Theorem pssnn 7735

Description: A proper subset of a natural number is equinumerous to some smaller number. Lemma 6F of [Enderton] p. 137. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pssnn	|- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> E. x e. A B ~~ x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem pssnn

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssss 3599	. . . 4 |- ( B C. A -> B C_ A )
2		ssexg 4593	. . . 4 |- ( ( B C_ A /\ A e. om ) -> B e. _V )
3	1, 2	sylan 471	. . 3 |- ( ( B C. A /\ A e. om ) -> B e. _V )
4	3	ancoms 453	. 2 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B e. _V )
5		psseq2 3592	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> ( w C. z <-> w C. (/) ) )
6		rexeq 3059	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> ( E. x e. z w ~~ x <-> E. x e. (/) w ~~ x ) )
7	5, 6	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( z = (/) -> ( ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> ( w C. (/) -> E. x e. (/) w ~~ x ) ) )
8	7	albidv 1689	. . . . . 6 |- ( z = (/) -> ( A. w ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> A. w ( w C. (/) -> E. x e. (/) w ~~ x ) ) )
9		psseq2 3592	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( w C. z <-> w C. y ) )
10		rexeq 3059	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( E. x e. z w ~~ x <-> E. x e. y w ~~ x ) )
11	9, 10	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) )
12	11	albidv 1689	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( A. w ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) )
13		psseq2 3592	. . . . . . . 8 |- ( z = suc y -> ( w C. z <-> w C. suc y ) )
14		rexeq 3059	. . . . . . . 8 |- ( z = suc y -> ( E. x e. z w ~~ x <-> E. x e. suc y w ~~ x ) )
15	13, 14	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( z = suc y -> ( ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
16	15	albidv 1689	. . . . . 6 |- ( z = suc y -> ( A. w ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> A. w ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
17		psseq2 3592	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( w C. z <-> w C. A ) )
18		rexeq 3059	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( E. x e. z w ~~ x <-> E. x e. A w ~~ x ) )
19	17, 18	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> ( w C. A -> E. x e. A w ~~ x ) ) )
20	19	albidv 1689	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( A. w ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> A. w ( w C. A -> E. x e. A w ~~ x ) ) )
21		npss0 3865	. . . . . . . 8 |- -. w C. (/)
22	21	pm2.21i 131	. . . . . . 7 |- ( w C. (/) -> E. x e. (/) w ~~ x )
23	22	ax-gen 1601	. . . . . 6 |- A. w ( w C. (/) -> E. x e. (/) w ~~ x )
24		nfv 1683	. . . . . . 7 |- F/ w y e. om
25		nfa1 1845	. . . . . . 7 |- F/ w A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x )
26		elequ1 1770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = y -> ( z e. w <-> y e. w ) )
27	26	biimpcd 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. w -> ( z = y -> y e. w ) )
28	27	con3d 133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. w -> ( -. y e. w -> -. z = y ) )
29	28	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( w C. suc y /\ z e. w ) -> ( -. y e. w -> -. z = y ) )
30		pssss 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w C. suc y -> w C_ suc y )
31	30	sseld 3503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w C. suc y -> ( z e. w -> z e. suc y ) )
32		elsuci 4944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. suc y -> ( z e. y \/ z = y ) )
33	32	ord 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. suc y -> ( -. z e. y -> z = y ) )
34	33	con1d 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. suc y -> ( -. z = y -> z e. y ) )
35	31, 34	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w C. suc y -> ( z e. w -> ( -. z = y -> z e. y ) ) )
36	35	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( w C. suc y /\ z e. w ) -> ( -. z = y -> z e. y ) )
37	29, 36	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( w C. suc y /\ z e. w ) -> ( -. y e. w -> z e. y ) )
38	37	impancom 440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w C. suc y /\ -. y e. w ) -> ( z e. w -> z e. y ) )
39	38	ssrdv 3510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w C. suc y /\ -. y e. w ) -> w C_ y )
40	39	anim1i 568	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w C. suc y /\ -. y e. w ) /\ -. w = y ) -> ( w C_ y /\ -. w = y ) )
41		dfpss2 3589	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w C. y <-> ( w C_ y /\ -. w = y ) )
