HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem pstr 9995
Description: A poset is transitive.
Assertion
Ref Expression
pstr |- ((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) -> ARC)
Proof of Theorem pstr
StepHypRef Expression
1 simp1 876 . . . 4 |- ((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) -> R e. Poset)
21adantr 425 . . 3 |- (((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) /\ C e. _V) -> R e. Poset)
3 brrelex 4028 . . . . . . 7 |- ((Rel R /\ ARB) -> A e. _V)
433adant3 896 . . . . . 6 |- ((Rel R /\ ARB /\ BRC) -> A e. _V)
54adantr 425 . . . . 5 |- (((Rel R /\ ARB /\ BRC) /\ C e. _V) -> A e. _V)
6 brrelex 4028 . . . . . . 7 |- ((Rel R /\ BRC) -> B e. _V)
763adant2 895 . . . . . 6 |- ((Rel R /\ ARB /\ BRC) -> B e. _V)
87adantr 425 . . . . 5 |- (((Rel R /\ ARB /\ BRC) /\ C e. _V) -> B e. _V)
9 simpr 350 . . . . 5 |- (((Rel R /\ ARB /\ BRC) /\ C e. _V) -> C e. _V)
105, 8, 93jca 1050 . . . 4 |- (((Rel R /\ ARB /\ BRC) /\ C e. _V) -> (A e. _V /\ B e. _V /\ C e. _V))
11 psrel 9989 . . . 4 |- (R e. Poset -> Rel R)
1210, 11syl3anl1 1145 . . 3 |- (((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) /\ C e. _V) -> (A e. _V /\ B e. _V /\ C e. _V))
13 3simpc 874 . . . 4 |- ((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) -> (ARB /\ BRC))
1413adantr 425 . . 3 |- (((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) /\ C e. _V) -> (ARB /\ BRC))
15 pslem 9990 . . . 4 |- (R e. Poset -> ((A e. _V /\ B e. _V /\ C e. _V) -> (((ARB /\ BRC) -> ARC) /\ ((A e. U.U.R -> ARA) /\ ((ARB /\ BRA) -> A = B)))))
16 simpl 346 . . . 4 |- ((((ARB /\ BRC) -> ARC) /\ ((A e. U.U.R -> ARA) /\ ((ARB /\ BRA) -> A = B))) -> ((ARB /\ BRC) -> ARC))
1715, 16syl6 25 . . 3 |- (R e. Poset -> ((A e. _V /\ B e. _V /\ C e. _V) -> ((ARB /\ BRC) -> ARC)))
182, 12, 14, 17syl3c 84 . 2 |- (((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) /\ C e. _V) -> ARC)
193, 11sylan 497 . . . . . . 7 |- ((R e. Poset /\ ARB) -> A e. _V)
20 breldmg 4162 . . . . . . 7 |- ((A e. _V /\ ARB) -> A e. dom R)
2119, 20sylancom 531 . . . . . 6 |- ((R e. Poset /\ ARB) -> A e. dom R)
22 eqid 1884 . . . . . . 7 |- dom R = dom R
2322psref 9992 . . . . . 6 |- ((R e. Poset /\ A e. dom R) -> ARA)
2421, 23syldan 516 . . . . 5 |- ((R e. Poset /\ ARB) -> ARA)
25243adant3 896 . . . 4 |- ((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) -> ARA)
2625adantr 425 . . 3 |- (((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) /\ -. C e. _V) -> ARA)
27 brprc 3386 . . . 4 |- (-. C e. _V -> (ARC <-> ARA))
2827adantl 424 . . 3 |- (((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) /\ -. C e. _V) -> (ARC <-> ARA))
2926, 28mpbird 213 . 2 |- (((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) /\ -. C e. _V) -> ARC)
3018, 29pm2.61dan 535 1 |- ((R e. Poset /\ ARB /\ BRC) -> ARC)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  dom cdm 3986  Rel wrel 3991  Posetcps 9980
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ps 9984
Copyright terms: Public domain