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  ( U. ( F `  k )  \  {
( f `  k
) } ) )  ->  ( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) ) )  Fn  A )
128 ixpfn 7468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  ->  f  Fn  A )
12973, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  f  Fn  A )
130129ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  ( U. ( F `  k )  \  {
( f `  k
) } ) )  ->  f  Fn  A
)
131 fndmdif 5967 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n
) ) )  Fn  A  /\  f  Fn  A )  ->  dom  ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) ) ) 
\  f )  =  { m  e.  A  |  ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `
 n ) ) ) `  m )  =/=  ( f `  m ) } )
132127, 130, 131syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  ( U. ( F `  k )  \  {
( f `  k
) } ) )  ->  dom  ( (
n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) ) )  \  f
)  =  { m  e.  A  |  (
( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n
) ) ) `  m )  =/=  (
f `  m ) } )
133122, 132eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  ( U. ( F `  k )  \  {
( f `  k
) } ) )  ->  { k }  =  dom  ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) ) )  \  f
) )
134133unieqd 4245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  ( U. ( F `  k )  \  {
( f `  k
) } ) )  ->  U. { k }  =  U. dom  (
( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n
) ) )  \ 
f ) )
13592, 134syl5eqr 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  ( U. ( F `  k )  \  {
( f `  k
) } ) )  ->  k  =  U. dom  ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) ) ) 
\  f ) )
136 difeq1 3601 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) ) )  ->  ( g  \ 
f )  =  ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n
) ) )  \ 
f ) )
137136dmeqd 5194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) ) )  ->  dom  ( g  \  f )  =  dom  ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `
 n ) ) )  \  f ) )
138137unieqd 4245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) ) )  ->  U. dom  ( g 
\  f )  = 
U. dom  ( (
n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) ) )  \  f
) )
139138eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) ) )  ->  ( k  = 
U. dom  ( g  \  f )  <->  k  =  U. dom  ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `
 n ) ) )  \  f ) ) )
140139rspcev 3207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n
) ) )  e.  X  /\  k  = 
U. dom  ( (
n  e.  A  |->  if ( n  =  k ,  x ,  ( f `  n ) ) )  \  f
) )  ->  E. g  e.  X  k  =  U. dom  ( g  \ 
f ) )
14190, 135, 140syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A
)  /\  x  e.  ( U. ( F `  k )  \  {
( f `  k
) } ) )  ->  E. g  e.  X  k  =  U. dom  (
g  \  f )
)
142141ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  { ( f `
 k ) } )  ->  E. g  e.  X  k  =  U. dom  ( g  \ 
f ) ) )
143142exlimdv 1729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A )  ->  ( E. x  x  e.  ( U. ( F `  k )  \  {
( f `  k
) } )  ->  E. g  e.  X  k  =  U. dom  (
g  \  f )
) )
14467, 143syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X )  /\  k  e.  A )  ->  ( -.  U. ( F `  k )  ~~  1o  ->  E. g  e.  X  k  =  U. dom  (
g  \  f )
) )
145144expimpd 601 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  (
( k  e.  A  /\  -.  U. ( F `
 k )  ~~  1o )  ->  E. g  e.  X  k  =  U. dom  ( g  \ 
f ) ) )
14618breq1d 4449 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( U. ( F `  n
)  ~~  1o  <->  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )
147146notbid 292 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( -.  U. ( F `  n )  ~~  1o  <->  -. 
U. ( F `  k )  ~~  1o ) )
148147elrab 3254 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n ) 
~~  1o }  <->  ( k  e.  A  /\  -.  U. ( F `  k ) 
~~  1o ) )
14941elrnmpt 5238 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  _V  ->  (
k  e.  ran  (
g  e.  X  |->  U.
