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Theorem ptcld 19086
Description: A closed box in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcld.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcld.f  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
ptcld.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( Clsd `  ( F `  k )
) )
Assertion
Ref Expression
ptcld  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  C  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) ) )
Distinct variable groups:    ph, k    A, k    k, F    k, V
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem ptcld
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcld.c . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( Clsd `  ( F `  k )
) )
2 eqid 2441 . . . . . 6  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
32cldss 18533 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( Clsd `  ( F `  k )
)  ->  C  C_  U. ( F `  k )
)
41, 3syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  C_ 
U. ( F `  k ) )
54ralrimiva 2797 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  C_  U. ( F `
 k ) )
6 boxriin 7301 . . 3  |-  ( A. k  e.  A  C  C_ 
U. ( F `  k )  ->  X_ k  e.  A  C  =  ( X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) ) )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  C  =  ( X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) ) )
8 ptcld.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 ptcld.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
10 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  F )  =  (
Xt_ `  F )
1110ptuni 19067 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
128, 9, 11syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
1312ineq1d 3548 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X_ k  e.  A  U. ( F `
 k )  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  =  ( U. ( Xt_ `  F
)  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) ) )
14 pttop 19055 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
158, 9, 14syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
16 sseq1 3374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  -> 
( C  C_  U. ( F `  k )  <->  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )
) )
17 sseq1 3374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ( F `  k )  =  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  -> 
( U. ( F `
 k )  C_  U. ( F `  k
)  <->  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k
) )  C_  U. ( F `  k )
) )
18 simpl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  C_  U. ( F `  k )  /\  k  =  x
)  ->  C  C_  U. ( F `  k )
)
19 ssid 3372 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( F `  k )  C_ 
U. ( F `  k )
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  C_  U. ( F `  k )  /\  -.  k  =  x )  ->  U. ( F `  k )  C_ 
U. ( F `  k ) )
2116, 17, 18, 20ifbothda 3821 . . . . . . . . . 10  |-  ( C 
C_  U. ( F `  k )  ->  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )
)
2221ralimi 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  A  C  C_ 
U. ( F `  k )  ->  A. k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
)  C_  U. ( F `  k )
)
23 ss2ixp 7272 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )  -> 
X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )
245, 22, 233syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )
2524adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
)  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )
2612adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  U. ( Xt_ `  F
) )
2725, 26sseqtrd 3389 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
)  C_  U. ( Xt_ `  F ) )
2812eqcomd 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  F
)  =  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
2928difeq1d 3470 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( U. ( Xt_ `  F )  \  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
) )  =  (
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) ) )
3029adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  =  ( X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) ) )
31 simpr 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
325adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  A  C  C_  U. ( F `  k )
)
33 boxcutc 7302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. k  e.  A  C  C_ 
U. ( F `  k ) )  -> 
( X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  =  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
3431, 32, 33syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
\  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  =  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
35 ixpeq2 7273 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  A  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) )  =  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) )  ->  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  k )  \  C
) ,  U. ( F `  k )
)  =  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
36 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  x  ->  ( F `  k )  =  ( F `  x ) )
3736unieqd 4098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  x ) )
38 csbeq1a 3294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  C  =  [_ x  /  k ]_ C )
3937, 38difeq12d 3472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  ( U. ( F `  k
)  \  C )  =  ( U. ( F `  x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) )
4039adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  A  /\  k  =  x )  ->  ( U. ( F `
 k )  \  C )  =  ( U. ( F `  x )  \  [_ x  /  k ]_ C
) )
4140ifeq1da 3816 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) )  =  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
4235, 41mprg 2783 . . . . . . . . 9  |-  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) )  =  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) )
4342a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) )  =  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
4430, 34, 433eqtrd 2477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  =  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
458adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A  e.  V )
469adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  F : A --> Top )
471ralrimiva 2797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  ( Clsd `  ( F `  k
) ) )
48 nfv 1678 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  C  e.  ( Clsd `  ( F `  k
) )
49 nfcsb1v 3301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ x  /  k ]_ C
5049nfel1 2587 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k
[_ x  /  k ]_ C  e.  ( Clsd `  ( F `  x ) )
5136fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  ( Clsd `  ( F `  k ) )  =  ( Clsd `  ( F `  x )
) )
5238, 51eleq12d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  ( C  e.  ( Clsd `  ( F `  k
) )  <->  [_ x  / 
k ]_ C  e.  (
Clsd `  ( F `  x ) ) ) )
5348, 50, 52cbvral 2941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  A  C  e.  ( Clsd `  ( F `  k )
)  <->  A. x  e.  A  [_ x  /  k ]_ C  e.  ( Clsd `  ( F `  x
) ) )
5447, 53sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  [_ x  /  k ]_ C  e.  ( Clsd `  ( F `  x
) ) )
5554r19.21bi 2812 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  [_ x  /  k ]_ C  e.  ( Clsd `  ( F `  x )
) )
56 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( F `  x )  =  U. ( F `  x )
5756cldopn 18535 . . . . . . . . 9  |-  ( [_ x  /  k ]_ C  e.  ( Clsd `  ( F `  x )
)  ->  ( U. ( F `  x ) 
\  [_ x  /  k ]_ C )  e.  ( F `  x ) )
5855, 57syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( U. ( F `  x
)  \  [_ x  / 
k ]_ C )  e.  ( F `  x
) )
5945, 46, 58ptopn2 19057 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Xt_ `  F ) )
6044, 59eqeltrd 2515 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  e.  ( Xt_ `  F
) )
61 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  U. ( Xt_ `  F )  = 
U. ( Xt_ `  F
)
6261iscld 18531 . . . . . . . 8  |-  ( (
Xt_ `  F )  e.  Top  ->  ( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) )  <->  ( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( Xt_ `  F )  /\  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  e.  ( Xt_ `  F
) ) ) )
6315, 62syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F ) )  <-> 
( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( Xt_ `  F )  /\  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  e.  ( Xt_ `  F
) ) ) )
6463adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) )  <->  ( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( Xt_ `  F )  /\  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  e.  ( Xt_ `  F
) ) ) )
6527, 60, 64mpbir2and 908 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
)  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) ) )
6665ralrimiva 2797 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) ) )
6761riincld 18548 . . . 4  |-  ( ( ( Xt_ `  F
)  e.  Top  /\  A. x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) ) )  -> 
( U. ( Xt_ `  F )  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
) )  e.  (
Clsd `  ( Xt_ `  F ) ) )
6815, 66, 67syl2anc 656 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
) )  e.  (
Clsd `  ( Xt_ `  F ) ) )
6913, 68eqeltrd 2515 . 2  |-  ( ph  ->  ( X_ k  e.  A  U. ( F `
 k )  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  e.  (
Clsd `  ( Xt_ `  F ) ) )
707, 69eqeltrd 2515 1  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  C  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   [_csb 3285    \ cdif 3322    i^i cin 3324    C_ wss 3325   ifcif 3788   U.cuni 4088   |^|_ciin 4169   -->wf 5411   ` cfv 5415   X_cixp 7259   Xt_cpt 14373   Topctop 18398   Clsdccld 18520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-ixp 7260  df-en 7307  df-fin 7310  df-fi 7657  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-top 18403  df-bases 18405  df-cld 18523
This theorem is referenced by:  ptcldmpt  19087
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