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Theorem pstmfval 27626
Description: Function value of the metric induced by a pseudometric  D (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
pstmval.1  |-  .~  =  (~Met `  D )
Assertion
Ref Expression
pstmfval  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( [ A ]  .~  (pstoMet `  D ) [ B ]  .~  )  =  ( A D B ) )

Proof of Theorem pstmfval
Dummy variables  a 
b  x  y  z  e  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pstmval.1 . . . . 5  |-  .~  =  (~Met `  D )
21pstmval 27625 . . . 4  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  (pstoMet `  D
)  =  ( x  e.  ( X /.  .~  ) ,  y  e.  ( X /.  .~  )  |->  U. { z  |  E. a  e.  x  E. b  e.  y 
z  =  ( a D b ) } ) )
323ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (pstoMet `  D )  =  ( x  e.  ( X /.  .~  ) ,  y  e.  ( X /.  .~  )  |->  U. { z  |  E. a  e.  x  E. b  e.  y  z  =  ( a D b ) } ) )
43oveqd 6302 . 2  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( [ A ]  .~  (pstoMet `  D ) [ B ]  .~  )  =  ( [ A ]  .~  ( x  e.  ( X /.  .~  ) ,  y  e.  ( X /.  .~  )  |->  U. { z  |  E. a  e.  x  E. b  e.  y  z  =  ( a D b ) } ) [ B ]  .~  ) )
5 fvex 5876 . . . . . 6  |-  (~Met `  D )  e.  _V
61, 5eqeltri 2551 . . . . 5  |-  .~  e.  _V
76ecelqsi 7368 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  [ A ]  .~  e.  ( X /.  .~  ) )
873ad2ant2 1018 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  [ A ]  .~  e.  ( X /.  .~  ) )
96ecelqsi 7368 . . . 4  |-  ( B  e.  X  ->  [ B ]  .~  e.  ( X /.  .~  ) )
1093ad2ant3 1019 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  [ B ]  .~  e.  ( X /.  .~  ) )
11 rexeq 3059 . . . . . 6  |-  ( x  =  [ A ]  .~  ->  ( E. a  e.  x  E. b  e.  y  z  =  ( a D b )  <->  E. a  e.  [  A ]  .~  E. b  e.  y  z  =  ( a D b ) ) )
1211abbidv 2603 . . . . 5  |-  ( x  =  [ A ]  .~  ->  { z  |  E. a  e.  x  E. b  e.  y 
z  =  ( a D b ) }  =  { z  |  E. a  e.  [  A ]  .~  E. b  e.  y  z  =  ( a D b ) } )
1312unieqd 4255 . . . 4  |-  ( x  =  [ A ]  .~  ->  U. { z  |  E. a  e.  x  E. b  e.  y 
z  =  ( a D b ) }  =  U. { z  |  E. a  e. 
[  A ]  .~  E. b  e.  y  z  =  ( a D b ) } )
14 rexeq 3059 . . . . . . 7  |-  ( y  =  [ B ]  .~  ->  ( E. b  e.  y  z  =  ( a D b )  <->  E. b  e.  [  B ]  .~  z  =  ( a D b ) ) )
1514rexbidv 2973 . . . . . 6  |-  ( y  =  [ B ]  .~  ->  ( E. a  e.  [  A ]  .~  E. b  e.  y  z  =  ( a D b )  <->  E. a  e.  [  A ]  .~  E. b  e.  [  B ]  .~  z  =  ( a D b ) ) )
1615abbidv 2603 . . . . 5  |-  ( y  =  [ B ]  .~  ->  { z  |  E. a  e.  [  A ]  .~  E. b  e.  y  z  =  ( a D b ) }  =  {
z  |  E. a  e.  [  A ]  .~  E. b  e.  [  B ]  .~  z  =  ( a D b ) } )
1716unieqd 4255 . . . 4  |-  ( y  =  [ B ]  .~  ->  U. { z  |  E. a  e.  [  A ]  .~  E. b  e.  y  z  =  ( a D b ) }  =  U. { z  |  E. a  e.  [  A ]  .~  E. b  e. 
