Theorem psubspi 17228

Description: Property of a projective subspace.

Hypotheses

Ref	Expression
psubspset.l	|- L = (le` K)
psubspset.j	|- J = (join` K)
psubspset.a	|- A = (AtomsNEW` K)
psubspset.s	|- S = (PSubSp` K)

Assertion

Ref	Expression
psubspi	|- (((K e. D /\ X e. S /\ P e. A) /\ E.q e. X E.r e. X PL(qJr)) -> P e. X)

Distinct variable groups:   A,r,q   K,q,r   X,q,r   A,q   P,q,r

Proof of Theorem psubspi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psubspset.l	. . . . . 6 |- L = (le` K)
2		psubspset.j	. . . . . 6 |- J = (join` K)
3		psubspset.a	. . . . . 6 |- A = (AtomsNEW` K)
4		psubspset.s	. . . . . 6 |- S = (PSubSp` K)
5	1, 2, 3, 4	ispsubsp2 17227	. . . . 5 |- (K e. D -> (X e. S <-> (X C_ A /\ A.p e. A (E.q e. X E.r e. X pL(qJr) -> p e. X))))
6	5	simplbda 465	. . . 4 |- ((K e. D /\ X e. S) -> A.p e. A (E.q e. X E.r e. X pL(qJr) -> p e. X))
7	6	ex 402	. . 3 |- (K e. D -> (X e. S -> A.p e. A (E.q e. X E.r e. X pL(qJr) -> p e. X)))
8		breq1 3341	. . . . . 6 |- (p = P -> (pL(qJr) <-> PL(qJr)))
9	8	2rexbidv 2141	. . . . 5 |- (p = P -> (E.q e. X E.r e. X pL(qJr) <-> E.q e. X E.r e. X PL(qJr)))
10		eleq1 1957	. . . . 5 |- (p = P -> (p e. X <-> P e. X))
11	9, 10	imbi12d 688	. . . 4 |- (p = P -> ((E.q e. X E.r e. X pL(qJr) -> p e. X) <-> (E.q e. X E.r e. X PL(qJr) -> P e. X)))
12	11	rcla4cv 2377	. . 3 |- (A.p e. A (E.q e. X E.r e. X pL(qJr) -> p e. X) -> (P e. A -> (E.q e. X E.r e. X PL(qJr) -> P e. X)))
13	7, 12	syl6 25	. 2 |- (K e. D -> (X e. S -> (P e. A -> (E.q e. X E.r e. X PL(qJr) -> P e. X))))
14	13	3imp1 1081	1 |- (((K e. D /\ X e. S /\ P e. A) /\ E.q e. X E.r e. X PL(qJr)) -> P e. X)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  lecple 16759  joincjn 16766  AtomsNEWcatm 16981  PSubSpcpsubsp 17213

This theorem is referenced by:  psubspi2 17229  paddidm 17302

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-mpt 5006  df-psubsp 17217

Copyright terms: Public domain