Theorem ptcld 20705

Description: A closed box in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptcld.a	|- ( ph -> A e. V )
ptcld.f	|- ( ph -> F : A --> Top )
ptcld.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ptcld	|- ( ph -> X_ k e. A C e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )

Distinct variable groups:   ph, k   A, k   k, F   k, V

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem ptcld

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptcld.c	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) )
2		eqid 2471	. . . . . 6 |- U. ( F ` k ) = U. ( F ` k )
3	2	cldss 20121	. . . . 5 |- ( C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) -> C C_ U. ( F ` k ) )
4	1, 3	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C C_ U. ( F ` k ) )
5	4	ralrimiva 2809	. . 3 |- ( ph -> A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) )
6		boxriin 7582	. . 3 |- ( A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) -> X_ k e. A C = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
7	5, 6	syl 17	. 2 |- ( ph -> X_ k e. A C = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
8		ptcld.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
9		ptcld.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> Top )
10		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( Xt_ ` F ) = ( Xt_ ` F )
11	10	ptuni 20686	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. ( Xt_ ` F ) )
12	8, 9, 11	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ph -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. ( Xt_ ` F ) )
13	12	ineq1d 3624	. . 3 |- ( ph -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = ( U. ( Xt_ ` F ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
14		pttop 20674	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
15	8, 9, 14	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ph -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
16		sseq1 3439	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) -> ( C C_ U. ( F ` k ) <-> if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) ) )
17		sseq1 3439	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. ( F ` k ) = if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) -> ( U. ( F ` k ) C_ U. ( F ` k ) <-> if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) ) )
18		simpl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C C_ U. ( F ` k ) /\ k = x ) -> C C_ U. ( F ` k ) )
19		ssid 3437	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( F ` k ) C_ U. ( F ` k )
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C C_ U. ( F ` k ) /\ -. k = x ) -> U. ( F ` k ) C_ U. ( F ` k ) )
21	16, 17, 18, 20	ifbothda 3907	. . . . . . . . . 10 |- ( C C_ U. ( F ` k ) -> if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) )
22	21	ralimi 2796	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) -> A. k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) )
23		ss2ixp 7553	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
24	5, 22, 23	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
25	24	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
26	12	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. ( Xt_ ` F ) )
27	25, 26	sseqtrd 3454	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) )
28	12	eqcomd 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. ( Xt_ ` F ) = X_ k e. A U. ( F ` k ) )
29	28	difeq1d 3539	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
30	29	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
31		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
32	5	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) )
33		boxcutc 7583	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) ) -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) )
34	31, 32, 33	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) )
35		ixpeq2 7554	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) -> X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) )
36		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = x -> ( F ` k ) = ( F ` x ) )
37	36	unieqd 4200	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = x -> U. ( F ` k ) = U. ( F ` x ) )
38		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = x -> C = [_ x / k ]_ C )
39	37, 38	difeq12d 3541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> ( U. ( F ` k ) \ C ) = ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) )
40	39	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. A /\ k = x ) -> ( U. ( F ` k ) \ C ) = ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) )
41	40	ifeq1da 3902	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. A -> if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) )
42	35, 41	mprg 2770	. . . . . . . . 9 |- X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) )
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) )
44	30, 34, 43	3eqtrd 2509	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) )
45	8	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A e. V )
46	9	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> F : A --> Top )
47	1	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. A C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) )
48		nfv 1769	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x C e. ( Clsd ` ( F ` k ) )
49		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k [_ x / k ]_ C
50	49	nfel1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) )
51	36	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = x -> ( Clsd ` ( F ` k ) ) = ( Clsd ` ( F ` x ) ) )
52	38, 51	eleq12d 2543	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> ( C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) <-> [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) ) )
53	48, 50, 52	cbvral 3001	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. A C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) <-> A. x e. A [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) )
54	47, 53	sylib 201	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) )
55	54	r19.21bi 2776	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) )
56		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- U. ( F ` x ) = U. ( F ` x )
57	56	cldopn 20123	. . . . . . . . 9 |- ( [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) -> ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) e. ( F ` x ) )
58	55, 57	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) e. ( F ` x ) )
59	45, 46, 58	ptopn2 20676	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) e. ( Xt_ ` F ) )
60	44, 59	eqeltrd 2549	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) )
61		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- U. ( Xt_ ` F ) = U. ( Xt_ ` F )
62	61	iscld 20119	. . . . . . . 8 |- ( ( Xt_ ` F ) e. Top -> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) <-> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) /\ ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) ) ) )
63	15, 62	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) <-> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) /\ ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) ) ) )
64	63	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) <-> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) /\ ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) ) ) )
65	27, 60, 64	mpbir2and 936	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
66	65	ralrimiva 2809	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
67	61	riincld 20136	. . . 4 |- ( ( ( Xt_ ` F ) e. Top /\ A. x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
68	15, 66, 67	syl2anc 673	. . 3 |- ( ph -> ( U. ( Xt_ ` F ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
69	13, 68	eqeltrd 2549	. 2 |- ( ph -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
70	7, 69	eqeltrd 2549	1 |- ( ph -> X_ k e. A C e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   [_csb 3349   \ cdif 3387   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ifcif 3872   U.cuni 4190   |^|_ciin 4270   -->wf 5585   ` cfv 5589   X_cixp 7540   Xt_cpt 15415   Topctop 19994   Clsdccld 20108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ixp 7541  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-top 19998  df-bases 19999  df-cld 20111

This theorem is referenced by:  ptcldmpt  20706