MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcmp Structured version   Unicode version

Theorem ptcmp 19748
Description: Tychonoff's theorem: The product of compact spaces is compact. The proof uses the Axiom of Choice. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ptcmp  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )

Proof of Theorem ptcmp
StepHypRef Expression
1 fvex 5801 . . . . 5  |-  ( Xt_ `  F )  e.  _V
21uniex 6478 . . . 4  |-  U. ( Xt_ `  F )  e. 
_V
3 axac3 8736 . . . . 5  |- CHOICE
4 acufl 19608 . . . . 5  |-  (CHOICE  -> UFL  =  _V )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |- UFL  =  _V
62, 5eleqtrri 2538 . . 3  |-  U. ( Xt_ `  F )  e. UFL
7 cardeqv 8741 . . . 4  |-  dom  card  =  _V
82, 7eleqtrri 2538 . . 3  |-  U. ( Xt_ `  F )  e. 
dom  card
9 elin 3639 . . 3  |-  ( U. ( Xt_ `  F )  e.  (UFL  i^i  dom  card )  <->  ( U. ( Xt_ `  F )  e. UFL  /\  U. ( Xt_ `  F
)  e.  dom  card ) )
106, 8, 9mpbir2an 911 . 2  |-  U. ( Xt_ `  F )  e.  (UFL  i^i  dom  card )
11 eqid 2451 . . 3  |-  ( Xt_ `  F )  =  (
Xt_ `  F )
12 eqid 2451 . . 3  |-  U. ( Xt_ `  F )  = 
U. ( Xt_ `  F
)
1311, 12ptcmpg 19747 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Comp  /\  U. ( Xt_ `  F )  e.  (UFL  i^i  dom  card ) )  ->  ( Xt_ `  F )  e. 
Comp )
1410, 13mp3an3 1304 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3070    i^i cin 3427   U.cuni 4191   dom cdm 4940   -->wf 5514   ` cfv 5518   cardccrd 8208  CHOICEwac 8388   Xt_cpt 14481   Compccmp 19107  UFLcufl 19591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-ac2 8735
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-rpss 6462  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-omul 7027  df-er 7203  df-map 7318  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fi 7764  df-wdom 7877  df-card 8212  df-acn 8215  df-ac 8389  df-cda 8440  df-topgen 14486  df-pt 14487  df-fbas 17925  df-fg 17926  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-cld 18741  df-ntr 18742  df-cls 18743  df-nei 18820  df-cmp 19108  df-fil 19537  df-ufil 19592  df-ufl 19593  df-flim 19630  df-fcls 19632
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator