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Theorem pssnn 7286
Description: A proper subset of a natural number is equinumerous to some smaller number. Lemma 6F of [Enderton] p. 137. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
pssnn  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem pssnn
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssss 3402 . . . 4  |-  ( B 
C.  A  ->  B  C_  A )
2 ssexg 4309 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  om )  ->  B  e.  _V )
31, 2sylan 458 . . 3  |-  ( ( B  C.  A  /\  A  e.  om )  ->  B  e.  _V )
43ancoms 440 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  B  e.  _V )
5 psseq2 3395 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (/)  ->  ( w 
C.  z  <->  w  C.  (/) ) )
6 rexeq 2865 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (/)  ->  ( E. x  e.  z  w 
~~  x  <->  E. x  e.  (/)  w  ~~  x
) )
75, 6imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w  ~~  x )  <->  ( w  C.  (/)  ->  E. x  e.  (/)  w  ~~  x
) ) )
87albidv 1632 . . . . . 6  |-  ( z  =  (/)  ->  ( A. w ( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w  ~~  x )  <->  A. w ( w  C.  (/) 
->  E. x  e.  (/)  w  ~~  x ) ) )
9 psseq2 3395 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
w  C.  z  <->  w  C.  y ) )
10 rexeq 2865 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( E. x  e.  z  w  ~~  x  <->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )
119, 10imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w  ~~  x )  <-> 
( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) ) )
1211albidv 1632 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  ( A. w ( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w  ~~  x )  <->  A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) ) )
13 psseq2 3395 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( w  C.  z  <->  w 
C.  suc  y )
)
14 rexeq 2865 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( E. x  e.  z  w  ~~  x  <->  E. x  e.  suc  y
w  ~~  x )
)
1513, 14imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( ( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w  ~~  x )  <-> 
( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) )
1615albidv 1632 . . . . . 6  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( A. w ( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w  ~~  x )  <->  A. w
( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) )
17 psseq2 3395 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  (
w  C.  z  <->  w  C.  A ) )
18 rexeq 2865 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  ( E. x  e.  z  w  ~~  x  <->  E. x  e.  A  w  ~~  x ) )
1917, 18imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  (
( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w  ~~  x )  <-> 
( w  C.  A  ->  E. x  e.  A  w  ~~  x ) ) )
2019albidv 1632 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( A. w ( w  C.  z  ->  E. x  e.  z  w  ~~  x )  <->  A. w ( w  C.  A  ->  E. x  e.  A  w  ~~  x ) ) )
21 npss0 3626 . . . . . . . 8  |-  -.  w  C.  (/)
2221pm2.21i 125 . . . . . . 7  |-  ( w 
C.  (/)  ->  E. x  e.  (/)  w  ~~  x
)
2322ax-gen 1552 . . . . . 6  |-  A. w
( w  C.  (/)  ->  E. x  e.  (/)  w  ~~  x
)
24 nfv 1626 . . . . . . 7  |-  F/ w  y  e.  om
25 nfa1 1802 . . . . . . 7  |-  F/ w A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )
26 elequ1 1724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  w  <->  y  e.  w ) )
2726biimpcd 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  w  ->  (
z  =  y  -> 
y  e.  w ) )
2827con3d 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  w  ->  ( -.  y  e.  w  ->  -.  z  =  y ) )
2928adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  C.  suc  y  /\  z  e.  w
)  ->  ( -.  y  e.  w  ->  -.  z  =  y ) )
30 pssss 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w 
C.  suc  y  ->  w 
C_  suc  y )
3130sseld 3307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w 
C.  suc  y  ->  ( z  e.  w  -> 
z  e.  suc  y
) )
32 elsuci 4607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  suc  y  -> 
( z  e.  y  \/  z  =  y ) )
3332ord 367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  suc  y  -> 
( -.  z  e.  y  ->  z  =  y ) )
3433con1d 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  suc  y  -> 
( -.  z  =  y  ->  z  e.  y ) )
3531, 34syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w 
C.  suc  y  ->  ( z  e.  w  -> 
( -.  z  =  y  ->  z  e.  y ) ) )
3635imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  C.  suc  y  /\  z  e.  w
)  ->  ( -.  z  =  y  ->  z  e.  y ) )
3729, 36syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  C.  suc  y  /\  z  e.  w
)  ->  ( -.  y  e.  w  ->  z  e.  y ) )
3837impancom 428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  C.  suc  y  /\  -.  y  e.  w
)  ->  ( z  e.  w  ->  z  e.  y ) )
3938ssrdv 3314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  C.  suc  y  /\  -.  y  e.  w
)  ->  w  C_  y
)
4039anim1i 552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  C.  suc  y  /\  -.  y  e.  w )  /\  -.  w  =  y )  ->  ( w  C_  y  /\  -.  w  =  y ) )
41 dfpss2 3392 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w 
C.  y  <->  ( w  C_  y  /\  -.  w  =  y ) )
