Theorem psslinpr 6287

Description: Proper subset is a linear ordering on positive reals. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122.

Assertion

Ref	Expression
psslinpr	|- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A C. B \/ A = B \/ B C. A))

Proof of Theorem psslinpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prub 6250	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((B e. P. /\ y e. B) /\ x e. Q.) -> (-. x e. B -> y <Q x))
2		elprpq 6247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. P. /\ x e. A) -> x e. Q.)
3	1, 2	sylan2 500	. . . . . . . . . . . 12 |- (((B e. P. /\ y e. B) /\ (A e. P. /\ x e. A)) -> (-. x e. B -> y <Q x))
4		prcdpq 6249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. P. /\ x e. A) -> (y <Q x -> y e. A))
5	4	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- (((B e. P. /\ y e. B) /\ (A e. P. /\ x e. A)) -> (y <Q x -> y e. A))
6	3, 5	syld 30	. . . . . . . . . . 11 |- (((B e. P. /\ y e. B) /\ (A e. P. /\ x e. A)) -> (-. x e. B -> y e. A))
7	6	exp43 415	. . . . . . . . . 10 |- (B e. P. -> (y e. B -> (A e. P. -> (x e. A -> (-. x e. B -> y e. A)))))
8	7	com3r 39	. . . . . . . . 9 |- (A e. P. -> (B e. P. -> (y e. B -> (x e. A -> (-. x e. B -> y e. A)))))
9	8	imp 377	. . . . . . . 8 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (y e. B -> (x e. A -> (-. x e. B -> y e. A))))
10	9	imp4a 391	. . . . . . 7 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (y e. B -> ((x e. A /\ -. x e. B) -> y e. A)))
11	10	com23 36	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((x e. A /\ -. x e. B) -> (y e. B -> y e. A)))
12	11	19.21adv 1666	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((x e. A /\ -. x e. B) -> A.y(y e. B -> y e. A)))
13	12	19.23adv 1584	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (E.x(x e. A /\ -. x e. B) -> A.y(y e. B -> y e. A)))
14		sspss 2707	. . . . . 6 |- (A C_ B <-> (A C. B \/ A = B))
15	14	notbii 204	. . . . 5 |- (-. A C_ B <-> -. (A C. B \/ A = B))
16		nss 2670	. . . . 5 |- (-. A C_ B <-> E.x(x e. A /\ -. x e. B))
17	15, 16	bitr3i 192	. . . 4 |- (-. (A C. B \/ A = B) <-> E.x(x e. A /\ -. x e. B))
18		sspss 2707	. . . . 5 |- (B C_ A <-> (B C. A \/ B = A))
19		dfss2 2610	. . . . 5 |- (B C_ A <-> A.y(y e. B -> y e. A))
20	18, 19	bitr3i 192	. . . 4 |- ((B C. A \/ B = A) <-> A.y(y e. B -> y e. A))
21	13, 17, 20	3imtr4g 612	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (-. (A C. B \/ A = B) -> (B C. A \/ B = A)))
22	21	orrd 250	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((A C. B \/ A = B) \/ (B C. A \/ B = A)))
23		df-3or 859	. . 3 |- ((A C. B \/ A = B \/ B C. A) <-> ((A C. B \/ A = B) \/ B C. A))
24		or23 284	. . 3 |- (((A C. B \/ A = B) \/ B C. A) <-> ((A C. B \/ B C. A) \/ A = B))
25		orordir 289	. . . 4 |- (((A C. B \/ B C. A) \/ A = B) <-> ((A C. B \/ A = B) \/ (B C. A \/ A = B)))
26		eqcom 1886	. . . . . 6 |- (B = A <-> A = B)
27	26	orbi2i 275	. . . . 5 |- ((B C. A \/ B = A) <-> (B C. A \/ A = B))
28	27	orbi2i 275	. . . 4 |- (((A C. B \/ A = B) \/ (B C. A \/ B = A)) <-> ((A C. B \/ A = B) \/ (B C. A \/ A = B)))
29	25, 28	bitr4i 193	. . 3 |- (((A C. B \/ B C. A) \/ A = B) <-> ((A C. B \/ A = B) \/ (B C. A \/ B = A)))
30	23, 24, 29	3bitri 194	. 2 |- ((A C. B \/ A = B \/ B C. A) <-> ((A C. B \/ A = B) \/ (B C. A \/ B = A)))
31	22, 30	sylibr 217	1 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A C. B \/ A = B \/ B C. A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 239   /\ wa 240   \/ w3o 857  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   C_ wss 2593   C. wpss 2594   class class class wbr 3338  Q.cnq 6131   <Q cltq 6136  P.cnp 6137

This theorem is referenced by:  ltsopr 6288

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-mi 6154  df-lti 6155  df-enq 6189  df-nq 6190  df-ltq 6194  df-np 6238

Copyright terms: Public domain