Theorem pstmfval 28699

Description: Function value of the metric induced by a pseudometric D (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
pstmval.1	|- .~ = (~Met ` D )

Assertion

Ref	Expression
pstmfval	|- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( [ A ] .~ (pstoMet ` D ) [ B ] .~ ) = ( A D B ) )

Proof of Theorem pstmfval

Dummy variables a b x y z e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pstmval.1	. . . . 5 |- .~ = (~Met ` D )
2	1	pstmval 28698	. . . 4 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> (pstoMet ` D ) = ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) )
3	2	3ad2ant1 1029	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> (pstoMet ` D ) = ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) )
4	3	oveqd 6307	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( [ A ] .~ (pstoMet ` D ) [ B ] .~ ) = ( [ A ] .~ ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) [ B ] .~ ) )
5		fvex 5875	. . . . . 6 |- (~Met ` D ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2525	. . . . 5 |- .~ e. _V
7	6	ecelqsi 7419	. . . 4 |- ( A e. X -> [ A ] .~ e. ( X /. .~ ) )
8	7	3ad2ant2 1030	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> [ A ] .~ e. ( X /. .~ ) )
9	6	ecelqsi 7419	. . . 4 |- ( B e. X -> [ B ] .~ e. ( X /. .~ ) )
10	9	3ad2ant3 1031	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> [ B ] .~ e. ( X /. .~ ) )
11		rexeq 2988	. . . . . 6 |- ( x = [ A ] .~ -> ( E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) <-> E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) ) )
12	11	abbidv 2569	. . . . 5 |- ( x = [ A ] .~ -> { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } = { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) } )
13	12	unieqd 4208	. . . 4 |- ( x = [ A ] .~ -> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } = U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) } )
14		rexeq 2988	. . . . . . 7 |- ( y = [ B ] .~ -> ( E. b e. y z = ( a D b ) <-> E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) )
15	14	rexbidv 2901	. . . . . 6 |- ( y = [ B ] .~ -> ( E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) <-> E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) )
16	15	abbidv 2569	. . . . 5 |- ( y = [ B ] .~ -> { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) } = { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } )
17	16	unieqd 4208	. . . 4 |- ( y = [ B ] .~ -> U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) } = U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } )
18		eqid 2451	. . . 4 |- ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) = ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } )
19		ecexg 7367	. . . . . . 7 |- ( .~ e. _V -> [ A ] .~ e. _V )
20	6, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 |- [ A ] .~ e. _V
21		ecexg 7367	. . . . . . 7 |- ( .~ e. _V -> [ B ] .~ e. _V )
22	6, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 |- [ B ] .~ e. _V
23	20, 22	ab2rexex 6784	. . . . 5 |- { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } e. _V
24	23	uniex 6587	. . . 4 |- U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } e. _V
25	13, 17, 18, 24	ovmpt2 6432	. . 3 |- ( ( [ A ] .~ e. ( X /. .~ ) /\ [ B ] .~ e. ( X /. .~ ) ) -> ( [ A ] .~ ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) [ B ] .~ ) = U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } )
26	8, 10, 25	syl2anc 667	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( [ A ] .~ ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) [ B ] .~ ) = U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } )
27		simpr3 1016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> z = ( e D f ) )
28		simpl1 1011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> D e. (PsMet ` X ) )
29		simpr1 1014	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> e e. [ A ] .~ )
30		metidss 28694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> (~Met ` D ) C_ ( X X. X ) )
31	1, 30	syl5eqss 3476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> .~ C_ ( X X. X ) )
32		xpss 4941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X X. X ) C_ ( _V X. _V )
33	31, 32	syl6ss 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> .~ C_ ( _V X. _V ) )
34		df-rel 4841	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Rel .~ <-> .~ C_ ( _V X. _V ) )
35	33, 34	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> Rel .~ )
36	35	3ad2ant1 1029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> Rel .~ )
37	36	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> Rel .~ )
38		relelec 7404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Rel .~ -> ( e e. [ A ] .~ <-> A .~ e ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> ( e e. [ A ] .~ <-> A .~ e ) )
40	29, 39	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> A .~ e )
41	1	breqi 4408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A .~ e <-> A (~Met ` D ) e )
42	40, 41	sylib 200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> A (~Met ` D ) e )
43		simpr2 1015	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> f e. [ B ] .~ )
44		relelec 7404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Rel .~ -> ( f e. [ B ] .~ <-> B .~ f ) )
45	37, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> ( f e. [ B ] .~ <-> B .~ f ) )
46	43, 45	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> B .~ f )
47	1	breqi 4408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B .~ f <-> B (~Met ` D ) f )
48	46, 47	sylib 200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> B (~Met ` D ) f )
