Theorem pssnn 7286

Description: A proper subset of a natural number is equinumerous to some smaller number. Lemma 6F of [Enderton] p. 137. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pssnn	|- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> E. x e. A B ~~ x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem pssnn

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssss 3402	. . . 4 |- ( B C. A -> B C_ A )
2		ssexg 4309	. . . 4 |- ( ( B C_ A /\ A e. om ) -> B e. _V )
3	1, 2	sylan 458	. . 3 |- ( ( B C. A /\ A e. om ) -> B e. _V )
4	3	ancoms 440	. 2 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B e. _V )
5		psseq2 3395	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> ( w C. z <-> w C. (/) ) )
6		rexeq 2865	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> ( E. x e. z w ~~ x <-> E. x e. (/) w ~~ x ) )
7	5, 6	imbi12d 312	. . . . . . 7 |- ( z = (/) -> ( ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> ( w C. (/) -> E. x e. (/) w ~~ x ) ) )
8	7	albidv 1632	. . . . . 6 |- ( z = (/) -> ( A. w ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> A. w ( w C. (/) -> E. x e. (/) w ~~ x ) ) )
9		psseq2 3395	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( w C. z <-> w C. y ) )
10		rexeq 2865	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( E. x e. z w ~~ x <-> E. x e. y w ~~ x ) )
11	9, 10	imbi12d 312	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) )
12	11	albidv 1632	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( A. w ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) )
13		psseq2 3395	. . . . . . . 8 |- ( z = suc y -> ( w C. z <-> w C. suc y ) )
14		rexeq 2865	. . . . . . . 8 |- ( z = suc y -> ( E. x e. z w ~~ x <-> E. x e. suc y w ~~ x ) )
15	13, 14	imbi12d 312	. . . . . . 7 |- ( z = suc y -> ( ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
16	15	albidv 1632	. . . . . 6 |- ( z = suc y -> ( A. w ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> A. w ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
17		psseq2 3395	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( w C. z <-> w C. A ) )
18		rexeq 2865	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( E. x e. z w ~~ x <-> E. x e. A w ~~ x ) )
19	17, 18	imbi12d 312	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> ( w C. A -> E. x e. A w ~~ x ) ) )
20	19	albidv 1632	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( A. w ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> A. w ( w C. A -> E. x e. A w ~~ x ) ) )
21		npss0 3626	. . . . . . . 8 |- -. w C. (/)
22	21	pm2.21i 125	. . . . . . 7 |- ( w C. (/) -> E. x e. (/) w ~~ x )
23	22	ax-gen 1552	. . . . . 6 |- A. w ( w C. (/) -> E. x e. (/) w ~~ x )
24		nfv 1626	. . . . . . 7 |- F/ w y e. om
25		nfa1 1802	. . . . . . 7 |- F/ w A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x )
26		elequ1 1724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = y -> ( z e. w <-> y e. w ) )
27	26	biimpcd 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. w -> ( z = y -> y e. w ) )
28	27	con3d 127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. w -> ( -. y e. w -> -. z = y ) )
29	28	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( w C. suc y /\ z e. w ) -> ( -. y e. w -> -. z = y ) )
30		pssss 3402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w C. suc y -> w C_ suc y )
31	30	sseld 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w C. suc y -> ( z e. w -> z e. suc y ) )
32		elsuci 4607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. suc y -> ( z e. y \/ z = y ) )
33	32	ord 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. suc y -> ( -. z e. y -> z = y ) )
34	33	con1d 118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. suc y -> ( -. z = y -> z e. y ) )
35	31, 34	syl6 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w C. suc y -> ( z e. w -> ( -. z = y -> z e. y ) ) )
36	35	imp 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( w C. suc y /\ z e. w ) -> ( -. z = y -> z e. y ) )
37	29, 36	syld 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( w C. suc y /\ z e. w ) -> ( -. y e. w -> z e. y ) )
38	37	impancom 428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w C. suc y /\ -. y e. w ) -> ( z e. w -> z e. y ) )
39	38	ssrdv 3314	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w C. suc y /\ -. y e. w ) -> w C_ y )
40	39	anim1i 552	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w C. suc y /\ -. y e. w ) /\ -. w = y ) -> ( w C_ y /\ -. w = y ) )
41		dfpss2 3392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w C. y <-> ( w C_ y /\ -. w = y ) )
