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Theorem psss 15717
Description: Any subset of a partially ordered set is partially ordered. (Contributed by FL, 24-Jan-2010.)
Assertion
Ref Expression
psss  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  PosetRel )

Proof of Theorem psss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3723 . . 3  |-  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  R
2 psrel 15706 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  Rel  R )
3 relss 5096 . . 3  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  R  ->  ( Rel  R  ->  Rel  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
41, 2, 3mpsyl 63 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  Rel  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )
5 pstr2 15708 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  o.  R )  C_  R
)
6 trinxp 5398 . . 3  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  ->  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )
8 uniin 4271 . . . . . 6  |-  U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  ( U. R  i^i  U. ( A  X.  A
) )
98unissi 4274 . . . . 5  |-  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  U. ( U. R  i^i  U. ( A  X.  A ) )
10 uniin 4271 . . . . 5  |-  U. ( U. R  i^i  U. ( A  X.  A ) ) 
C_  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )
119, 10sstri 3518 . . . 4  |-  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )
12 elin 3692 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )  <-> 
( x  e.  U. U. R  /\  x  e. 
U. U. ( A  X.  A ) ) )
13 unixpid 5548 . . . . . . . . 9  |-  U. U. ( A  X.  A
)  =  A
1413eleq2i 2545 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. U. ( A  X.  A )  <->  x  e.  A )
15 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  (
x  e.  U. U. R  /\  x  e.  A
) )  ->  x  e.  A )
16 psdmrn 15710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( dom  R  =  U. U. R  /\  ran  R  =  U. U. R ) )
1716simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  dom  R  =  U. U. R )
1817eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( x  e. 
dom  R  <->  x  e.  U. U. R ) )
1918biimpar 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  U. U. R )  ->  x  e.  dom  R )
20 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  R  =  dom  R
2120psref 15711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  x R x )
2219, 21syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  U. U. R )  ->  x R x )
2322adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  (
x  e.  U. U. R  /\  x  e.  A
) )  ->  x R x )
24 brinxp2 5067 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  A  /\  x R x ) )
2515, 15, 23, 24syl3anbrc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  (
x  e.  U. U. R  /\  x  e.  A
) )  ->  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )
2625expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  U. U. R )  ->  ( x  e.  A  ->  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
2714, 26syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  U. U. R )  ->  ( x  e. 
U. U. ( A  X.  A )  ->  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
2827expimpd 603 . . . . . 6  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( x  e.  U. U. R  /\  x  e.  U. U. ( A  X.  A
) )  ->  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
2912, 28syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( x  e.  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )  ->  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
3029ralrimiv 2879 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x  e.  ( U. U. R  i^i  U.
U. ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )
31 ssralv 3569 . . . 4  |-  ( U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )  ->  ( A. x  e.  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x  ->  A. x  e.  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x ) )
3211, 30, 31mpsyl 63 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x  e.  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x )
331ssbri 4495 . . . . 5  |-  ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  ->  x R
y )
341ssbri 4495 . . . . 5  |-  ( y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x  ->  y R x )
35 psasym 15713 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
36353expib 1199 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
3733, 34, 36syl2ani 656 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  /\  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )  ->  x  =  y ) )
3837alrimivv 1696 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x A. y
( ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  /\  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )  ->  x  =  y ) )
39 asymref2 5390 . . 3  |-  ( ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( A. x  e.  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x  /\  A. x A. y ( ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  /\  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )  ->  x  =  y ) ) )
4032, 38, 39sylanbrc 664 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
41 inex1g 4596 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  _V )
42 isps 15705 . . 3  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  ->  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel 
<->  ( Rel  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  /\  ( ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  o.  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) ) )
4341, 42syl 16 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel  <->  ( Rel  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  /\  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) ) )
444, 7, 40, 43mpbir3and 1179 1  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  PosetRel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118    i^i cin 3480    C_ wss 3481   U.cuni 4251   class class class wbr 4453    _I cid 4796    X. cxp 5003   `'ccnv 5004   dom cdm 5005   ran crn 5006    |` cres 5007    o. ccom 5009   Rel wrel 5010   PosetRelcps 15701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ps 15703
This theorem is referenced by:  tsrss  15726  ordtrest2  19571
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