Theorem ptbasin2 20524

Description: The basis for a product topology is closed under intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptbas.1	|- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }

Assertion

Ref	Expression
ptbasin2	|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( fi ` B ) = B )

Distinct variable groups:   x, g, y, z, A   g, F, x, y, z   g, V, x, y, z

Allowed substitution hints:   B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptbasin2

Dummy variables k u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptbas.1	. . . 4 |- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
2	1	ptbasin 20523	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u i^i v ) e. B )
3	2	ralrimivva 2853	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> A. u e. B A. v e. B ( u i^i v ) e. B )
4	1	ptuni2 20522	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. B )
5		ixpexg 7554	. . . . . 6 |- ( A. k e. A U. ( F ` k ) e. _V -> X_ k e. A U. ( F ` k ) e. _V )
6		fvex 5891	. . . . . . . 8 |- ( F ` k ) e. _V
7	6	uniex 6601	. . . . . . 7 |- U. ( F ` k ) e. _V
8	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( k e. A -> U. ( F ` k ) e. _V )
9	5, 8	mprg 2795	. . . . 5 |- X_ k e. A U. ( F ` k ) e. _V
10	4, 9	syl6eqelr 2526	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> U. B e. _V )
11		uniexb 6615	. . . 4 |- ( B e. _V <-> U. B e. _V )
12	10, 11	sylibr 215	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> B e. _V )
13		inficl 7945	. . 3 |- ( B e. _V -> ( A. u e. B A. v e. B ( u i^i v ) e. B <-> ( fi ` B ) = B ) )
14	12, 13	syl 17	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( A. u e. B A. v e. B ( u i^i v ) e. B <-> ( fi ` B ) = B ) )
15	3, 14	mpbid 213	1 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( fi ` B ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1870   {cab 2414   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087   \ cdif 3439   i^i cin 3441   U.cuni 4222   Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601   X_cixp 7530   Fincfn 7577   ficfi 7930   Topctop 19848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-ixp 7531  df-en 7578  df-fin 7581  df-fi 7931  df-top 19852

This theorem is referenced by:  ptbas  20525  ptbasfi  20527