42	40, 41	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( w C. suc y /\ -. y e. w ) /\ -. w = y ) -> w C. y )
43		elelsuc 4950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. y -> x e. suc y )
44	43	anim1i 568	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. y /\ w ~~ x ) -> ( x e. suc y /\ w ~~ x ) )
45	44	reximi2 2931	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. x e. y w ~~ x -> E. x e. suc y w ~~ x )
46	42, 45	imim12i 57	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> ( ( ( w C. suc y /\ -. y e. w ) /\ -. w = y ) -> E. x e. suc y w ~~ x ) )
47	46	exp4c 608	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> ( w C. suc y -> ( -. y e. w -> ( -. w = y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) ) )
48	47	sps 1814	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> ( w C. suc y -> ( -. y e. w -> ( -. w = y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) ) )
49	48	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> ( -. y e. w -> ( -. w = y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) ) )
50	49	com4t 85	. . . . . . . . 9 |- ( -. y e. w -> ( -. w = y -> ( ( y e. om /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) ) )
51		anidm 644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w C. suc y /\ w C. suc y ) <-> w C. suc y )
52		ssdif 3639	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w C_ suc y -> ( w \ { y } ) C_ ( suc y \ { y } ) )
53		nnord 6686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. om -> Ord y )
54		orddif 4971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord y -> y = ( suc y \ { y } ) )
55	53, 54	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. om -> y = ( suc y \ { y } ) )
56	55	sseq2d 3532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. om -> ( ( w \ { y } ) C_ y <-> ( w \ { y } ) C_ ( suc y \ { y } ) ) )
57	52, 56	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. om -> ( w C_ suc y -> ( w \ { y } ) C_ y ) )
58	30, 57	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. om -> ( w C. suc y -> ( w \ { y } ) C_ y ) )
59		pssnel 3892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w C. suc y -> E. z ( z e. suc y /\ -. z e. w ) )
60		eleq2 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( w \ { y } ) = y -> ( z e. ( w \ { y } ) <-> z e. y ) )
61		eldifi 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. ( w \ { y } ) -> z e. w )
62	60, 61	syl6bir 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( w \ { y } ) = y -> ( z e. y -> z e. w ) )
63	62	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. w /\ z e. suc y ) /\ ( w \ { y } ) = y ) -> ( z e. y -> z e. w ) )
64		eleq1a 2550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. w -> ( z = y -> z e. w ) )
65	33, 64	sylan9r 658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. w /\ z e. suc y ) -> ( -. z e. y -> z e. w ) )
66	65	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. w /\ z e. suc y ) /\ ( w \ { y } ) = y ) -> ( -. z e. y -> z e. w ) )
67	63, 66	pm2.61d 158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y e. w /\ z e. suc y ) /\ ( w \ { y } ) = y ) -> z e. w )
68	67	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. w /\ z e. suc y ) -> ( ( w \ { y } ) = y -> z e. w ) )
69	68	con3d 133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. w /\ z e. suc y ) -> ( -. z e. w -> -. ( w \ { y } ) = y ) )
70	69	expimpd 603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. w -> ( ( z e. suc y /\ -. z e. w ) -> -. ( w \ { y } ) = y ) )
71	70	exlimdv 1700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. w -> ( E. z ( z e. suc y /\ -. z e. w ) -> -. ( w \ { y } ) = y ) )
72	59, 71	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. w -> ( w C. suc y -> -. ( w \ { y } ) = y ) )
73	58, 72	im2anan9r 834	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( ( w C. suc y /\ w C. suc y ) -> ( ( w \ { y } ) C_ y /\ -. ( w \ { y } ) = y ) ) )
74	51, 73	syl5bir 218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( w C. suc y -> ( ( w \ { y } ) C_ y /\ -. ( w \ { y } ) = y ) ) )
75		dfpss2 3589	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w \ { y } ) C. y <-> ( ( w \ { y } ) C_ y /\ -. ( w \ { y } ) = y ) )
76	74, 75	syl6ibr 227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( w C. suc y -> ( w \ { y } ) C. y ) )
77		psseq1 3591	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = z -> ( w C. y <-> z C. y ) )
78		breq1 4450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = z -> ( w ~~ x <-> z ~~ x ) )
79	78	rexbidv 2973	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = z -> ( E. x e. y w ~~ x <-> E. x e. y z ~~ x ) )
