MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptbasin2 Structured version   Unicode version

Theorem ptbasin2 19276
Description: The basis for a product topology is closed under intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
ptbasin2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( fi `  B
)  =  B )
Distinct variable groups:    x, g,
y, z, A    g, F, x, y, z    g, V, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptbasin2
Dummy variables  k  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . . 4  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
21ptbasin 19275 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B
) )  ->  (
u  i^i  v )  e.  B )
32ralrimivva 2907 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  i^i  v
)  e.  B )
41ptuni2 19274 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. B
)
5 ixpexg 7390 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  A  U. ( F `  k )  e.  _V  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  e.  _V )
6 fvex 5802 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
76uniex 6479 . . . . . . 7  |-  U. ( F `  k )  e.  _V
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( k  e.  A  ->  U. ( F `  k )  e.  _V )
95, 8mprg 2896 . . . . 5  |-  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  e.  _V
104, 9syl6eqelr 2548 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  U. B  e.  _V )
11 uniexb 6489 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  <->  U. B  e. 
_V )
1210, 11sylibr 212 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  B  e.  _V )
13 inficl 7779 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  i^i  v
)  e.  B  <->  ( fi `  B )  =  B ) )
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  i^i  v )  e.  B  <->  ( fi `  B )  =  B ) )
153, 14mpbid 210 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( fi `  B
)  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   {cab 2436   A.wral 2795   E.wrex 2796   _Vcvv 3071    \ cdif 3426    i^i cin 3428   U.cuni 4192    Fn wfn 5514   -->wf 5515   ` cfv 5519   X_cixp 7366   Fincfn 7413   ficfi 7764   Topctop 18623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-ixp 7367  df-en 7414  df-fin 7417  df-fi 7765  df-top 18628
This theorem is referenced by:  ptbas  19277  ptbasfi  19279
  Copyright terms: Public domain W3C validator