Theorem pssnn 7793

Description: A proper subset of a natural number is equinumerous to some smaller number. Lemma 6F of [Enderton] p. 137. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pssnn	|- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> E. x e. A B ~~ x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem pssnn

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssss 3560	. . . 4 |- ( B C. A -> B C_ A )
2		ssexg 4567	. . . 4 |- ( ( B C_ A /\ A e. om ) -> B e. _V )
3	1, 2	sylan 473	. . 3 |- ( ( B C. A /\ A e. om ) -> B e. _V )
4	3	ancoms 454	. 2 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B e. _V )
5		psseq2 3553	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> ( w C. z <-> w C. (/) ) )
6		rexeq 3026	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> ( E. x e. z w ~~ x <-> E. x e. (/) w ~~ x ) )
7	5, 6	imbi12d 321	. . . . . . 7 |- ( z = (/) -> ( ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> ( w C. (/) -> E. x e. (/) w ~~ x ) ) )
8	7	albidv 1757	. . . . . 6 |- ( z = (/) -> ( A. w ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> A. w ( w C. (/) -> E. x e. (/) w ~~ x ) ) )
9		psseq2 3553	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( w C. z <-> w C. y ) )
10		rexeq 3026	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( E. x e. z w ~~ x <-> E. x e. y w ~~ x ) )
11	9, 10	imbi12d 321	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) )
12	11	albidv 1757	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( A. w ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) )
13		psseq2 3553	. . . . . . . 8 |- ( z = suc y -> ( w C. z <-> w C. suc y ) )
14		rexeq 3026	. . . . . . . 8 |- ( z = suc y -> ( E. x e. z w ~~ x <-> E. x e. suc y w ~~ x ) )
15	13, 14	imbi12d 321	. . . . . . 7 |- ( z = suc y -> ( ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
16	15	albidv 1757	. . . . . 6 |- ( z = suc y -> ( A. w ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> A. w ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
17		psseq2 3553	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( w C. z <-> w C. A ) )
18		rexeq 3026	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( E. x e. z w ~~ x <-> E. x e. A w ~~ x ) )
19	17, 18	imbi12d 321	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> ( w C. A -> E. x e. A w ~~ x ) ) )
20	19	albidv 1757	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( A. w ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> A. w ( w C. A -> E. x e. A w ~~ x ) ) )
21		npss0 3831	. . . . . . . 8 |- -. w C. (/)
22	21	pm2.21i 134	. . . . . . 7 |- ( w C. (/) -> E. x e. (/) w ~~ x )
23	22	ax-gen 1665	. . . . . 6 |- A. w ( w C. (/) -> E. x e. (/) w ~~ x )
24		nfv 1751	. . . . . . 7 |- F/ w y e. om
25		nfa1 1952	. . . . . . 7 |- F/ w A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x )
26		elequ1 1871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = y -> ( z e. w <-> y e. w ) )
27	26	biimpcd 227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. w -> ( z = y -> y e. w ) )
28	27	con3d 138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. w -> ( -. y e. w -> -. z = y ) )
29	28	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( w C. suc y /\ z e. w ) -> ( -. y e. w -> -. z = y ) )
30		pssss 3560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w C. suc y -> w C_ suc y )
31	30	sseld 3463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w C. suc y -> ( z e. w -> z e. suc y ) )
32		elsuci 5505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. suc y -> ( z e. y \/ z = y ) )
33	32	ord 378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. suc y -> ( -. z e. y -> z = y ) )
34	33	con1d 127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. suc y -> ( -. z = y -> z e. y ) )
35	31, 34	syl6 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w C. suc y -> ( z e. w -> ( -. z = y -> z e. y ) ) )
36	35	imp 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( w C. suc y /\ z e. w ) -> ( -. z = y -> z e. y ) )
37	29, 36	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( w C. suc y /\ z e. w ) -> ( -. y e. w -> z e. y ) )
38	37	impancom 441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w C. suc y /\ -. y e. w ) -> ( z e. w -> z e. y ) )
39	38	ssrdv 3470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w C. suc y /\ -. y e. w ) -> w C_ y )
40	39	anim1i 570	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w C. suc y /\ -. y e. w ) /\ -. w = y ) -> ( w C_ y /\ -. w = y ) )
41		dfpss2 3550	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w C. y <-> ( w C_ y /\ -. w = y ) )
