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Theorem pt1hmeo 20039
Description: The canonical homeomorphism from a topological product on a singleton to the topology of the factor. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pt1hmeo.j  |-  K  =  ( Xt_ `  { <. A ,  J >. } )
pt1hmeo.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
pt1hmeo.r  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Assertion
Ref Expression
pt1hmeo  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( J Homeo K ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, K    ph, x    x, X
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem pt1hmeo
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 5042 . . . . 5  |-  ( { A }  X.  {
x } )  =  ( k  e.  { A }  |->  x )
2 pt1hmeo.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
32adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  V )
4 sneq 4037 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  { k }  =  { A } )
54xpeq1d 5022 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  ( { k }  X.  { x } )  =  ( { A }  X.  { x }
) )
6 opeq1 4213 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  <. k ,  x >.  =  <. A ,  x >. )
76sneqd 4039 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  { <. k ,  x >. }  =  { <. A ,  x >. } )
85, 7eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  (
( { k }  X.  { x }
)  =  { <. k ,  x >. }  <->  ( { A }  X.  { x } )  =  { <. A ,  x >. } ) )
9 vex 3116 . . . . . . . 8  |-  k  e. 
_V
10 vex 3116 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
119, 10xpsn 6061 . . . . . . 7  |-  ( { k }  X.  {
x } )  =  { <. k ,  x >. }
128, 11vtoclg 3171 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( { A }  X.  {
x } )  =  { <. A ,  x >. } )
133, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( { A }  X.  {
x } )  =  { <. A ,  x >. } )
141, 13syl5eqr 2522 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  { A }  |->  x )  =  { <. A ,  x >. } )
1514mpteq2dva 4533 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  { A }  |->  x ) )  =  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } ) )
16 pt1hmeo.j . . . 4  |-  K  =  ( Xt_ `  { <. A ,  J >. } )
17 pt1hmeo.r . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
18 snex 4688 . . . . 5  |-  { A }  e.  _V
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { A }  e.  _V )
20 f1osng 5852 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  J  e.  (TopOn `  X
) )  ->  { <. A ,  J >. } : { A } -1-1-onto-> { J } )
212, 17, 20syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. A ,  J >. } : { A }
-1-1-onto-> { J } )
22 f1of 5814 . . . . . 6  |-  ( {
<. A ,  J >. } : { A } -1-1-onto-> { J }  ->  { <. A ,  J >. } : { A } --> { J } )
2321, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. A ,  J >. } : { A }
--> { J } )
24 topontop 19191 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2517, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
2625snssd 4172 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { J }  C_  Top )
27 fss 5737 . . . . 5  |-  ( ( { <. A ,  J >. } : { A }
--> { J }  /\  { J }  C_  Top )  ->  { <. A ,  J >. } : { A } --> Top )
2823, 26, 27syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. A ,  J >. } : { A }
--> Top )
2917cnmptid 19894 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
3029adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A } )  -> 
( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
31 elsni 4052 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { A }  ->  k  =  A )
3231fveq2d 5868 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { A }  ->  ( { <. A ,  J >. } `  k
)  =  ( {
<. A ,  J >. } `
 A ) )
33 fvsng 6093 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  J  e.  (TopOn `  X
) )  ->  ( { <. A ,  J >. } `  A )  =  J )
342, 17, 33syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { <. A ,  J >. } `  A
)  =  J )
3532, 34sylan9eqr 2530 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A } )  -> 
( { <. A ,  J >. } `  k
)  =  J )
3635oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A } )  -> 
( J  Cn  ( { <. A ,  J >. } `  k ) )  =  ( J  Cn  J ) )
3730, 36eleqtrrd 2558 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A } )  -> 
( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  ( {
<. A ,  J >. } `
 k ) ) )
3816, 17, 19, 28, 37ptcn 19860 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  { A }  |->  x ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
3915, 38eqeltrrd 2556 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( J  Cn  K ) )
40 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
y  =  { <. A ,  x >. } )
4114adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( k  e.  { A }  |->  x )  =  { <. A ,  x >. } )
4240, 41eqtr4d 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
y  =  ( k  e.  { A }  |->  x ) )
43 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  ->  x  e.  X )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  /\  k  e.  { A } )  ->  x  e.  X )
45 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { A }  |->  x )  =  ( k  e.  { A }  |->  x )
4644, 45fmptd 6043 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( k  e.  { A }  |->  x ) : { A } --> X )
47 toponmax 19193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
4817, 47syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  ->  X  e.  J )
50 elmapg 7430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  J  /\  { A }  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  { A }  |->  x )  e.  ( X  ^m  { A } )  <->  ( k  e.  { A }  |->  x ) : { A }
--> X ) )
5149, 18, 50sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( ( k  e. 
{ A }  |->  x )  e.  ( X  ^m  { A }
)  <->  ( k  e. 
