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Theorem pssnn 7816
Description: A proper subset of a natural number is equinumerous to some smaller number. Lemma 6F of [Enderton] p. 137. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
pssnn  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem pssnn
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssss 3540 . . . 4  |-  ( B 
C.  A  ->  B  C_  A )
2 ssexg 4563 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  om )  ->  B  e.  _V )
31, 2sylan 478 . . 3  |-  ( ( B  C.  A  /\  A  e.  om )  ->  B  e.  _V )
43ancoms 459 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  B  e.  _V )
5 psseq2 3533 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (/)  ->  ( w 
C.  z  <->  w  C.  (/) ) )
6 rexeq 3000 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (/)  ->  ( E. x  e.  z  w 
~~  x  <->  E. x  e.  (/)  w  ~~  x
) )
75, 6imbi12d 326 . . . . . . 7  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w 
~~  x )  <->  ( w  C.  (/)  ->  E. x  e.  (/)  w  ~~  x ) ) )
87albidv 1778 . . . . . 6  |-  ( z  =  (/)  ->  ( A. w ( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w  ~~  x )  <->  A. w ( w  C.  (/) 
->  E. x  e.  (/)  w  ~~  x ) ) )
9 psseq2 3533 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
w  C.  z  <->  w  C.  y
) )
10 rexeq 3000 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( E. x  e.  z  w  ~~  x  <->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )
119, 10imbi12d 326 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w  ~~  x )  <-> 
( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) ) )
1211albidv 1778 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  ( A. w ( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w  ~~  x )  <->  A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) ) )
13 psseq2 3533 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( w  C.  z  <->  w 
C.  suc  y )
)
14 rexeq 3000 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( E. x  e.  z  w  ~~  x  <->  E. x  e.  suc  y
w  ~~  x )
)
1513, 14imbi12d 326 . . . . . . 7  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( ( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w  ~~  x )  <-> 
( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) )
1615albidv 1778 . . . . . 6  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( A. w ( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w 
~~  x )  <->  A. w
( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) )
17 psseq2 3533 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  (
w  C.  z  <->  w  C.  A
) )
18 rexeq 3000 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  ( E. x  e.  z  w  ~~  x  <->  E. x  e.  A  w  ~~  x ) )
1917, 18imbi12d 326 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  (
( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w  ~~  x )  <-> 
( w  C.  A  ->  E. x  e.  A  w  ~~  x ) ) )
2019albidv 1778 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( A. w ( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w  ~~  x )  <->  A. w ( w  C.  A  ->  E. x  e.  A  w  ~~  x ) ) )
21 npss0 3815 . . . . . . . 8  |-  -.  w  C.  (/)
2221pm2.21i 136 . . . . . . 7  |-  ( w 
C.  (/)  ->  E. x  e.  (/)  w  ~~  x
)
2322ax-gen 1680 . . . . . 6  |-  A. w
( w  C.  (/)  ->  E. x  e.  (/)  w  ~~  x
)
24 nfv 1772 . . . . . . 7  |-  F/ w  y  e.  om
25 nfa1 1990 . . . . . . 7  |-  F/ w A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )
26 elequ1 1905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  w  <->  y  e.  w ) )
2726biimpcd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  w  ->  (
z  =  y  -> 
y  e.  w ) )
2827con3d 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  w  ->  ( -.  y  e.  w  ->  -.  z  =  y ) )
2928adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  C.  suc  y  /\  z  e.  w )  ->  ( -.  y  e.  w  ->  -.  z  =  y ) )
