Theorem ptcld 19849

Description: A closed box in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptcld.a	|- ( ph -> A e. V )
ptcld.f	|- ( ph -> F : A --> Top )
ptcld.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ptcld	|- ( ph -> X_ k e. A C e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )

Distinct variable groups:   ph, k   A, k   k, F   k, V

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem ptcld

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptcld.c	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) )
2		eqid 2467	. . . . . 6 |- U. ( F ` k ) = U. ( F ` k )
3	2	cldss 19296	. . . . 5 |- ( C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) -> C C_ U. ( F ` k ) )
4	1, 3	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C C_ U. ( F ` k ) )
5	4	ralrimiva 2878	. . 3 |- ( ph -> A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) )
6		boxriin 7508	. . 3 |- ( A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) -> X_ k e. A C = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
7	5, 6	syl 16	. 2 |- ( ph -> X_ k e. A C = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
8		ptcld.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
9		ptcld.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> Top )
10		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( Xt_ ` F ) = ( Xt_ ` F )
11	10	ptuni 19830	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. ( Xt_ ` F ) )
12	8, 9, 11	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. ( Xt_ ` F ) )
13	12	ineq1d 3699	. . 3 |- ( ph -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = ( U. ( Xt_ ` F ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
14		pttop 19818	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
15	8, 9, 14	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
16		sseq1 3525	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) -> ( C C_ U. ( F ` k ) <-> if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) ) )
17		sseq1 3525	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. ( F ` k ) = if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) -> ( U. ( F ` k ) C_ U. ( F ` k ) <-> if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) ) )
18		simpl 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C C_ U. ( F ` k ) /\ k = x ) -> C C_ U. ( F ` k ) )
19		ssid 3523	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( F ` k ) C_ U. ( F ` k )
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C C_ U. ( F ` k ) /\ -. k = x ) -> U. ( F ` k ) C_ U. ( F ` k ) )
21	16, 17, 18, 20	ifbothda 3974	. . . . . . . . . 10 |- ( C C_ U. ( F ` k ) -> if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) )
22	21	ralimi 2857	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) -> A. k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) )
23		ss2ixp 7479	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
24	5, 22, 23	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
25	24	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
26	12	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. ( Xt_ ` F ) )
27	25, 26	sseqtrd 3540	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) )
28	12	eqcomd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. ( Xt_ ` F ) = X_ k e. A U. ( F ` k ) )
29	28	difeq1d 3621	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
30	29	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
31		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
32	5	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) )
33		boxcutc 7509	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) ) -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) )
34	31, 32, 33	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) )
35		ixpeq2 7480	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) -> X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) )
36		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = x -> ( F ` k ) = ( F ` x ) )
37	36	unieqd 4255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = x -> U. ( F ` k ) = U. ( F ` x ) )
38		csbeq1a 3444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = x -> C = [_ x / k ]_ C )
39	37, 38	difeq12d 3623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> ( U. ( F ` k ) \ C ) = ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) )
40	39	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. A /\ k = x ) -> ( U. ( F ` k ) \ C ) = ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) )
41	40	ifeq1da 3969	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. A -> if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) )
42	35, 41	mprg 2827	. . . . . . . . 9 |- X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) )
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) )
44	30, 34, 43	3eqtrd 2512	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) )
45	8	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A e. V )
46	9	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> F : A --> Top )
47	1	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. A C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) )
48		nfv 1683	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x C e. ( Clsd ` ( F ` k ) )
49		nfcsb1v 3451	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k [_ x / k ]_ C
50	49	nfel1 2645	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) )
51	36	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = x -> ( Clsd ` ( F ` k ) ) = ( Clsd ` ( F ` x ) ) )
52	38, 51	eleq12d 2549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> ( C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) <-> [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) ) )
53	48, 50, 52	cbvral 3084	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. A C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) <-> A. x e. A [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) )
54	47, 53	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) )
55	54	r19.21bi 2833	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) )
56		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- U. ( F ` x ) = U. ( F ` x )
57	56	cldopn 19298	. . . . . . . . 9 |- ( [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) -> ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) e. ( F ` x ) )
58	55, 57	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) e. ( F ` x ) )
59	45, 46, 58	ptopn2 19820	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) e. ( Xt_ ` F ) )
60	44, 59	eqeltrd 2555	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) )
61		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- U. ( Xt_ ` F ) = U. ( Xt_ ` F )
62	61	iscld 19294	. . . . . . . 8 |- ( ( Xt_ ` F ) e. Top -> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) <-> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) /\ ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) ) ) )
63	15, 62	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) <-> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) /\ ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) ) ) )
64	63	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) <-> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) /\ ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) ) ) )
65	27, 60, 64	mpbir2and 920	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
66	65	ralrimiva 2878	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
67	61	riincld 19311	. . . 4 |- ( ( ( Xt_ ` F ) e. Top /\ A. x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
68	15, 66, 67	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( U. ( Xt_ ` F ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
69	13, 68	eqeltrd 2555	. 2 |- ( ph -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
70	7, 69	eqeltrd 2555	1 |- ( ph -> X_ k e. A C e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   [_csb 3435   \ cdif 3473   i^i cin 3475   C_ wss 3476   ifcif 3939   U.cuni 4245   |^|_ciin 4326   -->wf 5582   ` cfv 5586   X_cixp 7466   Xt_cpt 14690   Topctop 19161   Clsdccld 19283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-ixp 7467  df-en 7514  df-fin 7517  df-fi 7867  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-top 19166  df-bases 19168  df-cld 19286

This theorem is referenced by:  ptcldmpt  19850