[  B ]  .~  z  =  ( a D b ) } )
18 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  ( X /.  .~  ) ,  y  e.  ( X /.  .~  )  |->  U. { z  |  E. a  e.  x  E. b  e.  y 
z  =  ( a D b ) } )  =  ( x  e.  ( X /.  .~  ) ,  y  e.  ( X /.  .~  )  |->  U. { z  |  E. a  e.  x  E. b  e.  y 
z  =  ( a D b ) } )
19 ecexg 7316 . . . . . . 7  |-  (  .~  e.  _V  ->  [ A ]  .~  e.  _V )
206, 19ax-mp 5 . . . . . 6  |-  [ A ]  .~  e.  _V
21 ecexg 7316 . . . . . . 7  |-  (  .~  e.  _V  ->  [ B ]  .~  e.  _V )
226, 21ax-mp 5 . . . . . 6  |-  [ B ]  .~  e.  _V
2320, 22ab2rexex 6776 . . . . 5  |-  { z  |  E. a  e. 
[  A ]  .~  E. b  e.  [  B ]  .~  z  =  ( a D b ) }  e.  _V
2423uniex 6581 . . . 4  |-  U. {
z  |  E. a  e.  [  A ]  .~  E. b  e.  [  B ]  .~  z  =  ( a D b ) }  e.  _V
2513, 17, 18, 24ovmpt2 6423 . . 3  |-  ( ( [ A ]  .~  e.  ( X /.  .~  )  /\  [ B ]  .~  e.  ( X /.  .~  ) )  ->  ( [ A ]  .~  (
x  e.  ( X /.  .~  ) ,  y  e.  ( X /.  .~  )  |->  U. { z  |  E. a  e.  x  E. b  e.  y  z  =  ( a D b ) } ) [ B ]  .~  )  =  U. { z  |  E. a  e. 
[  A ]  .~  E. b  e.  [  B ]  .~  z  =  ( a D b ) } )
268, 10, 25syl2anc 661 . 2  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( [ A ]  .~  (
x  e.  ( X /.  .~  ) ,  y  e.  ( X /.  .~  )  |->  U. { z  |  E. a  e.  x  E. b  e.  y  z  =  ( a D b ) } ) [ B ]  .~  )  =  U. { z  |  E. a  e. 
[  A ]  .~  E. b  e.  [  B ]  .~  z  =  ( a D b ) } )
27 simpr3 1004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  (
e  e.  [ A ]  .~  /\  f  e. 
[ B ]  .~  /\  z  =  ( e D f ) ) )  ->  z  =  ( e D f ) )
28 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  (
e  e.  [ A ]  .~  /\  f  e. 
[ B ]  .~  /\  z  =  ( e D f ) ) )  ->  D  e.  (PsMet `  X ) )
29 simpr1 1002 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  (
e  e.  [ A ]  .~  /\  f  e. 
[ B ]  .~  /\  z  =  ( e D f ) ) )  ->  e  e.  [ A ]  .~  )
30 metidss 27621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  (~Met `  D
)  C_  ( X  X.  X ) )
311, 30syl5eqss 3548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  .~  C_  ( X  X.  X ) )
32 xpss 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( X  X.  X )  C_  ( _V  X.  _V )
3331, 32syl6ss 3516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  .~  C_  ( _V  X.  _V ) )
34 df-rel 5006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Rel 
.~ 
<->  .~  C_  ( _V  X.  _V ) )
3533, 34sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  Rel  .~  )
36353ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  Rel  .~  )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  (
e  e.  [ A ]  .~  /\  f  e. 
[ B ]  .~  /\  z  =  ( e D f ) ) )  ->  Rel  .~  )
38 relelec 7353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Rel 
.~  ->  ( e  e. 
[ A ]  .~  <->  A  .~  e ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  (
e  e.  [ A ]  .~  /\  f  e. 
[ B ]  .~  /\  z  =  ( e D f ) ) )  ->  ( e  e.  [ A ]  .~  <->  A  .~  e ) )
4029, 39mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  (
e  e.  [ A ]  .~  /\  f  e. 
[ B ]  .~  /\  z  =  ( e D f ) ) )  ->  A  .~  e )
411breqi 4453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  .~  e  <->  A (~Met `  D ) e )
4240, 41sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  (
e  e.  [ A ]  .~  /\  f  e. 
[ B ]  .~  /\  z  =  ( e D f ) ) )  ->  A (~Met `  D ) e )
43 simpr2 1003 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  (
e  e.  [ A ]  .~  /\  f  e. 
[ B ]  .~  /\  z  =  ( e D f ) ) )  ->  f  e.  [ B ]  .~  )
44 relelec 7353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Rel 
.~  ->  ( f  e. 
[ B ]  .~  <->  B  .~  f ) )
4537, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  (
e  e.  [ A ]  .~  /\  f  e. 