30 pssss 3540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w 
C.  suc  y  ->  w 
C_  suc  y )
3130sseld 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w 
C.  suc  y  ->  ( z  e.  w  -> 
z  e.  suc  y
) )
32 elsuci 5508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  suc  y  -> 
( z  e.  y  \/  z  =  y ) )
3332ord 383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  suc  y  -> 
( -.  z  e.  y  ->  z  =  y ) )
3433con1d 129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  suc  y  -> 
( -.  z  =  y  ->  z  e.  y ) )
3531, 34syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w 
C.  suc  y  ->  ( z  e.  w  -> 
( -.  z  =  y  ->  z  e.  y ) ) )
3635imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  C.  suc  y  /\  z  e.  w )  ->  ( -.  z  =  y  ->  z  e.  y ) )
3729, 36syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  C.  suc  y  /\  z  e.  w )  ->  ( -.  y  e.  w  ->  z  e.  y ) )
3837impancom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  C.  suc  y  /\  -.  y  e.  w
)  ->  ( z  e.  w  ->  z  e.  y ) )
3938ssrdv 3450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  C.  suc  y  /\  -.  y  e.  w
)  ->  w  C_  y
)
4039anim1i 576 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  C.  suc  y  /\  -.  y  e.  w
)  /\  -.  w  =  y )  -> 
( w  C_  y  /\  -.  w  =  y ) )
41 dfpss2 3530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w 
C.  y  <->  ( w  C_  y  /\  -.  w  =  y ) )
4240, 41sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  C.  suc  y  /\  -.  y  e.  w
)  /\  -.  w  =  y )  ->  w  C.  y )
43 elelsuc 5514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  y  ->  x  e.  suc  y )
4443anim1i 576 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  y  /\  w  ~~  x )  -> 
( x  e.  suc  y  /\  w  ~~  x
) )
4544reximi2 2866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  y  w 
~~  x  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x )
4642, 45imim12i 59 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w 
~~  x )  -> 
( ( ( w 
C.  suc  y  /\  -.  y  e.  w
)  /\  -.  w  =  y )  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) )
4746exp4c 617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w 
~~  x )  -> 
( w  C.  suc  y  ->  ( -.  y  e.  w  ->  ( -.  w  =  y  ->  E. x  e.  suc  y
w  ~~  x )
) ) )
4847sps 1954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  ( -.  y  e.  w  -> 
( -.  w  =  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) ) )
4948adantl 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )  ->  ( w  C. 
suc  y  ->  ( -.  y  e.  w  ->  ( -.  w  =  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) ) )
5049com4t 88 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  w  -> 
( -.  w  =  y  ->  ( (
y  e.  om  /\  A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )  ->  ( w  C. 
suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) ) )
51 anidm 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  C.  suc  y  /\  w  C.  suc  y )  <-> 
w  C.  suc  y )
52 ssdif 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w 
C_  suc  y  ->  ( w  \  { y } )  C_  ( suc  y  \  { y } ) )
53 nnord 6727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  om  ->  Ord  y )
54 orddif 5535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord  y  ->  y  =  ( suc  y  \  {
y } ) )
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  om  ->  y  =  ( suc  y  \  { y } ) )
5655sseq2d 3472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  om  ->  (
( w  \  {
y } )  C_  y 
<->  ( w  \  {
y } )  C_  ( suc  y  \  {
y } ) ) )
5752, 56syl5ibr 229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  om  ->  (
w  C_  suc  y  -> 
( w  \  {
y } )  C_  y ) )
5830, 57syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  om  ->  (
w  C.  suc  y  -> 
( w  \  {
y } )  C_  y ) )