80	77, 79	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = z -> ( ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) <-> ( z C. y -> E. x e. y z ~~ x ) ) )
81	80	cbvalv 1996	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) <-> A. z ( z C. y -> E. x e. y z ~~ x ) )
82		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- w e. _V
83		difss 3631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w \ { y } ) C_ w
84	82, 83	ssexi 4592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w \ { y } ) e. _V
85		psseq1 3591	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( w \ { y } ) -> ( z C. y <-> ( w \ { y } ) C. y ) )
86		breq1 4450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( w \ { y } ) -> ( z ~~ x <-> ( w \ { y } ) ~~ x ) )
87	86	rexbidv 2973	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( w \ { y } ) -> ( E. x e. y z ~~ x <-> E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x ) )
88	85, 87	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( w \ { y } ) -> ( ( z C. y -> E. x e. y z ~~ x ) <-> ( ( w \ { y } ) C. y -> E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x ) ) )
89	84, 88	spcv 3204	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z ( z C. y -> E. x e. y z ~~ x ) -> ( ( w \ { y } ) C. y -> E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x ) )
90	81, 89	sylbi 195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> ( ( w \ { y } ) C. y -> E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x ) )
91	76, 90	sylan9 657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. w /\ y e. om ) /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x ) )
92		ordsucelsuc 6635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Ord y -> ( x e. y <-> suc x e. suc y ) )
93	92	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord y -> ( x e. y -> suc x e. suc y ) )
94	53, 93	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. om -> ( x e. y -> suc x e. suc y ) )
95	94	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( x e. y -> suc x e. suc y ) )
96	95	adantrd 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) -> suc x e. suc y ) )
97		elnn 6688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
98		snex 4688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { <. y , x >. } e. _V
99		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- y e. _V
100		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- x e. _V
101	99, 100	f1osn 5851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { <. y , x >. } : { y } -1-1-onto-> { x }
102		f1oen3g 7528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( { <. y , x >. } e. _V /\ { <. y , x >. } : { y } -1-1-onto-> { x } ) -> { y } ~~ { x } )
103	98, 101, 102	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- { y } ~~ { x }
104	103	jctr 542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( w \ { y } ) ~~ x -> ( ( w \ { y } ) ~~ x /\ { y } ~~ { x } ) )
105		nnord 6686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. om -> Ord x )
106		orddisj 4916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Ord x -> ( x i^i { x } ) = (/) )
107	105, 106	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. om -> ( x i^i { x } ) = (/) )
108		incom 3691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( { y } i^i ( w \ { y } ) ) = ( ( w \ { y } ) i^i { y } )
109		disjdif 3899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( { y } i^i ( w \ { y } ) ) = (/)
110	108, 109	eqtr3i 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( w \ { y } ) i^i { y } ) = (/)
111	107, 110	jctil 537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. om -> ( ( ( w \ { y } ) i^i { y } ) = (/) /\ ( x i^i { x } ) = (/) ) )
112		unen 7595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( w \ { y } ) ~~ x /\ { y } ~~ { x } ) /\ ( ( ( w \ { y } ) i^i { y } ) = (/) /\ ( x i^i { x } ) = (/) ) ) -> ( ( w \ { y } ) u. { y } ) ~~ ( x u. { x } ) )
113	104, 111, 112	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( w \ { y } ) ~~ x /\ x e. om ) -> ( ( w \ { y } ) u. { y } ) ~~ ( x u. { x } ) )
114		difsnid 4173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. w -> ( ( w \ { y } ) u. { y } ) = w )
115	114	eqcomd 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. w -> w = ( ( w \ { y } ) u. { y } ) )
116		df-suc 4884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- suc x = ( x u. { x } )
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. w -> suc x = ( x u. { x } ) )
118	115, 117	breq12d 4460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. w -> ( w ~~ suc x <-> ( ( w \ { y } ) u. { y } ) ~~ ( x u. { x } ) ) )
