MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcmp Structured version   Unicode version

Theorem ptcmp 20643
Description: Tychonoff's theorem: The product of compact spaces is compact. The proof uses the Axiom of Choice. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ptcmp  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )

Proof of Theorem ptcmp
StepHypRef Expression
1 fvex 5784 . . . . 5  |-  ( Xt_ `  F )  e.  _V
21uniex 6495 . . . 4  |-  U. ( Xt_ `  F )  e. 
_V
3 axac3 8757 . . . . 5  |- CHOICE
4 acufl 20503 . . . . 5  |-  (CHOICE  -> UFL  =  _V )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |- UFL  =  _V
62, 5eleqtrri 2469 . . 3  |-  U. ( Xt_ `  F )  e. UFL
7 cardeqv 8762 . . . 4  |-  dom  card  =  _V
82, 7eleqtrri 2469 . . 3  |-  U. ( Xt_ `  F )  e. 
dom  card
9 elin 3601 . . 3  |-  ( U. ( Xt_ `  F )  e.  (UFL  i^i  dom  card )  <->  ( U. ( Xt_ `  F )  e. UFL  /\  U. ( Xt_ `  F
)  e.  dom  card ) )
106, 8, 9mpbir2an 918 . 2  |-  U. ( Xt_ `  F )  e.  (UFL  i^i  dom  card )
11 eqid 2382 . . 3  |-  ( Xt_ `  F )  =  (
Xt_ `  F )
12 eqid 2382 . . 3  |-  U. ( Xt_ `  F )  = 
U. ( Xt_ `  F
)
1311, 12ptcmpg 20642 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Comp  /\  U. ( Xt_ `  F )  e.  (UFL  i^i  dom  card ) )  ->  ( Xt_ `  F )  e. 
Comp )
1410, 13mp3an3 1311 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   _Vcvv 3034    i^i cin 3388   U.cuni 4163   dom cdm 4913   -->wf 5492   ` cfv 5496   cardccrd 8229  CHOICEwac 8409   Xt_cpt 14846   Compccmp 19972  UFLcufl 20486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-ac2 8756
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-rpss 6479  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-omul 7053  df-er 7229  df-map 7340  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fi 7786  df-wdom 7900  df-card 8233  df-acn 8236  df-ac 8410  df-cda 8461  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-cmp 19973  df-fil 20432  df-ufil 20487  df-ufl 20488  df-flim 20525  df-fcls 20527
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator