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Theorem ptclsg 19088
Description: The closure of a box in the product topology is the box formed from the closures of the factors. The proof uses the axiom of choice; the last hypothesis is the choice assumption. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcls.2  |-  J  =  ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  R ) )
ptcls.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcls.j  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  R  e.  (TopOn `  X )
)
ptcls.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  C_  X )
ptclsg.1  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  S  e. AC  A )
Assertion
Ref Expression
ptclsg  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S )  = 
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)
Distinct variable groups:    ph, k    A, k
Allowed substitution hints:    R( k)    S( k)    J( k)    V( k)    X( k)

Proof of Theorem ptclsg
Dummy variables  f 
g  u  x  y  z  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcls.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 ptcls.j . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  R  e.  (TopOn `  X )
)
3 topontop 18431 . . . . . 6  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  R  e.  Top )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  R  e.  Top )
5 ptcls.c . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  C_  X )
6 toponuni 18432 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. R )
72, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  =  U. R )
85, 7sseqtrd 3389 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  C_ 
U. R )
9 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  U. R  =  U. R
109clscld 18551 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  C_  U. R )  ->  ( ( cls `  R ) `  S
)  e.  ( Clsd `  R ) )
114, 8, 10syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( cls `  R
) `  S )  e.  ( Clsd `  R
) )
121, 4, 11ptcldmpt 19087 . . . 4  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  R ) ) ) )
13 ptcls.2 . . . . 5  |-  J  =  ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  R ) )
1413fveq2i 5691 . . . 4  |-  ( Clsd `  J )  =  (
Clsd `  ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  R ) ) )
1512, 14syl6eleqr 2532 . . 3  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )
169sscls 18560 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  C_  U. R )  ->  S  C_  (
( cls `  R
) `  S )
)
174, 8, 16syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  C_  ( ( cls `  R
) `  S )
)
1817ralrimiva 2797 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  S  C_  ( ( cls `  R ) `  S
) )
19 ss2ixp 7272 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  S  C_  ( ( cls `  R
) `  S )  -> 
X_ k  e.  A  S  C_  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)
2018, 19syl 16 . . 3  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  S  C_  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)
21 eqid 2441 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
2221clsss2 18576 . . 3  |-  ( (
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  X_ k  e.  A  S  C_  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R ) `  S ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S )  C_  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)
2315, 20, 22syl2anc 656 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S )  C_  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)
24 vex 2973 . . . . . . . 8  |-  u  e. 
_V
25 eqeq1 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  (
x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y )  <->  u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
2625anbi2d 698 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  <->  ( (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  u  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) ) )
2726exbidv 1685 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  <->  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) ) )
2824, 27elab 3103 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) }  <->  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
29 nffvmpt1 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )
3029nfel2 2589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ( g `  y
)  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )
31 nfv 1678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y ( g `  k
)  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  k )
32 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  k  ->  (
g `  y )  =  ( g `  k ) )
33 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  k  ->  (
( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  =  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  k ) )
3432, 33eleq12d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  k  ->  (
( g `  y
)  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  <-> 
( g `  k
)  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  k ) ) )
3530, 31, 34cbvral 2941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  <->  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  k
) )
36 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
37 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  A  |->  R )  =  ( k  e.  A  |->  R )
3837fvmpt2 5778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  A  /\  R  e.  (TopOn `  X
) )  ->  (
( k  e.  A  |->  R ) `  k
)  =  R )
3936, 2, 38syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  R ) `  k
)  =  R )
4039eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( g `  k
)  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  k )  <-> 
( g `  k
)  e.  R ) )
4140ralbidva 2729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  k
)  <->  A. k  e.  A  ( g `  k
)  e.  R ) )
4235, 41syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  <->  A. k  e.  A  ( g `  k
)  e.  R ) )
4342anbi2d 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
) )  <->  ( g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R
) ) )
4443adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  ( (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  <-> 
( g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k
)  e.  R ) ) )
4544biimpa 481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
) ) )  -> 
( g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k
)  e.  R ) )
46 ptclsg.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  S  e. AC  A )
4746ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  U_ k  e.  A  S  e. AC  A )
48 simpll 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  ph )
49 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  f  e. 