{ A }  |->  x ) : { A }
--> X ) )
5246, 51mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( k  e.  { A }  |->  x )  e.  ( X  ^m  { A } ) )
5342, 52eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
y  e.  ( X  ^m  { A }
) )
5440fveq1d 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( y `  A
)  =  ( {
<. A ,  x >. } `
 A ) )
552adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  ->  A  e.  V )
56 fvsng 6093 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  ( { <. A ,  x >. } `  A
)  =  x )
5755, 43, 56syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( { <. A ,  x >. } `  A
)  =  x )
5854, 57eqtr2d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  ->  x  =  ( y `  A ) )
5953, 58jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )
60 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  x  =  ( y `  A ) )
61 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  y  e.  ( X  ^m  { A } ) )
6248adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  X  e.  J
)
63 elmapg 7430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  J  /\  { A }  e.  _V )  ->  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  <->  y : { A } --> X ) )
6462, 18, 63sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  <->  y : { A } --> X ) )
6561, 64mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  y : { A } --> X )
66 snidg 4053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { A } )
672, 66syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  { A } )
6867adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  A  e.  { A } )
6965, 68ffvelrnd 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( y `  A )  e.  X
)
7060, 69eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  x  e.  X
)
712adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  A  e.  V
)
724feq2d 5716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  A  ->  (
y : { k } --> X  <->  y : { A } --> X ) )
73 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  A  ->  (
y `  k )  =  ( y `  A ) )
7473eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  A  ->  (
( y `  k
)  e.  X  <->  ( y `  A )  e.  X
) )
75 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  A  ->  k  =  A )
7675, 73opeq12d 4221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  A  ->  <. k ,  ( y `  k ) >.  =  <. A ,  ( y `  A ) >. )
7776sneqd 4039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  A  ->  { <. k ,  ( y `  k ) >. }  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } )
7877eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  A  ->  (
y  =  { <. k ,  ( y `  k ) >. }  <->  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) )
7974, 78anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( y `  k )  e.  X  /\  y  =  { <. k ,  ( y `
 k ) >. } )  <->  ( (
y `  A )  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) ) )
809fsn2 6059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y : { k } --> X  <->  ( ( y `
 k )  e.  X  /\  y  =  { <. k ,  ( y `  k )
>. } ) )
8172, 79, 80vtoclbg 3172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  (
y : { A }
--> X  <->  ( ( y `
 A )  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) ) )
8271, 81syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( y : { A } --> X  <->  ( (
y `  A )  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) ) )
8365, 82mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( ( y `
 A )  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) )
8483simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  y  =  { <. A ,  ( y `
 A ) >. } )
8560opeq2d 4220 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  <. A ,  x >.  =  <. A ,  ( y `  A )
>. )
8685sneqd 4039 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  { <. A ,  x >. }  =  { <. A ,  ( y `
 A ) >. } )
8784, 86eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  y  =  { <. A ,  x >. } )
8870, 87jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )
8959, 88impbida 830 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } )  <->  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) ) )
9089opabbidv 4510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. y ,  x >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }  =  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) } )
91 df-mpt 4507 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }
9291cnveqi 5175 . . . . . 6  |-  `' ( x  e.  X  |->  {
<. A ,  x >. } )  =  `' { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }
93 cnvopab 5405 . . . . . 6  |-  `' { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }  =  { <. y ,  x >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }
9492, 93eqtri 2496 . . . . 5  |-  `' ( x  e.  X  |->  {
<. A ,  x >. } )  =  { <. y ,  x >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }
95 df-mpt 4507 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  |->  ( y `  A ) )  =  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  ( X  ^m  { A }
)  /\  x  =  ( y `  A
) ) }
9690, 94, 953eqtr4g 2533 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  =  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  |->  ( y `
 A ) ) )
97 xpsng 6060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  J  e.  (TopOn `  X
) )  ->  ( { A }  X.  { J } )  =  { <. A ,  J >. } )
982, 17, 97syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { A }  X.  { J } )  =  { <. A ,  J >. } )
9998eqcomd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { <. A ,  J >. }  =  ( { A }  X.  { J } ) )
10099fveq2d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  { <. A ,  J >. } )  =  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) ) )
10116, 100syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  =  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) ) )
102 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) )
103102pttoponconst 19830 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A }  e.  _V  /\  J  e.  (TopOn `  X ) )  -> 
( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) )  e.  (TopOn `  ( X  ^m  { A } ) ) )
10419, 17, 103syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) )  e.  (TopOn `  ( X  ^m  { A } ) ) )
105101, 104eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  ( X  ^m  { A } ) ) )
106 toponuni 19192 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  ( X  ^m  { A }
) )  ->  ( X  ^m  { A }
)  =  U. K
)
107105, 106syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  ^m  { A } )  =  U. K )
108107mpteq1d 4528 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  |->  ( y `
 A ) )  =  ( y  e. 
U. K  |->  ( y `
 A ) ) )
10996, 108eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  =  ( y  e.  U. K  |->  ( y `  A ) ) )
110 eqid 2467 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
111110, 16ptpjcn 19844 . . . . 5  |-  ( ( { A }  e.  _V  /\  { <. A ,  J >. } : { A } --> Top  /\  A  e. 
{ A } )  ->  ( y  e. 
U. K  |->  ( y `
 A ) )  e.  ( K  Cn  ( { <. A ,  J >. } `  A ) ) )
11219, 28, 67, 111syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U. K  |->  ( y `  A ) )  e.  ( K  Cn  ( { <. A ,  J >. } `  A ) ) )
11334oveq2d 6298 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  Cn  ( { <. A ,  J >. } `  A ) )  =  ( K  Cn  J ) )
114112, 113eleqtrd 2557 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U. K  |->  ( y `  A ) )  e.  ( K  Cn  J
) )
115109, 114eqeltrd 2555 . 2  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( K  Cn  J
) )
116 ishmeo 19992 . 2  |-  ( ( x  e.  X  |->  {
<. A ,  x >. } )  e.  ( J
Homeo K )  <->  ( (
x  e.  X  |->  {
<. A ,  x >. } )  e.  ( J  Cn  K )  /\  `' ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( K  Cn  J
) ) )
11739, 115, 116sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( J Homeo K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   {csn 4027   <.cop 4033   U.cuni 4245   {copab 4504    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   -->wf 5582   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ^m cmap 7417   Xt_cpt 14687   Topctop 19158  TopOnctopon 19159    Cn ccn 19488   Homeochmeo 19986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-fin 7517  df-fi 7867  df-topgen 14692  df-pt 14693  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-cn 19491  df-cnp 19492  df-hmeo 19988
This theorem is referenced by:  xpstopnlem1  20042  ptcmpfi  20046
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