Theorem pstmfval 27626

Description: Function value of the metric induced by a pseudometric D (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
pstmval.1	|- .~ = (~Met ` D )

Assertion

Ref	Expression
pstmfval	|- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( [ A ] .~ (pstoMet ` D ) [ B ] .~ ) = ( A D B ) )

Proof of Theorem pstmfval

Dummy variables a b x y z e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pstmval.1	. . . . 5 |- .~ = (~Met ` D )
2	1	pstmval 27625	. . . 4 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> (pstoMet ` D ) = ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) )
3	2	3ad2ant1 1017	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> (pstoMet ` D ) = ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) )
4	3	oveqd 6302	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( [ A ] .~ (pstoMet ` D ) [ B ] .~ ) = ( [ A ] .~ ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) [ B ] .~ ) )
5		fvex 5876	. . . . . 6 |- (~Met ` D ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2551	. . . . 5 |- .~ e. _V
7	6	ecelqsi 7368	. . . 4 |- ( A e. X -> [ A ] .~ e. ( X /. .~ ) )
8	7	3ad2ant2 1018	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> [ A ] .~ e. ( X /. .~ ) )
9	6	ecelqsi 7368	. . . 4 |- ( B e. X -> [ B ] .~ e. ( X /. .~ ) )
10	9	3ad2ant3 1019	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> [ B ] .~ e. ( X /. .~ ) )
11		rexeq 3059	. . . . . 6 |- ( x = [ A ] .~ -> ( E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) <-> E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) ) )
12	11	abbidv 2603	. . . . 5 |- ( x = [ A ] .~ -> { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } = { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) } )
13	12	unieqd 4255	. . . 4 |- ( x = [ A ] .~ -> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } = U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) } )
14		rexeq 3059	. . . . . . 7 |- ( y = [ B ] .~ -> ( E. b e. y z = ( a D b ) <-> E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) )
15	14	rexbidv 2973	. . . . . 6 |- ( y = [ B ] .~ -> ( E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) <-> E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) )
16	15	abbidv 2603	. . . . 5 |- ( y = [ B ] .~ -> { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) } = { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } )
17	16	unieqd 4255	. . . 4 |- ( y = [ B ] .~ -> U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) } = U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } )
18		eqid 2467	. . . 4 |- ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) = ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } )
19		ecexg 7316	. . . . . . 7 |- ( .~ e. _V -> [ A ] .~ e. _V )
20	6, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 |- [ A ] .~ e. _V
21		ecexg 7316	. . . . . . 7 |- ( .~ e. _V -> [ B ] .~ e. _V )
22	6, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 |- [ B ] .~ e. _V
23	20, 22	ab2rexex 6776	. . . . 5 |- { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } e. _V
24	23	uniex 6581	. . . 4 |- U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } e. _V
25	13, 17, 18, 24	ovmpt2 6423	. . 3 |- ( ( [ A ] .~ e. ( X /. .~ ) /\ [ B ] .~ e. ( X /. .~ ) ) -> ( [ A ] .~ ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) [ B ] .~ ) = U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } )
26	8, 10, 25	syl2anc 661	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( [ A ] .~ ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) [ B ] .~ ) = U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } )
27		simpr3 1004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> z = ( e D f ) )
28		simpl1 999	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> D e. (PsMet ` X ) )
29		simpr1 1002	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> e e. [ A ] .~ )
30		metidss 27621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> (~Met ` D ) C_ ( X X. X ) )
31	1, 30	syl5eqss 3548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> .~ C_ ( X X. X ) )
32		xpss 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( X X. X ) C_ ( _V X. _V )
33	31, 32	syl6ss 3516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> .~ C_ ( _V X. _V ) )
34		df-rel 5006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Rel .~ <-> .~ C_ ( _V X. _V ) )
35	33, 34	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> Rel .~ )
36	35	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> Rel .~ )
37	36	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> Rel .~ )
38		relelec 7353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Rel .~ -> ( e e. [ A ] .~ <-> A .~ e ) )
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> ( e e. [ A ] .~ <-> A .~ e ) )
40	29, 39	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> A .~ e )
41	1	breqi 4453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A .~ e <-> A (~Met ` D ) e )
42	40, 41	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> A (~Met ` D ) e )
43		simpr2 1003	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> f e. [ B ] .~ )
44		relelec 7353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Rel .~ -> ( f e. [ B ] .~ <-> B .~ f ) )
45	37, 44	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> ( f e. [ B ] .~ <-> B .~ f ) )
46	43, 45	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> B .~ f )
47	1	breqi 4453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B .~ f <-> B (~Met ` D ) f )
48	46, 47	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> B (~Met ` D ) f )
49		metideq 27623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A (~Met ` D ) e /\ B (~Met ` D ) f ) ) -> ( A D B ) = ( e D f ) )
50	28, 42, 48, 49	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> ( A D B ) = ( e D f ) )