_V
5049elixp 7266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  <->  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( ( cls `  R ) `  S
) ) )
5150simprbi 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  ->  A. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  ( ( cls `  R ) `
 S ) )
5251ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  ( ( cls `  R ) `
 S ) )
539clsndisj 18579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  C_  U. R  /\  ( f `  k
)  e.  ( ( cls `  R ) `
 S ) )  /\  ( ( g `
 k )  e.  R  /\  ( f `
 k )  e.  ( g `  k
) ) )  -> 
( ( g `  k )  i^i  S
)  =/=  (/) )
5453ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  C_  U. R  /\  ( f `  k
)  e.  ( ( cls `  R ) `
 S ) )  ->  ( ( ( g `  k )  e.  R  /\  (
f `  k )  e.  ( g `  k
) )  ->  (
( g `  k
)  i^i  S )  =/=  (/) ) )
55543expia 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  C_  U. R )  ->  ( ( f `
 k )  e.  ( ( cls `  R
) `  S )  ->  ( ( ( g `
 k )  e.  R  /\  ( f `
 k )  e.  ( g `  k
) )  ->  (
( g `  k
)  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
564, 8, 55syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( f `  k
)  e.  ( ( cls `  R ) `
 S )  -> 
( ( ( g `
 k )  e.  R  /\  ( f `
 k )  e.  ( g `  k
) )  ->  (
( g `  k
)  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
5756ralimdva 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( ( cls `  R
) `  S )  ->  A. k  e.  A  ( ( ( g `
 k )  e.  R  /\  ( f `
 k )  e.  ( g `  k
) )  ->  (
( g `  k
)  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
5848, 52, 57sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( ( g `
 k )  e.  R  /\  ( f `
 k )  e.  ( g `  k
) )  ->  (
( g `  k
)  i^i  S )  =/=  (/) ) )
59 simprlr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( g `  k
)  e.  R )
60 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  f  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )
)
6132cbvixpv 7277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  X_ y  e.  A  ( g `  y )  =  X_ k  e.  A  (
g `  k )
6260, 61syl6eleq 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  f  e.  X_ k  e.  A  (
g `  k )
)
6349elixp 7266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  e.  X_ k  e.  A  ( g `  k
)  <->  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( g `  k ) ) )
6463simprbi 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  e.  X_ k  e.  A  ( g `  k
)  ->  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( g `  k ) )
6562, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  ( g `
 k ) )
66 r19.26 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. k  e.  A  (
( g `  k
)  e.  R  /\  ( f `  k
)  e.  ( g `
 k ) )  <-> 
( A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R  /\  A. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  ( g `
 k ) ) )
6759, 65, 66sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( g `  k )  e.  R  /\  ( f `  k
)  e.  ( g `
 k ) ) )
68 ralim 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. k  e.  A  (
( ( g `  k )  e.  R  /\  ( f `  k
)  e.  ( g `
 k ) )  ->  ( ( g `
 k )  i^i 
S )  =/=  (/) )  -> 
( A. k  e.  A  ( ( g `
 k )  e.  R  /\  ( f `
 k )  e.  ( g `  k
) )  ->  A. k  e.  A  ( (
g `  k )  i^i  S )  =/=  (/) ) )
6958, 67, 68sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( g `  k )  i^i  S
)  =/=  (/) )
70 rabn0 3654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { z  e.  U_ k  e.  A  S  | 
z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S ) }  =/=  (/)  <->  E. z  e.  U_  k  e.  A  S
z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S ) )
71 dfin5 3333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( U_ k  e.  A  S  i^i  ( ( g `  k )  i^i  S
) )  =  {
z  e.  U_ k  e.  A  S  | 
z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S ) }
72 inss2 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g `  k )  i^i  S )  C_  S
73 ssiun2 4210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  A  ->  S  C_ 
U_ k  e.  A  S )
7472, 73syl5ss 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  A  ->  (
( g `  k
)  i^i  S )  C_ 
U_ k  e.  A  S )
75 dfss1 3552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g `  k
)  i^i  S )  C_ 
U_ k  e.  A  S 
<->  ( U_ k  e.  A  S  i^i  (
( g `  k
)  i^i  S )
)  =  ( ( g `  k )  i^i  S ) )
7674, 75sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  A  ->  ( U_ k  e.  A  S  i^i  ( ( g `
 k )  i^i 
S ) )  =  ( ( g `  k )  i^i  S
) )
7771, 76syl5eqr 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  A  ->  { z  e.  U_ k  e.  A  S  |  z  e.  ( ( g `
 k )  i^i 
S ) }  =  ( ( g `  k )  i^i  S
) )
7877neeq1d 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  A  ->  ( { z  e.  U_ k  e.  A  S  |  z  e.  (
( g `  k
)  i^i  S ) }  =/=  (/)  <->  ( ( g `
 k )  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
7970, 78syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  A  ->  ( E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S
)  <->  ( ( g `
 k )  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
8079ralbiia 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  A  E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S
)  <->  A. k  e.  A  ( ( g `  k )  i^i  S
)  =/=  (/) )
8169, 80sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S
) )
82 nfv 1678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y E. z  e.  U_  k  e.  A  S
z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S )
83 nfiu1 4197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k U_ k  e.  A  S
84 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ k
( g `  y
)
85 nfcsb1v 3301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ k [_ y  /  k ]_ S
8684, 85nfin 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k
( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S
)
8786nfel2 2589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ k  z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S )
8883, 87nfrex 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k E. z  e.  U_  k  e.  A  S
z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S )
