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Theorem ptcmplem1 18036
Description: Lemma for ptcmp 18042. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcmp.1  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
ptcmp.2  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
ptcmp.3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcmp.4  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
ptcmp.5  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
Assertion
Ref Expression
ptcmplem1  |-  ( ph  ->  ( X  =  U. ( ran  S  u.  { X } )  /\  ( Xt_ `  F )  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, u, w, A    S, k, n, u    ph, k, n, u    k, V, n, u, w    k, F, n, u, w    k, X, n, u, w
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)

Proof of Theorem ptcmplem1
Dummy variables  g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcmp.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 ptcmp.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
3 ffn 5550 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> Comp  ->  F  Fn  A )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
5 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
65ptval 17555 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
71, 4, 6syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
8 cmptop 17412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Comp  ->  x  e. 
Top )
98ssriv 3312 . . . . . . . . . 10  |-  Comp  C_  Top
10 fss 5558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> Comp  /\  Comp  C_ 
Top )  ->  F : A --> Top )
112, 9, 10sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
12 ptcmp.2 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
135, 12ptbasfi 17566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  ( fi `  ( { X }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )
141, 11, 13syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  ( fi `  ( { X }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )
15 uncom 3451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran 
S  u.  { X } )  =  ( { X }  u.  ran  S )
16 ptcmp.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
1716rneqi 5055 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  S  =  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) )
1817uneq2i 3458 . . . . . . . . . 10  |-  ( { X }  u.  ran  S )  =  ( { X }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )
1915, 18eqtri 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
S  u.  { X } )  =  ( { X }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )
2019fveq2i 5690 . . . . . . . 8  |-  ( fi
`  ( ran  S  u.  { X } ) )  =  ( fi
`  ( { X }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) ) )
2114, 20syl6eqr 2454 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  ( fi `  ( ran 
S  u.  { X } ) ) )
2221fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) )
237, 22eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) )
2423unieqd 3986 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  F
)  =  U. ( topGen `
 ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) )
25 fibas 16997 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( ran  S  u.  { X } ) )  e.  TopBases
26 unitg 16987 . . . . 5  |-  ( ( fi `  ( ran 
S  u.  { X } ) )  e.  TopBases 
->  U. ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) )  =  U. ( fi `  ( ran 
S  u.  { X } ) ) )
2725, 26ax-mp 8 . . . 4  |-  U. ( topGen `
 ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) )  =  U. ( fi
`  ( ran  S  u.  { X } ) )
2824, 27syl6eq 2452 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  F
)  =  U. ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) )
29 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  F )  =  (
Xt_ `  F )
3029ptuni 17579 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
311, 11, 30syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
3212, 31syl5eq 2448 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  U. ( Xt_ `  F ) )
33 ptcmp.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
34 pwexg 4343 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  (UFL  i^i  dom  card )  ->  ~P X  e.  _V )
3533, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ~P X  e.  _V )
36 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) )
3736mptpreima 5322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  =  { w  e.  X  |  (
w `  k )  e.  u }
38 ssrab2 3388 . . . . . . . . . . 11  |-  { w  e.  X  |  (
w `  k )  e.  u }  C_  X
3937, 38eqsstri 3338 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  C_  X
4033adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k
) ) )  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
41 elpw2g 4323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  (UFL  i^i  dom  card )  ->  ( ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u )  e.  ~P X 
<->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  C_  X ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k
) ) )  -> 
( ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  e.  ~P X  <->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  C_  X )
)
4339, 42mpbiri 225 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k
) ) )  -> 
( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  e. 
~P X )
4443ralrimivva 2758 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  A. u  e.  ( F `  k )
( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  e. 
~P X )
4516fmpt2x 6376 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  A. u  e.  ( F `  k ) ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ~P X  <->  S : U_ k  e.  A  ( { k }  X.  ( F `
 k ) ) --> ~P X )
4644, 45sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S : U_ k  e.  A  ( {
k }  X.  ( F `  k )
) --> ~P X )
47 frn 5556 . . . . . . 7  |-  ( S : U_ k  e.  A  ( { k }  X.  ( F `
 k ) ) --> ~P X  ->  ran  S 
C_  ~P X )
4846, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  ~P X )
4935, 48ssexd 4310 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  S  e.  _V )
50 snex 4365 . . . . 5  |-  { X }  e.  _V
51 unexg 4669 . . . . 5  |-  ( ( ran  S  e.  _V  /\ 
{ X }  e.  _V )  ->  ( ran 
S  u.  { X } )  e.  _V )
5249, 50, 51sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ran  S  u.  { X } )  e. 
_V )
53 fiuni 7391 . . . 4  |-  ( ( ran  S  u.  { X } )  e.  _V  ->  U. ( ran  S  u.  { X } )  =  U. ( fi
`  ( ran  S  u.  { X } ) ) )
5452, 53syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ( ran  S  u.  { X } )  =  U. ( fi
`  ( ran  S  u.  { X } ) ) )
5528, 32, 543eqtr4d 2446 . 2  |-  ( ph  ->  X  =  U. ( ran  S  u.  { X } ) )
5655, 23jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( X  =  U. ( ran  S  u.  { X } )  /\  ( Xt_ `  F )  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975   U_ciun 4053    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413    e. cmpt2 6042   X_cixp 7022   Fincfn 7068   ficfi 7373   cardccrd 7778   topGenctg 13620   Xt_cpt 13621   Topctop 16913   TopBasesctb 16917   Compccmp 17403  UFLcufl 17885
This theorem is referenced by:  ptcmplem5  18040
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-fin 7072  df-fi 7374  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-top 16918  df-bases 16920  df-cmp 17404
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