Theorem pt1hmeo 20433

Description: The canonical homeomorphism from a topological product on a singleton to the topology of the factor. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pt1hmeo.j	|- K = ( Xt_ ` { <. A , J >. } )
pt1hmeo.a	|- ( ph -> A e. V )
pt1hmeo.r	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )

Assertion

Ref	Expression
pt1hmeo	|- ( ph -> ( x e. X |-> { <. A , x >. } ) e. ( J Homeo K ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, J   x, K   ph, x   x, X

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem pt1hmeo

Dummy variables k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 5052	. . . . 5 |- ( { A } X. { x } ) = ( k e. { A } |-> x )
2		pt1hmeo.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. V )
3	2	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. V )
4		sneq 4042	. . . . . . . . 9 |- ( k = A -> { k } = { A } )
5	4	xpeq1d 5031	. . . . . . . 8 |- ( k = A -> ( { k } X. { x } ) = ( { A } X. { x } ) )
6		opeq1 4219	. . . . . . . . 9 |- ( k = A -> <. k , x >. = <. A , x >. )
7	6	sneqd 4044	. . . . . . . 8 |- ( k = A -> { <. k , x >. } = { <. A , x >. } )
8	5, 7	eqeq12d 2479	. . . . . . 7 |- ( k = A -> ( ( { k } X. { x } ) = { <. k , x >. } <-> ( { A } X. { x } ) = { <. A , x >. } ) )
9		vex 3112	. . . . . . . 8 |- k e. _V
10		vex 3112	. . . . . . . 8 |- x e. _V
11	9, 10	xpsn 6074	. . . . . . 7 |- ( { k } X. { x } ) = { <. k , x >. }
12	8, 11	vtoclg 3167	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( { A } X. { x } ) = { <. A , x >. } )
13	3, 12	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( { A } X. { x } ) = { <. A , x >. } )
14	1, 13	syl5eqr 2512	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. { A } |-> x ) = { <. A , x >. } )
15	14	mpteq2dva 4543	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( k e. { A } |-> x ) ) = ( x e. X |-> { <. A , x >. } ) )
16		pt1hmeo.j	. . . 4 |- K = ( Xt_ ` { <. A , J >. } )
17		pt1hmeo.r	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
18		snex 4697	. . . . 5 |- { A } e. _V
19	18	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> { A } e. _V )
20		f1osng 5860	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> { <. A , J >. } : { A } -1-1-onto-> { J } )
21	2, 17, 20	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> { <. A , J >. } : { A } -1-1-onto-> { J } )
22		f1of 5822	. . . . . 6 |- ( { <. A , J >. } : { A } -1-1-onto-> { J } -> { <. A , J >. } : { A } --> { J } )
23	21, 22	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> { <. A , J >. } : { A } --> { J } )
24		topontop 19554	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
25	17, 24	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. Top )
26	25	snssd 4177	. . . . 5 |- ( ph -> { J } C_ Top )
27	23, 26	fssd 5746	. . . 4 |- ( ph -> { <. A , J >. } : { A } --> Top )
28	17	cnmptid 20288	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> x ) e. ( J Cn J ) )
29	28	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { A } ) -> ( x e. X |-> x ) e. ( J Cn J ) )
30		elsni 4057	. . . . . . . 8 |- ( k e. { A } -> k = A )
31	30	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( k e. { A } -> ( { <. A , J >. } ` k ) = ( { <. A , J >. } ` A ) )
32		fvsng 6106	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( { <. A , J >. } ` A ) = J )
33	2, 17, 32	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { <. A , J >. } ` A ) = J )
34	31, 33	sylan9eqr 2520	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { A } ) -> ( { <. A , J >. } ` k ) = J )
35	34	oveq2d 6312	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { A } ) -> ( J Cn ( { <. A , J >. } ` k ) ) = ( J Cn J ) )
36	29, 35	eleqtrrd 2548	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. { A } ) -> ( x e. X |-> x ) e. ( J Cn ( { <. A , J >. } ` k ) ) )
37	16, 17, 19, 27, 36	ptcn 20254	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( k e. { A } |-> x ) ) e. ( J Cn K ) )
38	15, 37	eqeltrrd 2546	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> { <. A , x >. } ) e. ( J Cn K ) )
