MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvscaval Structured version   Unicode version

Theorem psrvscaval 17461
Description: The scalar multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrvsca.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrvsca.n  |-  .xb  =  ( .s `  S )
psrvsca.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
psrvsca.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrvsca.m  |-  .x.  =  ( .r `  R )
psrvsca.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
psrvsca.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
psrvsca.y  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
psrvscaval.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
psrvscaval  |-  ( ph  ->  ( ( X  .xb  F ) `  Y
)  =  ( X 
.x.  ( F `  Y ) ) )
Distinct variable group:    h, I
Allowed substitution hints:    ph( h)    B( h)    D( h)    R( h)    S( h)    .xb ( h)    .x. ( h)    F( h)    K( h)    X( h)    Y( h)

Proof of Theorem psrvscaval
StepHypRef Expression
1 psrvsca.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 psrvsca.n . . . 4  |-  .xb  =  ( .s `  S )
3 psrvsca.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 psrvsca.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 psrvsca.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
6 psrvsca.d . . . 4  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
7 psrvsca.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
8 psrvsca.y . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8psrvsca 17460 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .xb  F
)  =  ( ( D  X.  { X } )  oF  .x.  F ) )
109fveq1d 5691 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .xb  F ) `  Y
)  =  ( ( ( D  X.  { X } )  oF  .x.  F ) `  Y ) )
11 psrvscaval.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
12 ovex 6114 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1312rabex 4441 . . . . . 6  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  e.  _V
146, 13eqeltri 2511 . . . . 5  |-  D  e. 
_V
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
161, 3, 6, 4, 8psrelbas 17448 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : D --> K )
17 ffn 5557 . . . . 5  |-  ( F : D --> K  ->  F  Fn  D )
1816, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  D )
19 eqidd 2442 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  D )  ->  ( F `  Y )  =  ( F `  Y ) )
2015, 7, 18, 19ofc1 6341 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  D )  ->  (
( ( D  X.  { X } )  oF  .x.  F ) `
 Y )  =  ( X  .x.  ( F `  Y )
) )
2111, 20mpdan 668 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  X.  { X }
)  oF  .x.  F ) `  Y
)  =  ( X 
.x.  ( F `  Y ) ) )
2210, 21eqtrd 2473 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .xb  F ) `  Y
)  =  ( X 
.x.  ( F `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2717   _Vcvv 2970   {csn 3875    X. cxp 4836   `'ccnv 4837   "cima 4841    Fn wfn 5411   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    oFcof 6316    ^m cmap 7212   Fincfn 7308   NNcn 10320   NN0cn0 10577   Basecbs 14172   .rcmulr 14237   .scvsca 14240   mPwSer cmps 17416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-tset 14255  df-psr 17421
This theorem is referenced by:  psrass23  17480  mpllsslem  17509  mpllsslemOLD  17511  psrass23l  30821
  Copyright terms: Public domain W3C validator