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Theorem ptcmpfi 20905
Description: A topological product of finitely many compact spaces is compact. This weak version of Tychonoff's theorem does not require the axiom of choice. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ptcmpfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )

Proof of Theorem ptcmpfi
Dummy variables  v  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 5739 . . . . 5  |-  ( F : A --> Comp  ->  F  Fn  A )
2 fnresdm 5695 . . . . 5  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( F : A --> Comp  ->  ( F  |`  A )  =  F )
43adantl 473 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( F  |`  A )  =  F )
54fveq2d 5883 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  =  ( Xt_ `  F
) )
6 ssid 3437 . . . 4  |-  A  C_  A
7 sseq1 3439 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
8 reseq2 5106 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F  |`  x )  =  ( F  |`  (/) ) )
9 res0 5115 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
108, 9syl6eq 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F  |`  x )  =  (/) )
1110fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x
) )  =  (
Xt_ `  (/) ) )
1211eleq1d 2533 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp 
<->  ( Xt_ `  (/) )  e. 
Comp ) )
1312imbi2d 323 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e.  Comp )  <->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  Comp ) ) )
147, 13imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e.  Comp ) )  <->  ( (/)  C_  A  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  Comp ) ) ) )
15 sseq1 3439 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  A  <->  y  C_  A ) )
16 reseq2 5106 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( F  |`  x )  =  ( F  |`  y
) )
1716fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  =  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) ) )
1817eleq1d 2533 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp 
<->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp ) )
1918imbi2d 323 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp )  <->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp ) ) )
2015, 19imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  A  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp ) )  <->  ( y  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp ) ) ) )
21 sseq1 3439 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  C_  A 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )
22 reseq2 5106 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( F  |`  x )  =  ( F  |`  ( y  u.  { z } ) ) )
2322fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  =  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )
2423eleq1d 2533 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  x
) )  e.  Comp  <->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  e.  Comp )
)
2524imbi2d 323 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e.  Comp )  <->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  e.  Comp )
) )
2621, 25imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x 
C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e.  Comp ) )  <->  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  e.  Comp )
) ) )
27 sseq1 3439 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  A  <->  A  C_  A
) )
28 reseq2 5106 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( F  |`  x )  =  ( F  |`  A ) )
2928fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  =  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) ) )
3029eleq1d 2533 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp 
<->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e.  Comp ) )
3130imbi2d 323 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp )  <->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e. 
Comp ) ) )
3227, 31imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  C_  A  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp ) )  <->  ( A  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e. 
Comp ) ) ) )
33 0ex 4528 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
34 f0 5777 . . . . . . . . 9  |-  (/) : (/) --> Top
35 pttop 20674 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/) : (/) --> Top )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  Top )
3633, 34, 35mp2an 686 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  (/) )  e.  Top
37 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Xt_ `  (/) )  =  ( Xt_ `  (/) )
3837ptuni 20686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/) : (/) --> Top )  ->  X_ x  e.  (/)  U. ( (/) `  x
)  =  U. ( Xt_ `  (/) ) )
3933, 34, 38mp2an 686 . . . . . . . . . . 11  |-  X_ x  e.  (/)  U. ( (/) `  x )  =  U. ( Xt_ `  (/) )
40 ixp0x 7568 . . . . . . . . . . . 12  |-  X_ x  e.  (/)  U. ( (/) `  x )  =  { (/)
}
41 snfi 7668 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) }  e.  Fin
4240, 41eqeltri 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  X_ x  e.  (/)  U. ( (/) `  x )  e.  Fin
4339, 42eqeltrri 2546 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( Xt_ `  (/) )  e.  Fin
44 pwfi 7887 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ( Xt_ `  (/) )  e. 
Fin 
<->  ~P U. ( Xt_ `  (/) )  e.  Fin )
4543, 44mpbi 213 . . . . . . . . 9  |-  ~P U. ( Xt_ `  (/) )  e. 
Fin
46 pwuni 4631 . . . . . . . . 9  |-  ( Xt_ `  (/) )  C_  ~P U. ( Xt_ `  (/) )
47 ssfi 7810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P U. ( Xt_ `  (/) )  e.  Fin  /\  ( Xt_ `  (/) )  C_  ~P U. ( Xt_ `  (/) ) )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e. 
Fin )
4845, 46, 47mp2an 686 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  (/) )  e.  Fin
49 elin 3608 . . . . . . . 8  |-  ( (
Xt_ `  (/) )  e.  ( Top  i^i  Fin ) 
<->  ( ( Xt_ `  (/) )  e. 
Top  /\  ( Xt_ `  (/) )  e.  Fin ) )
5036, 48, 49mpbir2an 934 . . . . . . 7  |-  ( Xt_ `  (/) )  e.  ( Top  i^i  Fin )
51 fincmp 20485 . . . . . . 7  |-  ( (
Xt_ `  (/) )  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e. 