dom  ( g  \ 
f ) )  <->  E. g  e.  X  k  =  U. dom  ( g  \ 
f ) ) )
15091, 149ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ran  ( g  e.  X  |->  U. dom  ( g  \  f
) )  <->  E. g  e.  X  k  =  U. dom  ( g  \ 
f ) )
151145, 148, 1503imtr4g 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  (
k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o }  ->  k  e.  ran  ( g  e.  X  |->  U. dom  ( g  \  f
) ) ) )
152151ssrdv 3495 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o }  C_  ran  ( g  e.  X  |-> 
U. dom  ( g  \  f ) ) )
153 ssnum 8411 . . . . 5  |-  ( ( ran  ( g  e.  X  |->  U. dom  ( g 
\  f ) )  e.  dom  card  /\  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o }  C_  ran  ( g  e.  X  |->  U. dom  ( g  \  f
) ) )  ->  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  e.  dom  card )
15447, 152, 153syl2anc 659 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o }  e.  dom  card )
155 xpnum 8323 . . . 4  |-  ( (
X_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o } U. ( F `  k )  e.  dom  card  /\  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  e.  dom  card )  ->  ( X_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } U. ( F `
 k )  X. 
{ n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } )  e.  dom  card )
15633, 154, 155syl2anc 659 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  ( X_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o } U. ( F `  k )  X.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n ) 
~~  1o } )  e.  dom  card )
15784adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  A  e.  V )
158 rabexg 4587 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o }  e.  _V )
159157, 158syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o }  e.  _V )
160 fvex 5858 . . . . . . 7  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
161160uniex 6569 . . . . . 6  |-  U. ( F `  k )  e.  _V
162161rgenw 2815 . . . . 5  |-  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } U. ( F `
 k )  e. 
_V
163 iunexg 6749 . . . . 5  |-  ( ( { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  e.  _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o } U. ( F `  k )  e.  _V )  ->  U_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o } U. ( F `  k )  e.  _V )
164159, 162, 163sylancl 660 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  U_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } U. ( F `
 k )  e. 
_V )
165 resixp 7497 . . . . . 6  |-  ( ( { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  C_  A  /\  f  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )  ->  ( f  |`  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } )  e.  X_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o } U. ( F `  k ) )
16626, 51, 165sylancr 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  (
f  |`  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n ) 
~~  1o } )  e.  X_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o } U. ( F `  k ) )
167 ne0i 3789 . . . . 5  |-  ( ( f  |`  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o } )  e.  X_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o } U. ( F `  k )  ->  X_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } U. ( F `
 k )  =/=  (/) )
168166, 167syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  X_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } U. ( F `
 k )  =/=  (/) )
169 ixpiunwdom 8009 . . . 4  |-  ( ( { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  e.  _V  /\  U_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o } U. ( F `  k )  e.  _V  /\  X_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } U. ( F `
 k )  =/=  (/) )  ->  U_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } U. ( F `
 k )  ~<_*  ( X_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o } U. ( F `  k )  X.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n ) 
~~  1o } ) )
170159, 164, 168, 169syl3anc 1226 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  U_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } U. ( F `
 k )  ~<_*  ( X_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o } U. ( F `  k )  X.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n ) 
~~  1o } ) )
171 numwdom 8431 . . 3  |-  ( ( ( X_ k  e. 
{ n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } U. ( F `
 k )  X. 
{ n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } )  e.  dom  card  /\  U_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o } U. ( F `  k )  ~<_*  ( X_ k  e. 
{ n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } U. ( F `
 k )  X. 
{ n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } ) )  ->  U_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o } U. ( F `  k )  e.  dom  card )
172156, 170, 171syl2anc 659 . 2  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X )  ->  U_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } U. ( F `
 k )  e. 
dom  card )
17315, 172exlimddv 1731 1  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o } U. ( F `  k )  e.  dom  card )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   {cab 2439    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ifcif 3929   ~Pcpw 3999   {csn 4016   U.cuni 4235   U_ciun 4315   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    X. cxp 4986   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989    |` cres 4990   "cima 4991    Fn wfn 5565   -->wf 5566   -onto->wfo 5568   ` cfv 5570    |-> cmpt2 6272   1oc1o 7115   X_cixp 7462    ~~ cen 7506   Fincfn 7509    ~<_* cwdom 7975   cardccrd 8307   Compccmp 20053  UFLcufl 20567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-fin 7513  df-wdom 7977  df-card 8311  df-acn 8314
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