42	40, 41	sylibr 215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( w C. suc y /\ -. y e. w ) /\ -. w = y ) -> w C. y )
43		elelsuc 5511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. y -> x e. suc y )
44	43	anim1i 570	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. y /\ w ~~ x ) -> ( x e. suc y /\ w ~~ x ) )
45	44	reximi2 2892	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. x e. y w ~~ x -> E. x e. suc y w ~~ x )
46	42, 45	imim12i 59	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> ( ( ( w C. suc y /\ -. y e. w ) /\ -. w = y ) -> E. x e. suc y w ~~ x ) )
47	46	exp4c 611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> ( w C. suc y -> ( -. y e. w -> ( -. w = y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) ) )
48	47	sps 1916	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> ( w C. suc y -> ( -. y e. w -> ( -. w = y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) ) )
49	48	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> ( -. y e. w -> ( -. w = y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) ) )
50	49	com4t 88	. . . . . . . . 9 |- ( -. y e. w -> ( -. w = y -> ( ( y e. om /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) ) )
51		anidm 648	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w C. suc y /\ w C. suc y ) <-> w C. suc y )
52		ssdif 3600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w C_ suc y -> ( w \ { y } ) C_ ( suc y \ { y } ) )
53		nnord 6711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. om -> Ord y )
54		orddif 5532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord y -> y = ( suc y \ { y } ) )
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. om -> y = ( suc y \ { y } ) )
56	55	sseq2d 3492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. om -> ( ( w \ { y } ) C_ y <-> ( w \ { y } ) C_ ( suc y \ { y } ) ) )
57	52, 56	syl5ibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. om -> ( w C_ suc y -> ( w \ { y } ) C_ y ) )
58	30, 57	syl5 33	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. om -> ( w C. suc y -> ( w \ { y } ) C_ y ) )
59		pssnel 3860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w C. suc y -> E. z ( z e. suc y /\ -. z e. w ) )
60		eleq2 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( w \ { y } ) = y -> ( z e. ( w \ { y } ) <-> z e. y ) )
61		eldifi 3587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. ( w \ { y } ) -> z e. w )
62	60, 61	syl6bir 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( w \ { y } ) = y -> ( z e. y -> z e. w ) )
63	62	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. w /\ z e. suc y ) /\ ( w \ { y } ) = y ) -> ( z e. y -> z e. w ) )
64		eleq1a 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. w -> ( z = y -> z e. w ) )
65	33, 64	sylan9r 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. w /\ z e. suc y ) -> ( -. z e. y -> z e. w ) )
66	65	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. w /\ z e. suc y ) /\ ( w \ { y } ) = y ) -> ( -. z e. y -> z e. w ) )
67	63, 66	pm2.61d 161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y e. w /\ z e. suc y ) /\ ( w \ { y } ) = y ) -> z e. w )
68	67	ex 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. w /\ z e. suc y ) -> ( ( w \ { y } ) = y -> z e. w ) )
69	68	con3d 138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. w /\ z e. suc y ) -> ( -. z e. w -> -. ( w \ { y } ) = y ) )
70	69	expimpd 606	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. w -> ( ( z e. suc y /\ -. z e. w ) -> -. ( w \ { y } ) = y ) )
71	70	exlimdv 1768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. w -> ( E. z ( z e. suc y /\ -. z e. w ) -> -. ( w \ { y } ) = y ) )
72	59, 71	syl5 33	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. w -> ( w C. suc y -> -. ( w \ { y } ) = y ) )
73	58, 72	im2anan9r 844	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( ( w C. suc y /\ w C. suc y ) -> ( ( w \ { y } ) C_ y /\ -. ( w \ { y } ) = y ) ) )
74	51, 73	syl5bir 221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( w C. suc y -> ( ( w \ { y } ) C_ y /\ -. ( w \ { y } ) = y ) ) )
75		dfpss2 3550	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w \ { y } ) C. y <-> ( ( w \ { y } ) C_ y /\ -. ( w \ { y } ) = y ) )
76	74, 75	syl6ibr 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( w C. suc y -> ( w \ { y } ) C. y ) )
77		psseq1 3552	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = z -> ( w C. y <-> z C. y ) )
78		breq1 4423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = z -> ( w ~~ x <-> z ~~ x ) )
79	78	rexbidv 2939	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = z -> ( E. x e. y w ~~ x <-> E. x e. y z ~~ x ) )
