MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptbas Structured version   Unicode version

Theorem ptbas 19283
Description: The basis for a product topology is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
ptbas  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  B  e.  TopBases )
Distinct variable groups:    x, g,
y, z, A    g, F, x, y, z    g, V, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptbas
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . 3  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
21ptbasin2 19282 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( fi `  B
)  =  B )
3 fibas 18713 . 2  |-  ( fi
`  B )  e.  TopBases
42, 3syl6eqelr 2551 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  B  e.  TopBases )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   {cab 2439   A.wral 2798   E.wrex 2799    \ cdif 3432   U.cuni 4198    Fn wfn 5520   -->wf 5521   ` cfv 5525   X_cixp 7372   Fincfn 7419   ficfi 7770   Topctop 18629   TopBasesctb 18633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-ixp 7373  df-en 7420  df-fin 7423  df-fi 7771  df-top 18634  df-bases 18636
This theorem is referenced by:  ptbasfi  19285  pttop  19286  ptopn  19287  ptuni  19298  ptpjcn  19315  ptclsg  19319
  Copyright terms: Public domain W3C validator