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Theorem ptbasin 19951
Description: The basis for a product topology is closed under intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
ptbasin  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  B )
Distinct variable groups:    x, g,
y, z, A    g, Y, x    g, F, x, y, z    g, X, x, z    g, V, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, g)    X( y)    Y( y, z)

Proof of Theorem ptbasin
Dummy variables  a 
b  c  d  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . . . . 6  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
21elpt 19946 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  <->  E. a
( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y ) ) )
31elpt 19946 . . . . 5  |-  ( Y  e.  B  <->  E. b
( ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. d  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y ) ) )
42, 3anbi12i 697 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  <->  ( E. a ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  X  = 
X_ y  e.  A  ( a `  y
) )  /\  E. b ( ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
b `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  Y  = 
X_ y  e.  A  ( b `  y
) ) ) )
5 eeanv 1974 . . . 4  |-  ( E. a E. b ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y ) )  /\  ( ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  Y  = 
X_ y  e.  A  ( b `  y
) ) )  <->  ( E. a ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
a `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  X  = 
X_ y  e.  A  ( a `  y
) )  /\  E. b ( ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
b `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  Y  = 
X_ y  e.  A  ( b `  y
) ) ) )
64, 5bitr4i 252 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  <->  E. a E. b ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y ) )  /\  ( ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  Y  = 
X_ y  e.  A  ( b `  y
) ) ) )
7 an4 824 . . . . 5  |-  ( ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y ) )  /\  ( ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  Y  = 
X_ y  e.  A  ( b `  y
) ) )  <->  ( (
( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )  /\  ( X  = 
X_ y  e.  A  ( a `  y
)  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y ) ) ) )
8 an6 1309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )  <-> 
( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  c ) ( a `  y )  =  U. ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) ) )
9 df-3an 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  (
a `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `
 y )  = 
U. ( F `  y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  <->  ( (
( a  Fn  A  /\  b  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  (
a `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  ( E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  c ) ( a `  y )  =  U. ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) ) )
108, 9bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )  <-> 
( ( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  ( E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  E. d  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )
11 reeanv 3011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. c  e.  Fin  E. d  e.  Fin  ( A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `
 y )  = 
U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  <->  ( E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  E. d  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )
12 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  k  ->  (
a `  y )  =  ( a `  k ) )
13 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  k  ->  (
b `  y )  =  ( b `  k ) )
1412, 13ineq12d 3686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  k  ->  (
( a `  y
)  i^i  ( b `  y ) )  =  ( ( a `  k )  i^i  (
b `  k )
) )
1514cbvixpv 7489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X_ y  e.  A  ( (
a `  y )  i^i  ( b `  y
) )  =  X_ k  e.  A  (
( a `  k
)  i^i  ( b `  k ) )
16 simpl1l 1048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  A  e.  V )
17 unfi 7789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  ->  ( c  u.  d
)  e.  Fin )
1817ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  -> 
( c  u.  d
)  e.  Fin )
19 simpl1r 1049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  F : A --> Top )
2019ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k
)  e.  Top )
21 simpl3l 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y ) )
22 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  k  ->  ( F `  y )  =  ( F `  k ) )
2312, 22eleq12d 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  k  ->  (
( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  ( a `  k )  e.  ( F `  k ) ) )
2423rspccva 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  k  e.  A )  ->  ( a `  k
)  e.  ( F `
 k ) )
2521, 24sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( a `  k
)  e.  ( F `
 k ) )
26 simpl3r 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  A. y  e.  A  ( b `  y
)  e.  ( F `
 y ) )
2713, 22eleq12d 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  k  ->  (
( b `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  ( b `  k )  e.  ( F `  k ) ) )
2827rspccva 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. y  e.  A  ( b `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  k  e.  A )  ->  ( b `  k
)  e.  ( F `
 k ) )
2926, 28sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( b `  k
)  e.  ( F `
 k ) )
30 inopn 19281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  Top  /\  ( a `  k
)  e.  ( F `
 k )  /\  ( b `  k
)  e.  ( F `
 k ) )  ->  ( ( a `
 k )  i^i  ( b `  k
) )  e.  ( F `  k ) )
3120, 25, 29, 30syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( ( a `  k )  i^i  (
b `  k )
)  e.  ( F `
 k ) )
32 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y )  =  U. ( F `
 y ) )
33 ssun1 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  c  C_  ( c  u.  d
)
34 sscon 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c 
C_  ( c  u.  d )  ->  ( A  \  ( c  u.  d ) )  C_  ( A  \  c
) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A 
\  ( c  u.  d ) )  C_  ( A  \  c
)
3635sseli 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( A  \ 