119	113, 118	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. w -> ( ( ( w \ { y } ) ~~ x /\ x e. om ) -> w ~~ suc x ) )
120	97, 119	sylan2i 655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. w -> ( ( ( w \ { y } ) ~~ x /\ ( x e. y /\ y e. om ) ) -> w ~~ suc x ) )
121	120	exp4d 609	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. w -> ( ( w \ { y } ) ~~ x -> ( x e. y -> ( y e. om -> w ~~ suc x ) ) ) )
122	121	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. w -> ( y e. om -> ( x e. y -> ( ( w \ { y } ) ~~ x -> w ~~ suc x ) ) ) )
123	122	imp4b 590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) -> w ~~ suc x ) )
124	96, 123	jcad 533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) -> ( suc x e. suc y /\ w ~~ suc x ) ) )
125		breq2 4451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = suc x -> ( w ~~ z <-> w ~~ suc x ) )
126	125	rspcev 3214	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( suc x e. suc y /\ w ~~ suc x ) -> E. z e. suc y w ~~ z )
127	124, 126	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) -> E. z e. suc y w ~~ z ) )
128	127	exlimdv 1700	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( E. x ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) -> E. z e. suc y w ~~ z ) )
129		df-rex 2820	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x <-> E. x ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) )
130		breq2 4451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( w ~~ x <-> w ~~ z ) )
131	130	cbvrexv 3089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. suc y w ~~ x <-> E. z e. suc y w ~~ z )
132	128, 129, 131	3imtr4g 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x -> E. x e. suc y w ~~ x ) )
133	132	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. w /\ y e. om ) /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x -> E. x e. suc y w ~~ x ) )
134	91, 133	syld 44	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. w /\ y e. om ) /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) )
135	134	expl 618	. . . . . . . . 9 |- ( y e. w -> ( ( y e. om /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
136	82	eqelsuc 4959	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = y -> w e. suc y )
137	82	enref 7545	. . . . . . . . . . . 12 |- w ~~ w
138		breq2 4451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( w ~~ x <-> w ~~ w ) )
139	138	rspcev 3214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. suc y /\ w ~~ w ) -> E. x e. suc y w ~~ x )
140	136, 137, 139	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> E. x e. suc y w ~~ x )
141	140	a1d 25	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) )
142	141	a1d 25	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( ( y e. om /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
143	50, 135, 142	pm2.61ii 165	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) )
144	143	ex 434	. . . . . . 7 |- ( y e. om -> ( A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
145	24, 25, 144	alrimd 1829	. . . . . 6 |- ( y e. om -> ( A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> A. w ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
146	8, 12, 16, 20, 23, 145	finds 6704	. . . . 5 |- ( A e. om -> A. w ( w C. A -> E. x e. A w ~~ x ) )
147		psseq1 3591	. . . . . . 7 |- ( w = B -> ( w C. A <-> B C. A ) )
148		breq1 4450	. . . . . . . 8 |- ( w = B -> ( w ~~ x <-> B ~~ x ) )
149	148	rexbidv 2973	. . . . . . 7 |- ( w = B -> ( E. x e. A w ~~ x <-> E. x e. A B ~~ x ) )
150	147, 149	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( ( w C. A -> E. x e. A w ~~ x ) <-> ( B C. A -> E. x e. A B ~~ x ) ) )
151	150	spcgv 3198	. . . . 5 |- ( B e. _V -> ( A. w ( w C. A -> E. x e. A w ~~ x ) -> ( B C. A -> E. x e. A B ~~ x ) ) )
152	146, 151	syl5 32	. . . 4 |- ( B e. _V -> ( A e. om -> ( B C. A -> E. x e. A B ~~ x ) ) )
153	152	com3l 81	. . 3 |- ( A e. om -> ( B C. A -> ( B e. _V -> E. x e. A B ~~ x ) ) )
154	153	imp 429	. 2 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> ( B e. _V -> E. x e. A B ~~ x ) )
155	4, 154	mpd 15	1 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> E. x e. A B ~~ x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   A.wal 1377   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   C. wpss 3477   (/)c0 3785   {csn 4027   <.cop 4033   class class class wbr 4447   Ord word 4877   suc csuc 4880   -1-1-onto->wf1o 5585   omcom 6678   ~~ cen 7510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-om 6679  df-en 7514

This theorem is referenced by:  ssnnfi  7736