Theorem ptcld 19086

Description: A closed box in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptcld.a	|- ( ph -> A e. V )
ptcld.f	|- ( ph -> F : A --> Top )
ptcld.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ptcld	|- ( ph -> X_ k e. A C e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )

Distinct variable groups:   ph, k   A, k   k, F   k, V

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem ptcld

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptcld.c	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) )
2		eqid 2441	. . . . . 6 |- U. ( F ` k ) = U. ( F ` k )
3	2	cldss 18533	. . . . 5 |- ( C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) -> C C_ U. ( F ` k ) )
4	1, 3	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C C_ U. ( F ` k ) )
5	4	ralrimiva 2797	. . 3 |- ( ph -> A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) )
6		boxriin 7301	. . 3 |- ( A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) -> X_ k e. A C = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
7	5, 6	syl 16	. 2 |- ( ph -> X_ k e. A C = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
8		ptcld.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
9		ptcld.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> Top )
10		eqid 2441	. . . . . 6 |- ( Xt_ ` F ) = ( Xt_ ` F )
11	10	ptuni 19067	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. ( Xt_ ` F ) )
12	8, 9, 11	syl2anc 656	. . . 4 |- ( ph -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. ( Xt_ ` F ) )
13	12	ineq1d 3548	. . 3 |- ( ph -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = ( U. ( Xt_ ` F ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
14		pttop 19055	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
15	8, 9, 14	syl2anc 656	. . . 4 |- ( ph -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
16		sseq1 3374	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) -> ( C C_ U. ( F ` k ) <-> if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) ) )
17		sseq1 3374	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. ( F ` k ) = if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) -> ( U. ( F ` k ) C_ U. ( F ` k ) <-> if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) ) )
18		simpl 454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C C_ U. ( F ` k ) /\ k = x ) -> C C_ U. ( F ` k ) )
19		ssid 3372	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( F ` k ) C_ U. ( F ` k )
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C C_ U. ( F ` k ) /\ -. k = x ) -> U. ( F ` k ) C_ U. ( F ` k ) )
21	16, 17, 18, 20	ifbothda 3821	. . . . . . . . . 10 |- ( C C_ U. ( F ` k ) -> if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) )
22	21	ralimi 2789	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) -> A. k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) )
23		ss2ixp 7272	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
24	5, 22, 23	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
25	24	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
26	12	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. ( Xt_ ` F ) )
27	25, 26	sseqtrd 3389	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) )
28	12	eqcomd 2446	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. ( Xt_ ` F ) = X_ k e. A U. ( F ` k ) )
29	28	difeq1d 3470	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
30	29	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
31		simpr 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
32	5	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) )
33		boxcutc 7302	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) ) -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) )
34	31, 32, 33	syl2anc 656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) )
35		ixpeq2 7273	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) -> X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) )
36		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = x -> ( F ` k ) = ( F ` x ) )
37	36	unieqd 4098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = x -> U. ( F ` k ) = U. ( F ` x ) )
38		csbeq1a 3294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = x -> C = [_ x / k ]_ C )
39	37, 38	difeq12d 3472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> ( U. ( F ` k ) \ C ) = ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) )
40	39	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. A /\ k = x ) -> ( U. ( F ` k ) \ C ) = ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) )
41	40	ifeq1da 3816	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. A -> if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) )
42	35, 41	mprg 2783	. . . . . . . . 9 |- X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) )
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) )
44	30, 34, 43	3eqtrd 2477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) )
45	8	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A e. V )
46	9	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> F : A --> Top )
47	1	ralrimiva 2797	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. A C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) )
48		nfv 1678	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x C e. ( Clsd ` ( F ` k ) )
49		nfcsb1v 3301	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k [_ x / k ]_ C
50	49	nfel1 2587	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) )
51	36	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = x -> ( Clsd ` ( F ` k ) ) = ( Clsd ` ( F ` x ) ) )
52	38, 51	eleq12d 2509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> ( C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) <-> [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) ) )
53	48, 50, 52	cbvral 2941	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. A C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) <-> A. x e. A [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) )
54	47, 53	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) )
55	54	r19.21bi 2812	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) )
56		eqid 2441	. . . . . . . . . 10 |- U. ( F ` x ) = U. ( F ` x )
57	56	cldopn 18535	. . . . . . . . 9 |- ( [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) -> ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) e. ( F ` x ) )
58	55, 57	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) e. ( F ` x ) )
59	45, 46, 58	ptopn2 19057	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) e. ( Xt_ ` F ) )
60	44, 59	eqeltrd 2515	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) )
61		eqid 2441	. . . . . . . . 9 |- U. ( Xt_ ` F ) = U. ( Xt_ ` F )
62	61	iscld 18531	. . . . . . . 8 |- ( ( Xt_ ` F ) e. Top -> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) <-> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) /\ ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) ) ) )
63	15, 62	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) <-> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) /\ ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) ) ) )
64	63	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) <-> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) /\ ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) ) ) )
65	27, 60, 64	mpbir2and 908	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
66	65	ralrimiva 2797	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
67	61	riincld 18548	. . . 4 |- ( ( ( Xt_ ` F ) e. Top /\ A. x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
68	15, 66, 67	syl2anc 656	. . 3 |- ( ph -> ( U. ( Xt_ ` F ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
69	13, 68	eqeltrd 2515	. 2 |- ( ph -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
70	7, 69	eqeltrd 2515	1 |- ( ph -> X_ k e. A C e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   [_csb 3285   \ cdif 3322   i^i cin 3324   C_ wss 3325   ifcif 3788   U.cuni 4088   |^|_ciin 4169   -->wf 5411   ` cfv 5415   X_cixp 7259   Xt_cpt 14373   Topctop 18398   Clsdccld 18520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-ixp 7260  df-en 7307  df-fin 7310  df-fi 7657  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-top 18403  df-bases 18405  df-cld 18523

This theorem is referenced by:  ptcldmpt  19087