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Theorem pt1hmeo 17791
Description: The canonical homeomorphism from a topological product on a singleton to the topology of the factor. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pt1hmeo.j  |-  K  =  ( Xt_ `  { <. A ,  J >. } )
pt1hmeo.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
pt1hmeo.r  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Assertion
Ref Expression
pt1hmeo  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( J  Homeo  K )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, K    ph, x    x, X
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem pt1hmeo
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 4880 . . . . 5  |-  ( { A }  X.  {
x } )  =  ( k  e.  { A }  |->  x )
2 pt1hmeo.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
32adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  V )
4 sneq 3785 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  { k }  =  { A } )
54xpeq1d 4860 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  ( { k }  X.  { x } )  =  ( { A }  X.  { x }
) )
6 opeq1 3944 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  <. k ,  x >.  =  <. A ,  x >. )
76sneqd 3787 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  { <. k ,  x >. }  =  { <. A ,  x >. } )
85, 7eqeq12d 2418 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  (
( { k }  X.  { x }
)  =  { <. k ,  x >. }  <->  ( { A }  X.  { x } )  =  { <. A ,  x >. } ) )
9 vex 2919 . . . . . . . 8  |-  k  e. 
_V
10 vex 2919 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
119, 10xpsn 5869 . . . . . . 7  |-  ( { k }  X.  {
x } )  =  { <. k ,  x >. }
128, 11vtoclg 2971 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( { A }  X.  {
x } )  =  { <. A ,  x >. } )
133, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( { A }  X.  {
x } )  =  { <. A ,  x >. } )
141, 13syl5eqr 2450 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  { A }  |->  x )  =  { <. A ,  x >. } )
1514mpteq2dva 4255 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  { A }  |->  x ) )  =  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } ) )
16 pt1hmeo.j . . . 4  |-  K  =  ( Xt_ `  { <. A ,  J >. } )
17 pt1hmeo.r . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
18 snex 4365 . . . . 5  |-  { A }  e.  _V
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { A }  e.  _V )
20 f1osng 5675 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  J  e.  (TopOn `  X
) )  ->  { <. A ,  J >. } : { A } -1-1-onto-> { J } )
212, 17, 20syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. A ,  J >. } : { A }
-1-1-onto-> { J } )
22 f1of 5633 . . . . . 6  |-  ( {
<. A ,  J >. } : { A } -1-1-onto-> { J }  ->  { <. A ,  J >. } : { A } --> { J } )
2321, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. A ,  J >. } : { A }
--> { J } )
24 topontop 16946 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2517, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
2625snssd 3903 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { J }  C_  Top )
27 fss 5558 . . . . 5  |-  ( ( { <. A ,  J >. } : { A }
--> { J }  /\  { J }  C_  Top )  ->  { <. A ,  J >. } : { A } --> Top )
2823, 26, 27syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. A ,  J >. } : { A }
--> Top )
2917cnmptid 17646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
3029adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A } )  -> 
( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
31 elsni 3798 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { A }  ->  k  =  A )
3231fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { A }  ->  ( { <. A ,  J >. } `  k
)  =  ( {
<. A ,  J >. } `
 A ) )
33 fvsng 5886 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  J  e.  (TopOn `  X
) )  ->  ( { <. A ,  J >. } `  A )  =  J )
342, 17, 33syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { <. A ,  J >. } `  A
)  =  J )
3532, 34sylan9eqr 2458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A } )  -> 
( { <. A ,  J >. } `  k
)  =  J )
3635oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A } )  -> 
( J  Cn  ( { <. A ,  J >. } `  k ) )  =  ( J  Cn  J ) )
3730, 36eleqtrrd 2481 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A } )  -> 
( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  ( {
<. A ,  J >. } `
 k ) ) )
3816, 17, 19, 28, 37ptcn 17612 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  { A }  |->  x ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
3915, 38eqeltrrd 2479 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( J  Cn  K ) )
40 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
y  =  { <. A ,  x >. } )
4114adantrr 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( k  e.  { A }  |->  x )  =  { <. A ,  x >. } )
4240, 41eqtr4d 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
y  =  ( k  e.  { A }  |->  x ) )
43 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  ->  x  e.  X )
4443adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  /\  k  e.  { A } )  ->  x  e.  X )
45 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { A }  |->  x )  =  ( k  e.  { A }  |->  x )
4644, 45fmptd 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( k  e.  { A }  |->  x ) : { A } --> X )
47 toponmax 16948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
4817, 47syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
4948adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  ->  X  e.  J )
50 elmapg 6990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  J  /\  { A }  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  { A }  |->  x )  e.  ( X  ^m  { A } )  <->  ( k  e.  { A }  |->  x ) : { A }
--> X ) )
5149, 18, 50sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( ( k  e. 
{ A }  |->  x )  e.  ( X  ^m  { A }
)  <->  ( k  e. 
