Theorem pt1hmeo 20870

Description: The canonical homeomorphism from a topological product on a singleton to the topology of the factor. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pt1hmeo.j	|- K = ( Xt_ ` { <. A , J >. } )
pt1hmeo.a	|- ( ph -> A e. V )
pt1hmeo.r	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )

Assertion

Ref	Expression
pt1hmeo	|- ( ph -> ( x e. X |-> { <. A , x >. } ) e. ( J Homeo K ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, J   x, K   ph, x   x, X

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem pt1hmeo

Dummy variables k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 4897	. . . . 5 |- ( { A } X. { x } ) = ( k e. { A } |-> x )
2		pt1hmeo.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. V )
3	2	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. V )
4		sneq 3990	. . . . . . . . 9 |- ( k = A -> { k } = { A } )
5	4	xpeq1d 4876	. . . . . . . 8 |- ( k = A -> ( { k } X. { x } ) = ( { A } X. { x } ) )
6		opeq1 4180	. . . . . . . . 9 |- ( k = A -> <. k , x >. = <. A , x >. )
7	6	sneqd 3992	. . . . . . . 8 |- ( k = A -> { <. k , x >. } = { <. A , x >. } )
8	5, 7	eqeq12d 2477	. . . . . . 7 |- ( k = A -> ( ( { k } X. { x } ) = { <. k , x >. } <-> ( { A } X. { x } ) = { <. A , x >. } ) )
9		vex 3060	. . . . . . . 8 |- k e. _V
10		vex 3060	. . . . . . . 8 |- x e. _V
11	9, 10	xpsn 6090	. . . . . . 7 |- ( { k } X. { x } ) = { <. k , x >. }
12	8, 11	vtoclg 3119	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( { A } X. { x } ) = { <. A , x >. } )
13	3, 12	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( { A } X. { x } ) = { <. A , x >. } )
14	1, 13	syl5eqr 2510	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. { A } |-> x ) = { <. A , x >. } )
15	14	mpteq2dva 4503	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( k e. { A } |-> x ) ) = ( x e. X |-> { <. A , x >. } ) )
16		pt1hmeo.j	. . . 4 |- K = ( Xt_ ` { <. A , J >. } )
17		pt1hmeo.r	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
18		snex 4655	. . . . 5 |- { A } e. _V
19	18	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> { A } e. _V )
20		f1osng 5876	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> { <. A , J >. } : { A } -1-1-onto-> { J } )
21	2, 17, 20	syl2anc 671	. . . . . 6 |- ( ph -> { <. A , J >. } : { A } -1-1-onto-> { J } )
22		f1of 5837	. . . . . 6 |- ( { <. A , J >. } : { A } -1-1-onto-> { J } -> { <. A , J >. } : { A } --> { J } )
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> { <. A , J >. } : { A } --> { J } )
24		topontop 19990	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
25	17, 24	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. Top )
26	25	snssd 4130	. . . . 5 |- ( ph -> { J } C_ Top )
27	23, 26	fssd 5761	. . . 4 |- ( ph -> { <. A , J >. } : { A } --> Top )
28	17	cnmptid 20725	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> x ) e. ( J Cn J ) )
29	28	adantr 471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { A } ) -> ( x e. X |-> x ) e. ( J Cn J ) )
30		elsni 4005	. . . . . . . 8 |- ( k e. { A } -> k = A )
31	30	fveq2d 5892	. . . . . . 7 |- ( k e. { A } -> ( { <. A , J >. } ` k ) = ( { <. A , J >. } ` A ) )
32		fvsng 6122	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( { <. A , J >. } ` A ) = J )
33	2, 17, 32	syl2anc 671	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { <. A , J >. } ` A ) = J )
34	31, 33	sylan9eqr 2518	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { A } ) -> ( { <. A , J >. } ` k ) = J )
35	34	oveq2d 6331	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { A } ) -> ( J Cn ( { <. A , J >. } ` k ) ) = ( J Cn J ) )
36	29, 35	eleqtrrd 2543	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. { A } ) -> ( x e. X |-> x ) e. ( J Cn ( { <. A , J >. } ` k ) ) )
37	16, 17, 19, 27, 36	ptcn 20691	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( k e. { A } |-> x ) ) e. ( J Cn K ) )
38	15, 37	eqeltrrd 2541	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> { <. A , x >. } ) e. ( J Cn K ) )
39		simprr 771	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> y = { <. A , x >. } )
40	14	adantrr 728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> ( k e. { A } |-> x ) = { <. A , x >. } )