89 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  y  ->  (
g `  k )  =  ( g `  y ) )
90 csbeq1a 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  y  ->  S  =  [_ y  /  k ]_ S )
9189, 90ineq12d 3550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  (
( g `  k
)  i^i  S )  =  ( ( g `
 y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S ) )
9291eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  y  ->  (
z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S )  <->  z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S
) ) )
9392rexbidv 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  y  ->  ( E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S
)  <->  E. z  e.  U_  k  e.  A  S
z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S ) ) )
9482, 88, 93cbvral 2941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  A  E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S
)  <->  A. y  e.  A  E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S
) )
9581, 94sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. y  e.  A  E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S
) )
96 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( h `  y )  ->  (
z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S )  <->  ( h `  y )  e.  ( ( g `  y
)  i^i  [_ y  / 
k ]_ S ) ) )
9796acni3 8213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
U_ k  e.  A  S  e. AC  A  /\  A. y  e.  A  E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S
) )  ->  E. h
( h : A --> U_ k  e.  A  S  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S ) ) )
9847, 95, 97syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  E. h ( h : A --> U_ k  e.  A  S  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( ( g `
 y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S ) ) )
99 ffn 5556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h : A --> U_ k  e.  A  S  ->  h  Fn  A )
100 nfv 1678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ y ( h `  k
)  e.  ( ( g `  k )  i^i  S )
10186nfel2 2589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ k ( h `  y
)  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S )
102 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  (
h `  k )  =  ( h `  y ) )
103102, 91eleq12d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  y  ->  (
( h `  k
)  e.  ( ( g `  k )  i^i  S )  <->  ( h `  y )  e.  ( ( g `  y
)  i^i  [_ y  / 
k ]_ S ) ) )
104100, 101, 103cbvral 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  A  (
h `  k )  e.  ( ( g `  k )  i^i  S
)  <->  A. y  e.  A  ( h `  y
)  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S ) )
105 ne0i 3640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  e.  X_ k  e.  A  ( ( g `  k )  i^i  S
)  ->  X_ k  e.  A  ( ( g `
 k )  i^i 
S )  =/=  (/) )
106 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  h  e. 
_V
107106elixp 7266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  e.  X_ k  e.  A  ( ( g `  k )  i^i  S
)  <->  ( h  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( h `  k )  e.  ( ( g `  k
)  i^i  S )
) )
108 ixpin 7284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  X_ k  e.  A  ( (
g `  k )  i^i  S )  =  (
X_ k  e.  A  ( g `  k
)  i^i  X_ k  e.  A  S )
10961ineq1i 3545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( X_ y  e.  A  (
g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =  (
X_ k  e.  A  ( g `  k
)  i^i  X_ k  e.  A  S )
110108, 109eqtr4i 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  X_ k  e.  A  ( (
g `  k )  i^i  S )  =  (
X_ y  e.  A  ( g `  y
)  i^i  X_ k  e.  A  S )
111110neeq1i 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X_ k  e.  A  (
( g `  k
)  i^i  S )  =/=  (/)  <->  ( X_ y  e.  A  ( g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) )
112105, 107, 1113imtr3i 265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( h  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( h `  k )  e.  ( ( g `
 k )  i^i 
S ) )  -> 
( X_ y  e.  A  ( g `  y
)  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) )
113104, 112sylan2br 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( ( g `
 y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S ) )  -> 
( X_ y  e.  A  ( g `  y
)  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) )
11499, 113sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( h : A --> U_ k  e.  A  S  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( ( g `
 y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S ) )  -> 
( X_ y  e.  A  ( g `  y
)  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) )
115114exlimiv 1693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. h ( h : A --> U_ k  e.  A  S  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( ( g `  y
)  i^i  [_ y  / 
k ]_ S ) )  ->  ( X_ y  e.  A  ( g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) )
11698, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  ( X_ y  e.  A  ( g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) )
117116expr 612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R
) )  ->  (
f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  ->  ( X_ y  e.  A  ( g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) )
11845, 117syldan 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
) ) )  -> 
( f  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  ->  ( X_ y  e.  A  ( g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) )
1191183adantr3 1144 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) ) )  ->  ( f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( X_ y  e.  A  (
g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) )
120 eleq2 2502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( f  e.  u  <->  f  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) )
121 ineq1 3542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =  (
X_ y  e.  A  ( g `  y
)  i^i  X_ k  e.  A  S ) )
122121neeq1d 2619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( (
u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) 
<->  ( X_ y  e.  A  ( g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) )
