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Theorem ptbasin 20244
Description: The basis for a product topology is closed under intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
ptbasin  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  B )
Distinct variable groups:    x, g,
y, z, A    g, Y, x    g, F, x, y, z    g, X, x, z    g, V, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, g)    X( y)    Y( y, z)

Proof of Theorem ptbasin
Dummy variables  a 
b  c  d  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . . . . 6  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
21elpt 20239 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  <->  E. a
( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y ) ) )
31elpt 20239 . . . . 5  |-  ( Y  e.  B  <->  E. b
( ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. d  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y ) ) )
42, 3anbi12i 695 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  <->  ( E. a ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  X  = 
X_ y  e.  A  ( a `  y
) )  /\  E. b ( ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
b `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  Y  = 
X_ y  e.  A  ( b `  y
) ) ) )
5 eeanv 1993 . . . 4  |-  ( E. a E. b ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y ) )  /\  ( ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  Y  = 
X_ y  e.  A  ( b `  y
) ) )  <->  ( E. a ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
a `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  X  = 
X_ y  e.  A  ( a `  y
) )  /\  E. b ( ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
b `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  Y  = 
X_ y  e.  A  ( b `  y
) ) ) )
64, 5bitr4i 252 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  <->  E. a E. b ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y ) )  /\  ( ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  Y  = 
X_ y  e.  A  ( b `  y
) ) ) )
7 an4 822 . . . . 5  |-  ( ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y ) )  /\  ( ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  Y  = 
X_ y  e.  A  ( b `  y
) ) )  <->  ( (
( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )  /\  ( X  = 
X_ y  e.  A  ( a `  y
)  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y ) ) ) )
8 an6 1306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )  <-> 
( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  c ) ( a `  y )  =  U. ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) ) )
9 df-3an 973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  (
a `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `
 y )  = 
U. ( F `  y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  <->  ( (
( a  Fn  A  /\  b  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  (
a `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  ( E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  c ) ( a `  y )  =  U. ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) ) )
108, 9bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )  <-> 
( ( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  ( E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  E. d  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )
11 reeanv 3022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. c  e.  Fin  E. d  e.  Fin  ( A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `
 y )  = 
U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  <->  ( E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  E. d  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )
12 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  k  ->  (
a `  y )  =  ( a `  k ) )
13 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  k  ->  (
b `  y )  =  ( b `  k ) )
1412, 13ineq12d 3687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  k  ->  (
( a `  y
)  i^i  ( b `  y ) )  =  ( ( a `  k )  i^i  (
b `  k )
) )
1514cbvixpv 7480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X_ y  e.  A  ( (
a `  y )  i^i  ( b `  y
) )  =  X_ k  e.  A  (
( a `  k
)  i^i  ( b `  k ) )
16 simpl1l 1045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  A  e.  V )
17 unfi 7779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  ->  ( c  u.  d
)  e.  Fin )
1817ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  -> 
( c  u.  d
)  e.  Fin )
19 simpl1r 1046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  F : A --> Top )
2019ffvelrnda 6007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k
)  e.  Top )
21 simpl3l 1049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y ) )
22 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  k  ->  ( F `  y )  =  ( F `  k ) )
2312, 22eleq12d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  k  ->  (
( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  ( a `  k )  e.  ( F `  k ) ) )
2423rspccva 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  k  e.  A )  ->  ( a `  k
)  e.  ( F `
 k ) )
2521, 24sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( a `  k
)  e.  ( F `
 k ) )
26 simpl3r 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  A. y  e.  A  ( b `  y
)  e.  ( F `
 y ) )
2713, 22eleq12d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  k  ->  (
( b `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  ( b `  k )  e.  ( F `  k ) ) )
2827rspccva 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. y  e.  A  ( b `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  k  e.  A )  ->  ( b `  k
)  e.  ( F `
 k ) )
2926, 28sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( b `  k
)  e.  ( F `
 k ) )
30 inopn 19575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  Top  /\  ( a `  k
)  e.  ( F `
 k )  /\  ( b `  k
)  e.  ( F `
 k ) )  ->  ( ( a `
 k )  i^i  ( b `  k
) )  e.  ( F `  k ) )
3120, 25, 29, 30syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( ( a `  k )  i^i  (
b `  k )
)  e.  ( F `
 k ) )
32 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y )  =  U. ( F `
 y ) )
33 ssun1 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  c  C_  ( c  u.  d
)
34 sscon 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c 
C_  ( c  u.  d )  ->  ( A  \  ( c  u.  d ) )  C_  ( A  \  c
) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A 
\  ( c  u.  d ) )  C_  ( A  \  c
)
