Theorem ptclsg 20679

Description: The closure of a box in the product topology is the box formed from the closures of the factors. The proof uses the axiom of choice; the last hypothesis is the choice assumption. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptcls.2	|- J = ( Xt_ ` ( k e. A |-> R ) )
ptcls.a	|- ( ph -> A e. V )
ptcls.j	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> R e. (TopOn ` X ) )
ptcls.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> S C_ X )
ptclsg.1	|- ( ph -> U_ k e. A S e. AC A )

Assertion

Ref	Expression
ptclsg	|- ( ph -> ( ( cls ` J ) ` X_ k e. A S ) = X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) )

Distinct variable groups:   ph, k   A, k

Allowed substitution hints:   R( k)   S( k)   J( k)   V( k)   X( k)

Proof of Theorem ptclsg

Dummy variables f g u x y z h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptcls.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
2		ptcls.j	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> R e. (TopOn ` X ) )
3		topontop 19990	. . . . . 6 |- ( R e. (TopOn ` X ) -> R e. Top )
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> R e. Top )
5		ptcls.c	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> S C_ X )
6		toponuni 19991	. . . . . . . 8 |- ( R e. (TopOn ` X ) -> X = U. R )
7	2, 6	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> X = U. R )
8	5, 7	sseqtrd 3480	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> S C_ U. R )
9		eqid 2462	. . . . . . 7 |- U. R = U. R
10	9	clscld 20111	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S C_ U. R ) -> ( ( cls ` R ) ` S ) e. ( Clsd ` R ) )
11	4, 8, 10	syl2anc 671	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( cls ` R ) ` S ) e. ( Clsd ` R ) )
12	1, 4, 11	ptcldmpt 20678	. . . 4 |- ( ph -> X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` ( k e. A |-> R ) ) ) )
13		ptcls.2	. . . . 5 |- J = ( Xt_ ` ( k e. A |-> R ) )
14	13	fveq2i 5891	. . . 4 |- ( Clsd ` J ) = ( Clsd ` ( Xt_ ` ( k e. A |-> R ) ) )
15	12, 14	syl6eleqr 2551	. . 3 |- ( ph -> X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) e. ( Clsd ` J ) )
16	9	sscls 20120	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S C_ U. R ) -> S C_ ( ( cls ` R ) ` S ) )
17	4, 8, 16	syl2anc 671	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> S C_ ( ( cls ` R ) ` S ) )
18	17	ralrimiva 2814	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. A S C_ ( ( cls ` R ) ` S ) )
19		ss2ixp 7561	. . . 4 |- ( A. k e. A S C_ ( ( cls ` R ) ` S ) -> X_ k e. A S C_ X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) )
20	18, 19	syl 17	. . 3 |- ( ph -> X_ k e. A S C_ X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) )
21		eqid 2462	. . . 4 |- U. J = U. J
22	21	clsss2 20137	. . 3 |- ( ( X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) e. ( Clsd ` J ) /\ X_ k e. A S C_ X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) -> ( ( cls ` J ) ` X_ k e. A S ) C_ X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) )
23	15, 20, 22	syl2anc 671	. 2 |- ( ph -> ( ( cls ` J ) ` X_ k e. A S ) C_ X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) )
24		vex 3060	. . . . . . . 8 |- u e. _V
25		eqeq1 2466	. . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> ( x = X_ y e. A ( g ` y ) <-> u = X_ y e. A ( g ` y ) ) )
26	25	anbi2d 715	. . . . . . . . 9 |- ( x = u -> ( ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) <-> ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) /\ u = X_ y e. A ( g ` y ) ) ) )
27	26	exbidv 1779	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> ( E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) <-> E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) /\ u = X_ y e. A ( g ` y ) ) ) )
28	24, 27	elab 3197	. . . . . . 7 |- ( u e. { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } <-> E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) /\ u = X_ y e. A ( g ` y ) ) )
29		nffvmpt1 5896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k ( ( k e. A |-> R ) ` y )
