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Theorem pt1hmeo 19377
Description: The canonical homeomorphism from a topological product on a singleton to the topology of the factor. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pt1hmeo.j  |-  K  =  ( Xt_ `  { <. A ,  J >. } )
pt1hmeo.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
pt1hmeo.r  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Assertion
Ref Expression
pt1hmeo  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( J Homeo K ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, K    ph, x    x, X
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem pt1hmeo
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 4880 . . . . 5  |-  ( { A }  X.  {
x } )  =  ( k  e.  { A }  |->  x )
2 pt1hmeo.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
32adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  V )
4 sneq 3885 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  { k }  =  { A } )
54xpeq1d 4861 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  ( { k }  X.  { x } )  =  ( { A }  X.  { x }
) )
6 opeq1 4057 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  <. k ,  x >.  =  <. A ,  x >. )
76sneqd 3887 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  { <. k ,  x >. }  =  { <. A ,  x >. } )
85, 7eqeq12d 2455 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  (
( { k }  X.  { x }
)  =  { <. k ,  x >. }  <->  ( { A }  X.  { x } )  =  { <. A ,  x >. } ) )
9 vex 2973 . . . . . . . 8  |-  k  e. 
_V
10 vex 2973 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
119, 10xpsn 5883 . . . . . . 7  |-  ( { k }  X.  {
x } )  =  { <. k ,  x >. }
128, 11vtoclg 3028 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( { A }  X.  {
x } )  =  { <. A ,  x >. } )
133, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( { A }  X.  {
x } )  =  { <. A ,  x >. } )
141, 13syl5eqr 2487 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  { A }  |->  x )  =  { <. A ,  x >. } )
1514mpteq2dva 4376 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  { A }  |->  x ) )  =  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } ) )
16 pt1hmeo.j . . . 4  |-  K  =  ( Xt_ `  { <. A ,  J >. } )
17 pt1hmeo.r . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
18 snex 4531 . . . . 5  |-  { A }  e.  _V
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { A }  e.  _V )
20 f1osng 5677 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  J  e.  (TopOn `  X
) )  ->  { <. A ,  J >. } : { A } -1-1-onto-> { J } )
212, 17, 20syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. A ,  J >. } : { A }
-1-1-onto-> { J } )
22 f1of 5639 . . . . . 6  |-  ( {
<. A ,  J >. } : { A } -1-1-onto-> { J }  ->  { <. A ,  J >. } : { A } --> { J } )
2321, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. A ,  J >. } : { A }
--> { J } )
24 topontop 18529 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2517, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
2625snssd 4016 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { J }  C_  Top )
27 fss 5565 . . . . 5  |-  ( ( { <. A ,  J >. } : { A }
--> { J }  /\  { J }  C_  Top )  ->  { <. A ,  J >. } : { A } --> Top )
2823, 26, 27syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. A ,  J >. } : { A }
--> Top )
2917cnmptid 19232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
3029adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A } )  -> 
( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
31 elsni 3900 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { A }  ->  k  =  A )
3231fveq2d 5693 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { A }  ->  ( { <. A ,  J >. } `  k
)  =  ( {
<. A ,  J >. } `
 A ) )
33 fvsng 5910 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  J  e.  (TopOn `  X
) )  ->  ( { <. A ,  J >. } `  A )  =  J )
342, 17, 33syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { <. A ,  J >. } `  A
)  =  J )
3532, 34sylan9eqr 2495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A } )  -> 
( { <. A ,  J >. } `  k
)  =  J )
3635oveq2d 6105 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A } )  -> 
( J  Cn  ( { <. A ,  J >. } `  k ) )  =  ( J  Cn  J ) )
3730, 36eleqtrrd 2518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A } )  -> 
( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  ( {
<. A ,  J >. } `
 k ) ) )
3816, 17, 19, 28, 37ptcn 19198 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  { A }  |->  x ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
3915, 38eqeltrrd 2516 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( J  Cn  K ) )
40 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
y  =  { <. A ,  x >. } )
4114adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( k  e.  { A }  |->  x )  =  { <. A ,  x >. } )
4240, 41eqtr4d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
y  =  ( k  e.  { A }  |->  x ) )
43 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  ->  x  e.  X )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  /\  k  e.  { A } )  ->  x  e.  X )
45 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { A }  |->  x )  =  ( k  e.  { A }  |->  x )
4644, 45fmptd 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( k  e.  { A }  |->  x ) : { A } --> X )
47 toponmax 18531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
4817, 47syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  ->  X  e.  J )
50 elmapg 7225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  J  /\  { A }  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  { A }  |->  x )  e.  ( X  ^m  { A } )  <->  ( k  e.  { A }  |->  x ) : { A }
--> X ) )
5149, 18, 50sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( ( k  e. 
