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Theorem ptcld 20705
Description: A closed box in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcld.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcld.f  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
ptcld.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( Clsd `  ( F `  k )
) )
Assertion
Ref Expression
ptcld  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  C  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) ) )
Distinct variable groups:    ph, k    A, k    k, F    k, V
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem ptcld
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcld.c . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( Clsd `  ( F `  k )
) )
2 eqid 2471 . . . . . 6  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
32cldss 20121 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( Clsd `  ( F `  k )
)  ->  C  C_  U. ( F `  k )
)
41, 3syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  C_ 
U. ( F `  k ) )
54ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  C_  U. ( F `
 k ) )
6 boxriin 7582 . . 3  |-  ( A. k  e.  A  C  C_ 
U. ( F `  k )  ->  X_ k  e.  A  C  =  ( X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) ) )
75, 6syl 17 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  C  =  ( X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) ) )
8 ptcld.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 ptcld.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
10 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  F )  =  (
Xt_ `  F )
1110ptuni 20686 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
128, 9, 11syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
1312ineq1d 3624 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X_ k  e.  A  U. ( F `
 k )  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  =  ( U. ( Xt_ `  F
)  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) ) )
14 pttop 20674 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
158, 9, 14syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
16 sseq1 3439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  -> 
( C  C_  U. ( F `  k )  <->  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )
) )
17 sseq1 3439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ( F `  k )  =  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  -> 
( U. ( F `
 k )  C_  U. ( F `  k
)  <->  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k
) )  C_  U. ( F `  k )
) )
18 simpl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  C_  U. ( F `  k )  /\  k  =  x
)  ->  C  C_  U. ( F `  k )
)
19 ssid 3437 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( F `  k )  C_ 
U. ( F `  k )
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  C_  U. ( F `  k )  /\  -.  k  =  x )  ->  U. ( F `  k )  C_ 
U. ( F `  k ) )
2116, 17, 18, 20ifbothda 3907 . . . . . . . . . 10  |-  ( C 
C_  U. ( F `  k )  ->  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )
)
2221ralimi 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  A  C  C_ 
U. ( F `  k )  ->  A. k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
)  C_  U. ( F `  k )
)
23 ss2ixp 7553 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )  -> 
X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )
245, 22, 233syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )
2524adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
)  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )
2612adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  U. ( Xt_ `  F
) )
2725, 26sseqtrd 3454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
)  C_  U. ( Xt_ `  F ) )
2812eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  F
)  =  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
2928difeq1d 3539 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( U. ( Xt_ `  F )  \  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
) )  =  (
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) ) )
3029adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  =  ( X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) ) )
31 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
325adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  A  C  C_  U. ( F `  k )
)
33 boxcutc 7583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. k  e.  A  C  C_ 
U. ( F `  k ) )  -> 
( X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  =  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
3431, 32, 33syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
\  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  =  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
35 ixpeq2 7554 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  A  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) )  =  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) )  ->  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  k )  \  C
) ,  U. ( F `  k )
)  =  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
36 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  x  ->  ( F `  k )  =  ( F `  x ) )
3736unieqd 4200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  x ) )
38 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  C  =  [_ x  /  k ]_ C )
3937, 38difeq12d 3541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  ( U. ( F `  k
)  \  C )  =  ( U. ( F `  x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) )
4039adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  A  /\  k  =  x )  ->  ( U. ( F `
 k )  \  C )  =  ( U. ( F `  x )  \  [_ x  /  k ]_ C
) )
4140ifeq1da 3902 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) )  =  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
4235, 41mprg 2770 . . . . . . . . 9  |-  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) )  =  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) )
4342a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) )  =  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
4430, 34, 433eqtrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  =  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
458adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A  e.  V )
469adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  F : A --> Top )
471ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  ( Clsd `  ( F `  k
) ) )
48 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  C  e.  ( Clsd `  ( F `  k
) )
49 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ x  /  k ]_ C
5049nfel1 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k
[_ x  /  k ]_ C  e.  ( Clsd `  ( F `  x ) )
5136fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  ( Clsd `  ( F `  k ) )  =  ( Clsd `  ( F `  x )
) )
5238, 51eleq12d 2543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  ( C  e.  ( Clsd `  ( F `  k
) )  <->  [_ x  / 
k ]_ C  e.  (
Clsd `  ( F `  x ) ) ) )
5348, 50, 52cbvral 3001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  A  C  e.  ( Clsd `  ( F `  k )
)  <->  A. x  e.  A  [_ x  /  k ]_ C  e.  ( Clsd `  ( F `  x
) ) )
5447, 53sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  [_ x  /  k ]_ C  e.  ( Clsd `  ( F `  x
) ) )
5554r19.21bi 2776 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  [_ x  /  k ]_ C  e.  ( Clsd `  ( F `  x )
) )
56 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( F `  x )  =  U. ( F `  x )
5756cldopn 20123 . . . . . . . . 9  |-  ( [_ x  /  k ]_ C  e.  ( Clsd `  ( F `  x )
)  ->  ( U. ( F `  x ) 
\  [_ x  /  k ]_ C )  e.  ( F `  x ) )
5855, 57syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( U. ( F `  x
)  \  [_ x  / 
k ]_ C )  e.  ( F `  x
) )
5945, 46, 58ptopn2 20676 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Xt_ `  F ) )
6044, 59eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  e.  ( Xt_ `  F
) )
61 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  U. ( Xt_ `  F )  = 
U. ( Xt_ `  F
)
6261iscld 20119 . . . . . . . 8  |-  ( (
Xt_ `  F )  e.  Top  ->  ( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) )  <->  ( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( Xt_ `  F )  /\  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  e.  ( Xt_ `  F
) ) ) )
6315, 62syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F ) )  <-> 
( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( Xt_ `  F )  /\  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  e.  ( Xt_ `  F
) ) ) )
6463adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) )  <->  ( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( Xt_ `  F )  /\  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  e.  ( Xt_ `  F
) ) ) )
6527, 60, 64mpbir2and 936 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
)  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) ) )
6665ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) ) )
6761riincld 20136 . . . 4  |-  ( ( ( Xt_ `  F
)  e.  Top  /\  A. x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) ) )  -> 
( U. ( Xt_ `  F )  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
) )  e.  (
Clsd `  ( Xt_ `  F ) ) )
6815, 66, 67syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
) )  e.  (
Clsd `  ( Xt_ `  F ) ) )
6913, 68eqeltrd 2549 . 2  |-  ( ph  ->  ( X_ k  e.  A  U. ( F `
 k )  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  e.  (
Clsd `  ( Xt_ `  F ) ) )
707, 69eqeltrd 2549 1  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  C  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   [_csb 3349    \ cdif 3387    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ifcif 3872   U.cuni 4190   |^|_ciin 4270   -->wf 5585   ` cfv 5589   X_cixp 7540   Xt_cpt 15415   Topctop 19994   Clsdccld 20108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ixp 7541  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-top 19998  df-bases 19999  df-cld 20111
This theorem is referenced by:  ptcldmpt  20706
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