49		metideq 28696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A (~Met ` D ) e /\ B (~Met ` D ) f ) ) -> ( A D B ) = ( e D f ) )
50	28, 42, 48, 49	syl12anc 1266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> ( A D B ) = ( e D f ) )
51	27, 50	eqtr4d 2488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> z = ( A D B ) )
52	51	adantlr 721	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> z = ( A D B ) )
53	52	3anassrs 1232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) /\ e e. [ A ] .~ ) /\ f e. [ B ] .~ ) /\ z = ( e D f ) ) -> z = ( A D B ) )
54		oveq1 6297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = e -> ( a D b ) = ( e D b ) )
55	54	eqeq2d 2461	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = e -> ( z = ( a D b ) <-> z = ( e D b ) ) )
56		oveq2 6298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = f -> ( e D b ) = ( e D f ) )
57	56	eqeq2d 2461	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = f -> ( z = ( e D b ) <-> z = ( e D f ) ) )
58	55, 57	cbvrex2v 3028	. . . . . . . . . 10 |- ( E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) <-> E. e e. [ A ] .~ E. f e. [ B ] .~ z = ( e D f ) )
59	58	biimpi 198	. . . . . . . . 9 |- ( E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) -> E. e e. [ A ] .~ E. f e. [ B ] .~ z = ( e D f ) )
60	59	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) -> E. e e. [ A ] .~ E. f e. [ B ] .~ z = ( e D f ) )
61	53, 60	r19.29vva 2934	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) -> z = ( A D B ) )
62		simpl1 1011	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> D e. (PsMet ` X ) )
63		simpl2 1012	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> A e. X )
64		psmet0 21324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X ) -> ( A D A ) = 0 )
65	62, 63, 64	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( A D A ) = 0 )
66		relelec 7404	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel .~ -> ( A e. [ A ] .~ <-> A .~ A ) )
67	62, 35, 66	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( A e. [ A ] .~ <-> A .~ A ) )
68	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> .~ = (~Met ` D ) )
69	68	breqd 4413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( A .~ A <-> A (~Met ` D ) A ) )
70		metidv 28695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ A e. X ) ) -> ( A (~Met ` D ) A <-> ( A D A ) = 0 ) )
71	62, 63, 63, 70	syl12anc 1266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( A (~Met ` D ) A <-> ( A D A ) = 0 ) )
72	67, 69, 71	3bitrd 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( A e. [ A ] .~ <-> ( A D A ) = 0 ) )
73	65, 72	mpbird 236	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> A e. [ A ] .~ )
74		simpl3 1013	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> B e. X )
75		psmet0 21324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ B e. X ) -> ( B D B ) = 0 )
76	62, 74, 75	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( B D B ) = 0 )
77		relelec 7404	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel .~ -> ( B e. [ B ] .~ <-> B .~ B ) )
78	62, 35, 77	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( B e. [ B ] .~ <-> B .~ B ) )
79	68	breqd 4413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( B .~ B <-> B (~Met ` D ) B ) )
80		metidv 28695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( B e. X /\ B e. X ) ) -> ( B (~Met ` D ) B <-> ( B D B ) = 0 ) )
81	62, 74, 74, 80	syl12anc 1266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( B (~Met ` D ) B <-> ( B D B ) = 0 ) )
82	78, 79, 81	3bitrd 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( B e. [ B ] .~ <-> ( B D B ) = 0 ) )
83	76, 82	mpbird 236	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> B e. [ B ] .~ )
84		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> z = ( A D B ) )
85		rspceov 6329	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. [ A ] .~ /\ B e. [ B ] .~ /\ z = ( A D B ) ) -> E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) )
86	73, 83, 84, 85	syl3anc 1268	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) )
87	61, 86	impbida 843	. . . . . 6 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) <-> z = ( A D B ) ) )
88	87	abbidv 2569	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } = { z | z = ( A D B ) } )
89		df-sn 3969	. . . . 5 |- { ( A D B ) } = { z | z = ( A D B ) }
90	88, 89	syl6eqr 2503	. . . 4 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } = { ( A D B ) } )
91	90	unieqd 4208	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } = U. { ( A D B ) } )
92		ovex 6318	. . . 4 |- ( A D B ) e. _V
93	92	unisn 4213	. . 3 |- U. { ( A D B ) } = ( A D B )
94	91, 93	syl6eq 2501	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } = ( A D B ) )
95	4, 26, 94	3eqtrd 2489	1 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( [ A ] .~ (pstoMet ` D ) [ B ] .~ ) = ( A D B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   {cab 2437   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   C_ wss 3404   {csn 3968   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   X. cxp 4832   Rel wrel 4839   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   |-> cmpt2 6292   [cec 7361   /.cqs 7362   0cc0 9539  PsMetcpsmet 18954  ~Metcmetid 28689  pstoMetcpstm 28690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-er 7363  df-ec 7365  df-qs 7369  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-xadd 11410  df-psmet 18962  df-metid 28691  df-pstm 28692

This theorem is referenced by:  pstmxmet  28700