42	40, 41	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( w C. suc y /\ -. y e. w ) /\ -. w = y ) -> w C. y )
43		elelsuc 4613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. y -> x e. suc y )
44	43	anim1i 552	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. y /\ w ~~ x ) -> ( x e. suc y /\ w ~~ x ) )
45	44	reximi2 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. x e. y w ~~ x -> E. x e. suc y w ~~ x )
46	42, 45	imim12i 55	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> ( ( ( w C. suc y /\ -. y e. w ) /\ -. w = y ) -> E. x e. suc y w ~~ x ) )
47	46	exp4c 592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> ( w C. suc y -> ( -. y e. w -> ( -. w = y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) ) )
48	47	sps 1766	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> ( w C. suc y -> ( -. y e. w -> ( -. w = y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) ) )
49	48	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> ( -. y e. w -> ( -. w = y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) ) )
50	49	com4t 81	. . . . . . . . 9 |- ( -. y e. w -> ( -. w = y -> ( ( y e. om /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) ) )
51		anidm 626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w C. suc y /\ w C. suc y ) <-> w C. suc y )
52		ssdif 3442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w C_ suc y -> ( w \ { y } ) C_ ( suc y \ { y } ) )
53		nnord 4812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. om -> Ord y )
54		orddif 4634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord y -> y = ( suc y \ { y } ) )
55	53, 54	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. om -> y = ( suc y \ { y } ) )
56	55	sseq2d 3336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. om -> ( ( w \ { y } ) C_ y <-> ( w \ { y } ) C_ ( suc y \ { y } ) ) )
57	52, 56	syl5ibr 213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. om -> ( w C_ suc y -> ( w \ { y } ) C_ y ) )
58	30, 57	syl5 30	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. om -> ( w C. suc y -> ( w \ { y } ) C_ y ) )
59		pssnel 3653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w C. suc y -> E. z ( z e. suc y /\ -. z e. w ) )
60		eleq2 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( w \ { y } ) = y -> ( z e. ( w \ { y } ) <-> z e. y ) )
61		eldifi 3429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. ( w \ { y } ) -> z e. w )
62	60, 61	syl6bir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( w \ { y } ) = y -> ( z e. y -> z e. w ) )
63	62	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. w /\ z e. suc y ) /\ ( w \ { y } ) = y ) -> ( z e. y -> z e. w ) )
64		eleq1a 2473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. w -> ( z = y -> z e. w ) )
65	33, 64	sylan9r 640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. w /\ z e. suc y ) -> ( -. z e. y -> z e. w ) )
66	65	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. w /\ z e. suc y ) /\ ( w \ { y } ) = y ) -> ( -. z e. y -> z e. w ) )
67	63, 66	pm2.61d 152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y e. w /\ z e. suc y ) /\ ( w \ { y } ) = y ) -> z e. w )
68	67	ex 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. w /\ z e. suc y ) -> ( ( w \ { y } ) = y -> z e. w ) )
69	68	con3d 127	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. w /\ z e. suc y ) -> ( -. z e. w -> -. ( w \ { y } ) = y ) )
70	69	expimpd 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. w -> ( ( z e. suc y /\ -. z e. w ) -> -. ( w \ { y } ) = y ) )
71	70	exlimdv 1643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. w -> ( E. z ( z e. suc y /\ -. z e. w ) -> -. ( w \ { y } ) = y ) )
72	59, 71	syl5 30	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. w -> ( w C. suc y -> -. ( w \ { y } ) = y ) )
73	58, 72	im2anan9r 810	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( ( w C. suc y /\ w C. suc y ) -> ( ( w \ { y } ) C_ y /\ -. ( w \ { y } ) = y ) ) )
74	51, 73	syl5bir 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( w C. suc y -> ( ( w \ { y } ) C_ y /\ -. ( w \ { y } ) = y ) ) )
75		dfpss2 3392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w \ { y } ) C. y <-> ( ( w \ { y } ) C_ y /\ -. ( w \ { y } ) = y ) )
76	74, 75	syl6ibr 219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( w C. suc y -> ( w \ { y } ) C. y ) )
77		psseq1 3394	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = z -> ( w C. y <-> z C. y ) )
78		breq1 4175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = z -> ( w ~~ x <-> z ~~ x ) )
79	78	rexbidv 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = z -> ( E. x e. y w ~~ x <-> E. x e. y z ~~ x ) )
