MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcmp Structured version   Unicode version

Theorem ptcmp 20431
Description: Tychonoff's theorem: The product of compact spaces is compact. The proof uses the Axiom of Choice. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ptcmp  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )

Proof of Theorem ptcmp
StepHypRef Expression
1 fvex 5866 . . . . 5  |-  ( Xt_ `  F )  e.  _V
21uniex 6581 . . . 4  |-  U. ( Xt_ `  F )  e. 
_V
3 axac3 8847 . . . . 5  |- CHOICE
4 acufl 20291 . . . . 5  |-  (CHOICE  -> UFL  =  _V )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |- UFL  =  _V
62, 5eleqtrri 2530 . . 3  |-  U. ( Xt_ `  F )  e. UFL
7 cardeqv 8852 . . . 4  |-  dom  card  =  _V
82, 7eleqtrri 2530 . . 3  |-  U. ( Xt_ `  F )  e. 
dom  card
9 elin 3672 . . 3  |-  ( U. ( Xt_ `  F )  e.  (UFL  i^i  dom  card )  <->  ( U. ( Xt_ `  F )  e. UFL  /\  U. ( Xt_ `  F
)  e.  dom  card ) )
106, 8, 9mpbir2an 920 . 2  |-  U. ( Xt_ `  F )  e.  (UFL  i^i  dom  card )
11 eqid 2443 . . 3  |-  ( Xt_ `  F )  =  (
Xt_ `  F )
12 eqid 2443 . . 3  |-  U. ( Xt_ `  F )  = 
U. ( Xt_ `  F
)
1311, 12ptcmpg 20430 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Comp  /\  U. ( Xt_ `  F )  e.  (UFL  i^i  dom  card ) )  ->  ( Xt_ `  F )  e. 
Comp )
1410, 13mp3an3 1314 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    i^i cin 3460   U.cuni 4234   dom cdm 4989   -->wf 5574   ` cfv 5578   cardccrd 8319  CHOICEwac 8499   Xt_cpt 14713   Compccmp 19759  UFLcufl 20274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-ac2 8846
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-rpss 6565  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-wdom 7988  df-card 8323  df-acn 8326  df-ac 8500  df-cda 8551  df-topgen 14718  df-pt 14719  df-fbas 18290  df-fg 18291  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-cld 19393  df-ntr 19394  df-cls 19395  df-nei 19472  df-cmp 19760  df-fil 20220  df-ufil 20275  df-ufl 20276  df-flim 20313  df-fcls 20315
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator