Theorem pstmfval 27741

Description: Function value of the metric induced by a pseudometric D (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
pstmval.1	|- .~ = (~Met ` D )

Assertion

Ref	Expression
pstmfval	|- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( [ A ] .~ (pstoMet ` D ) [ B ] .~ ) = ( A D B ) )

Proof of Theorem pstmfval

Dummy variables a b x y z e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pstmval.1	. . . . 5 |- .~ = (~Met ` D )
2	1	pstmval 27740	. . . 4 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> (pstoMet ` D ) = ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) )
3	2	3ad2ant1 1016	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> (pstoMet ` D ) = ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) )
4	3	oveqd 6294	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( [ A ] .~ (pstoMet ` D ) [ B ] .~ ) = ( [ A ] .~ ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) [ B ] .~ ) )
5		fvex 5862	. . . . . 6 |- (~Met ` D ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2525	. . . . 5 |- .~ e. _V
7	6	ecelqsi 7365	. . . 4 |- ( A e. X -> [ A ] .~ e. ( X /. .~ ) )
8	7	3ad2ant2 1017	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> [ A ] .~ e. ( X /. .~ ) )
9	6	ecelqsi 7365	. . . 4 |- ( B e. X -> [ B ] .~ e. ( X /. .~ ) )
10	9	3ad2ant3 1018	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> [ B ] .~ e. ( X /. .~ ) )
11		rexeq 3039	. . . . . 6 |- ( x = [ A ] .~ -> ( E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) <-> E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) ) )
12	11	abbidv 2577	. . . . 5 |- ( x = [ A ] .~ -> { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } = { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) } )
13	12	unieqd 4240	. . . 4 |- ( x = [ A ] .~ -> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } = U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) } )
14		rexeq 3039	. . . . . . 7 |- ( y = [ B ] .~ -> ( E. b e. y z = ( a D b ) <-> E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) )
15	14	rexbidv 2952	. . . . . 6 |- ( y = [ B ] .~ -> ( E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) <-> E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) )
16	15	abbidv 2577	. . . . 5 |- ( y = [ B ] .~ -> { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) } = { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } )
17	16	unieqd 4240	. . . 4 |- ( y = [ B ] .~ -> U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) } = U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } )
18		eqid 2441	. . . 4 |- ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) = ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } )
19		ecexg 7313	. . . . . . 7 |- ( .~ e. _V -> [ A ] .~ e. _V )
20	6, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 |- [ A ] .~ e. _V
21		ecexg 7313	. . . . . . 7 |- ( .~ e. _V -> [ B ] .~ e. _V )
22	6, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 |- [ B ] .~ e. _V
23	20, 22	ab2rexex 6772	. . . . 5 |- { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } e. _V
24	23	uniex 6577	. . . 4 |- U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } e. _V
25	13, 17, 18, 24	ovmpt2 6419	. . 3 |- ( ( [ A ] .~ e. ( X /. .~ ) /\ [ B ] .~ e. ( X /. .~ ) ) -> ( [ A ] .~ ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) [ B ] .~ ) = U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } )
26	8, 10, 25	syl2anc 661	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( [ A ] .~ ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) [ B ] .~ ) = U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } )
27		simpr3 1003	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> z = ( e D f ) )
28		simpl1 998	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> D e. (PsMet ` X ) )
29		simpr1 1001	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> e e. [ A ] .~ )
30		metidss 27736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> (~Met ` D ) C_ ( X X. X ) )
31	1, 30	syl5eqss 3530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> .~ C_ ( X X. X ) )
32		xpss 5095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X X. X ) C_ ( _V X. _V )
33	31, 32	syl6ss 3498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> .~ C_ ( _V X. _V ) )
34		df-rel 4992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Rel .~ <-> .~ C_ ( _V X. _V ) )
35	33, 34	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> Rel .~ )
36	35	3ad2ant1 1016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> Rel .~ )
37	36	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> Rel .~ )
38		relelec 7350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Rel .~ -> ( e e. [ A ] .~ <-> A .~ e ) )
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> ( e e. [ A ] .~ <-> A .~ e ) )
40	29, 39	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> A .~ e )
41	1	breqi 4439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A .~ e <-> A (~Met ` D ) e )
42	40, 41	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> A (~Met ` D ) e )
43		simpr2 1002	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> f e. [ B ] .~ )
44		relelec 7350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Rel .~ -> ( f e. [ B ] .~ <-> B .~ f ) )
45	37, 44	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> ( f e. [ B ] .~ <-> B .~ f ) )
46	43, 45	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> B .~ f )
47	1	breqi 4439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B .~ f <-> B (~Met ` D ) f )