51	27, 50	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> z = ( A D B ) )
52	51	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> z = ( A D B ) )
53	52	3anassrs 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) /\ e e. [ A ] .~ ) /\ f e. [ B ] .~ ) /\ z = ( e D f ) ) -> z = ( A D B ) )
54		oveq1 6292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = e -> ( a D b ) = ( e D b ) )
55	54	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = e -> ( z = ( a D b ) <-> z = ( e D b ) ) )
56		oveq2 6293	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = f -> ( e D b ) = ( e D f ) )
57	56	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = f -> ( z = ( e D b ) <-> z = ( e D f ) ) )
58	55, 57	cbvrex2v 3097	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) <-> E. e e. [ A ] .~ E. f e. [ B ] .~ z = ( e D f ) )
59	58	biimpi 194	. . . . . . . . . 10 |- ( E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) -> E. e e. [ A ] .~ E. f e. [ B ] .~ z = ( e D f ) )
60	59	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) -> E. e e. [ A ] .~ E. f e. [ B ] .~ z = ( e D f ) )
61	53, 60	r19.29_2a 3005	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) -> z = ( A D B ) )
62	61	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) -> z = ( A D B ) ) )
63		simpl1 999	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> D e. (PsMet ` X ) )
64		simpl2 1000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> A e. X )
65		psmet0 20639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X ) -> ( A D A ) = 0 )
66	63, 64, 65	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( A D A ) = 0 )
67		relelec 7353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Rel .~ -> ( A e. [ A ] .~ <-> A .~ A ) )
68	63, 35, 67	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( A e. [ A ] .~ <-> A .~ A ) )
69	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> .~ = (~Met ` D ) )
70	69	breqd 4458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( A .~ A <-> A (~Met ` D ) A ) )
71		metidv 27622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ A e. X ) ) -> ( A (~Met ` D ) A <-> ( A D A ) = 0 ) )
72	63, 64, 64, 71	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( A (~Met ` D ) A <-> ( A D A ) = 0 ) )
73	68, 70, 72	3bitrd 279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( A e. [ A ] .~ <-> ( A D A ) = 0 ) )
74	66, 73	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> A e. [ A ] .~ )
75		simpl3 1001	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> B e. X )
76		psmet0 20639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ B e. X ) -> ( B D B ) = 0 )
77	63, 75, 76	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( B D B ) = 0 )
78		relelec 7353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Rel .~ -> ( B e. [ B ] .~ <-> B .~ B ) )
79	63, 35, 78	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( B e. [ B ] .~ <-> B .~ B ) )
80	69	breqd 4458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( B .~ B <-> B (~Met ` D ) B ) )
81		metidv 27622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( B e. X /\ B e. X ) ) -> ( B (~Met ` D ) B <-> ( B D B ) = 0 ) )
82	63, 75, 75, 81	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( B (~Met ` D ) B <-> ( B D B ) = 0 ) )
83	79, 80, 82	3bitrd 279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( B e. [ B ] .~ <-> ( B D B ) = 0 ) )
84	77, 83	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> B e. [ B ] .~ )
85		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> z = ( A D B ) )
86		oveq1 6292	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> ( a D b ) = ( A D b ) )
87	86	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . 10 |- ( a = A -> ( z = ( a D b ) <-> z = ( A D b ) ) )
88		oveq2 6293	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = B -> ( A D b ) = ( A D B ) )
89	88	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . 10 |- ( b = B -> ( z = ( A D b ) <-> z = ( A D B ) ) )
90	87, 89	rspc2ev 3225	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. [ A ] .~ /\ B e. [ B ] .~ /\ z = ( A D B ) ) -> E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) )
91	74, 84, 85, 90	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) )
92	91	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( z = ( A D B ) -> E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) )
93	62, 92	impbid 191	. . . . . 6 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) <-> z = ( A D B ) ) )
94	93	abbidv 2603	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } = { z | z = ( A D B ) } )
95		df-sn 4028	. . . . 5 |- { ( A D B ) } = { z | z = ( A D B ) }
96	94, 95	syl6eqr 2526	. . . 4 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } = { ( A D B ) } )
97	96	unieqd 4255	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } = U. { ( A D B ) } )
98		ovex 6310	. . . 4 |- ( A D B ) e. _V
99	98	unisn 4260	. . 3 |- U. { ( A D B ) } = ( A D B )
100	97, 99	syl6eq 2524	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } = ( A D B ) )
101	4, 26, 100	3eqtrd 2512	1 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( [ A ] .~ (pstoMet ` D ) [ B ] .~ ) = ( A D B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   {cab 2452   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   {csn 4027   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   X. cxp 4997   Rel wrel 5004   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   |-> cmpt2 6287   [cec 7310   /.cqs 7311   0cc0 9493  PsMetcpsmet 18213  ~Metcmetid 27616  pstoMetcpstm 27617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-er 7312  df-ec 7314  df-qs 7318  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-xadd 11320  df-psmet 18222  df-metid 27618  df-pstm 27619

This theorem is referenced by:  pstmxmet  27627