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Theorem psss 15405
Description: Any subset of a partially ordered set is partially ordered. (Contributed by FL, 24-Jan-2010.)
Assertion
Ref Expression
psss  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  PosetRel )

Proof of Theorem psss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3591 . . 3  |-  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  R
2 psrel 15394 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  Rel  R )
3 relss 4948 . . 3  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  R  ->  ( Rel  R  ->  Rel  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
41, 2, 3mpsyl 63 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  Rel  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )
5 pstr2 15396 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  o.  R )  C_  R
)
6 trinxp 5244 . . 3  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  ->  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )
8 uniin 4132 . . . . . 6  |-  U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  ( U. R  i^i  U. ( A  X.  A
) )
98unissi 4135 . . . . 5  |-  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  U. ( U. R  i^i  U. ( A  X.  A ) )
10 uniin 4132 . . . . 5  |-  U. ( U. R  i^i  U. ( A  X.  A ) ) 
C_  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )
119, 10sstri 3386 . . . 4  |-  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )
12 elin 3560 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )  <-> 
( x  e.  U. U. R  /\  x  e. 
U. U. ( A  X.  A ) ) )
13 unixpid 5393 . . . . . . . . 9  |-  U. U. ( A  X.  A
)  =  A
1413eleq2i 2507 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. U. ( A  X.  A )  <->  x  e.  A )
15 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  (
x  e.  U. U. R  /\  x  e.  A
) )  ->  x  e.  A )
16 psdmrn 15398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( dom  R  =  U. U. R  /\  ran  R  =  U. U. R ) )
1716simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  dom  R  =  U. U. R )
1817eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( x  e. 
dom  R  <->  x  e.  U. U. R ) )
1918biimpar 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  U. U. R )  ->  x  e.  dom  R )
20 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  R  =  dom  R
2120psref 15399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  x R x )
2219, 21syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  U. U. R )  ->  x R x )
2322adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  (
x  e.  U. U. R  /\  x  e.  A
) )  ->  x R x )
24 brinxp2 4921 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  A  /\  x R x ) )
2515, 15, 23, 24syl3anbrc 1172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  (
x  e.  U. U. R  /\  x  e.  A
) )  ->  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )
2625expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  U. U. R )  ->  ( x  e.  A  ->  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
2714, 26syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  U. U. R )  ->  ( x  e. 
U. U. ( A  X.  A )  ->  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
2827expimpd 603 . . . . . 6  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( x  e.  U. U. R  /\  x  e.  U. U. ( A  X.  A
) )  ->  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
2912, 28syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( x  e.  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )  ->  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
3029ralrimiv 2819 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x  e.  ( U. U. R  i^i  U.
U. ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )
31 ssralv 3437 . . . 4  |-  ( U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )  ->  ( A. x  e.  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x  ->  A. x  e.  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x ) )
3211, 30, 31mpsyl 63 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x  e.  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x )
331ssbri 4355 . . . . 5  |-  ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  ->  x R
y )
341ssbri 4355 . . . . 5  |-  ( y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x  ->  y R x )
35 psasym 15401 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
36353expib 1190 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
3733, 34, 36syl2ani 656 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  /\  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )  ->  x  =  y ) )
3837alrimivv 1686 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x A. y
( ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  /\  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )  ->  x  =  y ) )
39 asymref2 5236 . . 3  |-  ( ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( A. x  e.  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x  /\  A. x A. y ( ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  /\  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )  ->  x  =  y ) ) )
4032, 38, 39sylanbrc 664 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
41 inex1g 4456 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  _V )
42 isps 15393 . . 3  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  ->  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel 
<->  ( Rel  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  /\  ( ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  o.  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) ) )
4341, 42syl 16 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel  <->  ( Rel  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  /\  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) ) )
444, 7, 40, 43mpbir3and 1171 1  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  PosetRel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   _Vcvv 2993    i^i cin 3348    C_ wss 3349   U.cuni 4112   class class class wbr 4313    _I cid 4652    X. cxp 4859   `'ccnv 4860   dom cdm 4861   ran crn 4862    |` cres 4863    o. ccom 4865   Rel wrel 4866   PosetRelcps 15389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pr 4552
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ps 15391
This theorem is referenced by:  tsrss  15414  ordtrest2  18830
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