MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcmp Structured version   Unicode version

Theorem ptcmp 20286
Description: Tychonoff's theorem: The product of compact spaces is compact. The proof uses the Axiom of Choice. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ptcmp  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )

Proof of Theorem ptcmp
StepHypRef Expression
1 fvex 5867 . . . . 5  |-  ( Xt_ `  F )  e.  _V
21uniex 6571 . . . 4  |-  U. ( Xt_ `  F )  e. 
_V
3 axac3 8833 . . . . 5  |- CHOICE
4 acufl 20146 . . . . 5  |-  (CHOICE  -> UFL  =  _V )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |- UFL  =  _V
62, 5eleqtrri 2547 . . 3  |-  U. ( Xt_ `  F )  e. UFL
7 cardeqv 8838 . . . 4  |-  dom  card  =  _V
82, 7eleqtrri 2547 . . 3  |-  U. ( Xt_ `  F )  e. 
dom  card
9 elin 3680 . . 3  |-  ( U. ( Xt_ `  F )  e.  (UFL  i^i  dom  card )  <->  ( U. ( Xt_ `  F )  e. UFL  /\  U. ( Xt_ `  F
)  e.  dom  card ) )
106, 8, 9mpbir2an 913 . 2  |-  U. ( Xt_ `  F )  e.  (UFL  i^i  dom  card )
11 eqid 2460 . . 3  |-  ( Xt_ `  F )  =  (
Xt_ `  F )
12 eqid 2460 . . 3  |-  U. ( Xt_ `  F )  = 
U. ( Xt_ `  F
)
1311, 12ptcmpg 20285 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Comp  /\  U. ( Xt_ `  F )  e.  (UFL  i^i  dom  card ) )  ->  ( Xt_ `  F )  e. 
Comp )
1410, 13mp3an3 1308 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106    i^i cin 3468   U.cuni 4238   dom cdm 4992   -->wf 5575   ` cfv 5579   cardccrd 8305  CHOICEwac 8485   Xt_cpt 14683   Compccmp 19645  UFLcufl 20129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-ac2 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-rpss 6555  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-er 7301  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fi 7860  df-wdom 7974  df-card 8309  df-acn 8312  df-ac 8486  df-cda 8537  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-cmp 19646  df-fil 20075  df-ufil 20130  df-ufl 20131  df-flim 20168  df-fcls 20170
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator