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Theorem ptcmpfi 20049
Description: A topological product of finitely many compact spaces is compact. This weak version of Tychonoff's theorem does not require the axiom of choice. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ptcmpfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )

Proof of Theorem ptcmpfi
Dummy variables  v  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 5729 . . . . 5  |-  ( F : A --> Comp  ->  F  Fn  A )
2 fnresdm 5688 . . . . 5  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( F : A --> Comp  ->  ( F  |`  A )  =  F )
43adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( F  |`  A )  =  F )
54fveq2d 5868 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  =  ( Xt_ `  F
) )
6 ssid 3523 . . . 4  |-  A  C_  A
7 sseq1 3525 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
8 reseq2 5266 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F  |`  x )  =  ( F  |`  (/) ) )
9 res0 5276 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
108, 9syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F  |`  x )  =  (/) )
1110fveq2d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x
) )  =  (
Xt_ `  (/) ) )
1211eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp 
<->  ( Xt_ `  (/) )  e. 
Comp ) )
1312imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e.  Comp )  <->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  Comp ) ) )
147, 13imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e.  Comp ) )  <->  ( (/)  C_  A  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  Comp ) ) ) )
15 sseq1 3525 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  A  <->  y  C_  A ) )
16 reseq2 5266 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( F  |`  x )  =  ( F  |`  y
) )
1716fveq2d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  =  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) ) )
1817eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp 
<->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp ) )
1918imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp )  <->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp ) ) )
2015, 19imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  A  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp ) )  <->  ( y  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp ) ) ) )
21 sseq1 3525 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  C_  A 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )
22 reseq2 5266 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( F  |`  x )  =  ( F  |`  ( y  u.  { z } ) ) )
2322fveq2d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  =  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )
2423eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  x
) )  e.  Comp  <->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  e.  Comp )
)
2524imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e.  Comp )  <->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  e.  Comp )
) )
2621, 25imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x 
C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e.  Comp ) )  <->  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  e.  Comp )
) ) )
27 sseq1 3525 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  A  <->  A  C_  A
) )
28 reseq2 5266 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( F  |`  x )  =  ( F  |`  A ) )
2928fveq2d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  =  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) ) )
3029eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp 
<->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e.  Comp ) )
3130imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp )  <->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e. 
Comp ) ) )
3227, 31imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  C_  A  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp ) )  <->  ( A  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e. 
Comp ) ) ) )
33 0ex 4577 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
34 f0 5764 . . . . . . . . 9  |-  (/) : (/) --> Top
35 pttop 19818 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/) : (/) --> Top )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  Top )
3633, 34, 35mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  (/) )  e.  Top
37 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Xt_ `  (/) )  =  ( Xt_ `  (/) )
3837ptuni 19830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/) : (/) --> Top )  ->  X_ x  e.  (/)  U. ( (/) `  x
)  =  U. ( Xt_ `  (/) ) )
3933, 34, 38mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  X_ x  e.  (/)  U. ( (/) `  x )  =  U. ( Xt_ `  (/) )
40 ixp0x 7494 . . . . . . . . . . . 12  |-  X_ x  e.  (/)  U. ( (/) `  x )  =  { (/)
}
41 snfi 7593 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) }  e.  Fin
4240, 41eqeltri 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  X_ x  e.  (/)  U. ( (/) `  x )  e.  Fin
4339, 42eqeltrri 2552 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( Xt_ `  (/) )  e.  Fin
44 pwfi 7811 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ( Xt_ `  (/) )  e. 
Fin 
<->  ~P U. ( Xt_ `  (/) )  e.  Fin )
4543, 44mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ~P U. ( Xt_ `  (/) )  e. 
Fin
46 pwuni 4678 . . . . . . . . 9  |-  ( Xt_ `  (/) )  C_  ~P U. ( Xt_ `  (/) )
47 ssfi 7737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P U. ( Xt_ `  (/) )  e.  Fin  /\  ( Xt_ `  (/) )  C_  ~P U. ( Xt_ `  (/) ) )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e. 
Fin )
4845, 46, 47mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  (/) )  e.  Fin
49 elin 3687 . . . . . . . 8  |-  ( (
Xt_ `  (/) )  e.  ( Top  i^i  Fin ) 
<->  ( ( Xt_ `  (/) )  e. 
Top  /\  ( Xt_ `  (/) )  e.  Fin ) )
5036, 48, 49mpbir2an 918 . . . . . . 7  |-  ( Xt_ `  (/) )  e.  ( Top  i^i  Fin )
51 fincmp 19659 . . . . . . 7  |-  ( (
Xt_ `  (/) )  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e. 