59 pssnel 3844 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w 
C.  suc  y  ->  E. z ( z  e. 
suc  y  /\  -.  z  e.  w )
)
60 eleq2 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( w  \  { y } )  =  y  ->  ( z  e.  ( w  \  {
y } )  <->  z  e.  y ) )
61 eldifi 3567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  ( w  \  { y } )  ->  z  e.  w
)
6260, 61syl6bir 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( w  \  { y } )  =  y  ->  ( z  e.  y  ->  z  e.  w ) )
6362adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  z  e.  suc  y )  /\  (
w  \  { y } )  =  y )  ->  ( z  e.  y  ->  z  e.  w ) )
64 eleq1a 2535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  w  ->  (
z  =  y  -> 
z  e.  w ) )
6533, 64sylan9r 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  w  /\  z  e.  suc  y )  ->  ( -.  z  e.  y  ->  z  e.  w ) )
6665adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  z  e.  suc  y )  /\  (
w  \  { y } )  =  y )  ->  ( -.  z  e.  y  ->  z  e.  w ) )
6763, 66pm2.61d 163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  z  e.  suc  y )  /\  (
w  \  { y } )  =  y )  ->  z  e.  w )
6867ex 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  w  /\  z  e.  suc  y )  ->  ( ( w 
\  { y } )  =  y  -> 
z  e.  w ) )
6968con3d 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  w  /\  z  e.  suc  y )  ->  ( -.  z  e.  w  ->  -.  (
w  \  { y } )  =  y ) )
7069expimpd 612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  w  ->  (
( z  e.  suc  y  /\  -.  z  e.  w )  ->  -.  ( w  \  { y } )  =  y ) )
7170exlimdv 1790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  w  ->  ( E. z ( z  e. 
suc  y  /\  -.  z  e.  w )  ->  -.  ( w  \  { y } )  =  y ) )
7259, 71syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  w  ->  (
w  C.  suc  y  ->  -.  ( w  \  {
y } )  =  y ) )
7358, 72im2anan9r 852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( ( w  C.  suc  y  /\  w  C. 
suc  y )  -> 
( ( w  \  { y } ) 
C_  y  /\  -.  ( w  \  { y } )  =  y ) ) )
7451, 73syl5bir 226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  ( ( w  \  { y } ) 
C_  y  /\  -.  ( w  \  { y } )  =  y ) ) )
75 dfpss2 3530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  \  { y } )  C.  y  <->  ( ( w  \  {
y } )  C_  y  /\  -.  ( w 
\  { y } )  =  y ) )
7674, 75syl6ibr 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  ( w  \  {
y } )  C.  y ) )
77 psseq1 3532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  z  ->  (
w  C.  y  <->  z  C.  y
) )
78 breq1 4419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  z  ->  (
w  ~~  x  <->  z  ~~  x ) )
7978rexbidv 2913 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  z  ->  ( E. x  e.  y  w  ~~  x  <->  E. x  e.  y  z  ~~  x ) )
8077, 79imbi12d 326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  (
( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )  <-> 
( z  C.  y  ->  E. x  e.  y  z  ~~  x ) ) )
8180cbvalv 2127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )  <->  A. z ( z  C.  y  ->  E. x  e.  y  z  ~~  x ) )
82 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  w  e. 
_V
83 difss 3572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w 
\  { y } )  C_  w
8482, 83ssexi 4562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w 
\  { y } )  e.  _V
85 psseq1 3532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( w  \  { y } )  ->  ( z  C.  y 
<->  ( w  \  {
y } )  C.  y ) )
86 breq1 4419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  \  { y } )  ->  ( z  ~~  x 
<->  ( w  \  {
y } )  ~~  x ) )
8786rexbidv 2913 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( w  \  { y } )  ->  ( E. x  e.  y  z  ~~  x 
<->  E. x  e.  y  ( w  \  {
y } )  ~~  x ) )
8885, 87imbi12d 326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( w  \  { y } )  ->  ( ( z 
C.  y  ->  E. x  e.  y  z  ~~  x )  <->  ( (
w  \  { y } )  C.  y  ->  E. x  e.  y  ( w  \  {
y } )  ~~  x ) ) )
8984, 88spcv 3152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z ( z  C.  y  ->  E. x  e.  y  z  ~~  x )  ->  ( ( w 
\  { y } )  C.  y  ->  E. x  e.  y  ( w  \  { y } )  ~~  x
) )
9081, 89sylbi 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )  ->  ( ( w 
\  { y } )  C.  y  ->  E. x  e.  y  ( w  \  { y } )  ~~  x
) )
9176, 90sylan9 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  /\  A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w 
~~  x ) )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  y  ( w  \  { y } ) 
~~  x ) )
92 ordsucelsuc 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Ord  y  ->  ( x  e.  y  <->  suc  x  e.  suc  y ) )
9392biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord  y  ->  ( x  e.  y  ->  suc  x  e.  suc  y ) )
9453, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  om  ->  (
x  e.  y  ->  suc  x  e.  suc  y
) )
9594adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( x  e.  y  ->  suc  x  e.  suc  y ) )
9695adantrd 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( ( x  e.  y  /\  ( w 
\  { y } )  ~~  x )  ->  suc  x  e.  suc  y ) )
97 elnn 6729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  om )  ->  x  e.  om )
98 snex 4655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { <. y ,  x >. }  e.  _V
99 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  y  e. 