41	39, 40	eqtr4d 2499	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> y = ( k e. { A } |-> x ) )
42		simprl 769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> x e. X )
43	42	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) /\ k e. { A } ) -> x e. X )
44		eqid 2462	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. { A } |-> x ) = ( k e. { A } |-> x )
45	43, 44	fmptd 6069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> ( k e. { A } |-> x ) : { A } --> X )
46		toponmax 19992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
47	17, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. J )
48	47	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> X e. J )
49		elmapg 7511	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. J /\ { A } e. _V ) -> ( ( k e. { A } |-> x ) e. ( X ^m { A } ) <-> ( k e. { A } |-> x ) : { A } --> X ) )
50	48, 18, 49	sylancl 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> ( ( k e. { A } |-> x ) e. ( X ^m { A } ) <-> ( k e. { A } |-> x ) : { A } --> X ) )
51	45, 50	mpbird 240	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> ( k e. { A } |-> x ) e. ( X ^m { A } ) )
52	41, 51	eqeltrd 2540	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> y e. ( X ^m { A } ) )
53	39	fveq1d 5890	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> ( y ` A ) = ( { <. A , x >. } ` A ) )
54	2	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> A e. V )
55		fvsng 6122	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ x e. X ) -> ( { <. A , x >. } ` A ) = x )
56	54, 42, 55	syl2anc 671	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> ( { <. A , x >. } ` A ) = x )
57	53, 56	eqtr2d 2497	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> x = ( y ` A ) )
58	52, 57	jca 539	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) ) -> ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) )
59		simprr 771	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> x = ( y ` A ) )
60		simprl 769	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> y e. ( X ^m { A } ) )
61	47	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> X e. J )
62		elmapg 7511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. J /\ { A } e. _V ) -> ( y e. ( X ^m { A } ) <-> y : { A } --> X ) )
63	61, 18, 62	sylancl 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> ( y e. ( X ^m { A } ) <-> y : { A } --> X ) )
64	60, 63	mpbid 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> y : { A } --> X )
65		snidg 4006	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> A e. { A } )
66	2, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. { A } )
67	66	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> A e. { A } )
68	64, 67	ffvelrnd 6046	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> ( y ` A ) e. X )
69	59, 68	eqeltrd 2540	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> x e. X )
70	2	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> A e. V )
71	4	feq2d 5737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = A -> ( y : { k } --> X <-> y : { A } --> X ) )
72		fveq2 5888	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = A -> ( y ` k ) = ( y ` A ) )
73	72	eleq1d 2524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = A -> ( ( y ` k ) e. X <-> ( y ` A ) e. X ) )
74		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = A -> k = A )
75	74, 72	opeq12d 4188	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = A -> <. k , ( y ` k ) >. = <. A , ( y ` A ) >. )
76	75	sneqd 3992	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = A -> { <. k , ( y ` k ) >. } = { <. A , ( y ` A ) >. } )
77	76	eqeq2d 2472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = A -> ( y = { <. k , ( y ` k ) >. } <-> y = { <. A , ( y ` A ) >. } ) )
78	73, 77	anbi12d 722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = A -> ( ( ( y ` k ) e. X /\ y = { <. k , ( y ` k ) >. } ) <-> ( ( y ` A ) e. X /\ y = { <. A , ( y ` A ) >. } ) ) )
79	9	fsn2 6086	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y : { k } --> X <-> ( ( y ` k ) e. X /\ y = { <. k , ( y ` k ) >. } ) )