30	29	nfel2 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y )
31		nfv 1772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ y ( g ` k ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` k )
32		fveq2 5888	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = k -> ( g ` y ) = ( g ` k ) )
33		fveq2 5888	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = k -> ( ( k e. A |-> R ) ` y ) = ( ( k e. A |-> R ) ` k ) )
34	32, 33	eleq12d 2534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = k -> ( ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) <-> ( g ` k ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` k ) ) )
35	30, 31, 34	cbvral 3027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) <-> A. k e. A ( g ` k ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` k ) )
36		simpr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. A )
37		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. A |-> R ) = ( k e. A |-> R )
38	37	fvmpt2 5980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. A /\ R e. (TopOn ` X ) ) -> ( ( k e. A |-> R ) ` k ) = R )
39	36, 2, 38	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k e. A |-> R ) ` k ) = R )
40	39	eleq2d 2525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( g ` k ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` k ) <-> ( g ` k ) e. R ) )
41	40	ralbidva 2836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( A. k e. A ( g ` k ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` k ) <-> A. k e. A ( g ` k ) e. R ) )
42	35, 41	syl5bb 265	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) <-> A. k e. A ( g ` k ) e. R ) )
43	42	anbi2d 715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) <-> ( g Fn A /\ A. k e. A ( g ` k ) e. R ) ) )
44	43	adantr 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) -> ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) <-> ( g Fn A /\ A. k e. A ( g ` k ) e. R ) ) )
45	44	biimpa 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) ) -> ( g Fn A /\ A. k e. A ( g ` k ) e. R ) )
46		ptclsg.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> U_ k e. A S e. AC A )
47	46	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) /\ ( ( g Fn A /\ A. k e. A ( g ` k ) e. R ) /\ f e. X_ y e. A ( g ` y ) ) ) -> U_ k e. A S e. AC A )
48		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) /\ ( ( g Fn A /\ A. k e. A ( g ` k ) e. R ) /\ f e. X_ y e. A ( g ` y ) ) ) -> ph )
49		vex 3060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- f e. _V
50	49	elixp 7555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) <-> ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( ( cls ` R ) ` S ) ) )
51	50	simprbi 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) -> A. k e. A ( f ` k ) e. ( ( cls ` R ) ` S ) )
52	51	ad2antlr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) /\ ( ( g Fn A /\ A. k e. A ( g ` k ) e. R ) /\ f e. X_ y e. A ( g ` y ) ) ) -> A. k e. A ( f ` k ) e. ( ( cls ` R ) ` S ) )
53	9	clsndisj 20140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R e. Top /\ S C_ U. R /\ ( f ` k ) e. ( ( cls ` R ) ` S ) ) /\ ( ( g ` k ) e. R /\ ( f ` k ) e. ( g ` k ) ) ) -> ( ( g ` k ) i^i S ) =/= (/) )
54	53	ex 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R e. Top /\ S C_ U. R /\ ( f ` k ) e. ( ( cls ` R ) ` S ) ) -> ( ( ( g ` k ) e. R /\ ( f ` k ) e. ( g ` k ) ) -> ( ( g ` k ) i^i S ) =/= (/) ) )
55	54	3expia 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. Top /\ S C_ U. R ) -> ( ( f ` k ) e. ( ( cls ` R ) ` S ) -> ( ( ( g ` k ) e. R /\ ( f ` k ) e. ( g ` k ) ) -> ( ( g ` k ) i^i S ) =/= (/) ) ) )
56	4, 8, 55	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( f ` k ) e. ( ( cls ` R ) ` S ) -> ( ( ( g ` k ) e. R /\ ( f ` k ) e. ( g ` k ) ) -> ( ( g ` k ) i^i S ) =/= (/) ) ) )
57	56	ralimdva 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( ( cls ` R ) ` S ) -> A. k e. A ( ( ( g ` k ) e. R /\ ( f ` k ) e. ( g ` k ) ) -> ( ( g ` k ) i^i S ) =/= (/) ) ) )