80	77, 79	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = z -> ( ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) <-> ( z C. y -> E. x e. y z ~~ x ) ) )
81	80	cbvalv 2077	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) <-> A. z ( z C. y -> E. x e. y z ~~ x ) )
82		vex 3084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- w e. _V
83		difss 3592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w \ { y } ) C_ w
84	82, 83	ssexi 4566	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w \ { y } ) e. _V
85		psseq1 3552	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( w \ { y } ) -> ( z C. y <-> ( w \ { y } ) C. y ) )
86		breq1 4423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( w \ { y } ) -> ( z ~~ x <-> ( w \ { y } ) ~~ x ) )
87	86	rexbidv 2939	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( w \ { y } ) -> ( E. x e. y z ~~ x <-> E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x ) )
88	85, 87	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( w \ { y } ) -> ( ( z C. y -> E. x e. y z ~~ x ) <-> ( ( w \ { y } ) C. y -> E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x ) ) )
89	84, 88	spcv 3172	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z ( z C. y -> E. x e. y z ~~ x ) -> ( ( w \ { y } ) C. y -> E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x ) )
90	81, 89	sylbi 198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> ( ( w \ { y } ) C. y -> E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x ) )
91	76, 90	sylan9 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. w /\ y e. om ) /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x ) )
92		ordsucelsuc 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Ord y -> ( x e. y <-> suc x e. suc y ) )
93	92	biimpd 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord y -> ( x e. y -> suc x e. suc y ) )
94	53, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. om -> ( x e. y -> suc x e. suc y ) )
95	94	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( x e. y -> suc x e. suc y ) )
96	95	adantrd 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) -> suc x e. suc y ) )
97		elnn 6713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
98		snex 4659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { <. y , x >. } e. _V
99		vex 3084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- y e. _V
100		vex 3084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- x e. _V
101	99, 100	f1osn 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { <. y , x >. } : { y } -1-1-onto-> { x }
102		f1oen3g 7589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( { <. y , x >. } e. _V /\ { <. y , x >. } : { y } -1-1-onto-> { x } ) -> { y } ~~ { x } )
103	98, 101, 102	mp2an 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- { y } ~~ { x }
104	103	jctr 544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( w \ { y } ) ~~ x -> ( ( w \ { y } ) ~~ x /\ { y } ~~ { x } ) )
105		nnord 6711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. om -> Ord x )
106		orddisj 5477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Ord x -> ( x i^i { x } ) = (/) )
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. om -> ( x i^i { x } ) = (/) )
108		incom 3655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( { y } i^i ( w \ { y } ) ) = ( ( w \ { y } ) i^i { y } )
109		disjdif 3867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( { y } i^i ( w \ { y } ) ) = (/)
110	108, 109	eqtr3i 2453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( w \ { y } ) i^i { y } ) = (/)
111	107, 110	jctil 539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. om -> ( ( ( w \ { y } ) i^i { y } ) = (/) /\ ( x i^i { x } ) = (/) ) )
112		unen 7656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( w \ { y } ) ~~ x /\ { y } ~~ { x } ) /\ ( ( ( w \ { y } ) i^i { y } ) = (/) /\ ( x i^i { x } ) = (/) ) ) -> ( ( w \ { y } ) u. { y } ) ~~ ( x u. { x } ) )
113	104, 111, 112	syl2an 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( w \ { y } ) ~~ x /\ x e. om ) -> ( ( w \ { y } ) u. { y } ) ~~ ( x u. { x } ) )
114		difsnid 4143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. w -> ( ( w \ { y } ) u. { y } ) = w )
115	114	eqcomd 2430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. w -> w = ( ( w \ { y } ) u. { y } ) )
116		df-suc 5445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- suc x = ( x u. { x } )
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. w -> suc x = ( x u. { x } ) )
118	115, 117	breq12d 4433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. w -> ( w ~~ suc x <-> ( ( w \ { y } ) u. { y } ) ~~ ( x u. { x } ) ) )