_V
100 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  x  e. 
_V
10199, 100f1osn 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { <. y ,  x >. } : { y } -1-1-onto-> { x }
102 f1oen3g 7611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( { <. y ,  x >. }  e.  _V  /\  {
<. y ,  x >. } : { y } -1-1-onto-> { x } )  ->  { y }  ~~  { x } )
10398, 101, 102mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  { y }  ~~  { x }
104103jctr 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( w  \  { y } )  ~~  x  ->  ( ( w  \  { y } ) 
~~  x  /\  {
y }  ~~  {
x } ) )
105 nnord 6727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  om  ->  Ord  x )
106 orddisj 5480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Ord  x  ->  ( x  i^i  { x } )  =  (/) )
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  i^i  { x } )  =  (/) )
108 incom 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( { y }  i^i  (
w  \  { y } ) )  =  ( ( w  \  { y } )  i^i  { y } )
109 disjdif 3851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( { y }  i^i  (
w  \  { y } ) )  =  (/)
110108, 109eqtr3i 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( w  \  { y } )  i^i  {
y } )  =  (/)
111107, 110jctil 544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  om  ->  (
( ( w  \  { y } )  i^i  { y } )  =  (/)  /\  (
x  i^i  { x } )  =  (/) ) )
112 unen 7678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( w  \  { y } ) 
~~  x  /\  {
y }  ~~  {
x } )  /\  ( ( ( w 
\  { y } )  i^i  { y } )  =  (/)  /\  ( x  i^i  {
x } )  =  (/) ) )  ->  (
( w  \  {
y } )  u. 
{ y } ) 
~~  ( x  u. 
{ x } ) )
113104, 111, 112syl2an 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( w  \  {
y } )  ~~  x  /\  x  e.  om )  ->  ( ( w 
\  { y } )  u.  { y } )  ~~  (
x  u.  { x } ) )
114 difsnid 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  w  ->  (
( w  \  {
y } )  u. 
{ y } )  =  w )
115114eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  w  ->  w  =  ( ( w 
\  { y } )  u.  { y } ) )
116 df-suc 5448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  suc  x  =  ( x  u. 
{ x } )
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  w  ->  suc  x  =  ( x  u.  { x } ) )
118115, 117breq12d 4429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  w  ->  (
w  ~~  suc  x  <->  ( (
w  \  { y } )  u.  {
y } )  ~~  ( x  u.  { x } ) ) )
119113, 118syl5ibr 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  w  ->  (
( ( w  \  { y } ) 
~~  x  /\  x  e.  om )  ->  w  ~~  suc  x ) )
12097, 119sylan2i 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  w  ->  (
( ( w  \  { y } ) 
~~  x  /\  (
x  e.  y  /\  y  e.  om )
)  ->  w  ~~  suc  x ) )
121120exp4d 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  w  ->  (
( w  \  {
y } )  ~~  x  ->  ( x  e.  y  ->  ( y  e.  om  ->  w  ~~  suc  x ) ) ) )
122121com24 90 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  w  ->  (
y  e.  om  ->  ( x  e.  y  -> 
( ( w  \  { y } ) 
~~  x  ->  w  ~~  suc  x ) ) ) )
123122imp4b 599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( ( x  e.  y  /\  ( w 
\  { y } )  ~~  x )  ->  w  ~~  suc  x ) )
12496, 123jcad 540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( ( x  e.  y  /\  ( w 
\  { y } )  ~~  x )  ->  ( suc  x  e.  suc  y  /\  w  ~~  suc  x ) ) )
125 breq2 4420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( w  ~~  z  <->  w 
~~  suc  x )
)
126125rspcev 3162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( suc  x  e.  suc  y  /\  w  ~~  suc  x )  ->  E. z  e.  suc  y w  ~~  z )
127124, 126syl6 34 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( ( x  e.  y  /\  ( w 
\  { y } )  ~~  x )  ->  E. z  e.  suc  y w  ~~  z ) )
128127exlimdv 1790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( E. x ( x  e.  y  /\  ( w  \  { y } )  ~~  x
)  ->  E. z  e.  suc  y w  ~~  z ) )
129 df-rex 2755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  y  ( w  \  { y } )  ~~  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ( w 
\  { y } )  ~~  x ) )
130 breq2 4420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