[ B ]  .~  /\  z  =  ( e D f ) ) )  ->  ( f  e.  [ B ]  .~  <->  B  .~  f ) )
4643, 45mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  (
e  e.  [ A ]  .~  /\  f  e. 
[ B ]  .~  /\  z  =  ( e D f ) ) )  ->  B  .~  f )
471breqi 4453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  .~  f  <->  B (~Met `  D ) f )
4846, 47sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  (
e  e.  [ A ]  .~  /\  f  e. 
[ B ]  .~  /\  z  =  ( e D f ) ) )  ->  B (~Met `  D ) f )
49 metideq 27623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( A (~Met `  D )
e  /\  B (~Met `  D ) f ) )  ->  ( A D B )  =  ( e D f ) )
5028, 42, 48, 49syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  (
e  e.  [ A ]  .~  /\  f  e. 
[ B ]  .~  /\  z  =  ( e D f ) ) )  ->  ( A D B )  =  ( e D f ) )
5127, 50eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  (
e  e.  [ A ]  .~  /\  f  e. 
[ B ]  .~  /\  z  =  ( e D f ) ) )  ->  z  =  ( A D B ) )
5251adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  E. a  e.  [  A ]  .~  E. b  e.  [  B ]  .~  z  =  ( a D b ) )  /\  ( e  e.  [ A ]  .~  /\  f  e.  [ B ]  .~  /\  z  =  ( e D f ) ) )  ->  z  =  ( A D B ) )
53523anassrs 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  E. a  e.  [  A ]  .~  E. b  e. 
[  B ]  .~  z  =  ( a D b ) )  /\  e  e.  [ A ]  .~  )  /\  f  e.  [ B ]  .~  )  /\  z  =  ( e D f ) )  -> 
z  =  ( A D B ) )
54 oveq1 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  e  ->  (
a D b )  =  ( e D b ) )
5554eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  e  ->  (
z  =  ( a D b )  <->  z  =  ( e D b ) ) )
56 oveq2 6293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  f  ->  (
e D b )  =  ( e D f ) )
5756eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  f  ->  (
z  =  ( e D b )  <->  z  =  ( e D f ) ) )
5855, 57cbvrex2v 3097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. a  e.  [  A ]  .~  E. b  e. 
[  B ]  .~  z  =  ( a D b )  <->  E. e  e.  [  A ]  .~  E. f  e.  [  B ]  .~  z  =  ( e D f ) )
5958biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. a  e.  [  A ]  .~  E. b  e. 
[  B ]  .~  z  =  ( a D b )  ->  E. e  e.  [  A ]  .~  E. f  e. 
[  B ]  .~  z  =  ( e D f ) )
6059adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  E. a  e.  [  A ]  .~  E. b  e. 
[  B ]  .~  z  =  ( a D b ) )  ->  E. e  e.  [  A ]  .~  E. f  e.  [  B ]  .~  z  =  ( e D f ) )
6153, 60r19.29_2a 3005 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  E. a  e.  [  A ]  .~  E. b  e. 
[  B ]  .~  z  =  ( a D b ) )  ->  z  =  ( A D B ) )
6261ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( E. a  e.  [  A ]  .~  E. b  e. 
[  B ]  .~  z  =  ( a D b )  -> 
z  =  ( A D B ) ) )
63 simpl1 999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  z  =  ( A D B ) )  ->  D  e.  (PsMet `  X
) )
64 simpl2 1000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  z  =  ( A D B ) )  ->  A  e.  X )
65 psmet0 20639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A D A )  =  0 )
6663, 64, 65syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  z  =  ( A D B ) )  -> 
( A D A )  =  0 )
67 relelec 7353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel 
.~  ->  ( A  e. 
[ A ]  .~  <->  A  .~  A ) )
6863, 35, 673syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  z  =  ( A D B ) )  -> 
( A  e.  [ A ]  .~  <->  A  .~  A ) )
691a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  z  =  ( A D B ) )  ->  .~  =  (~Met `  D
) )
7069breqd 4458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  z  =  ( A D B ) )  -> 
( A  .~  A  <->  A (~Met `  D ) A ) )
71 metidv 27622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( A
(~Met `  D ) A 
<->  ( A D A )  =  0 ) )
7263, 64, 64, 71syl12anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  z  =  ( A D B ) )  -> 
( A (~Met `  D ) A  <->  ( A D A )  =  0 ) )
7368, 70, 723bitrd 279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  z  =  ( A D B ) )  -> 
( A  e.  [ A ]  .~  <->  ( A D A )  =  0 ) )
7466, 73mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  z  =  ( A D B ) )  ->  A  e.  [ A ]  .~  )
75 simpl3 1001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  z  =  ( A D B ) )  ->  B  e.  X )
76 psmet0 20639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  B  e.  X )  ->  ( B D B )  =  0 )
7763, 75, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  z  =  ( A D B ) )  -> 
( B D B )  =  0 )
78 relelec 7353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel 
.~  ->  ( B  e. 