58	48, 52, 57	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) /\ ( ( g Fn A /\ A. k e. A ( g ` k ) e. R ) /\ f e. X_ y e. A ( g ` y ) ) ) -> A. k e. A ( ( ( g ` k ) e. R /\ ( f ` k ) e. ( g ` k ) ) -> ( ( g ` k ) i^i S ) =/= (/) ) )
59		simprlr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) /\ ( ( g Fn A /\ A. k e. A ( g ` k ) e. R ) /\ f e. X_ y e. A ( g ` y ) ) ) -> A. k e. A ( g ` k ) e. R )
60		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) /\ ( ( g Fn A /\ A. k e. A ( g ` k ) e. R ) /\ f e. X_ y e. A ( g ` y ) ) ) -> f e. X_ y e. A ( g ` y ) )
61	32	cbvixpv 7566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- X_ y e. A ( g ` y ) = X_ k e. A ( g ` k )
62	60, 61	syl6eleq 2550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) /\ ( ( g Fn A /\ A. k e. A ( g ` k ) e. R ) /\ f e. X_ y e. A ( g ` y ) ) ) -> f e. X_ k e. A ( g ` k ) )
63	49	elixp 7555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f e. X_ k e. A ( g ` k ) <-> ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( g ` k ) ) )
64	63	simprbi 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f e. X_ k e. A ( g ` k ) -> A. k e. A ( f ` k ) e. ( g ` k ) )
65	62, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) /\ ( ( g Fn A /\ A. k e. A ( g ` k ) e. R ) /\ f e. X_ y e. A ( g ` y ) ) ) -> A. k e. A ( f ` k ) e. ( g ` k ) )
66		r19.26 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. k e. A ( ( g ` k ) e. R /\ ( f ` k ) e. ( g ` k ) ) <-> ( A. k e. A ( g ` k ) e. R /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( g ` k ) ) )
67	59, 65, 66	sylanbrc 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) /\ ( ( g Fn A /\ A. k e. A ( g ` k ) e. R ) /\ f e. X_ y e. A ( g ` y ) ) ) -> A. k e. A ( ( g ` k ) e. R /\ ( f ` k ) e. ( g ` k ) ) )
68		ralim 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. k e. A ( ( ( g ` k ) e. R /\ ( f ` k ) e. ( g ` k ) ) -> ( ( g ` k ) i^i S ) =/= (/) ) -> ( A. k e. A ( ( g ` k ) e. R /\ ( f ` k ) e. ( g ` k ) ) -> A. k e. A ( ( g ` k ) i^i S ) =/= (/) ) )
69	58, 67, 68	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) /\ ( ( g Fn A /\ A. k e. A ( g ` k ) e. R ) /\ f e. X_ y e. A ( g ` y ) ) ) -> A. k e. A ( ( g ` k ) i^i S ) =/= (/) )
70		rabn0 3764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { z e. U_ k e. A S | z e. ( ( g ` k ) i^i S ) } =/= (/) <-> E. z e. U_ k e. A S z e. ( ( g ` k ) i^i S ) )
71		dfin5 3424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( U_ k e. A S i^i ( ( g ` k ) i^i S ) ) = { z e. U_ k e. A S | z e. ( ( g ` k ) i^i S ) }
72		inss2 3665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( g ` k ) i^i S ) C_ S
73		ssiun2 4335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. A -> S C_ U_ k e. A S )
74	72, 73	syl5ss 3455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. A -> ( ( g ` k ) i^i S ) C_ U_ k e. A S )
75		dfss1 3649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( g ` k ) i^i S ) C_ U_ k e. A S <-> ( U_ k e. A S i^i ( ( g ` k ) i^i S ) ) = ( ( g ` k ) i^i S ) )
76	74, 75	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. A -> ( U_ k e. A S i^i ( ( g ` k ) i^i S ) ) = ( ( g ` k ) i^i S ) )
77	71, 76	syl5eqr 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. A -> { z e. U_ k e. A S | z e. ( ( g ` k ) i^i S ) } = ( ( g ` k ) i^i S ) )
78	77	neeq1d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. A -> ( { z e. U_ k e. A S | z e. ( ( g ` k ) i^i S ) } =/= (/) <-> ( ( g ` k ) i^i S ) =/= (/) ) )
79	70, 78	syl5bbr 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. A -> ( E. z e. U_ k e. A S z e. ( ( g ` k ) i^i S ) <-> ( ( g ` k ) i^i S ) =/= (/) ) )
80	79	ralbiia 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. k e. A E. z e. U_ k e. A S z e. ( ( g ` k ) i^i S ) <-> A. k e. A ( ( g ` k ) i^i S ) =/= (/) )
81	69, 80	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) /\ ( ( g Fn A /\ A. k e. A ( g ` k ) e. R ) /\ f e. X_ y e. A ( g ` y ) ) ) -> A. k e. A E. z e. U_ k e. A S z e. ( ( g ` k ) i^i S ) )
82		nfv 1772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ y E. z e. U_ k e. A S z e. ( ( g ` k ) i^i S )
