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Theorem psubspset 33400
Description: The set of projective subspaces in a Hilbert lattice. (Contributed by NM, 2-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
psubspset.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
psubspset.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
psubspset.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
psubspset.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
Assertion
Ref Expression
psubspset  |-  ( K  e.  B  ->  S  =  { s  |  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  (
r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) } )
Distinct variable groups:    s, r, A    q, p, r, s, K
Allowed substitution hints:    A( q, p)    B( s, r, q, p)    S( s, r, q, p)    .\/ ( s, r, q, p)    .<_ ( s, r, q, p)

Proof of Theorem psubspset
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2993 . 2  |-  ( K  e.  B  ->  K  e.  _V )
2 psubspset.s . . 3  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
3 fveq2 5703 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( Atoms `  k )  =  ( Atoms `  K )
)
4 psubspset.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
53, 4syl6eqr 2493 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( Atoms `  k )  =  A )
65sseq2d 3396 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
s  C_  ( Atoms `  k )  <->  s  C_  A ) )
7 fveq2 5703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  K  ->  ( join `  k )  =  ( join `  K
) )
8 psubspset.j . . . . . . . . . . . . 13  |-  .\/  =  ( join `  K )
97, 8syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  K  ->  ( join `  k )  = 
.\/  )
109oveqd 6120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  K  ->  (
p ( join `  k
) q )  =  ( p  .\/  q
) )
1110breq2d 4316 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  (
r ( le `  k ) ( p ( join `  k
) q )  <->  r ( le `  k ) ( p  .\/  q ) ) )
12 fveq2 5703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  K  ->  ( le `  k )  =  ( le `  K
) )
13 psubspset.l . . . . . . . . . . . 12  |-  .<_  =  ( le `  K )
1412, 13syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  K  ->  ( le `  k )  = 
.<_  )
1514breqd 4315 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  (
r ( le `  k ) ( p 
.\/  q )  <->  r  .<_  ( p  .\/  q ) ) )
1611, 15bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
r ( le `  k ) ( p ( join `  k
) q )  <->  r  .<_  ( p  .\/  q ) ) )
1716imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( r ( le
`  k ) ( p ( join `  k
) q )  -> 
r  e.  s )  <-> 
( r  .<_  ( p 
.\/  q )  -> 
r  e.  s ) ) )
185, 17raleqbidv 2943 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( A. r  e.  ( Atoms `  k ) ( r ( le `  k ) ( p ( join `  k
) q )  -> 
r  e.  s )  <->  A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p 
.\/  q )  -> 
r  e.  s ) ) )
19182ralbidv 2769 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  ( Atoms `  k ) ( r ( le `  k ) ( p ( join `  k
) q )  -> 
r  e.  s )  <->  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p 
.\/  q )  -> 
r  e.  s ) ) )
206, 19anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( s  C_  ( Atoms `  k )  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  ( Atoms `  k ) ( r ( le `  k
) ( p (
join `  k )
q )  ->  r  e.  s ) )  <->  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p  .\/  q
)  ->  r  e.  s ) ) ) )
2120abbidv 2563 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  { s  |  ( s  C_  ( Atoms `  k )  /\  A. p  e.  s 
A. q  e.  s 
A. r  e.  (
Atoms `  k ) ( r ( le `  k ) ( p ( join `  k
) q )  -> 
r  e.  s ) ) }  =  {
s  |  ( s 
C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  (
r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) } )
22 df-psubsp 33159 . . . 4  |-  PSubSp  =  ( k  e.  _V  |->  { s  |  ( s 
C_  ( Atoms `  k
)  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  ( Atoms `  k )
( r ( le
`  k ) ( p ( join `  k
) q )  -> 
r  e.  s ) ) } )
23 fvex 5713 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  e.  _V
244, 23eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
2524pwex 4487 . . . . 5  |-  ~P A  e.  _V
26 selpw 3879 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ~P A  <->  s  C_  A )
2726anbi1i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ~P A  /\  A. p  e.  s 
A. q  e.  s 
A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p 
.\/  q )  -> 
r  e.  s ) )  <->  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) )
2827abbii 2561 . . . . . 6  |-  { s  |  ( s  e. 
~P A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  (
r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) }  =  { s  |  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s 
A. q  e.  s 
A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p 
.\/  q )  -> 
r  e.  s ) ) }
29 ssab2 3448 . . . . . 6  |-  { s  |  ( s  e. 
~P A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  (
r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) } 
C_  ~P A
3028, 29eqsstr3i 3399 . . . . 5  |-  { s  |  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) }  C_  ~P A
3125, 30ssexi 4449 . . . 4  |-  { s  |  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) }  e.  _V
3221, 22, 31fvmpt 5786 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( PSubSp `
 K )  =  { s  |  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  (
r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) } )
332, 32syl5eq 2487 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  S  =  { s  |  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  (
r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) } )
341, 33syl 16 1  |-  ( K  e.  B  ->  S  =  { s  |  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  (
r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2727   _Vcvv 2984    C_ wss 3340   ~Pcpw 3872   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   lecple 14257   joincjn 15126   Atomscatm 32920   PSubSpcpsubsp 33152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fv 5438  df-ov 6106  df-psubsp 33159
This theorem is referenced by:  ispsubsp  33401
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