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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ptcld | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: A closed box in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.) |
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ptcld.a |
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ptcld.f |
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ptcld.c |
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ptcld |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ptcld.c |
. . . . 5
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2 | eqid 2471 |
. . . . . 6
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3 | 2 | cldss 20121 |
. . . . 5
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4 | 1, 3 | syl 17 |
. . . 4
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5 | 4 | ralrimiva 2809 |
. . 3
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6 | boxriin 7582 |
. . 3
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7 | 5, 6 | syl 17 |
. 2
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8 | ptcld.a |
. . . . 5
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9 | ptcld.f |
. . . . 5
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10 | eqid 2471 |
. . . . . 6
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11 | 10 | ptuni 20686 |
. . . . 5
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12 | 8, 9, 11 | syl2anc 673 |
. . . 4
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13 | 12 | ineq1d 3624 |
. . 3
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14 | pttop 20674 |
. . . . 5
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15 | 8, 9, 14 | syl2anc 673 |
. . . 4
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16 | sseq1 3439 |
. . . . . . . . . . 11
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17 | sseq1 3439 |
. . . . . . . . . . 11
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18 | simpl 464 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | ssid 3437 |
. . . . . . . . . . . 12
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20 | 19 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
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21 | 16, 17, 18, 20 | ifbothda 3907 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 21 | ralimi 2796 |
. . . . . . . . 9
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23 | ss2ixp 7553 |
. . . . . . . . 9
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24 | 5, 22, 23 | 3syl 18 |
. . . . . . . 8
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25 | 24 | adantr 472 |
. . . . . . 7
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26 | 12 | adantr 472 |
. . . . . . 7
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27 | 25, 26 | sseqtrd 3454 |
. . . . . 6
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28 | 12 | eqcomd 2477 |
. . . . . . . . . 10
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29 | 28 | difeq1d 3539 |
. . . . . . . . 9
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30 | 29 | adantr 472 |
. . . . . . . 8
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31 | simpr 468 |
. . . . . . . . 9
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32 | 5 | adantr 472 |
. . . . . . . . 9
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33 | boxcutc 7583 |
. . . . . . . . 9
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34 | 31, 32, 33 | syl2anc 673 |
. . . . . . . 8
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35 | ixpeq2 7554 |
. . . . . . . . . 10
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36 | fveq2 5879 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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37 | 36 | unieqd 4200 |
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38 | csbeq1a 3358 |
. . . . . . . . . . . . 13
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39 | 37, 38 | difeq12d 3541 |
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40 | 39 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | 40 | ifeq1da 3902 |
. . . . . . . . . 10
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42 | 35, 41 | mprg 2770 |
. . . . . . . . 9
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43 | 42 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
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44 | 30, 34, 43 | 3eqtrd 2509 |
. . . . . . 7
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45 | 8 | adantr 472 |
. . . . . . . 8
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46 | 9 | adantr 472 |
. . . . . . . 8
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47 | 1 | ralrimiva 2809 |
. . . . . . . . . . 11
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48 | nfv 1769 |
. . . . . . . . . . . 12
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49 | nfcsb1v 3365 |
. . . . . . . . . . . . 13
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50 | 49 | nfel1 2626 |
. . . . . . . . . . . 12
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51 | 36 | fveq2d 5883 |
. . . . . . . . . . . . 13
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52 | 38, 51 | eleq12d 2543 |
. . . . . . . . . . . 12
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53 | 48, 50, 52 | cbvral 3001 |
. . . . . . . . . . 11
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54 | 47, 53 | sylib 201 |
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55 | 54 | r19.21bi 2776 |
. . . . . . . . 9
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56 | eqid 2471 |
. . . . . . . . . 10
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57 | 56 | cldopn 20123 |
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58 | 55, 57 | syl 17 |
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59 | 45, 46, 58 | ptopn2 20676 |
. . . . . . 7
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60 | 44, 59 | eqeltrd 2549 |
. . . . . 6
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61 | eqid 2471 |
. . . . . . . . 9
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62 | 61 | iscld 20119 |
. . . . . . . 8
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63 | 15, 62 | syl 17 |
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64 | 63 | adantr 472 |
. . . . . 6
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65 | 27, 60, 64 | mpbir2and 936 |
. . . . 5
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66 | 65 | ralrimiva 2809 |
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67 | 61 | riincld 20136 |
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68 | 15, 66, 67 | syl2anc 673 |
. . 3
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69 | 13, 68 | eqeltrd 2549 |
. 2
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70 | 7, 69 | eqeltrd 2549 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-int 4227 df-iun 4271 df-iin 4272 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-om 6712 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-1o 7200 df-oadd 7204 df-er 7381 df-ixp 7541 df-en 7588 df-fin 7591 df-fi 7943 df-topgen 15420 df-pt 15421 df-top 19998 df-bases 19999 df-cld 20111 |
This theorem is referenced by: ptcldmpt 20706 |
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