83		nfiu1 4322	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k U_ k e. A S
84		nfcv 2603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ k ( g ` y )
85		nfcsb1v 3391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ k [_ y / k ]_ S
86	84, 85	nfin 3651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k ( ( g ` y ) i^i [_ y / k ]_ S )
87	86	nfel2 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ k z e. ( ( g ` y ) i^i [_ y / k ]_ S )
88	83, 87	nfrex 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k E. z e. U_ k e. A S z e. ( ( g ` y ) i^i [_ y / k ]_ S )
89		fveq2 5888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = y -> ( g ` k ) = ( g ` y ) )
90		csbeq1a 3384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = y -> S = [_ y / k ]_ S )
91	89, 90	ineq12d 3647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = y -> ( ( g ` k ) i^i S ) = ( ( g ` y ) i^i [_ y / k ]_ S ) )
92	91	eleq2d 2525	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = y -> ( z e. ( ( g ` k ) i^i S ) <-> z e. ( ( g ` y ) i^i [_ y / k ]_ S ) ) )
93	92	rexbidv 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = y -> ( E. z e. U_ k e. A S z e. ( ( g ` k ) i^i S ) <-> E. z e. U_ k e. A S z e. ( ( g ` y ) i^i [_ y / k ]_ S ) ) )
94	82, 88, 93	cbvral 3027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. k e. A E. z e. U_ k e. A S z e. ( ( g ` k ) i^i S ) <-> A. y e. A E. z e. U_ k e. A S z e. ( ( g ` y ) i^i [_ y / k ]_ S ) )
95	81, 94	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) /\ ( ( g Fn A /\ A. k e. A ( g ` k ) e. R ) /\ f e. X_ y e. A ( g ` y ) ) ) -> A. y e. A E. z e. U_ k e. A S z e. ( ( g ` y ) i^i [_ y / k ]_ S ) )
96		eleq1 2528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( h ` y ) -> ( z e. ( ( g ` y ) i^i [_ y / k ]_ S ) <-> ( h ` y ) e. ( ( g ` y ) i^i [_ y / k ]_ S ) ) )
97	96	acni3 8504	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U_ k e. A S e. AC A /\ A. y e. A E. z e. U_ k e. A S z e. ( ( g ` y ) i^i [_ y / k ]_ S ) ) -> E. h ( h : A --> U_ k e. A S /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( ( g ` y ) i^i [_ y / k ]_ S ) ) )
98	47, 95, 97	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) /\ ( ( g Fn A /\ A. k e. A ( g ` k ) e. R ) /\ f e. X_ y e. A ( g ` y ) ) ) -> E. h ( h : A --> U_ k e. A S /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( ( g ` y ) i^i [_ y / k ]_ S ) ) )
99		ffn 5751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h : A --> U_ k e. A S -> h Fn A )
100		nfv 1772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ y ( h ` k ) e. ( ( g ` k ) i^i S )
101	86	nfel2 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ k ( h ` y ) e. ( ( g ` y ) i^i [_ y / k ]_ S )
102		fveq2 5888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = y -> ( h ` k ) = ( h ` y ) )
103	102, 91	eleq12d 2534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = y -> ( ( h ` k ) e. ( ( g ` k ) i^i S ) <-> ( h ` y ) e. ( ( g ` y ) i^i [_ y / k ]_ S ) ) )
104	100, 101, 103	cbvral 3027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. k e. A ( h ` k ) e. ( ( g ` k ) i^i S ) <-> A. y e. A ( h ` y ) e. ( ( g ` y ) i^i [_ y / k ]_ S ) )
105		ne0i 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h e. X_ k e. A ( ( g ` k ) i^i S ) -> X_ k e. A ( ( g ` k ) i^i S ) =/= (/) )
106		vex 3060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- h e. _V
107	106	elixp 7555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h e. X_ k e. A ( ( g ` k ) i^i S ) <-> ( h Fn A /\ A. k e. A ( h ` k ) e. ( ( g ` k ) i^i S ) ) )
108		ixpin 7573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- X_ k e. A ( ( g ` k ) i^i S ) = ( X_ k e. A ( g ` k ) i^i X_ k e. A S )
109	61	ineq1i 3642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( X_ y e. A ( g ` y ) i^i X_ k e. A S ) = ( X_ k e. A ( g ` k ) i^i X_ k e. A S )
110	108, 109	eqtr4i 2487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- X_ k e. A ( ( g ` k ) i^i S ) = ( X_ y e. A ( g ` y ) i^i X_ k e. A S )