123120, 122imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( (
f  e.  u  -> 
( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) )  <->  ( f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( X_ y  e.  A  (
g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) ) )
124119, 123syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) ) )  ->  ( u  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( f  e.  u  ->  ( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) ) )
125124expimpd 600 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  ( (
( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. (
( k  e.  A  |->  R ) `  y
) )  /\  u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  ->  (
f  e.  u  -> 
( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) ) )
126125exlimdv 1695 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  -> 
( f  e.  u  ->  ( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) ) )
12728, 126syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  ( u  e.  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  ->  ( f  e.  u  ->  ( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) ) )
128127ralrimiv 2796 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  A. u  e.  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  ( f  e.  u  ->  ( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) )
1294, 37fmptd 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  R ) : A --> Top )
130 ffn 5556 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  A  |->  R ) : A --> Top  ->  ( k  e.  A  |->  R )  Fn  A )
131129, 130syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  R )  Fn  A
)
132 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) }  =  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }
133132ptval 19043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( k  e.  A  |->  R )  Fn  A
)  ->  ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  R ) )  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) } ) )
1341, 131, 133syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  R ) )  =  (
topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) } ) )
13513, 134syl5eq 2485 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } ) )
136135adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  J  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) } ) )
1372ralrimiva 2797 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  R  e.  (TopOn `  X
) )
13813pttopon 19069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  R  e.  (TopOn `  X )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X_ k  e.  A  X ) )
1391, 137, 138syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X_ k  e.  A  X
) )
140 toponuni 18432 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X_ k  e.  A  X )  -> 
X_ k  e.  A  X  =  U. J )
141139, 140syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  X  =  U. J )
142141adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  X_ k  e.  A  X  =  U. J )
143132ptbas 19052 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( k  e.  A  |->  R ) : A --> Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) }  e.  TopBases )
1441, 129, 143syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  e.  TopBases )
145144adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) }  e.  TopBases )
1465ralrimiva 2797 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  S  C_  X )
147 ss2ixp 7272 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  S  C_  X  ->  X_ k  e.  A  S  C_  X_ k  e.  A  X )
148146, 147syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  S  C_  X_ k  e.  A  X )
149148adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  X_ k  e.  A  S  C_  X_ k  e.  A  X )
1509clsss3 18563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  C_  U. R )  ->  ( ( cls `  R ) `  S
)  C_  U. R )
1514, 8, 150syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( cls `  R
) `  S )  C_ 
U. R )
152151, 7sseqtr4d 3390 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( cls `  R
) `  S )  C_  X )
153152ralrimiva 2797 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  C_  X )
154 ss2ixp 7272 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  (
( cls `  R
) `  S )  C_  X  ->  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R ) `  S
)  C_  X_ k  e.  A  X )
155153, 154syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  C_  X_ k  e.  A  X )
156155sselda 3353 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  f  e.  X_ k  e.  A  X
)
157136, 142, 145, 149, 156elcls3 18587 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  ( f  e.  ( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S )  <->  A. u  e.  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  ( f  e.  u  ->  ( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) ) )
158128, 157mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  f  e.  ( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S ) )
159158ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ k  e.  A  (
( cls `  R
) `  S )  ->  f  e.  ( ( cls `  J ) `
 X_ k  e.  A  S ) ) )
160159ssrdv 3359 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  C_  ( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S ) )
16123, 160eqssd 3370 1  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S )  = 
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761   {cab 2427    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   [_csb 3285    \ cdif 3322    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   U.cuni 4088   U_ciun 4168    e. cmpt 4347    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415   X_cixp 7259   Fincfn 7306  AC wacn 8104   topGenctg 14372   Xt_cpt 14373   Topctop 18398  TopOnctopon 18399   TopBasesctb 18402   Clsdccld 18520   clsccl 18522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-fin 7310  df-fi 7657  df-acn 8108  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525
This theorem is referenced by:  ptcls  19089  dfac14  19091
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