MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvscaval Structured version   Unicode version

Theorem psrvscaval 17809
Description: The scalar multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrvsca.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrvsca.n  |-  .xb  =  ( .s `  S )
psrvsca.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
psrvsca.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrvsca.m  |-  .x.  =  ( .r `  R )
psrvsca.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
psrvsca.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
psrvsca.y  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
psrvscaval.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
psrvscaval  |-  ( ph  ->  ( ( X  .xb  F ) `  Y
)  =  ( X 
.x.  ( F `  Y ) ) )
Distinct variable group:    h, I
Allowed substitution hints:    ph( h)    B( h)    D( h)    R( h)    S( h)    .xb ( h)    .x. ( h)    F( h)    K( h)    X( h)    Y( h)

Proof of Theorem psrvscaval
StepHypRef Expression
1 psrvsca.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 psrvsca.n . . . 4  |-  .xb  =  ( .s `  S )
3 psrvsca.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 psrvsca.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 psrvsca.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
6 psrvsca.d . . . 4  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
7 psrvsca.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
8 psrvsca.y . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8psrvsca 17808 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .xb  F
)  =  ( ( D  X.  { X } )  oF  .x.  F ) )
109fveq1d 5859 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .xb  F ) `  Y
)  =  ( ( ( D  X.  { X } )  oF  .x.  F ) `  Y ) )
11 psrvscaval.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
12 ovex 6300 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1312rabex 4591 . . . . . 6  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  e.  _V
146, 13eqeltri 2544 . . . . 5  |-  D  e. 
_V
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
161, 3, 6, 4, 8psrelbas 17796 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : D --> K )
17 ffn 5722 . . . . 5  |-  ( F : D --> K  ->  F  Fn  D )
1816, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  D )
19 eqidd 2461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  D )  ->  ( F `  Y )  =  ( F `  Y ) )
2015, 7, 18, 19ofc1 6538 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  D )  ->  (
( ( D  X.  { X } )  oF  .x.  F ) `
 Y )  =  ( X  .x.  ( F `  Y )
) )
2111, 20mpdan 668 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  X.  { X }
)  oF  .x.  F ) `  Y
)  =  ( X 
.x.  ( F `  Y ) ) )
2210, 21eqtrd 2501 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .xb  F ) `  Y
)  =  ( X 
.x.  ( F `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {crab 2811   _Vcvv 3106   {csn 4020    X. cxp 4990   `'ccnv 4991   "cima 4995    Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    oFcof 6513    ^m cmap 7410   Fincfn 7506   NNcn 10525   NN0cn0 10784   Basecbs 14479   .rcmulr 14545   .scvsca 14548   mPwSer cmps 17764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-tset 14563  df-psr 17769
This theorem is referenced by:  psrass23l  17827  psrass23  17829  mpllsslem  17858  mpllsslemOLD  17860
  Copyright terms: Public domain W3C validator