111	110	neeq1i 2700	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( X_ k e. A ( ( g ` k ) i^i S ) =/= (/) <-> ( X_ y e. A ( g ` y ) i^i X_ k e. A S ) =/= (/) )
112	105, 107, 111	3imtr3i 273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( h Fn A /\ A. k e. A ( h ` k ) e. ( ( g ` k ) i^i S ) ) -> ( X_ y e. A ( g ` y ) i^i X_ k e. A S ) =/= (/) )
113	104, 112	sylan2br 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( ( g ` y ) i^i [_ y / k ]_ S ) ) -> ( X_ y e. A ( g ` y ) i^i X_ k e. A S ) =/= (/) )
114	99, 113	sylan 478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( h : A --> U_ k e. A S /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( ( g ` y ) i^i [_ y / k ]_ S ) ) -> ( X_ y e. A ( g ` y ) i^i X_ k e. A S ) =/= (/) )
115	114	exlimiv 1787	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. h ( h : A --> U_ k e. A S /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( ( g ` y ) i^i [_ y / k ]_ S ) ) -> ( X_ y e. A ( g ` y ) i^i X_ k e. A S ) =/= (/) )
116	98, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) /\ ( ( g Fn A /\ A. k e. A ( g ` k ) e. R ) /\ f e. X_ y e. A ( g ` y ) ) ) -> ( X_ y e. A ( g ` y ) i^i X_ k e. A S ) =/= (/) )
117	116	expr 624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) /\ ( g Fn A /\ A. k e. A ( g ` k ) e. R ) ) -> ( f e. X_ y e. A ( g ` y ) -> ( X_ y e. A ( g ` y ) i^i X_ k e. A S ) =/= (/) ) )
118	45, 117	syldan 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) ) -> ( f e. X_ y e. A ( g ` y ) -> ( X_ y e. A ( g ` y ) i^i X_ k e. A S ) =/= (/) ) )
119	118	3adantr3 1175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) ) -> ( f e. X_ y e. A ( g ` y ) -> ( X_ y e. A ( g ` y ) i^i X_ k e. A S ) =/= (/) ) )
120		eleq2 2529	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = X_ y e. A ( g ` y ) -> ( f e. u <-> f e. X_ y e. A ( g ` y ) ) )
121		ineq1 3639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = X_ y e. A ( g ` y ) -> ( u i^i X_ k e. A S ) = ( X_ y e. A ( g ` y ) i^i X_ k e. A S ) )
122	121	neeq1d 2695	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = X_ y e. A ( g ` y ) -> ( ( u i^i X_ k e. A S ) =/= (/) <-> ( X_ y e. A ( g ` y ) i^i X_ k e. A S ) =/= (/) ) )
123	120, 122	imbi12d 326	. . . . . . . . . 10 |- ( u = X_ y e. A ( g ` y ) -> ( ( f e. u -> ( u i^i X_ k e. A S ) =/= (/) ) <-> ( f e. X_ y e. A ( g ` y ) -> ( X_ y e. A ( g ` y ) i^i X_ k e. A S ) =/= (/) ) ) )
124	119, 123	syl5ibrcom 230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) /\ ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) ) -> ( u = X_ y e. A ( g ` y ) -> ( f e. u -> ( u i^i X_ k e. A S ) =/= (/) ) ) )
125	124	expimpd 612	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) -> ( ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) /\ u = X_ y e. A ( g ` y ) ) -> ( f e. u -> ( u i^i X_ k e. A S ) =/= (/) ) ) )
126	125	exlimdv 1790	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) -> ( E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) /\ u = X_ y e. A ( g ` y ) ) -> ( f e. u -> ( u i^i X_ k e. A S ) =/= (/) ) ) )
127	28, 126	syl5bi 225	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) -> ( u e. { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } -> ( f e. u -> ( u i^i X_ k e. A S ) =/= (/) ) ) )
128	127	ralrimiv 2812	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) -> A. u e. { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ( f e. u -> ( u i^i X_ k e. A S ) =/= (/) ) )
129	4, 37	fmptd 6069	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A |-> R ) : A --> Top )
130		ffn 5751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. A |-> R ) : A --> Top -> ( k e. A |-> R ) Fn A )
131	129, 130	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. A |-> R ) Fn A )
132		eqid 2462	. . . . . . . . . 10 |- { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
133	132	ptval 20634	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ ( k e. A |-> R ) Fn A ) -> ( Xt_ ` ( k e. A |-> R ) ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