{ A }  |->  x ) : { A }
--> X ) )
5246, 51mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( k  e.  { A }  |->  x )  e.  ( X  ^m  { A } ) )
5342, 52eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
y  e.  ( X  ^m  { A }
) )
5440fveq1d 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( y `  A
)  =  ( {
<. A ,  x >. } `
 A ) )
552adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  ->  A  e.  V )
56 fvsng 5886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  ( { <. A ,  x >. } `  A
)  =  x )
5755, 43, 56syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( { <. A ,  x >. } `  A
)  =  x )
5854, 57eqtr2d 2437 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  ->  x  =  ( y `  A ) )
5953, 58jca 519 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )
60 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  x  =  ( y `  A ) )
61 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  y  e.  ( X  ^m  { A } ) )
6248adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  X  e.  J
)
63 elmapg 6990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  J  /\  { A }  e.  _V )  ->  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  <->  y : { A } --> X ) )
6462, 18, 63sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  <->  y : { A } --> X ) )
6561, 64mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  y : { A } --> X )
66 snidg 3799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { A } )
672, 66syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  { A } )
6867adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  A  e.  { A } )
6965, 68ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( y `  A )  e.  X
)
7060, 69eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  x  e.  X
)
712adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  A  e.  V
)
724feq2d 5540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  A  ->  (
y : { k } --> X  <->  y : { A } --> X ) )
73 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  A  ->  (
y `  k )  =  ( y `  A ) )
7473eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  A  ->  (
( y `  k
)  e.  X  <->  ( y `  A )  e.  X
) )
75 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  A  ->  k  =  A )
7675, 73opeq12d 3952 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  A  ->  <. k ,  ( y `  k ) >.  =  <. A ,  ( y `  A ) >. )
7776sneqd 3787 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  A  ->  { <. k ,  ( y `  k ) >. }  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } )
7877eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  A  ->  (
y  =  { <. k ,  ( y `  k ) >. }  <->  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) )
7974, 78anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( y `  k )  e.  X  /\  y  =  { <. k ,  ( y `
 k ) >. } )  <->  ( (
y `  A )  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) ) )
809fsn2 5867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y : { k } --> X  <->  ( ( y `
 k )  e.  X  /\  y  =  { <. k ,  ( y `  k )
>. } ) )
8172, 79, 80vtoclbg 2972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  (
y : { A }
--> X  <->  ( ( y `
 A )  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) ) )
8271, 81syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( y : { A } --> X  <->  ( (
y `  A )  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) ) )
8365, 82mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( ( y `
 A )  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) )
8483simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  y  =  { <. A ,  ( y `
 A ) >. } )
8560opeq2d 3951 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  <. A ,  x >.  =  <. A ,  ( y `  A )
>. )
8685sneqd 3787 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  { <. A ,  x >. }  =  { <. A ,  ( y `
 A ) >. } )
8784, 86eqtr4d 2439 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  y  =  { <. A ,  x >. } )
8870, 87jca 519 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )
8959, 88impbida 806 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } )  <->  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) ) )
9089opabbidv 4231 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. y ,  x >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }  =  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) } )
91 df-mpt 4228 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }
9291cnveqi 5006 . . . . . 6  |-  `' ( x  e.  X  |->  {
<. A ,  x >. } )  =  `' { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }
93 cnvopab 5233 . . . . . 6  |-  `' { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }  =  { <. y ,  x >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }
9492, 93eqtri 2424 . . . . 5  |-  `' ( x  e.  X  |->  {
<. A ,  x >. } )  =  { <. y ,  x >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }
95 df-mpt 4228 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  |->  ( y `  A ) )  =  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  ( X  ^m  { A }
)  /\  x  =  ( y `  A
) ) }
9690, 94, 953eqtr4g 2461 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  =  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  |->  ( y `
 A ) ) )
97 xpsng 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  J  e.  (TopOn `  X
) )  ->  ( { A }  X.  { J } )  =  { <. A ,  J >. } )
982, 17, 97syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { A }  X.  { J } )  =  { <. A ,  J >. } )
9998eqcomd 2409 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { <. A ,  J >. }  =  ( { A }  X.  { J } ) )
10099fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  { <. A ,  J >. } )  =  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) ) )
10116, 100syl5eq 2448 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  =  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) ) )
102 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) )
103102pttoponconst 17582 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A }  e.  _V  /\  J  e.  (TopOn `  X ) )  -> 
( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) )  e.  (TopOn `  ( X  ^m  { A } ) ) )
10419, 17, 103syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) )  e.  (TopOn `  ( X  ^m  { A } ) ) )
105101, 104eqeltrd 2478 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  ( X  ^m  { A } ) ) )
106 toponuni 16947 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  ( X  ^m  { A }
) )  ->  ( X  ^m  { A }
)  =  U. K
)
107105, 106syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  ^m  { A } )  =  U. K )
108107mpteq1d 4250 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  |->  ( y `
 A ) )  =  ( y  e. 
U. K  |->  ( y `
 A ) ) )
10996, 108eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  =  ( y  e.  U. K  |->  ( y `  A ) ) )
110 eqid 2404 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
111110, 16ptpjcn 17596 . . . . 5  |-  ( ( { A }  e.  _V  /\  { <. A ,  J >. } : { A } --> Top  /\  A  e. 
{ A } )  ->  ( y  e. 
U. K  |->  ( y `
 A ) )  e.  ( K  Cn  ( { <. A ,  J >. } `  A ) ) )
11219, 28, 67, 111syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U. K  |->  ( y `  A ) )  e.  ( K  Cn  ( { <. A ,  J >. } `  A ) ) )
11334oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  Cn  ( { <. A ,  J >. } `  A ) )  =  ( K  Cn  J ) )
114112, 113eleqtrd 2480 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U. K  |->  ( y `  A ) )  e.  ( K  Cn  J
) )
115109, 114eqeltrd 2478 . 2  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( K  Cn  J
) )
116 ishmeo 17744 . 2  |-  ( ( x  e.  X  |->  {
<. A ,  x >. } )  e.  ( J 
Homeo  K )  <->  ( (
x  e.  X  |->  {
<. A ,  x >. } )  e.  ( J  Cn  K )  /\  `' ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( K  Cn  J
) ) )
11739, 115, 116sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( J  Homeo  K )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   {csn 3774   <.cop 3777   U.cuni 3975   {copab 4225    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977   Xt_cpt 13621   Topctop 16913  TopOnctopon 16914    Cn ccn 17242    Homeo chmeo 17738
This theorem is referenced by:  xpstopnlem1  17794  ptcmpfi  17798
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-fin 7072  df-fi 7374  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-hmeo 17740
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