3635sseli 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( A  \ 
( c  u.  d
) )  ->  k  e.  ( A  \  c
) )
3722unieqd 4245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  k  ->  U. ( F `  y )  =  U. ( F `  k ) )
3812, 37eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  k  ->  (
( a `  y
)  =  U. ( F `  y )  <->  ( a `  k )  =  U. ( F `
 k ) ) )
3938rspccva 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )  /\  k  e.  ( A  \  c ) )  ->  ( a `  k )  =  U. ( F `  k ) )
4032, 36, 39syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  ( A  \  ( c  u.  d
) ) )  -> 
( a `  k
)  =  U. ( F `  k )
)
41 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y )  =  U. ( F `
 y ) )
42 ssun2 3654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  d  C_  ( c  u.  d
)
43 sscon 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( d 
C_  ( c  u.  d )  ->  ( A  \  ( c  u.  d ) )  C_  ( A  \  d
) )
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A 
\  ( c  u.  d ) )  C_  ( A  \  d
)
4544sseli 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( A  \ 
( c  u.  d
) )  ->  k  e.  ( A  \  d
) )
4613, 37eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  k  ->  (
( b `  y
)  =  U. ( F `  y )  <->  ( b `  k )  =  U. ( F `
 k ) ) )
4746rspccva 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y
)  =  U. ( F `  y )  /\  k  e.  ( A  \  d ) )  ->  ( b `  k )  =  U. ( F `  k ) )
4841, 45, 47syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  ( A  \  ( c  u.  d
) ) )  -> 
( b `  k
)  =  U. ( F `  k )
)
4940, 48ineq12d 3687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  ( A  \  ( c  u.  d
) ) )  -> 
( ( a `  k )  i^i  (
b `  k )
)  =  ( U. ( F `  k )  i^i  U. ( F `
 k ) ) )
50 inidm 3693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. ( F `  k )  i^i  U. ( F `
 k ) )  =  U. ( F `
 k )
5149, 50syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  ( A  \  ( c  u.  d
) ) )  -> 
( ( a `  k )  i^i  (
b `  k )
)  =  U. ( F `  k )
)
521, 16, 18, 31, 51elptr2 20241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  X_ k  e.  A  ( ( a `  k
)  i^i  ( b `  k ) )  e.  B )
5315, 52syl5eqel 2546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  X_ y  e.  A  ( ( a `  y
)  i^i  ( b `  y ) )  e.  B )
5453expr 613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )
)  ->  ( ( A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y )  =  U. ( F `
 y )  /\  A. y  e.  ( A 
\  d ) ( b `  y )  =  U. ( F `
 y ) )  ->  X_ y  e.  A  ( ( a `  y )  i^i  (
b `  y )
)  e.  B ) )
5554rexlimdvva 2953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  (
a `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  ->  ( E. c  e.  Fin  E. d  e.  Fin  ( A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y )  =  U. ( F `
 y )  /\  A. y  e.  ( A 
\  d ) ( b `  y )  =  U. ( F `
 y ) )  ->  X_ y  e.  A  ( ( a `  y )  i^i  (
b `  y )
)  e.  B ) )
5611, 55syl5bir 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  (
a `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  ->  (
( E. c  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  d ) ( b `  y )  =  U. ( F `
 y ) )  ->  X_ y  e.  A  ( ( a `  y )  i^i  (
b `  y )
)  e.  B ) )
57563expb 1195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( ( E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  c ) ( a `  y )  =  U. ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  ->  X_ y  e.  A  ( ( a `  y
)  i^i  ( b `  y ) )  e.  B ) )
5857impr 617 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( ( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  ( E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  E. d  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )  ->  X_ y  e.  A  ( ( a `  y
)  i^i  ( b `  y ) )  e.  B )
5910, 58sylan2b 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. d  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )  ->  X_ y  e.  A  ( ( a `  y
)  i^i  ( b `  y ) )  e.  B )
60 ineq12 3681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y )  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y
) )  ->  ( X  i^i  Y )  =  ( X_ y  e.  A  ( a `  y )  i^i  X_ y  e.  A  ( b `  y ) ) )
61 ixpin 7487 . . . . . . . . 9  |-  X_ y  e.  A  ( (
a `  y )  i^i  ( b `  y
) )  =  (
X_ y  e.  A  ( a `  y
)  i^i  X_ y  e.  A  ( b `  y ) )
6260, 61syl6eqr 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y )  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y
) )  ->  ( X  i^i  Y )  = 
X_ y  e.  A  ( ( a `  y )  i^i  (
b `  y )
) )
6362eleq1d 2523 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y )  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y
) )  ->  (
( X  i^i  Y
)  e.  B  <->  X_ y  e.  A  ( ( a `
 y )  i^i  ( b `  y
) )  e.  B
) )
6459, 63syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. d  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )  -> 
( ( X  = 
X_ y  e.  A  ( a `  y
)  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y ) )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  B
) )
6564expimpd 601 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
b `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  ( X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y )  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y
) ) )  -> 
( X  i^i  Y
)  e.  B ) )
667, 65syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  X  = 
X_ y  e.  A  ( a `  y
) )  /\  (
( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y ) ) )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  B ) )
6766exlimdvv 1730 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( E. a E. b ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  X  = 
X_ y  e.  A  ( a `  y
) )  /\  (
( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y ) ) )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  B ) )
686, 67syl5bi 217 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  B ) )
6968imp 427 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   {cab 2439   A.wral 2804   E.wrex 2805    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   U.cuni 4235    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570   X_cixp 7462   Fincfn 7509   Topctop 19561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oadd 7126  df-er 7303  df-ixp 7463  df-en 7510  df-fin 7513  df-top 19566
This theorem is referenced by:  ptbasin2  20245
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