Comp )
5250, 51ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  (/) )  e.  Comp
53522a1i 12 . . . . 5  |-  ( (/)  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  Comp ) )
54 ssun1 3588 . . . . . . . . 9  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
55 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( y  u.  {
z } )  C_  A )
5654, 55syl5ss 3429 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  y  C_  A )
5756imim1i 59 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp ) ) )
58 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  = 
U. ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )
59 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )
60 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Xt_ `  ( F  |`  (
y  u.  { z } ) ) )  =  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )
61 resabs1 5139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) )  |`  y )  =  ( F  |`  y )
)
6254, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  |`  ( y  u.  { z } ) )  |`  y )  =  ( F  |`  y )
6362eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  |`  y )  =  ( ( F  |`  (
y  u.  { z } ) )  |`  y )
6463fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Xt_ `  ( F  |`  y
) )  =  (
Xt_ `  ( ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) )  |`  y )
)
65 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
66 resabs1 5139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { z }  C_  (
y  u.  { z } )  ->  (
( F  |`  (
y  u.  { z } ) )  |`  { z } )  =  ( F  |`  { z } ) )
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  |`  ( y  u.  { z } ) )  |`  { z } )  =  ( F  |`  { z } )
6867eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  |`  { z } )  =  ( ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) )  |`  { z } )
6968fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  =  ( Xt_ `  (
( F  |`  (
y  u.  { z } ) )  |`  { z } ) )
70 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  y
) ) ,  v  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  |->  ( u  u.  v ) )  =  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  y
) ) ,  v  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  |->  ( u  u.  v ) )
71 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
72 snex 4641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { z }  e.  _V
7371, 72unex 6608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  u.  { z } )  e.  _V
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( y  u.  { z } )  e.  _V )
75 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  F : A
--> Comp )
76 cmptop 20487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  Comp  ->  x  e. 
Top )
7776ssriv 3422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Comp  C_  Top
78 fss 5749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A --> Comp  /\  Comp  C_ 
Top )  ->  F : A --> Top )
7975, 77, 78sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  F : A
--> Top )
80 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( y  u.  { z } ) 
C_  A )
8179, 80fssresd 5762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) : ( y  u. 
{ z } ) --> Top )
82 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( y  u.  { z } )  =  ( y  u. 
{ z } ) )
83 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  -.  z  e.  y )
84 disjsn 4023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
8583, 84sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( y  i^i  { z } )  =  (/) )
8658, 59, 60, 64, 69, 70, 74, 81, 82, 85ptunhmeo 20900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  y ) ) ,  v  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  |->  ( u  u.  v ) )  e.  ( ( ( Xt_ `  ( F  |`  y
) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) ) Homeo ( Xt_ `  ( F  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) ) )
87 hmphi 20869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  y ) ) ,  v  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  |->  ( u  u.  v ) )  e.  ( ( ( Xt_ `  ( F  |`  y
) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) ) Homeo ( Xt_ `  ( F  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) )  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  ~=  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) )
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  ~=  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) )
891ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  F  Fn  A )
9065, 80syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  { z }  C_  A )
91 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
9291snss 4087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
9390, 92sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  z  e.  A )
94 fnressn 6092 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  Fn  A  /\  z  e.  A )  ->  ( F  |`  { z } )  =  { <. z ,  ( F `
 z ) >. } )
9589, 93, 94syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F  |` 
{ z } )  =  { <. z ,  ( F `  z ) >. } )
9695fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  =  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `
 z ) >. } ) )
97 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z )
>. } )  =  (
Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z ) >. } )
9891a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  z  e.  _V )
9975, 93ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  Comp )
10077, 99sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  Top )
101 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. ( F `  z )  =  U. ( F `  z )
102101toptopon 20025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  z )  e.  Top  <->  ( F `  z )  e.  (TopOn `  U. ( F `  z ) ) )
103100, 102sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  (TopOn `  U. ( F `  z ) ) )
10497, 98, 103pt1hmeo 20898 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( x  e.  U. ( F `  z )  |->  { <. z ,  x >. } )  e.  ( ( F `
 z ) Homeo (
Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z ) >. } ) ) )
105 hmphi 20869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  U. ( F `  z )  |->  { <. z ,  x >. } )  e.  ( ( F `  z
) Homeo ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `
 z ) >. } ) )  -> 
( F `  z
)  ~=  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z )
>. } ) )
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F `  z )  ~=  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z ) >. } ) )
107 cmphmph 20880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  ~=  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `
 z ) >. } )  ->  (
( F `  z
)  e.  Comp  ->  (
Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z ) >. } )  e.  Comp ) )
108106, 99, 107sylc 61 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z )
>. } )  e.  Comp )
10996, 108eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  e. 
Comp )
110 txcmp 20735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp  /\  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  e.  Comp )  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) ) 
tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  e. 
Comp )
111110expcom 442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
Xt_ `  ( F  |` 
{ z } ) )  e.  Comp  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp  ->  ( (
Xt_ `  ( F  |`  y ) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  e.  Comp ) )
112109, 111syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y
) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  e.  Comp ) )
113 cmphmph 20880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) ) 
tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  ~=  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( (
( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  e.  Comp  -> 
( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  e.  Comp )
)
11488, 112, 113sylsyld 57 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) )
115114expcom 442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  (
( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) )
116115a2d 28 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp )  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) )
117116ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp )  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) ) )
118117a2d 28 . . . . . . 7  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) ) )
11957, 118syl5 32 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) ) )
120119adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
y  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) ) )
12114, 20, 26, 32, 53, 120findcard2s 7830 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e.  Comp ) ) )
1226, 121mpi 20 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e.  Comp ) )
123122anabsi5 833 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e.  Comp )
1245, 123eqeltrrd 2550 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   <.cop 3965   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    |` cres 4841    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   X_cixp 7540   Fincfn 7587   Xt_cpt 15415   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   Compccmp 20478    tX ctx 20652   Homeochmeo 20845    ~= chmph 20846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-hmph 20848
This theorem is referenced by:  poimirlem30  32034
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