80	77, 79	imbi12d 312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = z -> ( ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) <-> ( z C. y -> E. x e. y z ~~ x ) ) )
81	80	cbvalv 2052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) <-> A. z ( z C. y -> E. x e. y z ~~ x ) )
82		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- w e. _V
83		difss 3434	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w \ { y } ) C_ w
84	82, 83	ssexi 4308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w \ { y } ) e. _V
85		psseq1 3394	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( w \ { y } ) -> ( z C. y <-> ( w \ { y } ) C. y ) )
86		breq1 4175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( w \ { y } ) -> ( z ~~ x <-> ( w \ { y } ) ~~ x ) )
87	86	rexbidv 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( w \ { y } ) -> ( E. x e. y z ~~ x <-> E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x ) )
88	85, 87	imbi12d 312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( w \ { y } ) -> ( ( z C. y -> E. x e. y z ~~ x ) <-> ( ( w \ { y } ) C. y -> E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x ) ) )
89	84, 88	spcv 3002	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z ( z C. y -> E. x e. y z ~~ x ) -> ( ( w \ { y } ) C. y -> E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x ) )
90	81, 89	sylbi 188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> ( ( w \ { y } ) C. y -> E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x ) )
91	76, 90	sylan9 639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. w /\ y e. om ) /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x ) )
92		ordsucelsuc 4761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Ord y -> ( x e. y <-> suc x e. suc y ) )
93	92	biimpd 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord y -> ( x e. y -> suc x e. suc y ) )
94	53, 93	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. om -> ( x e. y -> suc x e. suc y ) )
95	94	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( x e. y -> suc x e. suc y ) )
96	95	adantrd 455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) -> suc x e. suc y ) )
97		elnn 4814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
98		snex 4365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { <. y , x >. } e. _V
99		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- y e. _V
100		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- x e. _V
101	99, 100	f1osn 5674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { <. y , x >. } : { y } -1-1-onto-> { x }
102		f1oen3g 7082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( { <. y , x >. } e. _V /\ { <. y , x >. } : { y } -1-1-onto-> { x } ) -> { y } ~~ { x } )
103	98, 101, 102	mp2an 654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- { y } ~~ { x }
104	103	jctr 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( w \ { y } ) ~~ x -> ( ( w \ { y } ) ~~ x /\ { y } ~~ { x } ) )
105		nnord 4812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. om -> Ord x )
106		orddisj 4579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Ord x -> ( x i^i { x } ) = (/) )
107	105, 106	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. om -> ( x i^i { x } ) = (/) )
108		incom 3493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( { y } i^i ( w \ { y } ) ) = ( ( w \ { y } ) i^i { y } )
109		disjdif 3660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( { y } i^i ( w \ { y } ) ) = (/)
110	108, 109	eqtr3i 2426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( w \ { y } ) i^i { y } ) = (/)
111	107, 110	jctil 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. om -> ( ( ( w \ { y } ) i^i { y } ) = (/) /\ ( x i^i { x } ) = (/) ) )
112		unen 7148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( w \ { y } ) ~~ x /\ { y } ~~ { x } ) /\ ( ( ( w \ { y } ) i^i { y } ) = (/) /\ ( x i^i { x } ) = (/) ) ) -> ( ( w \ { y } ) u. { y } ) ~~ ( x u. { x } ) )
113	104, 111, 112	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( w \ { y } ) ~~ x /\ x e. om ) -> ( ( w \ { y } ) u. { y } ) ~~ ( x u. { x } ) )
114		difsnid 3904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. w -> ( ( w \ { y } ) u. { y } ) = w )
115	114	eqcomd 2409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. w -> w = ( ( w \ { y } ) u. { y } ) )
116		df-suc 4547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- suc x = ( x u. { x } )
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. w -> suc x = ( x u. { x } ) )
118	115, 117	breq12d 4185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. w -> ( w ~~ suc x <-> ( ( w \ { y } ) u. { y } ) ~~ ( x u. { x } ) ) )
