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Theorem pstmxmet 26464
 Description: The metric induced by a pseudometric is a full-fledged metric on the equivalence classes of the metric identification. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
pstmval.1 ~Met
Assertion
Ref Expression
pstmxmet PsMet pstoMet

Proof of Theorem pstmxmet
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3075 . . . . . . . . 9
2 vex 3075 . . . . . . . . 9
31, 2ab2rexex 6673 . . . . . . . 8
43uniex 6481 . . . . . . 7
54rgen2w 2896 . . . . . 6
6 eqid 2452 . . . . . . 7
76fnmpt2 6747 . . . . . 6
85, 7ax-mp 5 . . . . 5
9 pstmval.1 . . . . . . 7 ~Met
109pstmval 26462 . . . . . 6 PsMet pstoMet
1110fneq1d 5604 . . . . 5 PsMet pstoMet
128, 11mpbiri 233 . . . 4 PsMet pstoMet
13 simpllr 758 . . . . . . . . . 10 PsMet
14 simpr 461 . . . . . . . . . 10 PsMet
1513, 14oveq12d 6213 . . . . . . . . 9 PsMet pstoMet pstoMet
16 simp-5l 767 . . . . . . . . . 10 PsMet PsMet
17 simp-4r 766 . . . . . . . . . 10 PsMet
18 simplr 754 . . . . . . . . . 10 PsMet
199pstmfval 26463 . . . . . . . . . 10 PsMet pstoMet
2016, 17, 18, 19syl3anc 1219 . . . . . . . . 9 PsMet pstoMet
2115, 20eqtrd 2493 . . . . . . . 8 PsMet pstoMet
22 psmetf 20009 . . . . . . . . . 10 PsMet
2316, 22syl 16 . . . . . . . . 9 PsMet
2423, 17, 18fovrnd 6340 . . . . . . . 8 PsMet
2521, 24eqeltrd 2540 . . . . . . 7 PsMet pstoMet
26 elqsi 7259 . . . . . . . . 9
2726ad2antll 728 . . . . . . . 8 PsMet
2827ad2antrr 725 . . . . . . 7 PsMet
2925, 28r19.29a 2962 . . . . . 6 PsMet pstoMet
30 elqsi 7259 . . . . . . 7
3130ad2antrl 727 . . . . . 6 PsMet
3229, 31r19.29a 2962 . . . . 5 PsMet pstoMet
3332ralrimivva 2908 . . . 4 PsMet pstoMet
34 ffnov 6299 . . . 4 pstoMet pstoMet pstoMet
3512, 33, 34sylanbrc 664 . . 3 PsMet pstoMet
36 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet PsMet
37 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
38 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
3936, 37, 38, 19syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14 PsMet pstoMet
4039eqeq1d 2454 . . . . . . . . . . . . 13 PsMet pstoMet
419breqi 4401 . . . . . . . . . . . . . 14 ~Met
42 metidv 26459 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet ~Met
4342anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . 14 PsMet ~Met
4441, 43syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . 13 PsMet
4540, 44bitr4d 256 . . . . . . . . . . . 12 PsMet pstoMet
46 metider 26461 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet ~Met
4736, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 PsMet ~Met
48 ereq1 7213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ~Met ~Met
499, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ~Met
5047, 49sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13 PsMet
5150, 37erth 7250 . . . . . . . . . . . 12 PsMet
5245, 51bitrd 253 . . . . . . . . . . 11 PsMet pstoMet
5352adantllr 718 . . . . . . . . . 10 PsMet pstoMet
5453adantlr 714 . . . . . . . . 9 PsMet pstoMet
5554adantr 465 . . . . . . . 8 PsMet pstoMet
5615eqeq1d 2454 . . . . . . . 8 PsMet pstoMet pstoMet
5713, 14eqeq12d 2474 . . . . . . . 8 PsMet
5855, 56, 573bitr4d 285 . . . . . . 7 PsMet pstoMet
5958, 28r19.29a 2962 . . . . . 6 PsMet pstoMet
6059, 31r19.29a 2962 . . . . 5 PsMet pstoMet
61 simp-6l 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet PsMet
62 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
63 simp-6r 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
64 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
65 psmettri2 20012 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
6661, 62, 63, 64, 65syl13anc 1221 . . . . . . . . . . . . . 14 PsMet
67 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 PsMet
68 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 PsMet
6967, 68oveq12d 6213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet pstoMet pstoMet
7061, 63, 64, 39syl21anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet pstoMet
7169, 70eqtrd 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet pstoMet
72 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 PsMet
7372, 67oveq12d 6213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 PsMet pstoMet pstoMet
749pstmfval 26463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 PsMet pstoMet
7561, 62, 63, 74syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 PsMet pstoMet
7673, 75eqtrd 2493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet pstoMet
7772, 68oveq12d 6213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 PsMet pstoMet pstoMet
789pstmfval 26463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 PsMet pstoMet
7961, 62, 64, 78syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 PsMet pstoMet
8077, 79eqtrd 2493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet pstoMet
8176, 80oveq12d 6213 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet pstoMetpstoMet
8271, 81breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . 14 PsMet pstoMet pstoMetpstoMet
8366, 82mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13 PsMet pstoMet pstoMetpstoMet
8483adantl6r 752 . . . . . . . . . . . 12 PsMet pstoMet pstoMetpstoMet
85 elqsi 7259 . . . . . . . . . . . . 13
8685ad5antlr 734 . . . . . . . . . . . 12 PsMet
8784, 86r19.29a 2962 . . . . . . . . . . 11 PsMet pstoMet pstoMetpstoMet
8887adantl5r 751 . . . . . . . . . 10 PsMet pstoMet pstoMetpstoMet
8926ad4antlr 732 . . . . . . . . . 10 PsMet
9088, 89r19.29a 2962 . . . . . . . . 9 PsMet pstoMet pstoMetpstoMet
9190adantl4r 750 . . . . . . . 8 PsMet pstoMet pstoMetpstoMet
9230ad3antlr 730 . . . . . . . 8 PsMet
9391, 92r19.29a 2962 . . . . . . 7 PsMet pstoMet pstoMetpstoMet
9493ralrimiva 2827 . . . . . 6 PsMet pstoMet pstoMetpstoMet
9594anasss 647 . . . . 5 PsMet pstoMet pstoMetpstoMet
9660, 95jca 532 . . . 4 PsMet pstoMet pstoMet pstoMetpstoMet
9796ralrimivva 2908 . . 3 PsMet pstoMet pstoMet pstoMetpstoMet
9835, 97jca 532 . 2 PsMet pstoMet pstoMet pstoMet pstoMetpstoMet
99 elfvex 5821 . . 3 PsMet
100 qsexg 7263 . . 3
101 isxmet 20026 . . 3 pstoMet pstoMet pstoMet pstoMet pstoMetpstoMet
10299, 100, 1013syl 20 . 2 PsMet pstoMet pstoMet pstoMet pstoMet pstoMetpstoMet
10398, 102mpbird 232 1 PsMet pstoMet
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1370   wcel 1758  cab 2437  wral 2796  wrex 2797  cvv 3072  cuni 4194   class class class wbr 4395   cxp 4941   wfn 5516  wf 5517  cfv 5521  (class class class)co 6195   cmpt2 6197   wer 7203  cec 7204  cqs 7205  cc0 9388  cxr 9523   cle 9525  cxad 11193  PsMetcpsmet 17920  cxmt 17921  ~Metcmetid 26453  pstoMetcpstm 26454 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-er 7206  df-ec 7208  df-qs 7212  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-2 10486  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-metid 26455  df-pstm 26456 This theorem is referenced by: (None)
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