Comp )
5250, 51ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  (/) )  e.  Comp
5352a1ii 27 . . . . 5  |-  ( (/)  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  Comp ) )
54 ssun1 3667 . . . . . . . . 9  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
55 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( y  u.  {
z } )  C_  A )
5654, 55syl5ss 3515 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  y  C_  A )
5756imim1i 58 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp ) ) )
58 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  = 
U. ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )
59 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )
60 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Xt_ `  ( F  |`  (
y  u.  { z } ) ) )  =  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )
61 resabs1 5300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) )  |`  y )  =  ( F  |`  y )
)
6254, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  |`  ( y  u.  { z } ) )  |`  y )  =  ( F  |`  y )
6362eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  |`  y )  =  ( ( F  |`  (
y  u.  { z } ) )  |`  y )
6463fveq2i 5867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Xt_ `  ( F  |`  y
) )  =  (
Xt_ `  ( ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) )  |`  y )
)
65 ssun2 3668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
66 resabs1 5300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { z }  C_  (
y  u.  { z } )  ->  (
( F  |`  (
y  u.  { z } ) )  |`  { z } )  =  ( F  |`  { z } ) )
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  |`  ( y  u.  { z } ) )  |`  { z } )  =  ( F  |`  { z } )
6867eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  |`  { z } )  =  ( ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) )  |`  { z } )
6968fveq2i 5867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  =  ( Xt_ `  (
( F  |`  (
y  u.  { z } ) )  |`  { z } ) )
70 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  y
) ) ,  v  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  |->  ( u  u.  v ) )  =  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  y
) ) ,  v  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  |->  ( u  u.  v ) )
71 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
72 snex 4688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { z }  e.  _V
7371, 72unex 6580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  u.  { z } )  e.  _V
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( y  u.  { z } )  e.  _V )
75 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  F : A
--> Comp )
76 cmptop 19661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  Comp  ->  x  e. 
Top )
7776ssriv 3508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Comp  C_  Top
78 fss 5737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A --> Comp  /\  Comp  C_ 
Top )  ->  F : A --> Top )
7975, 77, 78sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  F : A
--> Top )
80 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( y  u.  { z } ) 
C_  A )
81 fssres 5749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> Top  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) : ( y  u.  { z } ) --> Top )
8279, 80, 81syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) : ( y  u. 
{ z } ) --> Top )
83 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( y  u.  { z } )  =  ( y  u. 
{ z } ) )
84 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  -.  z  e.  y )
85 disjsn 4088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
8684, 85sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( y  i^i  { z } )  =  (/) )
8758, 59, 60, 64, 69, 70, 74, 82, 83, 86ptunhmeo 20044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  y ) ) ,  v  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  |->  ( u  u.  v ) )  e.  ( ( ( Xt_ `  ( F  |`  y
) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) ) Homeo ( Xt_ `  ( F  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) ) )
88 hmphi 20013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  y ) ) ,  v  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  |->  ( u  u.  v ) )  e.  ( ( ( Xt_ `  ( F  |`  y
) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) ) Homeo ( Xt_ `  ( F  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) )  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  ~=  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  ~=  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) )
901ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  F  Fn  A )
9165, 80syl5ss 3515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  { z }  C_  A )
92 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
9392snss 4151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
9491, 93sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  z  e.  A )
95 fnressn 6071 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  Fn  A  /\  z  e.  A )  ->  ( F  |`  { z } )  =  { <. z ,  ( F `
 z ) >. } )
9690, 94, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F  |` 
{ z } )  =  { <. z ,  ( F `  z ) >. } )
9796fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  =  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `
 z ) >. } ) )
98 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z )
>. } )  =  (
Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z ) >. } )
9992a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  z  e.  _V )
10075, 94ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  Comp )
10177, 100sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  Top )
102 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. ( F `  z )  =  U. ( F `  z )
103102toptopon 19201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  z )  e.  Top  <->  ( F `  z )  e.  (TopOn `  U. ( F `  z ) ) )
104101, 103sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  (TopOn `  U. ( F `  z ) ) )
10598, 99, 104pt1hmeo 20042 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( x  e.  U. ( F `  z )  |->  { <. z ,  x >. } )  e.  ( ( F `
 z ) Homeo (
Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z ) >. } ) ) )
106 hmphi 20013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  U. ( F `  z )  |->  { <. z ,  x >. } )  e.  ( ( F `  z
) Homeo ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `
 z ) >. } ) )  -> 
( F `  z
)  ~=  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z )
>. } ) )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F `  z )  ~=  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z ) >. } ) )
108 cmphmph 20024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  ~=  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `
 z ) >. } )  ->  (
( F `  z
)  e.  Comp  ->  (
Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z ) >. } )  e.  Comp ) )
109107, 100, 108sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z )
>. } )  e.  Comp )
11097, 109eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  e. 
Comp )
111 txcmp 19879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp  /\  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  e.  Comp )  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) ) 
tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  e. 
Comp )
112111expcom 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
Xt_ `  ( F  |` 
{ z } ) )  e.  Comp  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp  ->  ( (
Xt_ `  ( F  |`  y ) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  e.  Comp ) )
113110, 112syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y
) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  e.  Comp ) )
114 cmphmph 20024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) ) 
tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  ~=  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( (
( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  e.  Comp  -> 
( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  e.  Comp )
)
11589, 113, 114sylsyld 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) )
116115expcom 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  (
( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) )
117116a2d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp )  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) )
118117ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp )  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) ) )
119118a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) ) )
12057, 119syl5 32 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) ) )
121120adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
y  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) ) )
12214, 20, 26, 32, 53, 121findcard2s 7757 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e.  Comp ) ) )
1236, 122mpi 17 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e.  Comp ) )
124123anabsi5 815 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e.  Comp )
1255, 124eqeltrrd 2556 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   <.cop 4033   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    |` cres 5001    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   X_cixp 7466   Fincfn 7513   Xt_cpt 14690   Topctop 19161  TopOnctopon 19162   Compccmp 19652    tX ctx 19796   Homeochmeo 19989    ~= chmph 19990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-cmp 19653  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-hmph 19992
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