119	113, 118	syl5ibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. w -> ( ( ( w \ { y } ) ~~ x /\ x e. om ) -> w ~~ suc x ) )
120	97, 119	sylan2i 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. w -> ( ( ( w \ { y } ) ~~ x /\ ( x e. y /\ y e. om ) ) -> w ~~ suc x ) )
121	120	exp4d 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. w -> ( ( w \ { y } ) ~~ x -> ( x e. y -> ( y e. om -> w ~~ suc x ) ) ) )
122	121	com24 90	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. w -> ( y e. om -> ( x e. y -> ( ( w \ { y } ) ~~ x -> w ~~ suc x ) ) ) )
123	122	imp4b 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) -> w ~~ suc x ) )
124	96, 123	jcad 535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) -> ( suc x e. suc y /\ w ~~ suc x ) ) )
125		breq2 4424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = suc x -> ( w ~~ z <-> w ~~ suc x ) )
126	125	rspcev 3182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( suc x e. suc y /\ w ~~ suc x ) -> E. z e. suc y w ~~ z )
127	124, 126	syl6 34	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) -> E. z e. suc y w ~~ z ) )
128	127	exlimdv 1768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( E. x ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) -> E. z e. suc y w ~~ z ) )
129		df-rex 2781	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x <-> E. x ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) )
130		breq2 4424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( w ~~ x <-> w ~~ z ) )
131	130	cbvrexv 3056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. suc y w ~~ x <-> E. z e. suc y w ~~ z )
132	128, 129, 131	3imtr4g 273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x -> E. x e. suc y w ~~ x ) )
133	132	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. w /\ y e. om ) /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x -> E. x e. suc y w ~~ x ) )
134	91, 133	syld 45	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. w /\ y e. om ) /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) )
135	134	expl 622	. . . . . . . . 9 |- ( y e. w -> ( ( y e. om /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
136	82	eqelsuc 5520	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> w e. suc y )
137	82	enref 7606	. . . . . . . . . . 11 |- w ~~ w
138		breq2 4424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( w ~~ x <-> w ~~ w ) )
139	138	rspcev 3182	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. suc y /\ w ~~ w ) -> E. x e. suc y w ~~ x )
140	136, 137, 139	sylancl 666	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> E. x e. suc y w ~~ x )
141	140	2a1d 27	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( ( y e. om /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
142	50, 135, 141	pm2.61ii 168	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) )
143	142	ex 435	. . . . . . 7 |- ( y e. om -> ( A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
144	24, 25, 143	alrimd 1932	. . . . . 6 |- ( y e. om -> ( A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> A. w ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
145	8, 12, 16, 20, 23, 144	finds 6730	. . . . 5 |- ( A e. om -> A. w ( w C. A -> E. x e. A w ~~ x ) )
146		psseq1 3552	. . . . . . 7 |- ( w = B -> ( w C. A <-> B C. A ) )
147		breq1 4423	. . . . . . . 8 |- ( w = B -> ( w ~~ x <-> B ~~ x ) )
148	147	rexbidv 2939	. . . . . . 7 |- ( w = B -> ( E. x e. A w ~~ x <-> E. x e. A B ~~ x ) )
149	146, 148	imbi12d 321	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( ( w C. A -> E. x e. A w ~~ x ) <-> ( B C. A -> E. x e. A B ~~ x ) ) )
150	149	spcgv 3166	. . . . 5 |- ( B e. _V -> ( A. w ( w C. A -> E. x e. A w ~~ x ) -> ( B C. A -> E. x e. A B ~~ x ) ) )
151	145, 150	syl5 33	. . . 4 |- ( B e. _V -> ( A e. om -> ( B C. A -> E. x e. A B ~~ x ) ) )
152	151	com3l 84	. . 3 |- ( A e. om -> ( B C. A -> ( B e. _V -> E. x e. A B ~~ x ) ) )
153	152	imp 430	. 2 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> ( B e. _V -> E. x e. A B ~~ x ) )
154	4, 153	mpd 15	1 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> E. x e. A B ~~ x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 370   A.wal 1435   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1868   E.wrex 2776   _Vcvv 3081   \ cdif 3433   u. cun 3434   i^i cin 3435   C_ wss 3436   C. wpss 3437   (/)c0 3761   {csn 3996   <.cop 4002   class class class wbr 4420   Ord word 5438   suc csuc 5441   -1-1-onto->wf1o 5597   omcom 6703   ~~ cen 7571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-om 6704  df-en 7575

This theorem is referenced by:  ssnnfi  7794