119	113, 118	syl5ibr 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. w -> ( ( ( w \ { y } ) ~~ x /\ x e. om ) -> w ~~ suc x ) )
120	97, 119	sylan2i 637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. w -> ( ( ( w \ { y } ) ~~ x /\ ( x e. y /\ y e. om ) ) -> w ~~ suc x ) )
121	120	exp4d 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. w -> ( ( w \ { y } ) ~~ x -> ( x e. y -> ( y e. om -> w ~~ suc x ) ) ) )
122	121	com24 83	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. w -> ( y e. om -> ( x e. y -> ( ( w \ { y } ) ~~ x -> w ~~ suc x ) ) ) )
123	122	imp4b 574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) -> w ~~ suc x ) )
124	96, 123	jcad 520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) -> ( suc x e. suc y /\ w ~~ suc x ) ) )
125		breq2 4176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = suc x -> ( w ~~ z <-> w ~~ suc x ) )
126	125	rspcev 3012	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( suc x e. suc y /\ w ~~ suc x ) -> E. z e. suc y w ~~ z )
127	124, 126	syl6 31	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) -> E. z e. suc y w ~~ z ) )
128	127	exlimdv 1643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( E. x ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) -> E. z e. suc y w ~~ z ) )
129		df-rex 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x <-> E. x ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) )
130		breq2 4176	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( w ~~ x <-> w ~~ z ) )
131	130	cbvrexv 2893	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. suc y w ~~ x <-> E. z e. suc y w ~~ z )
132	128, 129, 131	3imtr4g 262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x -> E. x e. suc y w ~~ x ) )
133	132	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. w /\ y e. om ) /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x -> E. x e. suc y w ~~ x ) )
134	91, 133	syld 42	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. w /\ y e. om ) /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) )
135	134	expl 602	. . . . . . . . 9 |- ( y e. w -> ( ( y e. om /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
136	82	eqelsuc 4622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = y -> w e. suc y )
137	82	enref 7099	. . . . . . . . . . . 12 |- w ~~ w
138		breq2 4176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( w ~~ x <-> w ~~ w ) )
139	138	rspcev 3012	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. suc y /\ w ~~ w ) -> E. x e. suc y w ~~ x )
140	136, 137, 139	sylancl 644	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> E. x e. suc y w ~~ x )
141	140	a1d 23	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) )
142	141	a1d 23	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( ( y e. om /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
143	50, 135, 142	pm2.61ii 159	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) )
144	143	ex 424	. . . . . . 7 |- ( y e. om -> ( A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
145	24, 25, 144	alrimd 1781	. . . . . 6 |- ( y e. om -> ( A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> A. w ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
146	8, 12, 16, 20, 23, 145	finds 4830	. . . . 5 |- ( A e. om -> A. w ( w C. A -> E. x e. A w ~~ x ) )
147		psseq1 3394	. . . . . . 7 |- ( w = B -> ( w C. A <-> B C. A ) )
148		breq1 4175	. . . . . . . 8 |- ( w = B -> ( w ~~ x <-> B ~~ x ) )
149	148	rexbidv 2687	. . . . . . 7 |- ( w = B -> ( E. x e. A w ~~ x <-> E. x e. A B ~~ x ) )
150	147, 149	imbi12d 312	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( ( w C. A -> E. x e. A w ~~ x ) <-> ( B C. A -> E. x e. A B ~~ x ) ) )
151	150	spcgv 2996	. . . . 5 |- ( B e. _V -> ( A. w ( w C. A -> E. x e. A w ~~ x ) -> ( B C. A -> E. x e. A B ~~ x ) ) )
152	146, 151	syl5 30	. . . 4 |- ( B e. _V -> ( A e. om -> ( B C. A -> E. x e. A B ~~ x ) ) )
153	152	com3l 77	. . 3 |- ( A e. om -> ( B C. A -> ( B e. _V -> E. x e. A B ~~ x ) ) )
154	153	imp 419	. 2 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> ( B e. _V -> E. x e. A B ~~ x ) )
155	4, 154	mpd 15	1 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> E. x e. A B ~~ x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   u. cun 3278   i^i cin 3279   C_ wss 3280   C. wpss 3281   (/)c0 3588   {csn 3774   <.cop 3777   class class class wbr 4172   Ord word 4540   suc csuc 4543   omcom 4804   -1-1-onto->wf1o 5412   ~~ cen 7065

This theorem is referenced by:  ssnnfi  7287

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-en 7069