Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pstmval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pstmval 28772
 Description: Value of the metric induced by a pseudometric . (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
pstmval.1 ~Met
Assertion
Ref Expression
pstmval PsMet pstoMet
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,

Proof of Theorem pstmval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-pstm 28766 . . 3 pstoMet PsMet ~Met ~Met
21a1i 11 . 2 PsMet pstoMet PsMet ~Met ~Met
3 psmetdmdm 21399 . . . . . . . 8 PsMet
43adantr 472 . . . . . . 7 PsMet
5 dmeq 5040 . . . . . . . . 9
65dmeqd 5042 . . . . . . . 8
76adantl 473 . . . . . . 7 PsMet
84, 7eqtr4d 2508 . . . . . 6 PsMet
9 qseq1 7431 . . . . . 6
108, 9syl 17 . . . . 5 PsMet
11 fveq2 5879 . . . . . . . 8 ~Met ~Met
12 pstmval.1 . . . . . . . 8 ~Met
1311, 12syl6reqr 2524 . . . . . . 7 ~Met
14 qseq2 7432 . . . . . . 7 ~Met ~Met
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ~Met
1615adantl 473 . . . . 5 PsMet ~Met
1710, 16eqtr2d 2506 . . . 4 PsMet ~Met
18 mpt2eq12 6370 . . . 4 ~Met ~Met ~Met ~Met
1917, 17, 18syl2anc 673 . . 3 PsMet ~Met ~Met
20 simp1r 1055 . . . . . . . . 9 PsMet
2120oveqd 6325 . . . . . . . 8 PsMet
2221eqeq2d 2481 . . . . . . 7 PsMet
23222rexbidv 2897 . . . . . 6 PsMet
2423abbidv 2589 . . . . 5 PsMet
2524unieqd 4200 . . . 4 PsMet
2625mpt2eq3dva 6374 . . 3 PsMet
2719, 26eqtrd 2505 . 2 PsMet ~Met ~Met
28 elfvdm 5905 . . . 4 PsMet PsMet
29 fveq2 5879 . . . . . 6 PsMet PsMet
3029eleq2d 2534 . . . . 5 PsMet PsMet
3130rspcev 3136 . . . 4 PsMet PsMet PsMet PsMet
3228, 31mpancom 682 . . 3 PsMet PsMet PsMet
33 df-psmet 19039 . . . . 5 PsMet
3433funmpt2 5626 . . . 4 PsMet
35 elunirn 6174 . . . 4 PsMet PsMet PsMet PsMet
3634, 35ax-mp 5 . . 3 PsMet PsMet PsMet
3732, 36sylibr 217 . 2 PsMet PsMet
38 elfvex 5906 . . . 4 PsMet
39 qsexg 7439 . . . 4
4038, 39syl 17 . . 3 PsMet
41 mpt2exga 6888 . . 3
4240, 40, 41syl2anc 673 . 2 PsMet
432, 27, 37, 42fvmptd 5969 1 PsMet pstoMet
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  cab 2457  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031  cuni 4190   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837   cdm 4839   crn 4840   wfun 5583  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  cqs 7380   cmap 7490  cc0 9557  cxr 9692   cle 9694  cxad 11430  PsMetcpsmet 19031  ~Metcmetid 28763  pstoMetcpstm 28764 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-xr 9697  df-psmet 19039  df-pstm 28766 This theorem is referenced by:  pstmfval  28773  pstmxmet  28774
 Copyright terms: Public domain W3C validator