Theorem ptbasin2 19276

Description: The basis for a product topology is closed under intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptbas.1	|- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }

Assertion

Ref	Expression
ptbasin2	|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( fi ` B ) = B )

Distinct variable groups:   x, g, y, z, A   g, F, x, y, z   g, V, x, y, z

Allowed substitution hints:   B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptbasin2

Dummy variables k u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptbas.1	. . . 4 |- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
2	1	ptbasin 19275	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u i^i v ) e. B )
3	2	ralrimivva 2907	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> A. u e. B A. v e. B ( u i^i v ) e. B )
4	1	ptuni2 19274	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. B )
5		ixpexg 7390	. . . . . 6 |- ( A. k e. A U. ( F ` k ) e. _V -> X_ k e. A U. ( F ` k ) e. _V )
6		fvex 5802	. . . . . . . 8 |- ( F ` k ) e. _V
7	6	uniex 6479	. . . . . . 7 |- U. ( F ` k ) e. _V
8	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( k e. A -> U. ( F ` k ) e. _V )
9	5, 8	mprg 2896	. . . . 5 |- X_ k e. A U. ( F ` k ) e. _V
10	4, 9	syl6eqelr 2548	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> U. B e. _V )
11		uniexb 6489	. . . 4 |- ( B e. _V <-> U. B e. _V )
12	10, 11	sylibr 212	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> B e. _V )
13		inficl 7779	. . 3 |- ( B e. _V -> ( A. u e. B A. v e. B ( u i^i v ) e. B <-> ( fi ` B ) = B ) )
14	12, 13	syl 16	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( A. u e. B A. v e. B ( u i^i v ) e. B <-> ( fi ` B ) = B ) )
15	3, 14	mpbid 210	1 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( fi ` B ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   {cab 2436   A.wral 2795   E.wrex 2796   _Vcvv 3071   \ cdif 3426   i^i cin 3428   U.cuni 4192   Fn wfn 5514   -->wf 5515   ` cfv 5519   X_cixp 7366   Fincfn 7413   ficfi 7764   Topctop 18623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-ixp 7367  df-en 7414  df-fin 7417  df-fi 7765  df-top 18628

This theorem is referenced by:  ptbas  19277  ptbasfi  19279