w  ~~  x  <->  w  ~~  z ) )
131130cbvrexv 3032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  suc  y
w  ~~  x  <->  E. z  e.  suc  y w  ~~  z )
132128, 129, 1313imtr4g 278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( E. x  e.  y  ( w  \  { y } ) 
~~  x  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) )
133132adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  /\  A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w 
~~  x ) )  ->  ( E. x  e.  y  ( w  \  { y } ) 
~~  x  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) )
13491, 133syld 45 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  /\  A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w 
~~  x ) )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) )
135134expl 628 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  w  ->  (
( y  e.  om  /\ 
A. w ( w 
C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )  -> 
( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) )
13682eqelsuc 5523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  w  e.  suc  y )
13782enref 7628 . . . . . . . . . . 11  |-  w  ~~  w
138 breq2 4420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  (
w  ~~  x  <->  w  ~~  w ) )
139138rspcev 3162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  suc  y  /\  w  ~~  w )  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x )
140136, 137, 139sylancl 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x )
1411402a1d 27 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
( y  e.  om  /\ 
A. w ( w 
C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )  -> 
( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) )
14250, 135, 141pm2.61ii 170 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )  ->  ( w  C. 
suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) )
143142ex 440 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  ( A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) )
14424, 25, 143alrimd 1970 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  ( A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )  ->  A. w ( w 
C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y
w  ~~  x )
) )
1458, 12, 16, 20, 23, 144finds 6746 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  A. w
( w  C.  A  ->  E. x  e.  A  w  ~~  x ) )
146 psseq1 3532 . . . . . . 7  |-  ( w  =  B  ->  (
w  C.  A  <->  B  C.  A
) )
147 breq1 4419 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  B  ->  (
w  ~~  x  <->  B  ~~  x ) )
148147rexbidv 2913 . . . . . . 7  |-  ( w  =  B  ->  ( E. x  e.  A  w  ~~  x  <->  E. x  e.  A  B  ~~  x ) )
149146, 148imbi12d 326 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
( w  C.  A  ->  E. x  e.  A  w  ~~  x )  <->  ( B  C.  A  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x ) ) )
150149spcgv 3146 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A. w ( w  C.  A  ->  E. x  e.  A  w  ~~  x )  -> 
( B  C.  A  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x ) ) )
151145, 150syl5 33 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A  e.  om  ->  ( B  C.  A  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x ) ) )
152151com3l 84 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  C.  A  ->  ( B  e.  _V  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x ) ) )
153152imp 435 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  -> 
( B  e.  _V  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x ) )
1544, 153mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 375   A.wal 1453    = wceq 1455   E.wex 1674    e. wcel 1898   E.wrex 2750   _Vcvv 3057    \ cdif 3413    u. cun 3414    i^i cin 3415    C_ wss 3416    C. wpss 3417   (/)c0 3743   {csn 3980   <.cop 3986   class class class wbr 4416   Ord word 5441   suc csuc 5444   -1-1-onto->wf1o 5600   omcom 6719    ~~ cen 7592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4417  df-opab 4476  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-om 6720  df-en 7596
This theorem is referenced by:  ssnnfi  7817
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