( c  u.  d
) )  ->  k  e.  ( A  \  c
) )
3722unieqd 4244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  k  ->  U. ( F `  y )  =  U. ( F `  k ) )
3812, 37eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  k  ->  (
( a `  y
)  =  U. ( F `  y )  <->  ( a `  k )  =  U. ( F `
 k ) ) )
3938rspccva 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )  /\  k  e.  ( A  \  c ) )  ->  ( a `  k )  =  U. ( F `  k ) )
4032, 36, 39syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  ( A  \  ( c  u.  d
) ) )  -> 
( a `  k
)  =  U. ( F `  k )
)
41 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y )  =  U. ( F `
 y ) )
42 ssun2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  d  C_  ( c  u.  d
)
43 sscon 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( d 
C_  ( c  u.  d )  ->  ( A  \  ( c  u.  d ) )  C_  ( A  \  d
) )
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A 
\  ( c  u.  d ) )  C_  ( A  \  d
)
4544sseli 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( A  \ 
( c  u.  d
) )  ->  k  e.  ( A  \  d
) )
4613, 37eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  k  ->  (
( b `  y
)  =  U. ( F `  y )  <->  ( b `  k )  =  U. ( F `
 k ) ) )
4746rspccva 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y
)  =  U. ( F `  y )  /\  k  e.  ( A  \  d ) )  ->  ( b `  k )  =  U. ( F `  k ) )
4841, 45, 47syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  ( A  \  ( c  u.  d
) ) )  -> 
( b `  k
)  =  U. ( F `  k )
)
4940, 48ineq12d 3686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  ( A  \  ( c  u.  d
) ) )  -> 
( ( a `  k )  i^i  (
b `  k )
)  =  ( U. ( F `  k )  i^i  U. ( F `
 k ) ) )
50 inidm 3692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. ( F `  k )  i^i  U. ( F `
 k ) )  =  U. ( F `
 k )
5149, 50syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  ( A  \  ( c  u.  d
) ) )  -> 
( ( a `  k )  i^i  (
b `  k )
)  =  U. ( F `  k )
)
521, 16, 18, 31, 51elptr2 19948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  X_ k  e.  A  ( ( a `  k
)  i^i  ( b `  k ) )  e.  B )
5315, 52syl5eqel 2535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  X_ y  e.  A  ( ( a `  y
)  i^i  ( b `  y ) )  e.  B )
5453expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )
)  ->  ( ( A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y )  =  U. ( F `
 y )  /\  A. y  e.  ( A 
\  d ) ( b `  y )  =  U. ( F `
 y ) )  ->  X_ y  e.  A  ( ( a `  y )  i^i  (
b `  y )
)  e.  B ) )
5554rexlimdvva 2942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  (
a `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  ->  ( E. c  e.  Fin  E. d  e.  Fin  ( A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y )  =  U. ( F `
 y )  /\  A. y  e.  ( A 
\  d ) ( b `  y )  =  U. ( F `
 y ) )  ->  X_ y  e.  A  ( ( a `  y )  i^i  (
b `  y )
)  e.  B ) )
5611, 55syl5bir 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  (
a `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  ->  (
( E. c  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  d ) ( b `  y )  =  U. ( F `
 y ) )  ->  X_ y  e.  A  ( ( a `  y )  i^i  (
b `  y )
)  e.  B ) )
57563expb 1198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( ( E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  c ) ( a `  y )  =  U. ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  ->  X_ y  e.  A  ( ( a `  y
)  i^i  ( b `  y ) )  e.  B ) )
5857impr 619 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( ( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  ( E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  E. d  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )  ->  X_ y  e.  A  ( ( a `  y
)  i^i  ( b `  y ) )  e.  B )
5910, 58sylan2b 475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. d  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )  ->  X_ y  e.  A  ( ( a `  y
)  i^i  ( b `  y ) )  e.  B )
60 ineq12 3680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y )  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y
) )  ->  ( X  i^i  Y )  =  ( X_ y  e.  A  ( a `  y )  i^i  X_ y  e.  A  ( b `  y ) ) )
61 ixpin 7496 . . . . . . . . 9  |-  X_ y  e.  A  ( (
a `  y )  i^i  ( b `  y
) )  =  (
X_ y  e.  A  ( a `  y
)  i^i  X_ y  e.  A  ( b `  y ) )
6260, 61syl6eqr 2502 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y )  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y
) )  ->  ( X  i^i  Y )  = 
X_ y  e.  A  ( ( a `  y )  i^i  (
b `  y )
) )
6362eleq1d 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y )  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y
) )  ->  (
( X  i^i  Y
)  e.  B  <->  X_ y  e.  A  ( ( a `
 y )  i^i  ( b `  y
) )  e.  B
) )
6459, 63syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. d  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )  -> 
( ( X  = 
X_ y  e.  A  ( a `  y
)  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y ) )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  B
) )
6564expimpd 603 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
b `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  ( X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y )  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y
) ) )  -> 
( X  i^i  Y
)  e.  B ) )
667, 65syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  X  = 
X_ y  e.  A  ( a `  y
) )  /\  (
( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y ) ) )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  B ) )
6766exlimdvv 1712 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( E. a E. b ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  X  = 
X_ y  e.  A  ( a `  y
) )  /\  (
( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y ) ) )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  B ) )
686, 67syl5bi 217 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  B ) )
6968imp 429 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804   {cab 2428   A.wral 2793   E.wrex 2794    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   U.cuni 4234    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578   X_cixp 7471   Fincfn 7518   Topctop 19267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-oadd 7136  df-er 7313  df-ixp 7472  df-en 7519  df-fin 7522  df-top 19272
This theorem is referenced by:  ptbasin2  19952
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