Theorem ptbasin2 19842

Description: The basis for a product topology is closed under intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptbas.1	|- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }

Assertion

Ref	Expression
ptbasin2	|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( fi ` B ) = B )

Distinct variable groups:   x, g, y, z, A   g, F, x, y, z   g, V, x, y, z

Allowed substitution hints:   B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptbasin2

Dummy variables k u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptbas.1	. . . 4 |- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
2	1	ptbasin 19841	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u i^i v ) e. B )
3	2	ralrimivva 2885	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> A. u e. B A. v e. B ( u i^i v ) e. B )
4	1	ptuni2 19840	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. B )
5		ixpexg 7493	. . . . . 6 |- ( A. k e. A U. ( F ` k ) e. _V -> X_ k e. A U. ( F ` k ) e. _V )
6		fvex 5876	. . . . . . . 8 |- ( F ` k ) e. _V
7	6	uniex 6580	. . . . . . 7 |- U. ( F ` k ) e. _V
8	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( k e. A -> U. ( F ` k ) e. _V )
9	5, 8	mprg 2827	. . . . 5 |- X_ k e. A U. ( F ` k ) e. _V
10	4, 9	syl6eqelr 2564	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> U. B e. _V )
11		uniexb 6594	. . . 4 |- ( B e. _V <-> U. B e. _V )
12	10, 11	sylibr 212	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> B e. _V )
13		inficl 7885	. . 3 |- ( B e. _V -> ( A. u e. B A. v e. B ( u i^i v ) e. B <-> ( fi ` B ) = B ) )
14	12, 13	syl 16	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( A. u e. B A. v e. B ( u i^i v ) e. B <-> ( fi ` B ) = B ) )
15	3, 14	mpbid 210	1 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( fi ` B ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   i^i cin 3475   U.cuni 4245   Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588   X_cixp 7469   Fincfn 7516   ficfi 7870   Topctop 19189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-ixp 7470  df-en 7517  df-fin 7520  df-fi 7871  df-top 19194

This theorem is referenced by:  ptbas  19843  ptbasfi  19845