39		simprr 757	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> y = { <. A , x >. } )
40	14	adantrr 716	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> ( k e. { A } |-> x ) = { <. A , x >. } )
41	39, 40	eqtr4d 2501	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> y = ( k e. { A } |-> x ) )
42		simprl 756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> x e. X )
43	42	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) /\ k e. { A } ) -> x e. X )
44		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. { A } |-> x ) = ( k e. { A } |-> x )
45	43, 44	fmptd 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> ( k e. { A } |-> x ) : { A } --> X )
46		toponmax 19556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
47	17, 46	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. J )
48	47	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> X e. J )
49		elmapg 7451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. J /\ { A } e. _V ) -> ( ( k e. { A } |-> x ) e. ( X ^m { A } ) <-> ( k e. { A } |-> x ) : { A } --> X ) )
50	48, 18, 49	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> ( ( k e. { A } |-> x ) e. ( X ^m { A } ) <-> ( k e. { A } |-> x ) : { A } --> X ) )
51	45, 50	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> ( k e. { A } |-> x ) e. ( X ^m { A } ) )
52	41, 51	eqeltrd 2545	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> y e. ( X ^m { A } ) )
53	39	fveq1d 5874	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> ( y ` A ) = ( { <. A , x >. } ` A ) )
54	2	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> A e. V )
55		fvsng 6106	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ x e. X ) -> ( { <. A , x >. } ` A ) = x )
56	54, 42, 55	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> ( { <. A , x >. } ` A ) = x )
57	53, 56	eqtr2d 2499	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> x = ( y ` A ) )
58	52, 57	jca 532	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) )
59		simprr 757	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> x = ( y ` A ) )
60		simprl 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> y e. ( X ^m { A } ) )
61	47	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> X e. J )
62		elmapg 7451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. J /\ { A } e. _V ) -> ( y e. ( X ^m { A } ) <-> y : { A } --> X ) )
63	61, 18, 62	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> ( y e. ( X ^m { A } ) <-> y : { A } --> X ) )
64	60, 63	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> y : { A } --> X )
65		snidg 4058	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> A e. { A } )
66	2, 65	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. { A } )
67	66	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> A e. { A } )
68	64, 67	ffvelrnd 6033	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> ( y ` A ) e. X )
69	59, 68	eqeltrd 2545	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> x e. X )
70	2	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> A e. V )
71	4	feq2d 5724	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = A -> ( y : { k } --> X <-> y : { A } --> X ) )
72		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = A -> ( y ` k ) = ( y ` A ) )
73	72	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = A -> ( ( y ` k ) e. X <-> ( y ` A ) e. X ) )
74		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = A -> k = A )
75	74, 72	opeq12d 4227	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = A -> <. k , ( y ` k ) >. = <. A , ( y ` A ) >. )
76	75	sneqd 4044	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = A -> { <. k , ( y ` k ) >. } = { <. A , ( y ` A ) >. } )
77	76	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = A -> ( y = { <. k , ( y ` k ) >. } <-> y = { <. A , ( y ` A ) >. } ) )
78	73, 77	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = A -> ( ( ( y ` k ) e. X /\ y = { <. k , ( y ` k ) >. } ) <-> ( ( y ` A ) e. X /\ y = { <. A , ( y ` A ) >. } ) ) )
79	9	fsn2 6072	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y : { k } --> X <-> ( ( y ` k ) e. X /\ y = { <. k , ( y ` k ) >. } ) )