48	46, 47	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> B (~Met ` D ) f )
49		metideq 27738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A (~Met ` D ) e /\ B (~Met ` D ) f ) ) -> ( A D B ) = ( e D f ) )
50	28, 42, 48, 49	syl12anc 1225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> ( A D B ) = ( e D f ) )
51	27, 50	eqtr4d 2485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> z = ( A D B ) )
52	51	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> z = ( A D B ) )
53	52	3anassrs 1217	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) /\ e e. [ A ] .~ ) /\ f e. [ B ] .~ ) /\ z = ( e D f ) ) -> z = ( A D B ) )
54		oveq1 6284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = e -> ( a D b ) = ( e D b ) )
55	54	eqeq2d 2455	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = e -> ( z = ( a D b ) <-> z = ( e D b ) ) )
56		oveq2 6285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = f -> ( e D b ) = ( e D f ) )
57	56	eqeq2d 2455	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = f -> ( z = ( e D b ) <-> z = ( e D f ) ) )
58	55, 57	cbvrex2v 3077	. . . . . . . . . 10 |- ( E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) <-> E. e e. [ A ] .~ E. f e. [ B ] .~ z = ( e D f ) )
59	58	biimpi 194	. . . . . . . . 9 |- ( E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) -> E. e e. [ A ] .~ E. f e. [ B ] .~ z = ( e D f ) )
60	59	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) -> E. e e. [ A ] .~ E. f e. [ B ] .~ z = ( e D f ) )
61	53, 60	r19.29_2a 2985	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) -> z = ( A D B ) )
62		simpl1 998	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> D e. (PsMet ` X ) )
63		simpl2 999	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> A e. X )
64		psmet0 20678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X ) -> ( A D A ) = 0 )
65	62, 63, 64	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( A D A ) = 0 )
66		relelec 7350	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel .~ -> ( A e. [ A ] .~ <-> A .~ A ) )
67	62, 35, 66	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( A e. [ A ] .~ <-> A .~ A ) )
68	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> .~ = (~Met ` D ) )
69	68	breqd 4444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( A .~ A <-> A (~Met ` D ) A ) )
70		metidv 27737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ A e. X ) ) -> ( A (~Met ` D ) A <-> ( A D A ) = 0 ) )
71	62, 63, 63, 70	syl12anc 1225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( A (~Met ` D ) A <-> ( A D A ) = 0 ) )
72	67, 69, 71	3bitrd 279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( A e. [ A ] .~ <-> ( A D A ) = 0 ) )
73	65, 72	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> A e. [ A ] .~ )
74		simpl3 1000	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> B e. X )
75		psmet0 20678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ B e. X ) -> ( B D B ) = 0 )
76	62, 74, 75	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( B D B ) = 0 )
77		relelec 7350	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel .~ -> ( B e. [ B ] .~ <-> B .~ B ) )
78	62, 35, 77	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( B e. [ B ] .~ <-> B .~ B ) )
79	68	breqd 4444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( B .~ B <-> B (~Met ` D ) B ) )
80		metidv 27737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( B e. X /\ B e. X ) ) -> ( B (~Met ` D ) B <-> ( B D B ) = 0 ) )
81	62, 74, 74, 80	syl12anc 1225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( B (~Met ` D ) B <-> ( B D B ) = 0 ) )
82	78, 79, 81	3bitrd 279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( B e. [ B ] .~ <-> ( B D B ) = 0 ) )
83	76, 82	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> B e. [ B ] .~ )
84		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> z = ( A D B ) )
85		rspceov 6317	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. [ A ] .~ /\ B e. [ B ] .~ /\ z = ( A D B ) ) -> E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) )
86	73, 83, 84, 85	syl3anc 1227	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) )
87	61, 86	impbida 830	. . . . . 6 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) <-> z = ( A D B ) ) )
88	87	abbidv 2577	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } = { z | z = ( A D B ) } )
89		df-sn 4011	. . . . 5 |- { ( A D B ) } = { z | z = ( A D B ) }
90	88, 89	syl6eqr 2500	. . . 4 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } = { ( A D B ) } )
91	90	unieqd 4240	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } = U. { ( A D B ) } )
92		ovex 6305	. . . 4 |- ( A D B ) e. _V
93	92	unisn 4245	. . 3 |- U. { ( A D B ) } = ( A D B )
94	91, 93	syl6eq 2498	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } = ( A D B ) )
95	4, 26, 94	3eqtrd 2486	1 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( [ A ] .~ (pstoMet ` D ) [ B ] .~ ) = ( A D B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 972   = wceq 1381   e. wcel 1802   {cab 2426   E.wrex 2792   _Vcvv 3093   C_ wss 3458   {csn 4010   U.cuni 4230   class class class wbr 4433   X. cxp 4983   Rel wrel 4990   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   |-> cmpt2 6279   [cec 7307   /.cqs 7308   0cc0 9490  PsMetcpsmet 18270  ~Metcmetid 27731  pstoMetcpstm 27732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7309  df-ec 7311  df-qs 7315  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-xadd 11323  df-psmet 18279  df-metid 27733  df-pstm 27734

This theorem is referenced by:  pstmxmet  27742