134	1, 131, 133	syl2anc 671	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( k e. A |-> R ) ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
135	13, 134	syl5eq 2508	. . . . . . 7 |- ( ph -> J = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
136	135	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) -> J = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
137	2	ralrimiva 2814	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A R e. (TopOn ` X ) )
138	13	pttopon 20660	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ A. k e. A R e. (TopOn ` X ) ) -> J e. (TopOn ` X_ k e. A X ) )
139	1, 137, 138	syl2anc 671	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X_ k e. A X ) )
140		toponuni 19991	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X_ k e. A X ) -> X_ k e. A X = U. J )
141	139, 140	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> X_ k e. A X = U. J )
142	141	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) -> X_ k e. A X = U. J )
143	132	ptbas 20643	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ ( k e. A |-> R ) : A --> Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } e. TopBases )
144	1, 129, 143	syl2anc 671	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } e. TopBases )
145	144	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) -> { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } e. TopBases )
146	5	ralrimiva 2814	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A S C_ X )
147		ss2ixp 7561	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. A S C_ X -> X_ k e. A S C_ X_ k e. A X )
148	146, 147	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> X_ k e. A S C_ X_ k e. A X )
149	148	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) -> X_ k e. A S C_ X_ k e. A X )
150	9	clsss3 20123	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S C_ U. R ) -> ( ( cls ` R ) ` S ) C_ U. R )
151	4, 8, 150	syl2anc 671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( cls ` R ) ` S ) C_ U. R )
152	151, 7	sseqtr4d 3481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( cls ` R ) ` S ) C_ X )
153	152	ralrimiva 2814	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) C_ X )
154		ss2ixp 7561	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) C_ X -> X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) C_ X_ k e. A X )
155	153, 154	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) C_ X_ k e. A X )
156	155	sselda 3444	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) -> f e. X_ k e. A X )
157	136, 142, 145, 149, 156	elcls3 20148	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) -> ( f e. ( ( cls ` J ) ` X_ k e. A S ) <-> A. u e. { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( k e. A |-> R ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ( f e. u -> ( u i^i X_ k e. A S ) =/= (/) ) ) )
158	128, 157	mpbird 240	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) ) -> f e. ( ( cls ` J ) ` X_ k e. A S ) )
159	158	ex 440	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) -> f e. ( ( cls ` J ) ` X_ k e. A S ) ) )
160	159	ssrdv 3450	. 2 |- ( ph -> X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) C_ ( ( cls ` J ) ` X_ k e. A S ) )
161	23, 160	eqssd 3461	1 |- ( ph -> ( ( cls ` J ) ` X_ k e. A S ) = X_ k e. A ( ( cls ` R ) ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   E.wex 1674   e. wcel 1898   {cab 2448   =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   {crab 2753   [_csb 3375   \ cdif 3413   i^i cin 3415   C_ wss 3416   (/)c0 3743   U.cuni 4212   U_ciun 4292   |-> cmpt 4475   Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601   X_cixp 7548   Fincfn 7595  AC wacn 8398   topGenctg 15385   Xt_cpt 15386   Topctop 19966  TopOnctopon 19967   TopBasesctb 19969   Clsdccld 20080   clsccl 20082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-ixp 7549  df-en 7596  df-fin 7599  df-fi 7951  df-acn 8402  df-topgen 15391  df-pt 15392  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-cld 20083  df-ntr 20084  df-cls 20085

This theorem is referenced by:  ptcls  20680  dfac14  20682