{ A }  |->  x )  e.  ( X  ^m  { A }
)  <->  ( k  e. 
{ A }  |->  x ) : { A }
--> X ) )
5246, 51mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( k  e.  { A }  |->  x )  e.  ( X  ^m  { A } ) )
5342, 52eqeltrd 2515 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
y  e.  ( X  ^m  { A }
) )
5440fveq1d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( y `  A
)  =  ( {
<. A ,  x >. } `
 A ) )
552adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  ->  A  e.  V )
56 fvsng 5910 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  ( { <. A ,  x >. } `  A
)  =  x )
5755, 43, 56syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( { <. A ,  x >. } `  A
)  =  x )
5854, 57eqtr2d 2474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  ->  x  =  ( y `  A ) )
5953, 58jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )
60 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  x  =  ( y `  A ) )
61 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  y  e.  ( X  ^m  { A } ) )
6248adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  X  e.  J
)
63 elmapg 7225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  J  /\  { A }  e.  _V )  ->  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  <->  y : { A } --> X ) )
6462, 18, 63sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  <->  y : { A } --> X ) )
6561, 64mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  y : { A } --> X )
66 snidg 3901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { A } )
672, 66syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  { A } )
6867adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  A  e.  { A } )
6965, 68ffvelrnd 5842 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( y `  A )  e.  X
)
7060, 69eqeltrd 2515 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  x  e.  X
)
712adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  A  e.  V
)
724feq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  A  ->  (
y : { k } --> X  <->  y : { A } --> X ) )
73 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  A  ->  (
y `  k )  =  ( y `  A ) )
7473eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  A  ->  (
( y `  k
)  e.  X  <->  ( y `  A )  e.  X
) )
75 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  A  ->  k  =  A )
7675, 73opeq12d 4065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  A  ->  <. k ,  ( y `  k ) >.  =  <. A ,  ( y `  A ) >. )
7776sneqd 3887 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  A  ->  { <. k ,  ( y `  k ) >. }  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } )
7877eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  A  ->  (
y  =  { <. k ,  ( y `  k ) >. }  <->  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) )
7974, 78anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( y `  k )  e.  X  /\  y  =  { <. k ,  ( y `
 k ) >. } )  <->  ( (
y `  A )  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) ) )
809fsn2 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y : { k } --> X  <->  ( ( y `
 k )  e.  X  /\  y  =  { <. k ,  ( y `  k )
>. } ) )
8172, 79, 80vtoclbg 3029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  (
y : { A }
--> X  <->  ( ( y `
 A )  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) ) )
8271, 81syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( y : { A } --> X  <->  ( (
y `  A )  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) ) )
8365, 82mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( ( y `
 A )  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) )
8483simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  y  =  { <. A ,  ( y `
 A ) >. } )
8560opeq2d 4064 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  <. A ,  x >.  =  <. A ,  ( y `  A )
>. )
8685sneqd 3887 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  { <. A ,  x >. }  =  { <. A ,  ( y `
 A ) >. } )
8784, 86eqtr4d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  y  =  { <. A ,  x >. } )
8870, 87jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )
8959, 88impbida 828 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } )  <->  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) ) )
9089opabbidv 4353 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. y ,  x >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }  =  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) } )