4240, 41sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  C.  suc  y  /\  -.  y  e.  w )  /\  -.  w  =  y )  ->  w  C.  y )
43 elelsuc 4613 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  y  ->  x  e.  suc  y )
4443anim1i 552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  y  /\  w  ~~  x )  -> 
( x  e.  suc  y  /\  w  ~~  x
) )
4544reximi2 2772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  y  w 
~~  x  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x )
4642, 45imim12i 55 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )  -> 
( ( ( w 
C.  suc  y  /\  -.  y  e.  w
)  /\  -.  w  =  y )  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) )
4746exp4c 592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )  -> 
( w  C.  suc  y  ->  ( -.  y  e.  w  ->  ( -.  w  =  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) ) )
4847sps 1766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  ( -.  y  e.  w  -> 
( -.  w  =  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) ) )
4948adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  ( -.  y  e.  w  ->  ( -.  w  =  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) ) )
5049com4t 81 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  w  -> 
( -.  w  =  y  ->  ( (
y  e.  om  /\  A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) ) )
51 anidm 626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  C.  suc  y  /\  w  C.  suc  y
)  <->  w  C.  suc  y
)
52 ssdif 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w 
C_  suc  y  ->  ( w  \  { y } )  C_  ( suc  y  \  { y } ) )
53 nnord 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  om  ->  Ord  y )
54 orddif 4634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord  y  ->  y  =  ( suc  y  \  {
y } ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  om  ->  y  =  ( suc  y  \  { y } ) )
5655sseq2d 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  om  ->  (
( w  \  {
y } )  C_  y 
<->  ( w  \  {
y } )  C_  ( suc  y  \  {
y } ) ) )
5752, 56syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  om  ->  (
w  C_  suc  y  -> 
( w  \  {
y } )  C_  y ) )
5830, 57syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  om  ->  (
w  C.  suc  y  -> 
( w  \  {
y } )  C_  y ) )
59 pssnel 3653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w 
C.  suc  y  ->  E. z ( z  e. 
suc  y  /\  -.  z  e.  w )
)
60 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( w  \  { y } )  =  y  ->  ( z  e.  ( w  \  {
y } )  <->  z  e.  y ) )
61 eldifi 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  ( w  \  { y } )  ->  z  e.  w
)
6260, 61syl6bir 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( w  \  { y } )  =  y  ->  ( z  e.  y  ->  z  e.  w ) )
6362adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  z  e.  suc  y )  /\  (
w  \  { y } )  =  y )  ->  ( z  e.  y  ->  z  e.  w ) )
64 eleq1a 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  w  ->  (
z  =  y  -> 
z  e.  w ) )
6533, 64sylan9r 640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  w  /\  z  e.  suc  y )  ->  ( -.  z  e.  y  ->  z  e.  w ) )
6665adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  z  e.  suc  y )  /\  (
w  \  { y } )  =  y )  ->  ( -.  z  e.  y  ->  z  e.  w ) )
6763, 66pm2.61d 152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  z  e.  suc  y )  /\  (
w  \  { y } )  =  y )  ->  z  e.  w )
6867ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  w  /\  z  e.  suc  y )  ->  ( ( w 
\  { y } )  =  y  -> 
z  e.  w ) )
6968con3d 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  w  /\  z  e.  suc  y )  ->  ( -.  z  e.  w  ->  -.  (
w  \  { y } )  =  y ) )
7069expimpd 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  w  ->  (
( z  e.  suc  y  /\  -.  z  e.  w )  ->  -.  ( w  \  { y } )  =  y ) )
7170exlimdv 1643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  w  ->  ( E. z ( z  e. 
suc  y  /\  -.  z  e.  w )  ->  -.  ( w  \  { y } )  =  y ) )
7259, 71syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  w  ->  (
w  C.  suc  y  ->  -.  ( w  \  {
y } )  =  y ) )
7358, 72im2anan9r 810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( ( w  C.  suc  y  /\  w  C.  suc  y )  -> 
( ( w  \  { y } ) 
C_  y  /\  -.  ( w  \  { y } )  =  y ) ) )
7451, 73syl5bir 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  ( ( w 
\  { y } )  C_  y  /\  -.  ( w  \  {
y } )  =  y ) ) )
75 dfpss2 3392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  \  { y } )  C.  y  <->  ( ( w  \  {
y } )  C_  y  /\  -.  ( w 
\  { y } )  =  y ) )
7674, 75syl6ibr 219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  ( w  \  { y } ) 
C.  y ) )
77 psseq1 3394 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  z  ->  (
w  C.  y  <->  z  C.  y ) )
78 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  z  ->  (
w  ~~  x  <->  z  ~~  x ) )
7978rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  z  ->  ( E. x  e.  y  w  ~~  x  <->  E. x  e.  y  z  ~~  x ) )
8077, 79imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  (
( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )  <-> 
( z  C.  y  ->  E. x  e.  y  z  ~~  x ) ) )
8180cbvalv 2052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )  <->  A. z ( z  C.  y  ->  E. x  e.  y  z  ~~  x ) )
82 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  w  e. 
