Theorem ptcld 17598

Description: A closed box in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptcld.a	|- ( ph -> A e. V )
ptcld.f	|- ( ph -> F : A --> Top )
ptcld.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ptcld	|- ( ph -> X_ k e. A C e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )

Distinct variable groups:   ph, k   A, k   k, F   k, V

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem ptcld

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptcld.c	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) )
2		eqid 2404	. . . . . 6 |- U. ( F ` k ) = U. ( F ` k )
3	2	cldss 17048	. . . . 5 |- ( C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) -> C C_ U. ( F ` k ) )
4	1, 3	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C C_ U. ( F ` k ) )
5	4	ralrimiva 2749	. . 3 |- ( ph -> A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) )
6		boxriin 7063	. . 3 |- ( A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) -> X_ k e. A C = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
7	5, 6	syl 16	. 2 |- ( ph -> X_ k e. A C = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
8		ptcld.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
9		ptcld.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> Top )
10		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( Xt_ ` F ) = ( Xt_ ` F )
11	10	ptuni 17579	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. ( Xt_ ` F ) )
12	8, 9, 11	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ph -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. ( Xt_ ` F ) )
13	12	ineq1d 3501	. . 3 |- ( ph -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = ( U. ( Xt_ ` F ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
14		pttop 17567	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
15	8, 9, 14	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ph -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
16		sseq1 3329	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) -> ( C C_ U. ( F ` k ) <-> if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) ) )
17		sseq1 3329	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. ( F ` k ) = if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) -> ( U. ( F ` k ) C_ U. ( F ` k ) <-> if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) ) )
18		simpl 444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C C_ U. ( F ` k ) /\ k = x ) -> C C_ U. ( F ` k ) )
19		ssid 3327	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( F ` k ) C_ U. ( F ` k )
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C C_ U. ( F ` k ) /\ -. k = x ) -> U. ( F ` k ) C_ U. ( F ` k ) )
21	16, 17, 18, 20	ifbothda 3729	. . . . . . . . . 10 |- ( C C_ U. ( F ` k ) -> if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) )
22	21	ralimi 2741	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) -> A. k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) )
23		ss2ixp 7034	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
24	5, 22, 23	3syl 19	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
25	24	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
26	12	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. ( Xt_ ` F ) )
27	25, 26	sseqtrd 3344	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) )
28	12	eqcomd 2409	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. ( Xt_ ` F ) = X_ k e. A U. ( F ` k ) )
29	28	difeq1d 3424	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
30	29	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
31		simpr 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
32	5	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) )
33		boxcutc 7064	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) ) -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) )
34	31, 32, 33	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) )
35		ixpeq2 7035	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) -> X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) )
36		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = x -> ( F ` k ) = ( F ` x ) )
37	36	unieqd 3986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = x -> U. ( F ` k ) = U. ( F ` x ) )
38		csbeq1a 3219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = x -> C = [_ x / k ]_ C )
39	37, 38	difeq12d 3426	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> ( U. ( F ` k ) \ C ) = ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) )
40	39	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. A /\ k = x ) -> ( U. ( F ` k ) \ C ) = ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) )
41	40	ifeq1da 3724	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. A -> if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) )
42	35, 41	mprg 2735	. . . . . . . . 9 |- X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) )
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) )
44	30, 34, 43	3eqtrd 2440	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) )
45	8	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A e. V )
46	9	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> F : A --> Top )
47	1	ralrimiva 2749	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. A C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) )
48		nfv 1626	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x C e. ( Clsd ` ( F ` k ) )
49		nfcsb1v 3243	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k [_ x / k ]_ C
50	49	nfel1 2550	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) )
51	36	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = x -> ( Clsd ` ( F ` k ) ) = ( Clsd ` ( F ` x ) ) )
52	38, 51	eleq12d 2472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> ( C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) <-> [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) ) )
53	48, 50, 52	cbvral 2888	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. A C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) <-> A. x e. A [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) )
54	47, 53	sylib 189	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) )
55	54	r19.21bi 2764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) )
56		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- U. ( F ` x ) = U. ( F ` x )
57	56	cldopn 17050	. . . . . . . . 9 |- ( [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) -> ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) e. ( F ` x ) )
58	55, 57	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) e. ( F ` x ) )
59	45, 46, 58	ptopn2 17569	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) e. ( Xt_ ` F ) )
60	44, 59	eqeltrd 2478	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) )
61		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- U. ( Xt_ ` F ) = U. ( Xt_ ` F )
62	61	iscld 17046	. . . . . . . 8 |- ( ( Xt_ ` F ) e. Top -> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) <-> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) /\ ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) ) ) )
63	15, 62	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) <-> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) /\ ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) ) ) )
64	63	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) <-> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) /\ ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) ) ) )
65	27, 60, 64	mpbir2and 889	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
66	65	ralrimiva 2749	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
67	61	riincld 17063	. . . 4 |- ( ( ( Xt_ ` F ) e. Top /\ A. x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
68	15, 66, 67	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> ( U. ( Xt_ ` F ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
69	13, 68	eqeltrd 2478	. 2 |- ( ph -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
70	7, 69	eqeltrd 2478	1 |- ( ph -> X_ k e. A C e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   [_csb 3211   \ cdif 3277   i^i cin 3279   C_ wss 3280   ifcif 3699   U.cuni 3975   |^|_ciin 4054   -->wf 5409   ` cfv 5413   X_cixp 7022   Xt_cpt 13621   Topctop 16913   Clsdccld 17035

This theorem is referenced by:  ptcldmpt  17599

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ixp 7023  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-top 16918  df-bases 16920  df-cld 17038