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Theorem psss 16460
Description: Any subset of a partially ordered set is partially ordered. (Contributed by FL, 24-Jan-2010.)
Assertion
Ref Expression
psss  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  PosetRel )

Proof of Theorem psss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3652 . . 3  |-  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  R
2 psrel 16449 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  Rel  R )
3 relss 4922 . . 3  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  R  ->  ( Rel  R  ->  Rel  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
41, 2, 3mpsyl 65 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  Rel  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )
5 pstr2 16451 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  o.  R )  C_  R
)
6 trinxp 5225 . . 3  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  ->  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )
75, 6syl 17 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )
8 uniin 4218 . . . . . 6  |-  U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  ( U. R  i^i  U. ( A  X.  A
) )
98unissi 4221 . . . . 5  |-  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  U. ( U. R  i^i  U. ( A  X.  A ) )
10 uniin 4218 . . . . 5  |-  U. ( U. R  i^i  U. ( A  X.  A ) ) 
C_  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )
119, 10sstri 3441 . . . 4  |-  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )
12 elin 3617 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )  <-> 
( x  e.  U. U. R  /\  x  e. 
U. U. ( A  X.  A ) ) )
13 unixpid 5371 . . . . . . . . 9  |-  U. U. ( A  X.  A
)  =  A
1413eleq2i 2521 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. U. ( A  X.  A )  <->  x  e.  A )
15 simprr 766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  (
x  e.  U. U. R  /\  x  e.  A
) )  ->  x  e.  A )
16 psdmrn 16453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( dom  R  =  U. U. R  /\  ran  R  =  U. U. R ) )
1716simpld 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  dom  R  =  U. U. R )
1817eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( x  e. 
dom  R  <->  x  e.  U. U. R ) )
1918biimpar 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  U. U. R )  ->  x  e.  dom  R )
20 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  R  =  dom  R
2120psref 16454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  x R x )
2219, 21syldan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  U. U. R )  ->  x R x )
2322adantrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  (
x  e.  U. U. R  /\  x  e.  A
) )  ->  x R x )
24 brinxp2 4896 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  A  /\  x R x ) )
2515, 15, 23, 24syl3anbrc 1192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  (
x  e.  U. U. R  /\  x  e.  A
) )  ->  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )
2625expr 620 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  U. U. R )  ->  ( x  e.  A  ->  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
2714, 26syl5bi 221 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  U. U. R )  ->  ( x  e. 
U. U. ( A  X.  A )  ->  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
2827expimpd 608 . . . . . 6  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( x  e.  U. U. R  /\  x  e.  U. U. ( A  X.  A
) )  ->  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
2912, 28syl5bi 221 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( x  e.  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )  ->  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
3029ralrimiv 2800 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x  e.  ( U. U. R  i^i  U.
U. ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )
31 ssralv 3493 . . . 4  |-  ( U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )  ->  ( A. x  e.  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x  ->  A. x  e.  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x ) )
3211, 30, 31mpsyl 65 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x  e.  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x )
331ssbri 4445 . . . . 5  |-  ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  ->  x R
y )
341ssbri 4445 . . . . 5  |-  ( y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x  ->  y R x )
35 psasym 16456 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
36353expib 1211 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
3733, 34, 36syl2ani 662 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  /\  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )  ->  x  =  y ) )
3837alrimivv 1774 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x A. y
( ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  /\  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )  ->  x  =  y ) )
39 asymref2 5217 . . 3  |-  ( ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( A. x  e.  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x  /\  A. x A. y ( ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  /\  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )  ->  x  =  y ) ) )
4032, 38, 39sylanbrc 670 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
41 inex1g 4546 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  _V )
42 isps 16448 . . 3  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  ->  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel 
<->  ( Rel  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  /\  ( ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  o.  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) ) )
4341, 42syl 17 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel  <->  ( Rel  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  /\  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) ) )
444, 7, 40, 43mpbir3and 1191 1  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  PosetRel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985   A.wal 1442    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404   U.cuni 4198   class class class wbr 4402    _I cid 4744    X. cxp 4832   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835    |` cres 4836    o. ccom 4838   Rel wrel 4839   PosetRelcps 16444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ps 16446
This theorem is referenced by:  tsrss  16469  ordtrest2  20220
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