91 df-mpt 4350 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }
9291cnveqi 5012 . . . . . 6  |-  `' ( x  e.  X  |->  {
<. A ,  x >. } )  =  `' { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }
93 cnvopab 5236 . . . . . 6  |-  `' { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }  =  { <. y ,  x >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }
9492, 93eqtri 2461 . . . . 5  |-  `' ( x  e.  X  |->  {
<. A ,  x >. } )  =  { <. y ,  x >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }
95 df-mpt 4350 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  |->  ( y `  A ) )  =  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  ( X  ^m  { A }
)  /\  x  =  ( y `  A
) ) }
9690, 94, 953eqtr4g 2498 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  =  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  |->  ( y `
 A ) ) )
97 xpsng 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  J  e.  (TopOn `  X
) )  ->  ( { A }  X.  { J } )  =  { <. A ,  J >. } )
982, 17, 97syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { A }  X.  { J } )  =  { <. A ,  J >. } )
9998eqcomd 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { <. A ,  J >. }  =  ( { A }  X.  { J } ) )
10099fveq2d 5693 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  { <. A ,  J >. } )  =  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) ) )
10116, 100syl5eq 2485 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  =  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) ) )
102 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) )
103102pttoponconst 19168 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A }  e.  _V  /\  J  e.  (TopOn `  X ) )  -> 
( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) )  e.  (TopOn `  ( X  ^m  { A } ) ) )
10419, 17, 103syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) )  e.  (TopOn `  ( X  ^m  { A } ) ) )
105101, 104eqeltrd 2515 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  ( X  ^m  { A } ) ) )
106 toponuni 18530 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  ( X  ^m  { A }
) )  ->  ( X  ^m  { A }
)  =  U. K
)
107105, 106syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  ^m  { A } )  =  U. K )
108107mpteq1d 4371 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  |->  ( y `
 A ) )  =  ( y  e. 
U. K  |->  ( y `
 A ) ) )
10996, 108eqtrd 2473 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  =  ( y  e.  U. K  |->  ( y `  A ) ) )
110 eqid 2441 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
111110, 16ptpjcn 19182 . . . . 5  |-  ( ( { A }  e.  _V  /\  { <. A ,  J >. } : { A } --> Top  /\  A  e. 
{ A } )  ->  ( y  e. 
U. K  |->  ( y `
 A ) )  e.  ( K  Cn  ( { <. A ,  J >. } `  A ) ) )
11219, 28, 67, 111syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U. K  |->  ( y `  A ) )  e.  ( K  Cn  ( { <. A ,  J >. } `  A ) ) )
11334oveq2d 6105 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  Cn  ( { <. A ,  J >. } `  A ) )  =  ( K  Cn  J ) )
114112, 113eleqtrd 2517 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U. K  |->  ( y `  A ) )  e.  ( K  Cn  J
) )
115109, 114eqeltrd 2515 . 2  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( K  Cn  J
) )
116 ishmeo 19330 . 2  |-  ( ( x  e.  X  |->  {
<. A ,  x >. } )  e.  ( J
Homeo K )  <->  ( (
x  e.  X  |->  {
<. A ,  x >. } )  e.  ( J  Cn  K )  /\  `' ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( K  Cn  J
) ) )
11739, 115, 116sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( J Homeo K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2970    C_ wss 3326   {csn 3875   <.cop 3881   U.cuni 4089   {copab 4347    e. cmpt 4348    X. cxp 4836   `'ccnv 4837   -->wf 5412   -1-1-onto->wf1o 5415   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    ^m cmap 7212   Xt_cpt 14375   Topctop 18496  TopOnctopon 18497    Cn ccn 18826   Homeochmeo 19324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-ixp 7262  df-en 7309  df-dom 7310  df-fin 7312  df-fi 7659  df-topgen 14380  df-pt 14381  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-cn 18829  df-cnp 18830  df-hmeo 19326
This theorem is referenced by:  xpstopnlem1  19380  ptcmpfi  19384
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