_V
83 difss 3434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w 
\  { y } )  C_  w
8482, 83ssexi 4308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w 
\  { y } )  e.  _V
85 psseq1 3394 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( w  \  { y } )  ->  ( z  C.  y 
<->  ( w  \  {
y } )  C.  y ) )
86 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  \  { y } )  ->  ( z  ~~  x 
<->  ( w  \  {
y } )  ~~  x ) )
8786rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( w  \  { y } )  ->  ( E. x  e.  y  z  ~~  x 
<->  E. x  e.  y  ( w  \  {
y } )  ~~  x ) )
8885, 87imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( w  \  { y } )  ->  ( ( z 
C.  y  ->  E. x  e.  y  z  ~~  x )  <->  ( (
w  \  { y } )  C.  y  ->  E. x  e.  y  ( w  \  {
y } )  ~~  x ) ) )
8984, 88spcv 3002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z ( z  C.  y  ->  E. x  e.  y  z  ~~  x )  ->  ( ( w 
\  { y } )  C.  y  ->  E. x  e.  y 
( w  \  {
y } )  ~~  x ) )
9081, 89sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )  ->  ( ( w 
\  { y } )  C.  y  ->  E. x  e.  y 
( w  \  {
y } )  ~~  x ) )
9176, 90sylan9 639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  /\  A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  y  ( w  \  { y } ) 
~~  x ) )
92 ordsucelsuc 4761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Ord  y  ->  ( x  e.  y  <->  suc  x  e.  suc  y ) )
9392biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord  y  ->  ( x  e.  y  ->  suc  x  e.  suc  y ) )
9453, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  om  ->  (
x  e.  y  ->  suc  x  e.  suc  y
) )
9594adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( x  e.  y  ->  suc  x  e.  suc  y ) )
9695adantrd 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( ( x  e.  y  /\  ( w 
\  { y } )  ~~  x )  ->  suc  x  e.  suc  y ) )
97 elnn 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  om )  ->  x  e.  om )
98 snex 4365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { <. y ,  x >. }  e.  _V
99 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  y  e. 
_V
100 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  x  e. 
_V
10199, 100f1osn 5674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { <. y ,  x >. } : { y } -1-1-onto-> { x }
102 f1oen3g 7082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( { <. y ,  x >. }  e.  _V  /\  {
<. y ,  x >. } : { y } -1-1-onto-> { x } )  ->  { y }  ~~  { x } )
10398, 101, 102mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  { y }  ~~  { x }
104103jctr 527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( w  \  { y } )  ~~  x  ->  ( ( w  \  { y } ) 
~~  x  /\  {
y }  ~~  {
x } ) )
105 nnord 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  om  ->  Ord  x )
106 orddisj 4579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Ord  x  ->  ( x  i^i  { x } )  =  (/) )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  i^i  { x } )  =  (/) )
108 incom 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( { y }  i^i  (
w  \  { y } ) )  =  ( ( w  \  { y } )  i^i  { y } )
109 disjdif 3660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( { y }  i^i  (
w  \  { y } ) )  =  (/)
110108, 109eqtr3i 2426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( w  \  { y } )  i^i  {
y } )  =  (/)
111107, 110jctil 524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  om  ->  (
( ( w  \  { y } )  i^i  { y } )  =  (/)  /\  (
x  i^i  { x } )  =  (/) ) )
112 unen 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( w  \  { y } ) 
~~  x  /\  {
y }  ~~  {
x } )  /\  ( ( ( w 
\  { y } )  i^i  { y } )  =  (/)  /\  ( x  i^i  {
x } )  =  (/) ) )  ->  (
( w  \  {
y } )  u. 
{ y } ) 
~~  ( x  u. 
{ x } ) )
113104, 111, 112syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( w  \  {
y } )  ~~  x  /\  x  e.  om )  ->  ( ( w 
\  { y } )  u.  { y } )  ~~  (
x  u.  { x } ) )
114 difsnid 3904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  w  ->  (
( w  \  {
y } )  u. 
{ y } )  =  w )
115114eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  w  ->  w  =  ( ( w 
\  { y } )  u.  { y } ) )
116 df-suc 4547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  suc  x  =  ( x  u. 
