MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptbasin2 Structured version   Unicode version

Theorem ptbasin2 20524
Description: The basis for a product topology is closed under intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
ptbasin2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( fi `  B
)  =  B )
Distinct variable groups:    x, g,
y, z, A    g, F, x, y, z    g, V, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptbasin2
Dummy variables  k  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . . 4  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
21ptbasin 20523 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B
) )  ->  (
u  i^i  v )  e.  B )
32ralrimivva 2853 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  i^i  v
)  e.  B )
41ptuni2 20522 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. B
)
5 ixpexg 7554 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  A  U. ( F `  k )  e.  _V  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  e.  _V )
6 fvex 5891 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
76uniex 6601 . . . . . . 7  |-  U. ( F `  k )  e.  _V
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( k  e.  A  ->  U. ( F `  k )  e.  _V )
95, 8mprg 2795 . . . . 5  |-  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  e.  _V
104, 9syl6eqelr 2526 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  U. B  e.  _V )
11 uniexb 6615 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  <->  U. B  e. 
_V )
1210, 11sylibr 215 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  B  e.  _V )
13 inficl 7945 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  i^i  v
)  e.  B  <->  ( fi `  B )  =  B ) )
1412, 13syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  i^i  v )  e.  B  <->  ( fi `  B )  =  B ) )
153, 14mpbid 213 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( fi `  B
)  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870   {cab 2414   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    i^i cin 3441   U.cuni 4222    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601   X_cixp 7530   Fincfn 7577   ficfi 7930   Topctop 19848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-ixp 7531  df-en 7578  df-fin 7581  df-fi 7931  df-top 19852
This theorem is referenced by:  ptbas  20525  ptbasfi  20527
  Copyright terms: Public domain W3C validator