80	71, 78, 79	vtoclbg 3168	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> ( y : { A } --> X <-> ( ( y ` A ) e. X /\ y = { <. A , ( y ` A ) >. } ) ) )
81	70, 80	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> ( y : { A } --> X <-> ( ( y ` A ) e. X /\ y = { <. A , ( y ` A ) >. } ) ) )
82	64, 81	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> ( ( y ` A ) e. X /\ y = { <. A , ( y ` A ) >. } ) )
83	82	simprd 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> y = { <. A , ( y ` A ) >. } )
84	59	opeq2d 4226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> <. A , x >. = <. A , ( y ` A ) >. )
85	84	sneqd 4044	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> { <. A , x >. } = { <. A , ( y ` A ) >. } )
86	83, 85	eqtr4d 2501	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> y = { <. A , x >. } )
87	69, 86	jca 532	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) )
88	58, 87	impbida 832	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) <-> ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) )
89	88	mptcnv 5415	. . . 4 |- ( ph -> `' ( x e. X |-> { <. A , x >. } ) = ( y e. ( X ^m { A } ) |-> ( y ` A ) ) )
90		xpsng 6073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( { A } X. { J } ) = { <. A , J >. } )
91	2, 17, 90	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { A } X. { J } ) = { <. A , J >. } )
92	91	eqcomd 2465	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { <. A , J >. } = ( { A } X. { J } ) )
93	92	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Xt_ ` { <. A , J >. } ) = ( Xt_ ` ( { A } X. { J } ) ) )
94	16, 93	syl5eq 2510	. . . . . . 7 |- ( ph -> K = ( Xt_ ` ( { A } X. { J } ) ) )
95		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( Xt_ ` ( { A } X. { J } ) ) = ( Xt_ ` ( { A } X. { J } ) )
96	95	pttoponconst 20224	. . . . . . . 8 |- ( ( { A } e. _V /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( Xt_ ` ( { A } X. { J } ) ) e. (TopOn ` ( X ^m { A } ) ) )
97	19, 17, 96	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( { A } X. { J } ) ) e. (TopOn ` ( X ^m { A } ) ) )
98	94, 97	eqeltrd 2545	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. (TopOn ` ( X ^m { A } ) ) )
99		toponuni 19555	. . . . . 6 |- ( K e. (TopOn ` ( X ^m { A } ) ) -> ( X ^m { A } ) = U. K )
100	98, 99	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ^m { A } ) = U. K )
101	100	mpteq1d 4538	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( X ^m { A } ) |-> ( y ` A ) ) = ( y e. U. K |-> ( y ` A ) ) )
102	89, 101	eqtrd 2498	. . 3 |- ( ph -> `' ( x e. X |-> { <. A , x >. } ) = ( y e. U. K |-> ( y ` A ) ) )
103		eqid 2457	. . . . . 6 |- U. K = U. K
104	103, 16	ptpjcn 20238	. . . . 5 |- ( ( { A } e. _V /\ { <. A , J >. } : { A } --> Top /\ A e. { A } ) -> ( y e. U. K |-> ( y ` A ) ) e. ( K Cn ( { <. A , J >. } ` A ) ) )
105	19, 27, 66, 104	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. U. K |-> ( y ` A ) ) e. ( K Cn ( { <. A , J >. } ` A ) ) )
106	33	oveq2d 6312	. . . 4 |- ( ph -> ( K Cn ( { <. A , J >. } ` A ) ) = ( K Cn J ) )
107	105, 106	eleqtrd 2547	. . 3 |- ( ph -> ( y e. U. K |-> ( y ` A ) ) e. ( K Cn J ) )
108	102, 107	eqeltrd 2545	. 2 |- ( ph -> `' ( x e. X |-> { <. A , x >. } ) e. ( K Cn J ) )
109		ishmeo 20386	. 2 |- ( ( x e. X |-> { <. A , x >. } ) e. ( J Homeo K ) <-> ( ( x e. X |-> { <. A , x >. } ) e. ( J Cn K ) /\ `' ( x e. X |-> { <. A , x >. } ) e. ( K Cn J ) ) )
110	38, 108, 109	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> { <. A , x >. } ) e. ( J Homeo K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   _Vcvv 3109   {csn 4032   <.cop 4038   U.cuni 4251   |-> cmpt 4515   X. cxp 5006   `'ccnv 5007   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ^m cmap 7438   Xt_cpt 14856   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   Cn ccn 19852   Homeochmeo 20380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-fin 7539  df-fi 7889  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-hmeo 20382

This theorem is referenced by:  xpstopnlem1  20436  ptcmpfi  20440