{ x } )
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  w  ->  suc  x  =  ( x  u.  { x } ) )
118115, 117breq12d 4185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  w  ->  (
w  ~~  suc  x  <->  ( (
w  \  { y } )  u.  {
y } )  ~~  ( x  u.  { x } ) ) )
119113, 118syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  w  ->  (
( ( w  \  { y } ) 
~~  x  /\  x  e.  om )  ->  w  ~~  suc  x ) )
12097, 119sylan2i 637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  w  ->  (
( ( w  \  { y } ) 
~~  x  /\  (
x  e.  y  /\  y  e.  om )
)  ->  w  ~~  suc  x ) )
121120exp4d 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  w  ->  (
( w  \  {
y } )  ~~  x  ->  ( x  e.  y  ->  ( y  e.  om  ->  w  ~~  suc  x ) ) ) )
122121com24 83 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  w  ->  (
y  e.  om  ->  ( x  e.  y  -> 
( ( w  \  { y } ) 
~~  x  ->  w  ~~  suc  x ) ) ) )
123122imp4b 574 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( ( x  e.  y  /\  ( w 
\  { y } )  ~~  x )  ->  w  ~~  suc  x ) )
12496, 123jcad 520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( ( x  e.  y  /\  ( w 
\  { y } )  ~~  x )  ->  ( suc  x  e.  suc  y  /\  w  ~~  suc  x ) ) )
125 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( w  ~~  z  <->  w 
~~  suc  x )
)
126125rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( suc  x  e.  suc  y  /\  w  ~~  suc  x )  ->  E. z  e.  suc  y w  ~~  z )
127124, 126syl6 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( ( x  e.  y  /\  ( w 
\  { y } )  ~~  x )  ->  E. z  e.  suc  y w  ~~  z ) )
128127exlimdv 1643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( E. x ( x  e.  y  /\  ( w  \  { y } )  ~~  x
)  ->  E. z  e.  suc  y w  ~~  z ) )
129 df-rex 2672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  y  ( w  \  { y } )  ~~  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ( w 
\  { y } )  ~~  x ) )
130 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
w  ~~  x  <->  w  ~~  z ) )
131130cbvrexv 2893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  suc  y
w  ~~  x  <->  E. z  e.  suc  y w  ~~  z )
132128, 129, 1313imtr4g 262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  ->  ( E. x  e.  y  ( w  \  { y } ) 
~~  x  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) )
133132adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  /\  A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )  ->  ( E. x  e.  y  ( w  \  { y } ) 
~~  x  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) )
13491, 133syld 42 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  y  e.  om )  /\  A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) )
135134expl 602 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  w  ->  (
( y  e.  om  /\ 
A. w ( w 
C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )  -> 
( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) )
13682eqelsuc 4622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  w  e.  suc  y )
13782enref 7099 . . . . . . . . . . . 12  |-  w  ~~  w
138 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
w  ~~  x  <->  w  ~~  w ) )
139138rspcev 3012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  suc  y  /\  w  ~~  w )  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x )
140136, 137, 139sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x )
141140a1d 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) )
142141a1d 23 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
( y  e.  om  /\ 
A. w ( w 
C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )  -> 
( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) )
14350, 135, 142pm2.61ii 159 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x ) )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) )
144143ex 424 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  ( A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )  ->  ( w  C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y w  ~~  x ) ) )
14524, 25, 144alrimd 1781 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  ( A. w ( w  C.  y  ->  E. x  e.  y  w  ~~  x )  ->  A. w ( w 
C.  suc  y  ->  E. x  e.  suc  y
w  ~~  x )
) )
1468, 12, 16, 20, 23, 145finds 4830 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  A. w
( w  C.  A  ->  E. x  e.  A  w  ~~  x ) )
147 psseq1 3394 . . . . . . 7  |-  ( w  =  B  ->  (
w  C.  A  <->  B  C.  A ) )
148 breq1 4175 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  B  ->  (
w  ~~  x  <->  B  ~~  x ) )
149148rexbidv 2687 . . . . . . 7  |-  ( w  =  B  ->  ( E. x  e.  A  w  ~~  x  <->  E. x  e.  A  B  ~~  x ) )
150147, 149imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
( w  C.  A  ->  E. x  e.  A  w  ~~  x )  <->  ( B  C.  A  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x ) ) )
151150spcgv 2996 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A. w ( w  C.  A  ->  E. x  e.  A  w  ~~  x )  -> 
( B  C.  A  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x ) ) )
152146, 151syl5 30 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A  e.  om  ->  ( B  C.  A  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x ) ) )
153152com3l 77 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  C.  A  ->  ( B  e.  _V  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x ) ) )
154153imp 419 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  -> 
( B  e.  _V  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x ) )
1554, 154mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280    C. wpss 3281   (/)c0 3588   {csn 3774   <.cop 3777   class class class wbr 4172   Ord word 4540   suc csuc 4543   omcom 4804   -1-1-onto->wf1o 5412    ~~ cen 7065
This theorem is referenced by:  ssnnfi  7287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-en 7069
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