Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcmpg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ptcmpg 21150
 Description: Tychonoff's theorem: The product of compact spaces is compact. The choice principles needed are encoded in the last hypothesis: the base set of the product must be well-orderable and satisfy the ultrafilter lemma. Both these assumptions are satisfied if is well-orderable, so if we assume the Axiom of Choice we can eliminate them (see ptcmp 21151). (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcmpg.1
ptcmpg.2
Assertion
Ref Expression
ptcmpg UFL

Proof of Theorem ptcmpg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcmpg.1 . 2
2 nfcv 2612 . . . 4
3 nfcv 2612 . . . 4
4 nfcv 2612 . . . 4
5 nfcv 2612 . . . 4
6 nfcv 2612 . . . 4
7 nfcv 2612 . . . 4
8 fveq2 5879 . . . 4
9 fveq2 5879 . . . . . . . 8
109mpteq2dv 4483 . . . . . . 7
1110cnveqd 5015 . . . . . 6
1211imaeq1d 5173 . . . . 5
13 imaeq2 5170 . . . . 5
1412, 13sylan9eq 2525 . . . 4
152, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14cbvmpt2x 6388 . . 3
16 fveq2 5879 . . . . 5
1716unieqd 4200 . . . 4
1817cbvixpv 7558 . . 3
19 simp1 1030 . . 3 UFL
20 simp2 1031 . . 3 UFL
21 cmptop 20487 . . . . . . . 8
2221ssriv 3422 . . . . . . 7
23 fss 5749 . . . . . . 7
2420, 22, 23sylancl 675 . . . . . 6 UFL
251ptuni 20686 . . . . . 6
2619, 24, 25syl2anc 673 . . . . 5 UFL
27 ptcmpg.2 . . . . 5
2826, 27syl6eqr 2523 . . . 4 UFL
29 simp3 1032 . . . 4 UFL UFL
3028, 29eqeltrd 2549 . . 3 UFL UFL
3115, 18, 19, 20, 30ptcmplem5 21149 . 2 UFL
321, 31syl5eqel 2553 1 UFL
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   cin 3389   wss 3390  cuni 4190   cmpt 4454  ccnv 4838   cdm 4839  cima 4842  wf 5585  cfv 5589   cmpt2 6310  cixp 7540  ccrd 8387  cpt 15415  ctop 19994  ccmp 20478  UFLcufl 20993 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-wdom 8092  df-card 8391  df-acn 8394  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-cmp 20479  df-fil 20939  df-ufil 20994  df-ufl 20995  df-flim 21032  df-fcls 21034 This theorem is referenced by:  ptcmp  21151  dfac21  35995
 Copyright terms: Public domain W3C validator