MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptbasin2 Structured version   Unicode version

Theorem ptbasin2 19842
Description: The basis for a product topology is closed under intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
ptbasin2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( fi `  B
)  =  B )
Distinct variable groups:    x, g,
y, z, A    g, F, x, y, z    g, V, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptbasin2
Dummy variables  k  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . . 4  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
21ptbasin 19841 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B
) )  ->  (
u  i^i  v )  e.  B )
32ralrimivva 2885 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  i^i  v
)  e.  B )
41ptuni2 19840 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. B
)
5 ixpexg 7493 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  A  U. ( F `  k )  e.  _V  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  e.  _V )
6 fvex 5876 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
76uniex 6580 . . . . . . 7  |-  U. ( F `  k )  e.  _V
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( k  e.  A  ->  U. ( F `  k )  e.  _V )
95, 8mprg 2827 . . . . 5  |-  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  e.  _V
104, 9syl6eqelr 2564 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  U. B  e.  _V )
11 uniexb 6594 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  <->  U. B  e. 
_V )
1210, 11sylibr 212 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  B  e.  _V )
13 inficl 7885 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  i^i  v
)  e.  B  <->  ( fi `  B )  =  B ) )
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  i^i  v )  e.  B  <->  ( fi `  B )  =  B ) )
153, 14mpbid 210 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( fi `  B
)  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    i^i cin 3475   U.cuni 4245    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588   X_cixp 7469   Fincfn 7516   ficfi 7870   Topctop 19189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-ixp 7470  df-en 7517  df-fin 7520  df-fi 7871  df-top 19194
This theorem is referenced by:  ptbas  19843  ptbasfi  19845
  Copyright terms: Public domain W3C validator