[ B ]  .~  <->  B  .~  B ) )
7963, 35, 783syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  z  =  ( A D B ) )  -> 
( B  e.  [ B ]  .~  <->  B  .~  B ) )
8069breqd 4458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  z  =  ( A D B ) )  -> 
( B  .~  B  <->  B (~Met `  D ) B ) )
81 metidv 27622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( B  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( B
(~Met `  D ) B 
<->  ( B D B )  =  0 ) )
8263, 75, 75, 81syl12anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  z  =  ( A D B ) )  -> 
( B (~Met `  D ) B  <->  ( B D B )  =  0 ) )
8379, 80, 823bitrd 279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  z  =  ( A D B ) )  -> 
( B  e.  [ B ]  .~  <->  ( B D B )  =  0 ) )
8477, 83mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  z  =  ( A D B ) )  ->  B  e.  [ B ]  .~  )
85 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  z  =  ( A D B ) )  -> 
z  =  ( A D B ) )
86 oveq1 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  A  ->  (
a D b )  =  ( A D b ) )
8786eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  A  ->  (
z  =  ( a D b )  <->  z  =  ( A D b ) ) )
88 oveq2 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  B  ->  ( A D b )  =  ( A D B ) )
8988eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
z  =  ( A D b )  <->  z  =  ( A D B ) ) )
9087, 89rspc2ev 3225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  [ A ]  .~  /\  B  e. 
[ B ]  .~  /\  z  =  ( A D B ) )  ->  E. a  e.  [  A ]  .~  E. b  e.  [  B ]  .~  z  =  ( a D b ) )
9174, 84, 85, 90syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  z  =  ( A D B ) )  ->  E. a  e.  [  A ]  .~  E. b  e. 
[  B ]  .~  z  =  ( a D b ) )
9291ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
z  =  ( A D B )  ->  E. a  e.  [  A ]  .~  E. b  e. 
[  B ]  .~  z  =  ( a D b ) ) )
9362, 92impbid 191 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( E. a  e.  [  A ]  .~  E. b  e. 
[  B ]  .~  z  =  ( a D b )  <->  z  =  ( A D B ) ) )
9493abbidv 2603 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  { z  |  E. a  e. 
[  A ]  .~  E. b  e.  [  B ]  .~  z  =  ( a D b ) }  =  { z  |  z  =  ( A D B ) } )
95 df-sn 4028 . . . . 5  |-  { ( A D B ) }  =  { z  |  z  =  ( A D B ) }
9694, 95syl6eqr 2526 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  { z  |  E. a  e. 
[  A ]  .~  E. b  e.  [  B ]  .~  z  =  ( a D b ) }  =  { ( A D B ) } )
9796unieqd 4255 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  U. {
z  |  E. a  e.  [  A ]  .~  E. b  e.  [  B ]  .~  z  =  ( a D b ) }  =  U. {
( A D B ) } )
98 ovex 6310 . . . 4  |-  ( A D B )  e. 
_V
9998unisn 4260 . . 3  |-  U. {
( A D B ) }  =  ( A D B )
10097, 99syl6eq 2524 . 2  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  U. {
z  |  E. a  e.  [  A ]  .~  E. b  e.  [  B ]  .~  z  =  ( a D b ) }  =  ( A D B ) )
1014, 26, 1003eqtrd 2512 1  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( [ A ]  .~  (pstoMet `  D ) [ B ]  .~  )  =  ( A D B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   {csn 4027   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   Rel wrel 5004   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    |-> cmpt2 6287   [cec 7310   /.cqs 7311   0cc0 9493  PsMetcpsmet 18213  ~Metcmetid 27616  pstoMetcpstm 27617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-er 7312  df-ec 7314  df-qs 7318  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-xadd 11320  df-psmet 18222  df-metid 27618  df-pstm 27619
This theorem is referenced by:  pstmxmet  27627
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