80	71, 78, 79	vtoclbg 3120	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> ( y : { A } --> X <-> ( ( y ` A ) e. X /\ y = { <. A , ( y ` A ) >. } ) ) )
81	70, 80	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> ( y : { A } --> X <-> ( ( y ` A ) e. X /\ y = { <. A , ( y ` A ) >. } ) ) )
82	64, 81	mpbid 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> ( ( y ` A ) e. X /\ y = { <. A , ( y ` A ) >. } ) )
83	82	simprd 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> y = { <. A , ( y ` A ) >. } )
84	59	opeq2d 4187	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> <. A , x >. = <. A , ( y ` A ) >. )
85	84	sneqd 3992	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> { <. A , x >. } = { <. A , ( y ` A ) >. } )
86	83, 85	eqtr4d 2499	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> y = { <. A , x >. } )
87	69, 86	jca 539	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) -> ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) )
88	58, 87	impbida 848	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y = { <. A , x >. } ) <-> ( y e. ( X ^m { A } ) /\ x = ( y ` A ) ) ) )
89	88	mptcnv 5257	. . . 4 |- ( ph -> `' ( x e. X |-> { <. A , x >. } ) = ( y e. ( X ^m { A } ) |-> ( y ` A ) ) )
90		xpsng 6089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( { A } X. { J } ) = { <. A , J >. } )
91	2, 17, 90	syl2anc 671	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { A } X. { J } ) = { <. A , J >. } )
92	91	eqcomd 2468	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { <. A , J >. } = ( { A } X. { J } ) )
93	92	fveq2d 5892	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Xt_ ` { <. A , J >. } ) = ( Xt_ ` ( { A } X. { J } ) ) )
94	16, 93	syl5eq 2508	. . . . . . 7 |- ( ph -> K = ( Xt_ ` ( { A } X. { J } ) ) )
95		eqid 2462	. . . . . . . . 9 |- ( Xt_ ` ( { A } X. { J } ) ) = ( Xt_ ` ( { A } X. { J } ) )
96	95	pttoponconst 20661	. . . . . . . 8 |- ( ( { A } e. _V /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( Xt_ ` ( { A } X. { J } ) ) e. (TopOn ` ( X ^m { A } ) ) )
97	19, 17, 96	syl2anc 671	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( { A } X. { J } ) ) e. (TopOn ` ( X ^m { A } ) ) )
98	94, 97	eqeltrd 2540	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. (TopOn ` ( X ^m { A } ) ) )
99		toponuni 19991	. . . . . 6 |- ( K e. (TopOn ` ( X ^m { A } ) ) -> ( X ^m { A } ) = U. K )
100	98, 99	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ^m { A } ) = U. K )
101	100	mpteq1d 4498	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( X ^m { A } ) |-> ( y ` A ) ) = ( y e. U. K |-> ( y ` A ) ) )
102	89, 101	eqtrd 2496	. . 3 |- ( ph -> `' ( x e. X |-> { <. A , x >. } ) = ( y e. U. K |-> ( y ` A ) ) )
103		eqid 2462	. . . . . 6 |- U. K = U. K
104	103, 16	ptpjcn 20675	. . . . 5 |- ( ( { A } e. _V /\ { <. A , J >. } : { A } --> Top /\ A e. { A } ) -> ( y e. U. K |-> ( y ` A ) ) e. ( K Cn ( { <. A , J >. } ` A ) ) )
105	19, 27, 66, 104	syl3anc 1276	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. U. K |-> ( y ` A ) ) e. ( K Cn ( { <. A , J >. } ` A ) ) )
106	33	oveq2d 6331	. . . 4 |- ( ph -> ( K Cn ( { <. A , J >. } ` A ) ) = ( K Cn J ) )
107	105, 106	eleqtrd 2542	. . 3 |- ( ph -> ( y e. U. K |-> ( y ` A ) ) e. ( K Cn J ) )
108	102, 107	eqeltrd 2540	. 2 |- ( ph -> `' ( x e. X |-> { <. A , x >. } ) e. ( K Cn J ) )
109		ishmeo 20823	. 2 |- ( ( x e. X |-> { <. A , x >. } ) e. ( J Homeo K ) <-> ( ( x e. X |-> { <. A , x >. } ) e. ( J Cn K ) /\ `' ( x e. X |-> { <. A , x >. } ) e. ( K Cn J ) ) )
110	38, 108, 109	sylanbrc 675	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> { <. A , x >. } ) e. ( J Homeo K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   _Vcvv 3057   {csn 3980   <.cop 3986   U.cuni 4212   |-> cmpt 4475   X. cxp 4851   `'ccnv 4852   -->wf 5597   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   ^m cmap 7498   Xt_cpt 15386   Topctop 19966  TopOnctopon 19967   Cn ccn 20289   Homeochmeo 20817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-ixp 7549  df-en 7596  df-dom 7597  df-fin 7599  df-fi 7951  df-topgen 15391  df-pt 15392  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-cn 20292  df-cnp 20293  df-hmeo 20819

This theorem is referenced by:  xpstopnlem1  20873  ptcmpfi  20877